【浙教版】八年级数学上期中模拟试卷及答案(1)

一、选择题
1．如图，在ABC 中，AB AC =，D 为BC 的中点，AD AE =，若40BAD ∠=︒，则CDE ∠的度数为（ ）
A ．10︒
B ．20︒
C ．30
D ．40︒
2．剪纸是我国传统的民间艺术．将一张纸片按图①，②中的方式沿虚线依次对折后，再沿图③中的虚线裁剪，最后将图④中的纸片打开铺平，所得图案应该是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3．若a b c 、、是ABC 的边，且222()()()0,a b a c b c -+-+-=则ABC 是( )． A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等边三角形 4．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，∠ACB ＝45°，点D 是AB 中点，AF ⊥CD 于点H ，交BC 于点F ，BE ∥AC 交AF 的延长线于点E ，给出下列结论：①∠BAE ＝∠ACD ，②△ADC ≌△BEA ，③AC ＝AF ，④∠BDE ＝∠EDC ，⑤BC ⊥DE ．上述结论正确的序号是（ ）
A ．①②⑤
B ．②④⑤
C ．①②④
D ．①②③ 5．如图，△ACB ≌△A′C B′，∠ACB ＝70°，∠ACB′＝100°，则∠BCA′度数是（ ）
A ．40°
B ．35
C ．30°
D ．45°
6．如图所示，下面甲、乙、丙三个三角形和ABC 全等的图形是（ ）
A ．甲和乙
B ．乙和丙
C ．只有丙
D ．只有乙 7．下列说法正确的是 （ ）
A ．一直角边对应相等的两个直角三角形全等
B ．斜边相等的两个直角三角形全等
C ．斜边相等的两个等腰直角三角形全等
D ．一边长相等的两个等腰直角三角形全等 8．如图，已知，CAB DA
E ∠=∠，AC AD =．下列五个选项：①AB AE =，②BC ED =，③C D ∠=∠，④B E ∠=∠，⑤12∠=∠，从中任选一个作为已知条
件，其中能使ABC AED ≌
△△的条件有（ ）
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
9．内角和为720°的多边形是（ ）．
A ．三角形
B ．四边形
C ．五边形
D ．六边形
10．在ABC 中，若一个内角等于另两个内角的差，则（ ）
A ．必有一个内角等于30°
B ．必有一个内角等于45°
C ．必有一个内角等于60°
D ．必有一个内角等于90°
11．设四边形的内角和等于,a 五边形的外角和等于,b 则a 与b 的关系是（ ） A ．a b =
B ．120a b =+
C ．180b a =+︒
D ．360b a =+︒ 12．设四边形的内角和等于a ，五边形的外角和等于b ，则a 与b 的关系是（ ）．
A ．a b =
B ．180a b =+°
C ．180b a =+︒
D ．360b a =+︒ 二、填空题
13．如图，在ABC 中，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，//EF BC 交BD 于点G ，若130BEG ∠=︒，则DGF ∠=______．
14．如图所示，在ABC 中，D 是BC 的中点，点A 、F 、D 、E 在同一直线上．请添加一个条件，使BDE CDF ≌（不再添其他线段，不再标注或使用其他字母），并给出证明．你添加的条件是______
15．如图，在△ABC 中，∠ABC 的平分线与外角∠ACE 的平分线交于点D ，若∠D ＝20°，则∠A ＝_____．
16．如图，在ABC 中，点A 的坐标为()0,1，点B 的坐标为()0,4，点C 的坐标为()4,3，点D 在第二象限，且ABD △与ABC 全等，点D 的坐标是______．
17．如图，在ABC 中，AB CB =，90ABC ∠=︒，AD BD ⊥于点D ，CE BD ⊥于
点E ，若7CE =，5AD =，则DE 的长是______．
18．已知三角形三边长分别为m ，n ，k ，且m 、n 满足2|9|(5)0n m -+-=，则这个三角形最长边k 的取值范围是________．
19．如图，在ABC 中，CE AB ⊥于点E ，AD BC ⊥于点D ，且3AB =，6BC =，5CE =，则AD =_________．
20．如图，在△ABC 中，∠A=64°，∠ABC 与∠ACD 的平分线交于点A 1，∠A 1BC 与∠A 1CD 的平分线相交于点A 2，得∠A 2；…；∠A n-1BC 与∠A n-1CD 的平分线相交于点A n ，要使∠A n 的度数为整数，则n 的值最大为______．
三、解答题
21．如图1，在直角△ABC 中，∠C=90°，分别作∠CAB 的平分线AP 和AB 的垂直平分线DP ，交点为P ．
（1）如图2，若点P 正好落在BC 边上．
①求∠B 的度数；
②求证：BC=3PC ．
（2）如图3，若点C 、P 、D 恰好在一条直线上，线段AD 、PD 、BC 之间的数量关系是否满足AD +PD=BC ？若满足，请给出证明；若不满足，请说明理由．
22．如图，在平面直角坐标系中有ABC ：
（1）已知111A B C △和ABC 关于y 轴对称，在图中画出111A B C △；
（2）将111A B C △沿x 轴向右平移4个单位，在图中画出平移后的222A B C △；
（3）222A B C △和ABC 关于某条直线l 对称，在图中画出对称轴l ．
23．求证：全等三角形对应边上的中线相等．（根据图形写出已知，求证并完成证明）
24．沛沛沿一段笔直的人行道行走，边走边欣赏风景，在由C 走到D 的过程中，通过隔离带的空隙P ，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的一条标语，具体信息如下：如图，AB//PM //CD ，相邻两平行线间的距离相等AC ，BD 相交于P ，PD CD ⊥垂足为D ．已知16CD =米．请根据上述信息求标语AB 的长度．
25．如图，已知BP 是△ABC 的外角∠ABD 的平分线，延长CA 交BP 于点P ．射线CE 平分∠ACB 交BP 于点E ．
（1）若∠BAC=80°，求∠PEC 的度数；
（2）若∠P=20°，分析∠BAC 与∠ACB 的度数之差是否为定值？
（3）过点C 作CF ⊥CE 交直线BP 于点F ．设∠BAC=α，求∠BFC 的度数（用含α的式子表示）．
26．如图，PB 和PC 是ABC 的两条外角平分线． 求证：1902
BPC BAC ∠=︒-∠．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．B
解析：B
【分析】
根据AB AC =，D 为BC 的中点，∠CAD=40BAD ∠=︒，∠C=50︒，由AD AE =，得到∠AED =70︒，再根据∠AED=∠C+∠CDE 求得答案．
【详解】
∵AB AC =，D 为BC 的中点，
∴∠CAD=40BAD ∠=︒，∠BAC=802BAD ∠=︒，
∴∠B=∠C=50︒，
∵AD AE =，
∴∠AED=∠ADE=70︒，
∵∠AED=∠C+∠CDE ，
∴CDE ∠=20︒，
故选：B ．
【点睛】
此题考查等腰三角形的性质：等边对等角求角的度数以及三线合一，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，熟记并熟练运用等腰三角形的性质是解题的关键．
2．A
解析：A
【分析】
对于此类问题，只要依据翻折变换，知道剪去了什么图形即可判断，也可动手操作，直观的得到答案．
【详解】
解：按照图中的顺序，向右对折，向上对折，从斜边处剪去一个直角三角形，从直角顶点处剪去一个等腰直角三角形，展开后实际是从原菱形的四边处各剪去一个直角三角形，从菱形的中心剪去一个正方形，可得：
．
故选：A ．
【点睛】
本题主要考查了剪纸问题，解决这类问题要熟知轴对称图形的特点，关键是准确的找到对称轴．一般方法是动手操作，拿张纸按照题目的要求剪出图案，展开即可得到正确的图案．
3．D
解析：D
【分析】
由偶次方的非负性质得出a-b=0，a-c=0，b-c=0，得出a=b=c ，即可得出结论．
【详解】
解：∵222()()()0,a b a c b c -+-+-=，
∴a-b=0，a-c=0，b-c=0，
∴a=b ，a=c ，b=c ，
∴a=b=c ，
∴这个三角形是等边三角形；
故选：D ．
【点睛】
本题考查了等边三角形的判定、偶次方的非负性质；熟练掌握等边三角形的判定方法，由偶次方的非负性质得出a=b=c 是解题的关键．
4．A
解析：A
【分析】
由90BAE FAC ∠+∠=︒，90ACD FAC ，得出BAE ACD ∠=∠，①正确；由ASA 证明ADC BEA ∆≅∆，②正确；由AC AB AF ，得出③不正确；由全等三角形
的性质得出AD BE =，由AD BD =，得出BE BD =，45
BDE EDC ，④不正确；由等腰直角三角形的三线合一性质得出⑤正确；即可得出结论．
【详解】
90BAC ∠=︒，45ACB ∠=︒，
ABC ∴是等腰直角三角形，90BAE FAC ∠+∠=︒，
AB AC ∴=，45CBA ACB ， AF CD ⊥，
90AHC ∴∠=︒，
90ACD FAC ，
BAE ACD ∴∠=∠，①正确；
//BE AC ，
180ABE BAC ，
90ABE ∴∠=︒，
在ADC ∆和BEA ∆中，
90CAD
ABE AC
AB ACD BAE
()ADC
BEA ASA ，②正确； AC AB AF ，
∴③不正确； ADC BEA ， AD BE ∴=，
点D 是AB 中点，
AD BD ∴=，
BE BD ∴=，
45BDE EDC ，④不正确；
90ABE ∠=︒，BE BD =，45CBA ∠=︒，
45EBP ，即BP 平分ABE ∠，△BDE 为等腰直角三角形，
∴根据“三线合一”可得BC ⊥DE ，⑤正确．
故选：A ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质等知识，熟悉相关性质是解题的关键．
5．A
解析：A
【分析】 根据已知ACB ≌
A′CB′，得到∠A′CB′=∠ACB=70︒，再通过∠ACB′=100︒，继而利用角的和差求得∠BCB′=30︒，进而利用∠BCA′=∠A′CB′-∠BCB ′得到结论．
【详解】
解：∵ACB ≌A′CB′，
∴∠A′CB′=∠ACB=70︒，
∵∠ACB′=100︒，
∴∠BCB′=∠ACB′-∠ACB=30︒，
∴∠BCA′=∠A′CB′-∠BCB′=40︒，
故选：C．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
6．B
解析：B
【分析】
甲只有2个已知条件，缺少判定依据；乙可根据SAS判定与△ABC全等；丙可根据AAS判定与△ABC全等，可得答案．
【详解】
解：甲三角形只知道两条边长无法判断是否与△ABC全等；
乙三角形夹50°内角的两边分别与已知三角形对应相等，故乙与△ABC全等；
丙三角形72°内角及所对边与△ABC对应相等且均有50°内角，可根据AAS判定乙与△ABC 全等；
则与△ABC全等的有乙和丙，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定定理，熟练掌握并充分理解三角形全等的判定定理，注意对应二字的理解很重要．
7．C
解析：C
【分析】
根据全等三角形的判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS、HL定理针对四个选项分别进行判断即可．
【详解】
A. 一直角边对应相等的两个直角三角形不一定全等，还要知道它的边或角才能证明，故此选项错误；
B. 斜边相等的两个直角三角形不一定全等，还要知道它的边或角才能证明，故此选项错误；
C. 斜边相等的两个等腰直角三角形全等，对应角相等，根据AAS即可证明全等，故此选项正确；
D. 一边长相等的两个等腰直角三角形不一定全等，必须说明是对应边相等，故此选项错误．
故选：C．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，掌握证明三角形全等的条件尤其是必须含有边这个条件是解题的关键．
8．B
解析：B
【分析】
添加条件①可以用“SAS”证明，添加条件③可以用“ASA”证明，添加条件④可以用“AAS”证明．
【详解】
解：①在ABC 和AED 中，
AC AD CAB DAE AB AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴()ABC AED SAS ≅△△；
②不可以；
③在ABC 和AED 中，
C D AC AD
CAB DAE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴()ABC AED ASA ≅；
④在ABC 和AED 中，
B E CAB DAE A
C A
D ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴()ABC AED AAS ≅；
⑤不可以；
故选：B ．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的所有判定定理． 9．D
解析：D
【分析】
根据多边形内角和的计算方法（n-2）•180°，即可求出边数．
【详解】
解：依题意有（n-2）•180°=720°，
解得n=6．
该多边形为六边形，
故选：D ．
【点睛】
本题考查了多边形的内角和，利用多边形的内角和计算公式正确计算是解题关键． 10．D
解析：D
【分析】
根据三角形内角和定理得出∠A+∠B+∠C=180°，把∠C=∠A+∠B代入求出∠C即可判断．【详解】
解：∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=∠C-∠B，
∴2∠C=180°，
∴∠C=90°，
∴必有一个内角等于90°，
故选：D．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理的应用，能求出三角形最大角的度数是解此题的关键，注意：三角形的内角和等于180°．
11．A
解析：A
【分析】
根据多边形的内角和定理与多边形外角和即可得出结论．
【详解】
解：∵四边形的内角和等于a，
∴a=（4-2）•180°=360°．
∵五边形的外角和等于b，
∴b=360°，
∴a=b．
故选：A．
【点睛】
本题考查的是多边形的内角与外角，熟知多边形的内角和定理是解答此题的关键．12．A
解析：A
【分析】
根据多边形的内角和定理与多边形外角的关系即可得出结论．
【详解】
∵四边形的内角和等于a，
∴a=(4-2)•180°=360°；
∵五边形的外角和等于b，
∴b=360°，
∴a=b．
故选：A．
【点睛】
本题考查了多边形的内角与外角，熟知多边形的内角和定理是解答此题的关键．
二、填空题
13．25°【分析】由角平分线和平行线的性质证明则是等腰三角形由顶角的度数算出底角的度数即可得出结果【详解】解：∵BD 平分∴∵∴∴∴是等腰三角形∵∴∴故答案是：【点睛】本题考查等腰三角形的性质和判定解题的 解析：25°
【分析】
由角平分线和平行线的性质证明EBG EGB ∠=∠，则BEG 是等腰三角形，由顶角的度数算出底角EGB ∠的度数，即可得出结果．
【详解】
解：∵BD 平分ABC ∠，
∴EBG CBG ∠=∠，
∵//EF BC ，
∴CBG EGB ∠=∠，
∴EBG EGB ∠=∠，
∴BEG 是等腰三角形，
∵130BEG ∠=︒， ∴180130252
EGB ︒-︒∠=
=︒， ∴25DGF EGB ∠=∠=︒．
故答案是：25︒．
【点睛】 本题考查等腰三角形的性质和判定，解题的关键是掌握等腰三角形的性质和判定定理． 14．ED=FD （答案不唯一∠E=∠CFD 或∠DBE=∠DCF ）【分析】根据三角形全等的判定方法SAS 或AAS 或ASA 定理添加条件然后证明即可【详解】解：∵D 是的中点∴B D=DC①若添加ED=FD 在△BD
解析：ED=FD （答案不唯一，∠E=∠CFD 或∠DBE=∠DCF ）
【分析】
根据三角形全等的判定方法SAS 或AAS 或ASA 定理添加条件，然后证明即可．
【详解】
解：∵D 是BC 的中点，
∴BD=DC
①若添加ED=FD
在△BDE 和△CDF 中，BD CD BDE CDF ED FD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△BDE ≌△CDF （SAS ）；
②若添加∠E=∠CFD
在△BDE 和△CDF 中，BDE CDF E CFD BD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△BDE ≌△CDF （AAS ）；
③若添加∠DBE=∠DCF
在△BDE 和△CDF 中，BDE CDF BD CD DBE DCF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
，
∴△BDE ≌△CDF （ASA ）；
故答案为：ED=FD （答案不唯一，∠E=∠CFD 或∠DBE=∠DCF ）．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． 15．40°【分析】利用角平分线的性质可知∠ABC ＝2∠DBC ∠ACE ＝2∠DCE 再根据三角形外角的性质可得出∠D ＝∠DCE ﹣∠DBE ∠A ＝∠ACE ﹣∠ABC 即得出∠A ＝2∠D 即得出答案【详解】∵∠ABC
解析：40°
【分析】
利用角平分线的性质可知∠ABC ＝2∠DBC ，∠ACE ＝2∠DCE ．再根据三角形外角的性质可得出∠D ＝∠DCE ﹣∠DBE ，∠A ＝∠ACE ﹣∠ABC ．即得出∠A ＝2∠D ，即得出答案．
【详解】
∵∠ABC 的平分线交∠ACE 的外角平分线∠ACE 的平分线于点D ，
∴∠ABC ＝2∠DBC ，∠ACE ＝2∠DCE ，
∵∠DCE 是△BCD 的外角，
∴∠D ＝∠DCE ﹣∠DBE ，
∵∠ACE 是△ABC 的外角，
∠A ＝∠ACE ﹣∠ABC ＝2∠DCE ﹣2∠DBE ＝2（∠DCE ﹣∠DBE ），
∴∠A ＝2∠D ＝40°．
故答案为：40°．
【点睛】
本题考查角平分线和三角形外角的性质，熟练利用角平分线和三角形外角的性质来判断题中角之间的关系是解答本题的关键．
16．或【分析】分情况：当△ABC ≌△ABD 时△ABC ≌△BAD 时利用全等三角形的性质解答即可【详解】分两种情况：当△ABC ≌△ABD 时
AB=ABAD=ACBD=BC ∵点AB 在y 轴上∴△ABC 与△ABD 关
解析：()4,3-或()4,2-
【分析】
分情况：当△ABC ≌△ABD 时，△ABC ≌△BAD 时，利用全等三角形的性质解答即可．
【详解】
分两种情况：
当△ABC ≌△ABD 时，AB=AB ，AD=AC ，BD=BC ，
∵点A 、B 在y 轴上，
∴△ABC 与△ABD 关于y 轴对称，
∵C （4,3），
∴D （-4,3）；
当△ABC ≌△BAD 时，AB=BA ，AD=BC ，BD=AC ，
作DE ⊥AB ，CF ⊥AB ，
∴DE=CF=4，∠AED=∠BFC=90︒，
∴△ADE ≌△BCF ，
∴AE=BF=4-3=1，
∴OE=OA+AE=1+1=2，
∴D （-4,2），
故答案为：()4,3-或()4,2-
．
【点睛】
此题考查全等三角形的判定及性质，确定直角坐标系中点的坐标，轴对称的性质，熟记全等三角形的性质是解题的关键．
17．2【分析】通过证明≌得到即可求解【详解】解：∵∴∵∴∴∴在和中∴≌∴∴故答案为：2【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键
解析：2
【分析】
通过证明CBE △≌BAD ，得到7BD CE ==，5BE AD ==，即可求解． 【详解】
解：∵90ABC ∠=︒，
∴90ABD CBE ∠+∠=︒，
∵AD BD ⊥，CE BD ⊥，
∴90CEB D ∠=∠=︒，
∴90ABD BAD ∠+∠=︒，
∴CBE BAD ∠=∠，
在CBE △和BAD 中，
CEB D CBE BAD CB BA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴CBE △≌BAD ，
∴7BD CE ==，5BE AD ==，
∴2DE BD BE =-=，
故答案为：2．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 18．【分析】根据求出mn 的长根据三角形三边关系求出k 的取值范围再根据k 为最长边进一步即可确定k 的取值【详解】解：由题意得n-9=0m-5=0解得m=5n=9∵mnk 为三角形的三边长∴∵k 为三角形的最长边
解析：914k ≤<
【分析】
根据2
|9|(5)0n m -+-=求出m 、n 的长，根据三角形三边关系求出k 的取值范围，再根据k 为最长边进一步即可确定k 的取值．
【详解】
解：由题意得n-9=0，m-5=0，
解得 m=5，n=9，
∵m ，n ，k ，为三角形的三边长，
∴414k ≤<，
∵k 为三角形的最长边，
∴914k ≤<．
故答案为：914k ≤<
【点睛】
本题考查了绝对值、偶次方的非负性，三角形的三边关系，根据题意求出m 、n 的长是解题关键，确定k 的取值范围时要注意k 为最长边这一条件． 19．【分析】根据三角形的面积公式列方程即可得到结论【详解】解：根据三角形面积公式可得∵AB=3BC=6CE=5∴解得故答案为：【点睛】本题考查了三角形的高以及三角形的面积熟记三角形的面积公式是解题的关键
解析：2.5
【分析】
根据三角形的面积公式列方程即可得到结论．
【详解】
解：根据三角形面积公式可得，
11
22
ABC
S AB CE BC AD =⨯=⨯，
∵AB=3，BC=6，CE=5，
∴11
356 22AD
⨯⨯=⨯⨯，
解得 2.5
AD=．
故答案为：2.5．
【点睛】
本题考查了三角形的高以及三角形的面积，熟记三角形的面积公式是解题的关键．20．6【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和得到∠A ＝2∠A1同理可得∠A1＝2∠A2即∠A＝22∠A2因此找出规律【详解】由三角形的外角性质得∠ACD＝∠A＋∠ABC∠A1CD＝∠A
解析：6
【分析】
根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和得到∠A＝2∠A1，同理可得∠A1＝2∠A2，即∠A＝22∠A2，因此找出规律．
【详解】
由三角形的外角性质得，∠ACD＝∠A＋∠ABC，∠A1CD＝∠A1＋∠A1BC，
∵∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，
∴∠A1BC＝1
2∠ABC，∠A1CD＝1
2
∠ACD，
∴∠A1＋∠A1BC＝1
2（∠A＋∠ABC）＝
1
2
∠A＋∠A1BC，
∵A1B、A1C分别平分∠ABC和∠ACD，
∴∠ACD＝2∠A1CD，∠ABC＝2∠A1BC，
而∠A1CD＝∠A1＋∠A1BC，∠ACD＝∠ABC＋∠A，∴∠A＝2∠A1，
∴∠A1＝1
2
∠A，
同理可得∠A1＝2∠A2，
∴∠A2＝1
4
∠A，
∴∠A＝2n∠A n，
∴∠A n＝（1
2）n∠A＝
64
2n
︒
，
∵∠A n的度数为整数，∴n＝6．
故答案为：6．
【点睛】
本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性
质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图然后求出后一个角是前一个角的1
2
是解题的关
键．
三、解答题
21．（1）①∠B的度数是30°；②见解析；（2）满足，理由见解析
【分析】
（1）①由垂直平分线与角平分线的性质证明：∠PAD=∠PAC=∠B，再利用直角三角形的内角和定理即可得到答案；②先利用角平分线的性质证明PC=PD，再用∠B=30°证明
BP=2PD，进而即可得到结论；
（2）过点P作PE⊥AC于点E，由垂直平分线的性质可知AC=BC，∠ACD=∠BCD=45°，进而证明PE=CE，由角平分线的性质可知PE=PD，即可证明Rt△AEP≌Rt△ADP（HL），可得AE=AD，再利用线段的和差性质即可证明AD+PD=BC．
【详解】
（1）①∵DP是AB的垂直平分线，
∴PA=PB，
∴∠PAD=∠B，
又∵AP平分∠CAB，
∴∠PAD=∠PAC，
∴∠PAD=∠PAC=∠B，
设∠B=x°，则∠CAB=∠PAD+∠PAC=2x°，
∵在Rt ABC中，∠C=90°，
∴∠B+∠BAC=90°，
即3x=90，x=30，
∴∠B的度数是30°．
②∵AP平分∠CAB，∠C=90°，DP⊥AB，
∴PC=PD，
∵在Rt△BDP中，∠B=30°，
∴BP=2PD，
∴BC=BP+PC=3PC．
（2）如图，过点P作PE⊥AC于点E，
∵CD是AB的垂直平分线，
∴AC=BC ，
∴∠ACD=∠BCD=12
∠ACB=45°． ∵PE ⊥AC ，
∴∠CPE=90°−∠PCE=90°−45°=45°=∠PCE ，
∴PE=CE ，
又∵AP 平分∠CAB ，PD ⊥AB ，PE ⊥AC ，
∴PE=PD ，
∴在Rt △AEP 和Rt △ADP 中， ,,
AP AP PE PD =⎧⎨=⎩ ∴Rt △AEP ≌Rt △ADP （HL ），
∴AE=AD ，
∴AC=AE+EC=AD+PE=AD+PD ，
又∵AC=BC ，
∴AD+PD=BC ．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质、垂直平分线的性质、三角形的内角和定理、锐角三角函数、等腰直角三角形的性质、直角三角形全等的判定与性质、含30°的直角三角形的性质、线段的和差性质，解答本题的关键是掌握并熟练运用以上知识．
22．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析．
【分析】
（1）利用关于y 轴对称点的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
（3）直接利用轴对称的性质得出对称轴的位置进而得出答案．
【详解】
解：（1）如图所示：
（2）如图所示；
（3）如图所示．
【点睛】
此题主要考查了轴对称变换以及平移变换，正确得出对应点位置是解题关键． 23．见解析
【分析】
利用SAS 证明ABD ≌A B D '''△，即可证得结论．
【详解】 解：已知：如图，ABC ≌
A B C '''，AD 和A D ''分别是BC 和B C ''上的中线，
求证：AD ＝A D ''．
证明：∵ABC ≌A B C '''， ∴AB ＝A B ''，∠B ＝∠B '，BC ＝B C ''，
∵AD 、A D ''是 BC 和B C ''上的中线，
∴BD ＝12
BC ，12B D B C ''''=， ∴BD ＝B D ''，
∴在ABD 与A B D '''△中 AB A B B B BD B D =⎧⎪∠=∠⎨⎪=''''⎩
' ∴ABD ≌A B D '''△（SAS ），
∴AD ＝A D ''．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，证明线段相等的问题，基本的思路是转化成三角形全等．
24．16米
【分析】
已知AB ∥CD ，根据平行线的性质可得∠ABP=∠CDP ，再由垂直的定义可得∠CDO=90︒，可得PB ⊥AB ，根据相邻两平行线间的距离相等可得PD=PB ，即可根据ASA 定理判定△ABP ≌△CDP ，由全等三角形的性质即可得CD=AB=16米．
【详解】
∵AB ∥CD ，
∴∠ABP=∠CDP ，
∵PD ⊥CD ，
∴∠CDP=90︒，
∴∠ABP=90︒，即PB ⊥AB ，
∵相邻两平行线间的距离相等，
∴PD=PB ，
在△ABP 与△CDP 中，
ABP CDP PD PB
APB CDP ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△ABP ≌△CDP （ASA ），
∴CD=AB=16米．
【点睛】
本题考察平行线的性质和全等三角形的判定和性质，综合运用各定理是解题的关键． 25．（1）140°；（2）是定值；（3）∠BFC=90°12-
α 【分析】
（1）首先证明∠CEB 12=∠CAB ，求出∠CEB 即可解决问题． （2）利用三角形的外角的性质解决问题即可．
（3）利用是菱形内角和定理以及（1）中结论解决问题即可．
【详解】 由题意，可以假设∠ACE=∠ECB=x ，∠ABP=∠PBD=y ．
（1）由三角形的外角的性质可知：2y BAC 2x y CEB x =∠+⎧⎨=∠+⎩
， 可得∠CEB 12
=∠CAB=40°， ∴∠PEC=180°-40°=140°；
（2）由三角形的外角的性质可知，∠BAC=∠P+y ，y=∠P+2x ，
∴∠BAC=2∠P+2x ，
∴∠BAC -∠ACB=∠BAC-2x=2∠P=40°，
∴∠BAC -∠ACB=40°，是定值；
（3）∵CF ⊥CE ，
∴∠ECF=90°，
由（1）得：∠CEB 12
=∠CAB ， ∴∠BFC=90°-∠CEB=90°12-∠CAB=90°12-α．
【点评】
本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考常考题型．
26．见解析
【分析】 根据外角的性质和角平分线的性质证明1902
PBC BCP BAC ∠+∠=︒+
∠，再根据三角形内角和定理得到180PBC BCP BPC ∠+∠=︒-∠，就可以证明结论．
【详解】
解：∵180DBC ABC ∠=︒-∠，180BCE ACB ∠=︒-∠， ∴
()()360360180180DBC BCE ABC ACB BAC BAC ∠+∠=︒-∠+∠=︒-︒-∠=︒+∠，
∵BP 平分DBC ∠，CP 平分BCE ∠， ∴12PBC DBC ∠=∠，12
BCP BCE ∠=∠， ∴()119022
PBC BCP DBC BCE BAC ∠+∠=∠+∠=︒+∠， ∵180PBC BCP BPC ∠+∠=︒-∠， ∴1180902BPC BAC ︒-∠=︒+∠，即1902
BPC BAC ∠=︒-∠． 【点睛】
本题考查三角形的内角和定理和角平分线的性质，解题的关键是掌握这些性质定理进行角度求解．。