最新2019高中数学 课时分层作业3 任意角的三角函数的定义 新人教A版必修4

课时分层作业(三)任意角的三角函数的定义
(建议用时：40分钟)
[学业达标练]
一、选择题
1．sin(－1 380°)的值为( ) A ．－1
2
B ．12
C ．－
32
D ．
32
D [sin(－1 380°)＝sin(－4×360°＋60°)＝sin 60°＝
32
.] 2．已知角α终边上异于原点的一点P 且|PO |＝r ，则点P 的坐标为( )
【导学号：84352025】
A ．P (sin α，cos α)
B ．P (cos α，sin α)
C ．P (r sin α，r cos α)
D ．P (r cos α，r sin α)
D [设P (x ，y )，则sin α＝y
r ，∴y ＝r sin α，又cos α＝x r
，∴x ＝r cos α，∴P (r cos α，r sin α)，故选D.]
3．若cos α与tan α同号，那么α在( ) A ．第一、三象限 B ．第一、二象限 C ．第三、四象限
D ．第二、四象限
B [因为cos α与tan α同号，所以α在第一、二象限．] 4．有下列说法：
①终边相同的角的同名三角函数的值相等； ②终边不同的角的同名三角函数的值不等； ③若sin α＞0，则α是第一、二象限的角；
④若α是第二象限的角，且P (x ，y )是其终边上一点，则cos α＝－
x x 2＋y 2
，
其中正确的个数为( ) 【导学号：84352026】 A ．0 B ．1 C ．2
D ．3
B [①正确；②错误，如sin π6＝sin 5π
6；
③错误，如sin π
2
＝1＞0；
④错误，cos α＝
x x 2＋y 2
.所以B 选项是正确的．]
5．设△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，则下列各组数中有意义且均为正值的是( ) A ．tan A 与cos B B ．cos B 与sin C C ．sin C 与tan A
D ．tan A
2
与sin C
D [∵0＜A ＜π，∴0＜A 2＜π
2
，
∴tan A
2＞0；又∵0＜C ＜π，∴sin C ＞0.]
二、填空题
6．在平面直角坐标系中，以x 轴的非负半轴为角的始边，如果角α，β的终边分别与
单位圆交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫513，1213和⎝ ⎛⎭
⎪⎫－35，45，那么sin α·tan β＝________. －16
13 [由任意角的正弦、正切函数的定义知 sin α＝1213，tan β＝45－35＝－4
3
，
所以sin α·tan β＝1213×⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝－16
13
.]
7．点P (tan 2 018°，cos 2 018°)位于第________象限． 四 [因为2 018°＝5×360°＋218°， 所以2 018°与218°终边相同，是第三象限角， 所以tan 2 018°＞0，cos 2 018°＜0， 所以点P 位于第四象限．]
8．已知角α的终边经过点P (x ，－6)且cos α＝－4
5
，则x ＝________.
【导学号：84352027】
－8 [因为|OP |＝x 2
＋－2
＝x 2
＋36，
所以cos α＝x
x 2＋36
，又cos α＝－4
5，
所以
x
x 2＋36
＝－4
5，整理得x ＝－8.]
三、解答题 9．化简下列各式：
(1)sin 72π＋cos 52π＋cos(－5π)＋tan π4；
(2)a 2
sin 810°－b 2
cos 900°＋2ab tan 1 125°. [解] (1)原式＝sin 32π＋cos π
2＋cos π＋1
＝－1＋0－1＋1＝－1.
(2)原式＝a 2
sin 90°－b 2
cos 180°＋2ab tan 45°＝a 2
＋b 2
＋2ab ＝(a ＋b )2
. 10．已知1|sin α|＝－1
sin α，且lg cos α有意义．
(1)试判断角α的终边所在的象限；
(2)若角α的终边上一点M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫35，m ，且|OM |＝1(O 为坐标原点)，求m 的值及sin α的
值.
【导学号：84352028】
[解] (1)由1|sin α|＝－1
sin α，可知sin α<0.
由lg cos α有意义，可知cos α>0， ∴角α的终边在第四象限．
(2)∵|OM |＝1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫352＋m 2
＝1，解得m ＝±45.
又α是第四象限角，故m <0，从而m ＝－4
5.
由正弦函数的定义可知 sin α＝y r ＝m |OM |＝－451＝－4
5
.
[冲A 挑战练]
1．点P 从(1,0)出发，沿单位圆按逆时针方向运动26π
3弧长到达Q 点，则Q 的坐标为
( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1
2，32 B.⎝ ⎛
⎭⎪⎫－32，－12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1
2
，－32
D.⎝
⎛⎭
⎪⎫－
32，12 A [点P 从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动26π3弧长到达Q 点，所以点Q 是角
26π
3
与单位圆的交点，所以Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 26π3，sin 26π3，又cos 26π3＝cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫8π＋2π3＝cos 2π3＝－12，
sin 26π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π＋2π3＝sin 2π3＝32，所以Q ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，32.] 2．已知角α的终边过点P (5，a )，且tan α＝－12
5，则sin α＋cos α的值为________.
【导学号：84352029】
－713 [根据三角函数的定义，tan α＝a 5＝－125， ∴a ＝－12，∴P (5，－12)．
这时r ＝13，∴sin α＝－1213，cos α＝513，
从而sin α＋cos α＝－7
13
.]
3．已知角α的终边过点(－3cos θ，4cos θ)，其中θ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π，则cos α＝________.
35 [因为θ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π，所以cos θ＜0，
r ＝－3cos θ
2
＋ θ
2
＝5|cos θ|＝－5cos θ，
所以cos α＝－3cos θ－5cos θ＝35
.]
4．函数y ＝|cos x |cos x ＋tan x
|tan x |
的值域为________.
【导学号：84352030】
{－2,0,2} [已知函数的定义域为⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ∈R ⎪⎪⎪
x ≠k π
2，k ∈Z
， 角x 的终边不能落在坐标轴上，
当x 是第一象限角时，cos x ＞0，tan x ＞0，y ＝cos x cos x ＋tan x
tan x ＝1＋1＝2；
当x 是第二象限角时，cos x ＜0，tan x ＜0，y ＝－cos x cos x ＋－tan x
tan x ＝－1－1＝－2；
当x 是第三象限角时，cos x ＜0，tan x ＞0，y ＝－cos x cos x ＋tan x
tan x ＝－1＋1＝0；
当x 是第四象限角时，cos x ＞0，tan x ＜0，y ＝cos x cos x ＋－tan x
tan x ＝1－1＝0.
综上知原函数的值域是{－2,0,2}．] 5．已知sin θ＜0，tan θ＞0. (1)求角θ的集合；
(2)求θ
2的终边所在的象限；
(3)试判断sin θ2cos θ2tan θ
2
的符号．
[解] (1)因为sin θ＜0，所以θ为第三、四象限角或在y 轴的负半轴上， 因为tan θ＞0，所以θ为第一、三象限角，
所以θ为第三象限角，θ角的集合为⎩
⎪⎨⎪
⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫θ
⎪
⎪⎪
2k π＋π＜θ＜2k π＋3π2，k ∈Z . (2)由(1)可得，k π＋π2＜θ2＜k π＋3π
4，k ∈Z .
当k 是偶数时，θ
2终边在第二象限；
当k 是奇数时，θ
2终边在第四象限．
(3)由(2)可得
当k 是偶数时，sin θ2＞0，cos θ2＜0，tan θ
2＜0，
所以sin θ2cos θ2tan θ
2
＞0；
当k 是奇数时sin θ2＜0，cos θ2＞0，tan θ
2＜0，
所以sin θ2cos θ2tan θ
2＞0.
综上知，sin θ2cos θ2tan θ
2＞0.。