【浙教版】九年级数学下期中一模试卷附答案

一、选择题
1．对称轴为y 轴的二次函数是（ ）
A ．y=(x+1)2
B ．y=2(x-1)2
C ．y=2x 2+1
D ．y=-(x-1)2 2．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，在下列六个结论中：①20a b -<；②0abc <；③0a b c ++<；④0a b c -+>；⑤420a b c ++>；⑥240b ac -<．其中正确的个数有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
3．二次函数223y x =-+在14x -≤≤内的最小值是（ ）
A ．3
B ．2
C ．－29
D ．－30
4．已知二次函数y ＝x 2﹣4x +m 2+1（m 是常数），若当x ＝a 时，对应的函数值y ＜0，则下列结论中正确的是（ ）
A ．a ﹣4＜0
B ．a ﹣4＝0
C ．a ﹣4＞0
D ．a 与4的大小关系不能确定
5．已知二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，若方程20ax bx c ++=的两个根
为11x =，25x =-，下列结论中：①0bc >；②4b a =；③0a b c -+>；④540b c +=．其中所有正确的结论有（ ）
A ．①②
B ．③④
C ．②③④
D ．②③ 6．已知函数223y x x =+-及一次函数y x m =-+的图象如图所示，当直线
y x m =-+与函数223y x x =+-的图象有2个交点时，m 的取值范围是（ ）
A ．3m <-
B ．31m -<<
C ．134m >或3m <-
D ．31m -<<或134
m > 7．学校研究性学习小组的同学测量旗杆的高度．如图，在教学楼一楼地面C 处测得旗杆顶部的仰角为60︒，在教学楼三楼地面D 处测得旗杆顶部的仰角为30，旗杆底部与教学楼一楼在同一水平线上，已知每层楼的高度为3米，则旗杆AB 的高度为（ ）
A ．7
B ．8
C ．9
D ．10
8．在Rt ABC 中，90,2,6C AC AB ∠=︒==，则下列结论正确的是（ ） A ．1sin 3A = B ．2cos 4B = C ．tan 22A = D ．22tan 3B = 9．如图，推动个小球沿倾斜角为α的斜坡向上行驶，若5sin 13
α=
，小球移动的水平距离12AC =米，那么小球上升的高度BC 是（ ）
A ．5米
B ．6米
C ．6.5米
D ．7米
10．如图，斜坡AP 的坡比为1∶2.4，在坡顶A 处的同一水平面上有一座高楼BC ，在斜坡底P 处测得该楼顶B 的仰角为45°，在坡顶A 处测得该楼顶B 的仰角为76°，楼高BC 为
18m，则斜坡AP长度约为（点P、A、B、C、Q在同一个平面内，sin760.97
≈，cos760.22
≈，tan76 4.5
≈）（）
A．30m B．28m C．26m D．24m
11．如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AE⊥BD，垂足为F，则sin∠BDE的值是（）
A．1
5
B．
1
4
C．
1
3
D．
2
4
12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，若5
AC=，BC=2，则sin∠A的值为（）
A5B．
5
3
C．
2
3
D
25
二、填空题
13．函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图像如图所示，过点（﹣1，0），对称轴为x＝2，下列结论正确的是_____．
①4a+b＝0；
②24a+2b+3c<0；
③若A（﹣3，y1），B（﹣0.5，y2），C（3.5，y3）三点都在抛物线上，y1<y2<y3；
④当y1>﹣1时，y随x增大而增大．
14．若实数m 、n 满足m +n ＝2，则代数式2m 2+mn +m ﹣n 的最小值是_____．
15．将抛物线21:23C y x x =-+向左平移一个单位长度，得到抛物线2C ，抛物线2C 与抛
物线3C 关于y 轴对称，则抛物线3C 的表达式为____．
16．有五张正面分别标有数字32112---，
，，，的卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为a ，则使关于以x
为自变量的二次函数22(1)2y x a x a =-++-的图象不经过点(1,0)的概率是____．
17．如图，从A 地到B 地需经过C 地，现城市规划需修建一条从A 到B 的笔直道路，已知180AC 米，30CAB ∠=︒，45CBA ∠=︒，则道路改直后比原来缩短了___________米．（结果精确到1米，可能用到的数据：2 1.4≈，3 1.7≈）
18．在边长为4的菱形ABCD 中，∠A ＝60°，M 是AD 边的中点，若线段MA 绕点M 旋转得到线段MA ′，连接A ′C ，则A ′C 长度的最小值是________．
19．小明为了测量一个小湖泊两岸的两棵树A 、B 之间的距离，在垂直AB 的方向BC 上确定点C ，测得BC ＝45m ，∠C ＝40°，从而计算出AB 之间的距离．则AB ＝
_______________．（精确到0.1m ）（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）
20．如图，在△ABC 中，AD 是BC 上的高，tan B ＝cos ∠DAC ，若sin C ＝1213
，BC ＝12，则AD 的长_____．
三、解答题
21．平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y x bx c =++经过()21,21m m -++､()20,22m m ++两点，其中m 为常数．
（1）求b 的值，并用含m 的代数式表示c ；
（2）若抛物线2y x bx c =++与x 轴有公共点，求m 的值；
（3）设()1,a y ､()22,a y +是抛物线2y x bx c =++上的两点，请比较2y 与1y 的大小，
并说明理由．
22．喜迎元旦，某商店销售一种进价为50元/件的商品，售价为60元/件，每星期可卖出200件，若每件商品的售价每上涨1元，则每星期就会少卖出10件．
（1）假设设每件商品的售价上涨x 元（x 为正整数），每星期销售该商品的利润为y 元，求y 与x 之间的函数关系式．
（2）每件商品的售价上涨多少元时，该商店每星期销售这种商品可获得最大利润?此时，该商品的定价为多少元?获得的最大利润为多少?
23．某超市经销一种商品，每千克成本为50元．试销发现该种商品每天销售量y （千克）与销售单价x （元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价、销售量的四组对应值如表所示： 销售单价x （元/千克）
55 60 n 70 销售量y （千克） 70 m 50 40
y x
（2）为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？
（3）当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？
24．如图，在矩形ABCD 中，BE 交AD 于点E 且平分∠ABC ，对角线BD 平分∠EBC ．
（1）求DE AE
的值． （2）求tan ABD ∠．
25．如图，在矩形ABCD 中，5AB =，8BC =，点E ，F 分别为AB ，CD 的中点．
（1）求证：四边形AEFD 是矩形；
（2）如图，点P 是边AD 上一点，BP 交EF 于点O ，点A 关于BP 的对称点为点M ，当点M 落在线段EF 上时，则有OB OM =．请说明理由；
（3）如图，若点P 是射线AD 上一个动点，点A 关于BP 的对称点为点M ，连接AM ，DM ，当AMD 是等腰三角形时，求AP 的长．
26．为了方便市民出行，县政府决定从“七星广场”河堤到对岸修建一座便民桥．为测量河的宽度，在河的对岸取一点A ，在广场河边取两点,O B 测得点A 在点O 的北偏东60︒方向，测得点A 在点B 北偏东45︒方向，量得OB 长为50米，求河的宽度AC （结果保留根号）
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一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
由已知可知对称轴为x ＝0，从而确定函数解析式y ＝ax 2+bx +c 中，b ＝0，由选项入手即可．
【详解】
解：二次函数的对称轴为y 轴，
则函数对称轴为x ＝0，
即函数解析式y ＝ax 2+bx +c 中，b ＝0，
故选：C ．
【点睛】
本题考查二次函数的性质；熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
2．D
解析：D
【分析】
由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，利用图象判断1，-1，2所对应的y 的值，进而对所得结论进行判断．
【详解】
解：①∵由函数图象开口向下可知，a ＜0，由函数的对称轴12b a -
>-，故12b a <， ∵a ＜0，
∴b ＞2a ，
∴2a -b ＜0，①正确；
②∵a ＜0，对称轴在y 轴左侧，a ，b 同号，图象与y 轴交于负半轴，则c ＜0，故abc ＜0；②正确；
③当x=1时，y=a+b+c ＜0，③正确；
④当x=-1时，y=a -b+c ＜0，④错误；
⑤当x=2时，y=4a+2b+c ＜0，⑤错误；
⑥∵图象与x 轴无交点，
∴b 2-4ac ＜0，⑥正确；
故正确的有①②③⑥，共4个．
故选：D ．
【点睛】
此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，熟练利用数形结合得出是解题关键． 3．C
解析：C
【分析】
根据图象，直接代入计算即可解答
【详解】
解：由图可知，当x=4时，函数取得最小值y 最小值=-2×16+3=-29．
故选：C ．
【点睛】
本题考查二次函数最小（大）值的求法．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．
4．A
解析：A
【分析】
画出函数图象，利用图象法解决问题即可；
【详解】
解：∵抛物线的对称轴为422
x -=-
=， 抛物线与x 轴交于点A 、B ．如图，
设点A 、B 的横坐标分别为12x x 、，
124x x +=，2121x x m =+，
∴()()()
22212121241641x x x x x x m -=+-=-+， ∵210m +>，
∴()2
12x x -的最小值为16， ∴AB ＜4，
∵当自变量x 取a 时，其相应的函数值y ＜0，
∴可知a 表示的点在A 、B 之间，
∴40a -<，
故选：A ．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键． 5．C
解析：C
【分析】
由方程20ax bx c ++=的两个根为11x =，25x =-方程变为2450ax ax a +-=，比较系数得4=5b a c a =-，，①()2
45200bc a a a =⋅-=-<，故①不正确，②4b a =正确，③80a b c a -+=->③正确，④54b c +换成a 计算即可确定④正确．
【详解】
解：二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象开口向下，0a <，
∵方程20ax bx c ++=的两个根为11x =，25x =-，
∴()()150a x x -+=，
∴2450ax ax a +-=，
比较系数得：4=5b a c a =-，，
①()2
45200bc a a a =⋅-=-<，故①不正确， ②4b a =正确，
③4580a b c a a a a -+=--=->，③正确，
④()54=544520200b c a a a a +⨯+⨯-=-=，④正确．
故选择：C ．
【点睛】
本题考查一元二次方程的根与系数关系，二次函数的性质，掌握一元二次方程的根与系数关系，二次函数的性质，解题关键是找出b,c 与a 的关系．
6．D
解析：D
【分析】 作出函数2
23y x x =+-及一次函数y x m =-+的图象，根据图象性质讨论即可求出． 【详解】
解：如图：
函数2
23y x x =+-，当0y =时，1x =或3-， ()()3010A B ∴-，，，，
当31x -<<时，2
23y x x =--+，
当直线过点A 时，1个交点，此时()03m =--+，
即3m =-，
当3m >-时，有2个交点，
当直线过点B 时，有3个交点，此时01m =-+，即1m =， ∴1m <时有2个交点，
31m ∴-<<，
当直线与抛物线相切时，有3个交点，
223y x x y x m
⎧=--+∴⎨=-+⎩， 由()1430m =--+=， 解得：134
m =， 134
m ∴>时有2个交点， 综上所述，31m -<<或134
m >
． 【点睛】 本题考查了一次函数与二次函数的交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 7．C
解析：C
【分析】
过点D 作DE ⊥AB ，垂足为E ，则四边形ACDE 为矩形，AE=CD=6米，AC=DE ．设BE=x 米，先解Rt △BDE ，得出3米，3x 米，再解Rt △ABC ，得出AB=3x 米，然后根据AB-BE=AE ，列出关于x 的方程，解方程即可．
【详解】
解：过点D 作DE ⊥AB ，垂足为E ，
由题意可知，四边形ACDE 为矩形，
则AE=CD=6米，AC=DE ．
设BE=x 米．
∵在Rt △BDE 中，∠BED=90°，∠BDE=30°，
∴DE=3tan 30BE =︒3米， ∴3x 米．
∵在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，∠ACB=60°，
∴AB=tan 603AC AC ︒=33米，
∵AB-BE=AE ，
∴3x-x=6，
∴x=3，
AB=3×3=9（米）．
即旗杆AB 的高度为9米．
故选：C ．
【点睛】
此题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键． 8．C
解析：C
【分析】 根据勾股定理求出42BC =
【详解】
∵在Rt ABC 中，90C ∠=︒，2AC =，6AB =， ∴42BC = ∴4222sin BC A AB ===，故A 错误；
22cos sin 3B A ==，故B 错误； 42tan 222===BC A AC ，故C 正确； 22tan 42===AC B BC ，故D 错误； 故选：C ．
【点睛】
本题主要考查了解直角三角形，结合勾股定理进行计算是解题的关键．
9．A
解析：A
【分析】
在Rt △ABC 中，先根据三角函数求出5tan 12
α=
，再通过解直角三角形求出BC 即可． 【详解】
解：如图，在Rt △ABC 中，
∵5sin 13α=
， ∴5tan 12α=
， ∴5tan 12
BC AC α==， ∵12AC =米，
∴55×12=51212
BC AC =
=米． 故选：A ．
【点睛】 此题主要考查解直角三角形，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
10．C
解析：C
【分析】
先延长BC 交PD 于点D ，在Rt △ABC 中，tan76°=BC AC
，BC=18求出AC ，根据BC ⊥AC ，AC ∥PD ，得出BE ⊥PD ，四边形AHEC 是矩形，再根据∠BPD=45°，得出PD=BD ，过点A 作
AH ⊥PD ，根据斜坡AP 的坡度为1：2.4，得出512AH HP =，设AH=5k ，则PH=12k ，AP=13k ，由PD=BD ，列方程求出k 的值即可．
【详解】
解：延长BC 交PQ 于点D ．
∵BC ⊥AC ，AC ∥PQ ，
∴BD ⊥PQ ．
∴四边形AHDC 是矩形，CD=AH ，AC=DH ．
∵∠BPD=45°，
∴PD=BD ． 在Rt △ABC 中，tan76°=
BC AC
，BC=18米， ∴AC=4（米）．
过点A 作AH ⊥PQ ，垂足为点H ．
∵斜坡AP 的坡度为1：2.4， ∴
512
AH HP =，设AH=5k ，则PH=12k ， 由勾股定理，得AP=13k ．
由PH+HD=BC+CD 得：
12k+4=5k+18，
解得：k=2，
∴AP=13k=26（米）．
故选：C ．
【点睛】
此题考查了解直角三角形，用到的知识点是勾股定理、锐角三角函数、坡度与坡角等，关键是做出辅助线，构造直角三角形．
11．C
解析：C
【分析】
由矩形的性质可得AB ＝CD ，AD ＝BC ，AD ∥BC ，可得BE ＝CE ＝12BC ＝12
AD ，由全等三角形的性质可得AE ＝DE ，由相似三角形的性质可得AF ＝2EF ，由勾股定理可求DF 的长，即
可求sin ∠BDE 的值．
【详解】
∵四边形ABCD 是矩形
∴AB ＝CD ，AD ＝BC ，AD ∥BC
∵点E 是边BC 的中点，
∴BE ＝CE ＝12BC ＝12
AD ， ∵AB ＝CD ，BE ＝CE ，∠ABC ＝∠DCB ＝90°
∴△ABE ≌△DCE （SAS ）
∴AE ＝DE
∵AD ∥BC
∴△ADF ∽△EBF ∴
AF AD =EF BE
＝2 ∴AF ＝2EF ， ∴AE ＝3EF ＝DE ，
∴ sin ∠BDE ＝
EF 1=DE 3
， 故选C ．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形的运用，熟练运用相似三角形的判定和性质是本题的关键． 12．C
解析：C
【分析】
先利用勾股定理求出AB 的长，然后再求sin ∠A 的大小．
【详解】
解：∵在Rt △ABC 中，AC =
BC=2
∴3=
∴sin ∠A=
23
BC AB = 故选：C ．
【点睛】 本题考查锐角三角形的三角函数和勾股定理，需要注意求三角函数时，一定要是在直角三角形当中．
第II 卷（非选择题）
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二、填空题
13．①②③【分析】由抛物线的对称轴可判断①；由①可得出过点（﹣
10）代入可得出c ＝﹣5a 代入化简即可判断②；根据二次函数的增减性知抛物线上点离对称轴水平距离越小函数值越大据此可判断③；由抛物线的图像的增 解析：①②③
【分析】
由抛物线的对称轴可判断①；由①可得出=4b a -，过点（﹣1，0），代入可得出c ＝﹣5a ，代入化简即可判断②；根据二次函数的增减性知抛物线上点离对称轴水平距离越小，函数值越大，据此可判断③；由抛物线的图像的增减性直接判断④．
【详解】
函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的对称轴2b x a =-
， ∵ 对称轴2x =， ∴=22b a
-， ∴=4b a -，
∴ 4+=0a b ，
故①正确；
有图可知，a ＜0，
∴=4b a -，
∴ 2=8b a -，
过点（﹣1，0），
∴ a-b+c ＝0，
∴ b=a+c ，
即a+c=﹣4a ，
∴ c ＝﹣5a ，
∴24a +2b +3c ＝24a －8a －15a ＝a ＜0，
故②正确；
当x ＝0时，y ＝c ，
∵A （﹣3，y 1），B （﹣0.5，y 2），C （3.5，y 3）三点都在抛物线上，
点A 与2x =的水平距离为5，
点B 与2x =的水平距离为2.5，
点C 与2x =的水平距离为1.5，
∵5＞2.5＞1.5，
∴ 123y y y <<，
故③正确；
有图可知，当11y >-，y 随x 增大先增大后减小，
故④不正确；
综上，正确的有：①②③．
故答案为：①②③．
【点睛】
本题考查的是二次函数图象与系数的关系，要求学生熟悉函数的基本性质，能熟练求解函数与坐标轴的交点及顶点的坐标等．
14．﹣6【分析】设y=2m2+mn+m-n 由m+n=2得n=2-m 再由二次函数的性质即可解决问题【详解】设y ＝2m2+mn+m ﹣n ∵m+n ＝2∴n ＝2﹣m ∴y ＝2m2+m （2﹣m ）+m ﹣（2﹣m ）＝m2
解析：﹣6．
【分析】
设y=2m 2+mn+m-n ，由m+n=2得n=2-m ，再由二次函数的性质即可解决问题．
【详解】
设y ＝2m 2+mn +m ﹣n ，
∵m +n ＝2，
∴n ＝2﹣m ，
∴y ＝2m 2+m （2﹣m ）+m ﹣（2﹣m ）＝m 2+4m ﹣2＝（m +2）2﹣6，
此为一个二次函数，开口向上，有最小值，
当m ＝﹣2时，y 有最小值为﹣6，
故答案为：﹣6．
【点睛】
本题考查了二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
15．【分析】根据抛物线的解析式得到顶点坐标根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得抛物线的顶点坐标而根据关于y 轴对称的两条抛物线的顶点的纵坐标相等横坐标互为相反数由此可得到抛物线所对应的函数表达式【详解 解析：22y x =+
【分析】
根据抛物线1C 的解析式得到顶点坐标，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得抛物线 2C 的顶点坐标，而根据关于y 轴对称的两条抛物线的顶点的纵坐标相等，横坐标互为相反数，由此可得到抛物线3C 所对应的函数表达式．
【详解】
抛物线1C ：22
23=(1)2y x x x =-+-+， ∴抛物线1C 的顶点为（1,2），
向左平移一个单位长度，得到抛物线2C ，
∴抛物线2C 的顶点为（0,2），
抛物线2C 与抛物线3C 关于y 轴对称，
∴抛物线3C 的开口方向相同，顶点为（0,2），
∴抛物线3C 的解析式为22y x =+．
故答案为22y x =+．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的图像的平移问题，只需看顶点坐标是如何平移得到的即可，关于y 轴对称的两条抛物线的顶点的纵坐标相等，横坐标互为相反数，难度适中． 16．【分析】把点的坐标代入解析式转化为a 的一元二次方程确定方程的根从给出的数字中扣除方程的根就是符合题意的a 值计算概率即可【详解】当二次函数的图象经过点时得解得所以符合题意的a 值有-3-12共三个所以二 解析：35
【分析】
把点的坐标代入解析式，转化为a 的一元二次方程，确定方程的根，从给出的数字中扣除方程的根就是符合题意的a 值，计算概率即可.
【详解】
当二次函数22(1)2y x a x a =-++-的图象经过点(1,0)时，
得 220a a +-=，
解得 122,1a a =-=，
所以符合题意的a 值有-3，-1,2，共三个，
所以二次函数22(1)2y x a x a =-++-的图象不经过点(1,0)的概率是35
， 故答案为：
35
. 【点睛】 本题考查了简单事件的概率计算、二次函数，利用二次函数的图象过点的意义，判定符合题意的a 值是解题的关键．
17．【分析】过点C 作CD ⊥AB 垂足为D 计算BCAB 的长度比较AC+BC 与AB 的大小即可【详解】如图过点C 作CD ⊥AB 垂足为D ∵米
∴DC=BD=90AD=90BC=90∴AC+BC=180+90≈306A
解析：【分析】
过点C 作CD ⊥AB ，垂足为D ，计算BC ，AB 的长度，比较AC+BC 与AB 的大小即可.
【详解】
如图，过点C 作CD ⊥AB ，垂足为D ，
∵180AC 米，30CAB ∠=︒，45CBA ∠=︒，
∴DC=BD=90，，
∴
≈306，
，
∴缩短了：306-243=63（米），
故答案为：63米.
【点睛】
本题考查了解斜三角形，学会作高化，把斜三角形化为直角三角形，并熟练运用特殊角的三角函数值是解题的关键.
18．【分析】根据题意在MA的运动过程中A在以M为圆心AD为直径的圆上的弧AD上运动当AC取最小值时由两点之间线段最短知此时MAC三点共线得出A的位置进而利用锐角三角函数关系求出AC的长即可【详解】如图作
解析：272
-
【分析】
根据题意，在MA'的运动过程中，A'在以M为圆心、AD为直径的圆上的弧AD上运动，当A'C取最小值时，由两点之间线段最短知此时M、A'、C三点共线，得出A'的位置，进而利用锐角三角函数关系求出A'C的长即可.
【详解】
如图，作ME⊥CD于点E.
∵M是AD边的中点，
∴MA=2
∵线段M A绕点M旋转得线段MA'.
∴MA'=2
∵菱形ABCD中，∠A＝60°
∴∠EDM =60°，
在直角△MDE中，
DE= MD · cos ∠EDM=1
21 2
⨯=
ME =MD · sin ∠3
3
则EC =CD＋ED=4+1=5在直角△CEM中
==当A'在MC 上时，A'C 最小，
则A'C 长度的最小值是-2
故答案为：
【点睛】
此题主要考查了菱形的性质以及锐角三角函数关系等知识，得出A'点位置是解题关键. 19．8m 【分析】根据题意可知在直角三角形ABC 中利用根据已知条件代入从而可以求得AB 的长【详解】由题意知：则为直角三角形在中∵BC ＝45m ∴∴m 故答案为：378m 【点睛】本题考查解直角三角形的应用解题的
解析：8m ．
【分析】
根据题意可知AB BC ⊥，在直角三角形ABC 中，利用tan AB C BC =
，根据已知条件代入，从而可以求得AB 的长．
【详解】
由题意知：AB BC ⊥，
则ABC 为直角三角形，
在Rt ABC 中，tan AB C BC ∠=
， ∵BC ＝45m ，40C ∠=︒，
∴·tan 40450.84AB BC =︒≈⨯，
∴37.8AB =m ，
故答案为：37.8m ．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答问题． 20．8【分析】在Rt △ADC 中利用正弦的定义得sinC ＝＝则可设AD ＝12x 所以AC ＝13x 利用勾股定理计算出DC ＝5x 由于cos ∠DAC ＝sinC 得到tanB ＝接着在Rt △ABD 中利用正切的定义得到B
解析：8
【分析】
在Rt △ADC 中，利用正弦的定义得sin C ＝AD AC ＝1213
，则可设AD ＝12x ，所以AC ＝13x ，利用勾股定理计算出DC ＝5x ，由于cos ∠DAC ＝sin C 得到tan B ＝
1213，接着在Rt △ABD 中利用正切的定义得到BD ＝13x ，所以13x +5x ＝12，解得x ＝
23
，然后利用AD ＝12x 进行计算． 【详解】
在Rt △ADC 中，sin C ＝
AD AC ＝1213
， 设AD ＝12x ，则AC ＝13x ， ∴DC
＝5x ，
∵cos ∠DAC ＝sin C ＝
1213， ∴tan B ＝1213
， 在Rt △ABD 中，∵tan B ＝
AD BD ＝1213， 而AD ＝12x ，
∴BD ＝13x ，
∴13x +5x ＝12，解得x ＝
23
， ∴AD ＝12x ＝8．
故答案为8．
【点睛】 本题主要考查解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义，是解题的关键．
三、解答题
21．（1）b =2，c =m 2+2m +2；（2）m =-1；（3）见解析
【分析】
（1）由抛物线上两点代入抛物线解析式中即可求出b 和c ；
（2）令y =0，抛物线和x 轴有公共点，即△≥0，再结合非负数的性质确定出m 的值， （3）将两点代入抛物线解析式中，表示出y 1，y 2，求出y 2-y 1分情况讨论即可
【详解】
解：（1）∵抛物线y =x 2+bx +c 经过（-1，m 2+2m +1）、（0，m 2+2m +2）两点， ∴2212122
b c m m c m m ⎧-+=++⎨=++⎩， ∴2222b c m m =⎧⎨=++⎩
， 即：b =2，c =m 2+2m +2；
（2）由（1）得y =x 2+2x +m 2+2m +2，
令y =0，得x 2+2x +m 2+2m +2=0，
∵抛物线与x 轴有公共点，
∴△=4-4（m 2+2m +2）≥0，
∴（m +1）2≤0，
∵（m +1）2≥0，
∴m +1=0，
∴m =-1；
（3）由（1）得，y =x 2+2x +m 2+2m +2，
∵（a ，y 1）、（a +2，y 2）是抛物线的图象上的两点，
∴y 1=a 2+2a +m 2+2m +2，y 2=（a +2）2+2（a +2）+m 2+2m +2，
∴y 2-y 1=[（a +2）2+2（a +2）+m 2+2m +2]-[a 2+2a +m 2+2m +2]
=4（a +2）
当a +2≥0，即a ≥-2时，y 2-y 1≥0，即y 2≥y 1，
当a +2＜0，即a ＜-2时，y 2-y 1＜0，即y 2<y 1．
【点睛】
此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，抛物线与x 轴的交点，比较代数式的大小，解本题的关键是求出b ，用m 表示出抛物线解析式，难点是分类讨论．
22．（1）2101002000(020)y x x x =-++≤<；（2）每件商品的售价上涨5元时，该商店每星期销售这种商品可获得最大利润，此时，该商品的定价为65元，获得的最大利润为2250元
【分析】
（1）根据题意，得出每件商品的利润以及商品总的销量，即可得出y 与x 的函数关系式； （2）根据二次函数的性质即可得到结论．
【详解】
（1）(6050)(20010)y x x =-+-
2(10)(20010)101002000(020)x x x x x =+-=-++≤<．
（2）2210100200010(52250y x x x =-++=--+)
所以，当5x =时，y 取得最大值为2250．
答：每件商品的售价上涨5元时，该商店每星期销售这种商品可获得最大利润，此时，该商品的定价为65元，获得的最大利润为2250元．
【点睛】
此题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，根据每天的利润=一件的利润⨯销售量，建立函数关系式，借助二次函数解决实际问题是解题关键．
23．（1）2180y x =-+；（2）60元或80元；（3）70元，最大利润800元
【分析】
（1）利用待定系数法来求一次函数的解析式即可；
（2）依题意可列出关于销售单价x 的方程，然后解一元二次方程组即可；
（3）利用每件的利润乘以销售量可得总利润，然后根据二次函数的性质来进行计算即可．
【详解】
解：（1）设y 与x 之间的函数表达式为y=kx+b （k≠0），将表中数据（55，70）、（70，40）代入得：
55707040k b k b +⎧⎨+⎩
＝＝， 解得：2180k b -⎧⎨⎩
＝＝． ∴y 与x 之间的函数表达式为y=-2x+180．
（2）由题意得：（x-50）（-2x+180）=600，
整理得：x 2-140x+4800=0，
解得x 1=60，x 2=80．
答：为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为60元/千克或80元/千克．
（3）设当天的销售利润为w 元，则：
w=（x-50）（-2x+180）
=-2（x-70）2+800，
∵-2＜0，
∴当x=70时，w 最大值=800．
答：当销售单价定为70元/千克时，才能使当天的销售利润最大，最大利润是800元．
【点睛】
本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、一元二次方程和二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系是解题的关键．
24．（1
；（2
1
【分析】
（1）证明△ABE
是等腰直角三角形得BE =
，再证明∠EBD EDB =∠得BE=DE ，从而可得结论；
（2）设AB AE m ==
，则BE DE ==
，再求出AD 的长，最后求出tan ABD ∠的值
即可．
【详解】
解：（1）∵四边形ABCD 是矩形
∴∠90,//ABC BAD AD BC =∠=︒
∵BE 平分∠ABC ， ∴∠45ABE =︒
∴△ABE 是等腰直角三角形，
∴BE =
∵BD 平分∠EBC
∴∠EBD CBD =∠
∵//AD BC
∴∠EDB CBD =∠
∴∠EBD EDB =∠
∴BE DE =
∴DE BE AE AE
==（2）由（1）知，AB AE =
设AB AE m ==，则BE DE ==
∴1)AD AE DE m =+=
在Rt ABD ∆中，
tan 1AD ABD AB
∠=
=． 【点睛】
此题主要考查了矩形的性质，等三角形的判定以及垗角的正切值，证明BE =
是解答此题的关键．
25．（1）见解析；（2）见解析；（3）
52或203
或8或10． 【分析】 （1）由矩形的性质得到,//,90AB CD AB CD A =∠=︒，继而由一组对边平行且相等证明四边形AEFD 是平行四边形，再根据有一个直角的平行四边形是矩形即可解题； （2）由矩形的性质结合翻折的性质解题即可；
（3）分四种情况讨论，①当MA MD =时，②当MD AD =时，③当DA DM =时，④当MA MD =时，分别解题即可．
【详解】
（1）证明：四边形ABCD 是矩形，
,//,90AB CD AB CD A ∴=∠=︒
,AE EB DF FC ==
,//AE DF AE DF ∴=
∴四边形AEFD 是平行四边形
90A ∠=︒
∴四边形AEFD 是矩形；
（2）证明：如图，连接,PM BM
四边形AEFD 是矩形，
//EF AD ∴
BE AE =
BO OP ∴=
由翻折可知，90PMB A ∠=∠=︒
OM OB OP ∴==；
（3）①当MA MD =时，连接BM ，过M 作MH AD ⊥于H ，交BC 于F ， ,MA MD MH AD =⊥
4AH HD ∴==
90BAH ABF AHF ∠=∠=∠=︒
∴四边形是ABFH 矩形，
4,5BF AH AB FH ∴====
90BFM ∴∠=︒
5BM BA == 2222543FM BM BF ∴=-=-=
532HM HF FM ∴=-=-=
90,90ABP APB MAH APB ∠+∠=︒∠+∠=︒
ABP MAH ∴∠=∠ 90BAP AHM ∠=∠=︒
ABP HAM ∴
AP AB HM AH
∴= 524
AP ∴= 52
AP ∴=；
②当AM AD =时，连接BM ，设BP 交AM 于F ，
8,5,AD AM BA BM BF AM ====⊥
4AF FM ∴==
2222543BF AB AF ∴=-=-=
tan AP AF ABF AB BF ∠=
= 453
AP ∴= 203AP ∴=
；
③当DA DM =时，此时P 点与D 点重合，
8AP =；
④当MA MD =时，连接BM ，过点M 作MH AD ⊥于H ，交BC 于F ， 5,4BM BF ==
3,358FM HM ∴==+=
ABP HAM
AP AB HM AH
= 584
AP ∴
= 10AP ∴=；
综上所述，满足条件的AP 的值为
52或203
或8或10． 【点睛】 本题考查四边形综合题，涉及矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、正切当知识，是重要考点，有一定难度，掌握相关知识是解题关键．
26．河的宽度AC 为
(25253+米
【分析】
根据点A 在点B 北偏东45°方向，结合方位角的知识可证AC BC =，利用三角函数解直角三角形，列关出方程，解方程即可．
【详解】
根据题意，有30,45AOC ABC ∠=︒∠=︒， 又
90ACB ∠=︒
所以BC AC =， 在Rt AOC ∆中，tan AC AOC OC ∠=，即tan 30AC OC ︒= 设AC x =米，则BC x =米， 由题意得
350x x =+解得31
x =-化简得25253x =+
∴河的宽度AC 为(25253+米.
【点睛】
本题考查了解直角三角形的实际应用，熟记特殊角的三角函数值，灵活运用方位角的知识，规范解直角三角形是解题关键．。