2020年辽宁省阜新市彰武县第二高级中学高二数学理联考试题含解析

2020年辽宁省阜新市彰武县第二高级中学高二数学理
联考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 设m.n是两条不同的直线,α.β是两个不同的平面（）
A．若m∥α,n∥α,则m∥n B．若m∥α,m∥β,则α∥β
C．若m∥n,m⊥α,则n⊥αD．若m∥α,α⊥β,则m⊥β
参考答案：
C
略
2. 函数f(x)在x=x0处导数存在，若p：f‘（x0）=0；q：x=x0是f(x)的极值点，则( )
A. p是q的充分必要条件
B. p是q的充分条件，但不是q的必要条件
C. p是q的必要条件，但不是q的充分条件
D. p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
参考答案：
C
3. 已知正四面体ABCD，线段AB//平面，E、F分别是线段AD和BC的中点，当正四面体绕以AB为轴旋转时，则线段AB与EF在平面上的射影所成角余弦值的范围是（）
A． B． C． D．
参考答案：
B
4. 在等差数列{a n}中，若a2+2a6+a10=120，则a3+a9等于（）
A．30 B．40 C．60 D．80
参考答案：
C
【考点】等差数列的性质．
【分析】由等差数列的性质可得a2+2a6+a10=4a6，从而可求a6，而a3+a9=2a6代入可求
【解答】解：由等差数列的性质可得a2+2a6+a10=4a6=120，
∴a6=30
∵a3+a9=2a6=60
故选C
5. 下图给出的是2000年至2016年我国实际利用外资情况，以下结论正确的是（）
A. 2010年以来我国实际利用外资规模逐年增大
B. 2000年以来我国实际利用外资规模与年份呈负相关
C. 2010年我国实际利用外资同比增速最大
D. 2008年我国实际利用外资同比增速最大
参考答案：
D
【分析】
根据柱状图和折线图依次判断各个选项即可得到结果.
【详解】由图表可知：
2012年我国实际利用外资规模较2011年下降，可知A错误；
2000年以来，我国实际利用外资规模总体呈现上升趋势，可知B错误；
2008年我国实际利用外资同比增速最大，高于2010年，可知C错误，D正确.
本题正确选项：D
【点睛】本题考查根据统计图表判断命题的问题，属于基础题.
6. 函数的图象可能是（）
A. B.
C. D.
参考答案：
B
【分析】
根据可得正确的选项.
【详解】设，，A，C，D均是错误，选B .
【点睛】本题考查函数图像的识别，注意从函数的奇偶性、单调性、特殊点函数值的正负等方面刻画函数的图像.
7. 如图，正方体中，P为平面内一动点，且点到和
的距离相等，则点的轨迹是下图中的
参考答案：
B
略
8. 已知直线kx﹣y+2k﹣1=0恒过定点A，点A也在直线mx+ny+1=0上，其中m、n均为正
数，则+的最小值为( )
A．2 B．4 C．8 D．6
参考答案：
C
【考点】基本不等式．
【专题】不等式的解法及应用．
【分析】先求得A的坐标，可得2m+n=1，再根据+=（+）（2m+n），利用基本不等
式求得+的最小值．
【解答】解：：已知直线可化为y+1=k（x+2），故定点A（﹣2，﹣1），所以2m+n=1．所以+=（+）（2m+n）=4++≥4+4=8，
当且仅当m=、n=时，等号成立，
故+的最小值为8，
故选：C．
【点评】本题主要考查直线经过定点问题、基本不等式的应用，属于基础题．
9. 已知是等比数列，，，则…（）
A． B． C． D．
参考答案：
C
由得，
又…+=…+=+…
10. 已知圆：+=1，圆与圆关于直线对称，则圆的方程为
A.+=1
B.+=1
C.+=1
D.+=1
参考答案：
B
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 如图所示的等腰直角三角形表示一个水平放置的平面图形的直观图，则这个平面图形的面积是___________.
参考答案：
略
12. 复数（i为虚数单位）的虚部为．
参考答案：
13. 若，则
___________.
参考答案：
略
14. 已知圆(x －3)2+y 2=4和直线y=mx 的交点分别为P ，Q 两点，O 为坐标原点，则
的值为 。

参考答案：
5
15. 已知函数f （x ）=x 3+ax 2+bx+a 2在x=1处有极值10，则a?b= ．
参考答案：
﹣44 解：f′（x ）=3x 2+2ax+b ，
由题意得，f′（1）=3+2a+b=0①，f （1）=1+a+b+a 2=10②，
联立①②解得或，
16. 抛物线C: y-=4x上一点Q到点B(4,1)与到焦点F的距离和最小,则点Q的坐标为。

参考答案：
17. 现有一个关于平面图形的命题：如图所示，同一个平面内有两个边长都是的正方
形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为，类比到空间，有两个棱长均为的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为________．
参考答案：
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分12分）
由世界自然基金会发起的“地球1小时”活动，已发展成为最有影响力的环保活动之一，今年的参与人数再创新高.然而也有部分公众对该活动的实际效果与负面影响提出了疑问.对此，某新闻媒体进行了网上调查，所有参与调查的人中，持“支持”、“保留”和“不支持”态度的人数如下表所示：
（1）在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取个人，已知从“支持”态度的人中抽取了45人，求的值；
（2）在持“不支持”态度的人中，用分层抽样的方法抽取5人看成一个总体，从这5人中任意选取2人，求至少有人20岁以下的概率；
参考答案：
解：（1）由题意得，
所以.
（2）设所选取的人中，有人20岁以下，则，解得.
也就是20岁以下抽取了2人，另一部分抽取了3人，分别记作A1，A2；B1，B2，B3，则从中任取2人的所有基本事件为(A1,B1)，(A1, B2)，(A1, B3)，(A2 ,B1)，(A2 ,B2)，(A2 ,B3)，(A1, A2)，(B1 ,B2)，(B2 ,B3)，(B1 ,B3)共10个.
其中至少有1人20岁以下的基本事件有7个：(A1, B1)，(A1, B2)，(A1, B3)，(A2 ,B1)，(A2 ,B2)，(A2 ,B3)，(A1, A2)，
所以从中任意抽取2人，至少有1人20岁以下的概率为.
19. 如图4，在长方体中，，，点在棱上移动，
（1）问等于何值时，二面角的大小为．
（2）在（1）的条件下，求直线AB与平面CD1E夹角的余弦值
参考答案：
解：设，以为原点，直线所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则．
．
设平面的法向量为，
由
令，．
．
依题意．
（不合题意，舍去）．
．
略
20. 已知函数f（x）=xlnx+2，g（x）=x2﹣mx．
（1）求f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（3）若存在使得mf'（x）+g（x）≥2x+m成立，求实数m的取值范围．参考答案：
【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，计算f（1），f′（1）的值，求出切线方程即可；（2）求出f'（x）=lnx+1，推出单调区间，然后求解函数的最小值．
（3）存在x0∈[，e]使得mf'（x）+g（x）≥2x+m成立，转化为存在x0∈[，e]使得
m≤（）max成立，令k（x）=，x∈[，e]，求出函数的导数，通过判断导函数的符号，求出最大值，
【解答】解：（1）由已知f（1）=2，f′（x）=lnx+1，则f′（1）=1，
所以在（1，f（1））处的切线方程为：y﹣2=x﹣1，即为x﹣y+1=0；
（2）f'（x）=lnx+1，
令f'（x）＞0，解得x＞；令f'（x）＜0，解得0＜x＜，
∴f（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增，
若t≥，则f（x）在[t，t+2]递增，
∴f（x）min=f（t）=tlnt+2；
若0＜t＜，则f（x）在[t，）递减，在（，t+2]递增，
∴f（x）min=f（）=2﹣．
（3）若存在x0∈[，e]使得mf'（x）+g（x）≥2x+m成立，
即存在x0∈[，e]使得m≤（）max成立，
令k（x）=，x∈[，e]，则k′（x）=，
易得2lnx+x+2＞0，
令k'（x）＞0，解得x＞1；令k'（x）＜0，解得x＜1，
故k（x）在[，1）递减，在（1，e]递增，
故k（x）的最大值是k（）或k（e），
而k（）=﹣＜k（e）=，
故m≤．
【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的最值以及函数的单调区间的求法，考查转化思想以及计算能力．
21. 已知命题p：方程=1表示焦点在x轴上的椭圆，命题q：对任意实数x不等式x2+2mx+2m+3＞0恒成立．
（Ⅰ）若“￢q”是真命题，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，求实数m的取值范围．
参考答案：
【考点】复合命题的真假．
【专题】分类讨论；函数思想；简易逻辑．
【分析】（Ⅰ）先求出命题q的等价条件，根据“￢q”是真命题，即可求实数m的取值范围；
（Ⅱ）若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，则p，q只有一个为真命题，即可求实数m的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）因为对任意实数x不等式x2+2mx+2m+3＞0恒成立，
所以△=4m2﹣4（2m+3）＜0，解得﹣1＜m＜3，．…
又“￢qq”是真命题等价于“q”是假命题，．…
所以所求实数m的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）．…
（Ⅱ）∵方程=1表示焦点在x轴上的椭圆，
∴0＜m＜2，…
∵“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，
∴p，q为一个是真命题，一个是假命题，…
，无解…，
，…
综上所述，实数m的取值范围是（﹣1，0]∪[2，3）．…
【点评】本题主要考查复合命题的真假应用，求出命题的等价条件结合复合命题真假之间的关系是解决本题的关键．
22. （本题满分12分）在中，分别是角的对边，且
.
（1）求角B的大小；
（2）若，求的面积.
参考答案：
解：（1）法一：由正弦定理得
, 将上式代入已知
------------2分
即
即 ----------------------4分
∵
∵
∵B为三角形的内角，∴. ---------------------7分
法二：由余弦定理得
将上式代入
整理得
∴
∵B为三角形内角，∴
（2）将代入余弦定理得
，
∴ --------------------------------10分
∴. -----------------------------------12分略。