浙教新版九年级数学上册《第1章二次函数》单元测试(有答案)

浙教新版九年级数学上册《第1章二次函数》单元测试（有答案）
于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（）A．有最大值2，无最小值 B．有最大值2，有最小值1.5 C．有最大值2，有最小值﹣2 D．有最大值1.5，有最小值﹣2 7．（4分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，
那么关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个解为（）
A．﹣1，3 B．﹣2，3 C．1，3 D．3，4
8．（4分）如图，抛物线y=﹣x2+2x+m+1交x轴于点A（a，
0）和点B（b，0），交y轴于点C，抛物线的顶点为D．下
列四个判断：
①当x＞0时，y＞0；
②若a=﹣1，则b=4；
③抛物线上有两点P（x
1，y
1
）和Q（x
2
，y
2
），若x
1
＜1＜x
2
，
且x
1+x
2
＞2，则y
1
＞y
2
；
④若AB＞2，则m＜﹣1．
其中正确判断的序号是（）
A．① B．② C．③ D．④
9．（4分）当a≤x≤a+1时，函数y=x2﹣2x+1的最小值为1，则a的值为（）A．﹣1 B．2 C．0或2 D．﹣1或2
10．（4分）如图，△ABC为直角三角形，∠C=90°，BC=2cm，
∠A=30°，四边形DEFG为矩形，，EF=6cm，且
点C、B、E、F在同一条直线上，点B与点E重合．Rt△ABC
以每秒1cm的速度沿矩形DEFG的边EF向右平移，当点C
与点F重合时停止．设Rt△ABC与矩形DEFG的重叠部分的面积为ycm2，运动时间xs．能反映ycm2与xs之间函数关系的大致图象是（）
A． B．C． D．
二．填空题（共5小题，满分25分）
11．（5分）二次函数y=x2﹣2x﹣3中，当自变量x 时，函数值y随x的
增大而增大．
12．（5分）把抛物线y=ax2+bx+c的图象先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，所得的图象的解析式是y=（x﹣3）2+5，则a+b+c= ．
13．（5分）已知函数y=x2﹣2019x+2019与x轴的交点为（m，0），（n，0），则（m2﹣2019m+2019）（n2﹣2019n+2019）= ．
14．（5分）点A（﹣3，y
1），B（2，y
2
），C（3，y
3
）在抛物线y=2x2﹣4x+c
上，则y
1，y
2
，y
3
的大小关系是．
15．（5分）某快递公司十月份快递件数是10万件，如果该公司第四季度每个月快递件数的增长率都为x（x＞0），十二月份的快递件数为y万件，那么y关于x的函数解析式是．
三．解答题（共6小题，满分85分）
16．（12分）如图，已知抛物线y=ax2﹣x+c经过点
Q （﹣2，4），且它的顶点P的横坐标为﹣1．设抛
物线与x轴相交于A，B两点，
（1）求抛物线的解析式；
（2）求A，B两点的坐标；
（3）设PB与y轴交于C点，求△ABC的面积．
17．（12分）已知抛物线y=﹣x2+bx﹣c的部分图象
如图所示．
（1）求b，c的值；
（2）分别求出抛物线的对称轴和y的最大值；
（3）写出当y＞0时，x的取值范围．
18．（15分）如图，已知二次函数y=﹣x2+bx+c（c
＞0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的
左侧），与y轴交于点C，且OB=OC=3，顶点为M．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点P为线段BM上的一个动点，过点P作x轴
的垂线PQ，垂足为Q，若OQ=m，四边形ACPQ的面
积为S，求S关于m的函数解析式，并写出m的取值范围；
（3）探索：线段BM上是否存在点N，使△NMC为等腰三角形？如果存在，求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由．
19．（14分）某商场将每件进价为80元的某种商品按每件100元出售，一天可售出100件．后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件．
（1）若商场经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价多少元？（2）设后来该商品每件降价x元，商场一天可获利润y元．求出y与x之间的函数关系式，并求当x取何值时，商场获利润最大？
20．（16分）如图所示，已知在直角梯形OABC
中，AB∥OC，BC⊥x轴于点C．A（1，1）、B
（3，1）．动点P从O点出发，沿x轴正方向
以每秒1个单位长度的速度移动．过P点作PQ
垂直于直线OA，垂足为Q，设P点移动的时间
为t秒（0＜t＜4），△OPQ与直角梯形OABC
重叠部分的面积为S．
（1）求经过O、A、B三点的抛物线解析式；
（2）求S与t的函数关系式；
（3）将△OPQ绕着点P顺时针旋转90°，是否存t，使得△OPQ的顶点O或Q 在抛物线上？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
21．（16分）如图，平面直角坐标系中，点
A、B、C在x轴上，点D、E在y轴上，OA=OD=2，
OC=OE=4，B为线段OA的中点，直线AD与经
过B、E、C三点的抛物线交于F、G两点，与
其对称轴交于M，点P为线段FG上一个动点
（与F、G不重合），PQ∥y轴与抛物线交于
点Q．
（1）求经过B、E、C三点的抛物线的解析式；
（2）判断△BDC的形状，并给出证明；当P
在什么位置时，以P、O、C为顶点的三角形是等腰三角形，并求出此时点P的
坐标；
（3）若抛物线的顶点为N，连接QN，探究四边形PMNQ的形状：①能否成为菱形；②能否成为等腰梯形？若能，请直接写出点P的坐标；若不能，请说明理由．
参考答案
一．选择题
1．D．
2．A．
3．B．
4．C．
5．A．
6．C．
7．A．
8．C．
9．D．
10．A．
二．填空题
11．x＞1
12．7．
13．0．
14．y
2＜y
3
＜y
1
．
15．y=10（x+1）2
三．解答题
16．解：（1）把Q（﹣2，4）代入抛物线解析式得：4a+2+c=4①，根据顶点坐标公式得：x=﹣=﹣1，即a=﹣②，
把②代入①得：c=4，
则抛物线解析式为y=﹣x2﹣x+4；
（2）对于抛物线解析式为y=﹣x2﹣x+4，
令y=0，得到﹣x2﹣x+4=0，
整理得：x2+2x﹣8=0，即（x﹣2）（x+4）=0，
解得：x=2或x=﹣4，
则A（﹣4，0），B（2，0）；
（3）设直线PB解析式为y=kx+b，
把P（﹣1，），B（2，0）代入得：，
解得：，
∴直线PB解析式为y=x﹣3，
令x=0，得到y=﹣3，即C（0，﹣3），OC=3，
∵AB=2﹣（﹣4）=2+4=6，
∴S
△ABC
=×AB×OC=9．
17．解：（1）由题意可得，c=﹣3，
则y=﹣x2+bx+3，当x=1，y=0时，b=﹣2，
即b=﹣2，c=﹣3；
（2）函数的解析式为y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，抛物线的对称轴是x=﹣1，y的最大值为4；
（3）当y=0时，x
1=1，x
2
=﹣3，
即当﹣3＜x＜1时，y＞0．
18．解：（1）∵OB=OC=3，
∴B（3，0），C（0，3）
解得1分
∴二次函数的解析式为y=﹣x2+2x+3；
（2）y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，M（1，4）设直线MB的解析式为y=kx+n，
则有
解得
∴直线MB的解析式为y=﹣2x+6∵PQ⊥x轴，OQ=m，
∴点P的坐标为（m，﹣2m+6）
S
四边形ACPQ =S
△AOC
+S
梯形PQOC
=AO•CO+（PQ+CO）•OQ（1≤m＜3）
=×1×3+（﹣2m+6+3）•m=﹣m2+m+；
（3）线段BM上存在点N（，），（2，2），（1+，4﹣）使△NMC 为等腰三角形
CM=，CN=，MN=
①当CM=NC时，，
解得x
1=，x
2
=1（舍去）
此时N（，）
②当CM=MN时，，
解得x
1=1+，x
2
=1﹣（舍去），
此时N（1+，4﹣）
③当CN=MN时， =
解得x=2，此时N（2，2）．
19．解：（1）依题意得：（100﹣80﹣x）（100+10x）=2160，即x2﹣10x+16=0，
解得：x
1=2，x
2
=8，
经检验：x
1=2，x
2
=8，
答：商店经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价2元或8元；（2）依题意得：y=（100﹣80﹣x）（100+10x）
=﹣10x2+100x+2019
=﹣10（x﹣5）2+2250，
∵﹣10＜0，
∴当x=5时，y取得最大值为2250元．
答：y=﹣10x2+100x+2019，当x=5时，商场获取最大利润为2250元．20．解：（1）解法一：由图象可知：抛物线经过原点，
设抛物线解析式为y=ax2+bx（a≠0）．
把A（1，1），B（3，1）代入上式得，
解得，
∴所求抛物线解析式为y=﹣x2+x；
解法二：∵A（1，1），B（3，1），∴抛物线的对称轴是直线x=2．设抛物线解析式为y=a（x﹣2）2+h（a≠0），
把O（0，0），A（1，1）代入得
解得∴所求抛物线解析式为：y=﹣（x﹣2）2+．
（2）分三种情况：
，过点A作AF⊥x轴于点F，①当0＜t≤2，重叠部分的面积是S
△OPQ
∵A（1，1），在Rt△OAF中，AF=OF=1，∠A OF=45°，
在Rt△OPQ中，OP=t，∠OPQ=∠QOP=45°，
∴PQ=OQ=tcos45°=t，
∴S=（t）2=t2．
②当2＜t≤3，设PQ交AB于点G，
作GH⊥x轴于点H，∠OPQ=∠QOP=45°，则四边形OAGP是等腰梯形，重叠部分的面积是S
．
梯形OAGP
∴AG=FH=t﹣2，
∴S=（AG+OP）AF=（t+t﹣2）×1=t﹣1．
③当3＜t＜4，设PQ与AB交于点M，交BC于点N，重叠部分的面积是S
五边形OAMNC
．
因为△PNC和△BMN都是等腰直角三角形，
所以重叠部分的面积是S
五边形OAMNC =S
梯形OABC
﹣S
△BMN
．
∵B（3，1），OP=t，
∴PC=CN=t﹣3，
∴BM=BN=1﹣（t﹣3）=4﹣t，
∴S=（2+3）×1﹣（4﹣t）2 S=﹣t2+4t﹣；
（3）存在t
1=1，t
2
=2．
将△OPQ绕着点P顺时针旋转90°，此时Q（t+，），O（t，t）
①当点Q在抛物线上时， =×（t+）2+×（t+），解得t=2；
②当点O在抛物线上时，t=﹣t2+t，解得t=1．
21．解：（1）B（﹣1，0）E（0，4）C（4，0）设解析式是y=ax2+bx+c，可得，
解得，
∴y=﹣x2+3x+4；
（2）△BDC是直角三角形，
∵BD2=BO2+DO2=5，DC2=DO2+CO2=20，BC2=（BO+CO）2=25
∴BD2+DC2=BC2，
∴△BDC是直角三角形．
点A坐标是（﹣2，0），点D坐标是（0，2），
设直线AD的解析式是y=kx+b，则，
解得：，
则直线AD的解析式是y=x+2，
设点P坐标是（x，x+2）
当OP=OC时x2+（x+2）2=16，
解得：x=﹣1±（不符合，舍去）此时点P（﹣1+，1+）当PC=OC时（x+2）2+（4﹣x）2=16，方程无解；
当PO=PC时，点P在OC的中垂线上，
∴点P横坐标是2，得点P坐标是（2，4）；
∴当△POC是等腰三角形时，点P坐标是（﹣1+，1+）或（2，4）；（3）点M坐标是（，点N坐标是（），∴MN=，
设点P为（x，x+2），Q（x，﹣x2+3x+4），则PQ=﹣x2+2x+2
①若PQNM是菱形，则PQ=MN，可得x
1=0.5，x
2
=1.5
当x
2=1.5时，点P与点M重合；当x
1
=0.5时，可求得PM=，所以菱形不存在．
②能成为等腰梯形，作QH⊥MN于点H，作PJ⊥MN于点J，则NH=MJ，则﹣（﹣x2+3x+4）=x+2﹣，
解得：x=2.5，
此时点P的坐标是（2.5，4.5）．。