高考数学一轮复习 相似三角形的判定及有关性质训练 理

【创新设计】2014高考数学一轮复习相似三角形的判定及有关
性质训练理新人教A版选修4-1
[备考方向要明了]
[归纳·知识整合]
1．平行线的截割定理
(1)平行线等分线段定理
定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在任一条(与这组平行线相交的)直线上截得的线段也相等．
推论1 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边．
推论2 经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰．
(2)平行线分线段成比例定理
定理三条平行线截两条直线，两条直线与一组平行线相交，它们被这组平行线截得的
对应线段成比例．
推论平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．[探究] 1.平行线分线段成比例定理的推论的逆命题正确吗？
提示：正确．如果一条直线截三角形的两边或两边的延长线所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三条边，该命题正确．
2．相似三角形的判定定理
定理内容
判定定理1两角对应相等，两三角形相似
判定定理2两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似
判定定理3三边对应成比例，两三角形相似
[探究] 2.三角形相似是否具有传递性？
提示：三角形相似具有传递性．
3．相似三角形的性质定理
定理与推论内容
性质定理相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比相似三角形周长的比等于相似比
相似三角形面积的比等于相似比的平方
推论相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方
4.直角三角形相似的判定定理
定理内容
判定定理1如果两个直角三角形一组锐角对应相等，那么它们相似
判定定理2如果两个直角三角形的两直角边对应成比例，那么它们相似
判定定理3斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似
5．直角三角形射影定理
直角三角形一条直角边的平方等于该直角边在斜边上的射影与斜边的乘积，斜边上的高的平方等于两条直角边在斜边上的射影的乘积．
[自测·牛刀小试]
1.如图所示，E是▱ABCD的边AB延长线上的一点，且DC∶BE＝3∶
2，求AD∶BF.
解：∵AB ∥CD ，∴DC BE ＝
DF EF ＝DE －EF EF ＝32，从而DE EF ＝5
2
.
又BC ∥AD ，∴AD BF ＝DE EF ＝5
2
，即AD ∶BF ＝5∶2.
2.如图，已知在△ABC 中，CD ⊥AB 于D 点，BC 2
＝BD ·AB ，求∠ACB . 解：∵CD ⊥AB ，∴CDB ＝90°. ∵BC 2
＝BD ·AB ，∴BC BD ＝BA BC
， 又∠B 是公共角，
∴△BDC ∽△BCA ，∴∠ACB ＝∠CDB ＝90°.
3．如图，在△ABC 中，M 、N 分别是AB 、BC 的中点，AN 、CM 交于点O ，求△MON 与△AOC 的面积的比．
解：∵M 、N 分别是AB 、BC 的中点，
∴MN AC ＝1
2
，且MN ∥AC ，∴△MON ∽△AOC . ∴S △MON ∶S △AOC ＝1∶4.
4．如图所示，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，AC ＝6，DB ＝5，求AD 的长．
解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴AC2＝AD·AB，设AD＝x，则AB＝x＋5，又AC＝6，
∴62＝x(x＋5)，即x2＋5x－36＝0，
解得x＝4.∴AD＝4.
5．如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F. 求证：AE·AB＝AF·AC.
证明：∵AD⊥BC，
∴△ADB为直角三角形．
又∵DE⊥AB，由射影定理知，AD2＝AE·AB.
同理可得AD2＝AF·AC，
∴AE·AB＝AF·AC.
[例1] 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD与AC相交于点O，过点O的直线分别交AB，CD于E，F，且EF∥BC，若AD＝12，BC＝20，求EF.
[自主解答] ∵AD∥BC，
∴OB
OD
＝
BC
AD
＝
20
12
＝
5
3
，∴
OB
BD
＝
5
8
.
∵OE ∥AD ，∴OE AD ＝
OB BD ＝5
8
.
∴OE ＝58AD ＝58×12＝152
，
同理可求得OF ＝38BC ＝38×20＝152，
∴EF ＝OE ＋OF ＝15.
本例条件不变，求证：OE ＝OF .
证明：∵EF ∥BC ，AD ∥BC ，∴EF ∥AD ∥BC . ∵EF ∥BC ，∴OE BC ＝
AE AB ，OF BC ＝DF
DC
.
∵EF ∥AD ∥BC ，∴AE AB ＝
DF
DC
.
∴OE BC ＝OF BC
，∴OE ＝OF .
———————————————————
平行线截割定理的作用
平行线截割定理一方面可以判定线段成比例，另一方面，当不能直接证明要证的比例成立时，常用这个定理将两条线段的比转化为另外两条线段的比．
1．已知E是正方形ABCD的边AB延长线上一点，DE交CB于M，MN∥AE交CE于N，求证：MN＝MB.
证明：∵MB ∥AD ，∴△BEM ∽△AED . ∴BM AD ＝EM ED .∵MN ∥AE ∥CD ，∴△MNE ∽△DCE . ∴MN DC ＝EM ED
.∴BM AD ＝
MN
DC
.
又∵AD ＝CD ，∴MN ＝MB .
相似三角形的判定与性质
[例2] 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝CD ，DE ∥CA ，且交
BA 的延长线于E ，求证：ED ·CD ＝EA ·BD .
[自主解答] 在梯形ABCD 中，
∵AB ＝DC ，∴∠ABC ＝∠DCB .又BC ＝BC ， ∴△ABC ≌△DCB .
∴∠BAC ＝∠BDC .∵AC ∥ED ，AD ∥BC ，
∴∠E ＝∠BAC ＝∠BDC ，∠EAD ＝∠ABC ＝∠DCB ， ∴△EAD ∽△DCB .∴EA DC ＝ED DB
，即ED ·CD ＝EA ·BD .
———————————————————
证明等积式的方法
证明等积式的一般方法是化为等积的比例式．
(1)若题目中无平行线，需利用相似三角形的性质证明．
(2)若所证比例线段所在的两三角形不相似，需考虑能否利用线段替换或等比替换等．
2．如图所示，已知▱ABCD中，G是DC延长线上一点，AG分别交BD和BC于E，F两点，证明：AF·AD＝AG·BF.
证明：因为四边形ABCD 为平行四边形， 所以AB ∥DC ，AD ∥BC ，
所以△ABF ∽△GCF ，△GCF ∽△GDA . 所以△ABF ∽△GDA ， 从而有AF AG ＝BF AD
， 即AF ·AD ＝AG ·BF .
[例3] 如图所示，在△ABC 中，∠CAB ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，BE 是∠ABC 的角平分线，交AD 于点F ，求证：DF AF ＝
AE
EC
.
[自主解答] ∵BE 是∠ABC 的角平分线， ∴DF AF ＝BD AB
，①
AE EC ＝AB BC
.② 在Rt △ABC 中，由射影定理知，
AB 2＝BD ·BC ，即BD AB ＝AB
BC
.③
由①③得DE AF ＝AB
BC ，④
由②④得DF AF ＝
AE
EC
.
————————————————
———
巧用射影定理解题
已知条件中含直角三角形，且涉及直角三角形斜边上的高时，应首先考虑射影定理，注意射影定理与斜边的对应法则，根据题目中的结论分析并选择射影定理中的等式，并分清比例中项．
3.如图，在Rt△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，CD ＝6，
E 为AB 的中点，AD ∶DB ＝2∶3，求AC 及CE .
解：设AD ＝2t ，DB ＝3t ，
由射影定理得CD 2
＝AD ·DB ，∴62
＝2t ·3t ， ∴t ＝6(t ＝－6舍去)，∴AD ＝26，DB ＝36， 所以斜边AB ＝AD ＋DB ＝26＋36＝5 6. 故CE ＝12AB ＝5
2 6.
再由射影定理得
AC 2＝AD ·AB ＝26·56＝60，∴AC ＝215.
2个注意——运用平行线分线段成比例定理的注意点
(1)平行线等分线段定理是平行线分线段成比例定理的特例，在运用平行线分线段成比例定理时要注意平行线的不同位置，以及在三角形与四边形中的灵活应用．
(2)证明线段成比例，若已知条件中没有平行线，但有三角形相似的条件(如角相等，有相等的比例式等)，常考虑相似三角形的性质构造比例或利用中间比求解．
3种思路——判定三角形相似的三种思路
(1)条件中若有一对角相等，可找另一对角相等或找夹这对角的两边成比例．
(2)条件中若有两边的比相等，可找夹角相等或证明另外一组对应边的比等于已知两边的比．
(3)条件中若有等腰三角形，可找顶角相等或找一对底角相等或两个三角形的底和腰的比对应相等．
1个技巧——等积式证明方法
证明等积式，化成比例式，用分子、分母四个字母构造三角形，或等号同侧四个字母构造三角形，证此两三角形相似．不能构成三角形或三角形不相似需转化.
答题模板——相似三角形的判定
[典例] (2012·新课标全国卷)(10分)如图所示，D ，E 分别为△
ABC 边AB ，AC 的中点，直线DE 交△ABC 的外接圆于F ，G 两点．若CF ∥AB ，
证明：(1)CD ＝BC ； (2)△BCD ∽△GBD .
[快速规范审题]
第(1)问：
1．审条件，挖解题信息
观察条件：由D ，E 分别为AB ，AC 的中点⇒DE ∥BC ；由D 为AB 的中点⇒CF ＝AD . 2．审结论，明确解题方向 观察所求结论：证明CD ＝BC . 3．建联系，找解题突破口
分析条件：D ，E 分别为AB ，AC 的中点――――→中位线定理 DE ∥BC ――――→CF ∥AB
四边形BCFD 是平行四边形―――――→中位线定理
CF ＝BD ＝AD ―――――→CF ∥AB 四边形ADCF 是平行四边形⇒CD ＝AF ⇒CD ＝BC . 第(2)问：
1．审条件，挖解题信息
观察条件：FG ∥BC ，由(1)可知BD ＝CF . 2．审结论，明确解题方向 观察所求结论：△BCD ∽△GBD . 3．建联系，找解题突破口
分析条件：FG∥BC⇒GB＝CF，由(1)可知BD＝CF⇒GB＝BD⇒∠DGB＝∠EFC＝∠DBC⇒△BCD∽△GBD.
[准确规范答题]
(1)因为D，E分别为AB，AC的中点，
所以DE∥BC.⇒(2分)
又已知CF∥AB，故四边形BCFD是平行四边形，
所以CF＝BD＝AD.而CF∥AD，连结AF，
所以四边形ADCF是平行四边形，故CD＝AF.
因为CF∥AB，所以BC＝AF，故CD＝BC.⇒(5分)
(2)因为FG∥BC，故GB＝CF.由(1)可知BD＝CF，
所以GB＝BD.⇒(8分)
从而∠DGB＝∠EFC＝∠DBC，故△BCD∽△GBD.⇒(10分)
[答题模板速成]
判断三角形相似的一般步骤：
⇒
⇒
⇒
1．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DF ∥AC ，AE ∶AC ＝3∶5，DE ＝6，求BF 的长．
解：DE BC ＝AE AC ⇒
6BC ＝3
5
⇒BC ＝10，
故BF ＝10－6＝4.
2．如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，DE ∥AC ，EF ⊥BC ，BE EA ＝3
2
，BD ＝6，求FC
的长．
解：由DE ∥AC ，BE EA ＝32，BD ＝6知DC ＝4.又EF ∥AD ，故6－FD FD ＝32，解得FD ＝12
5
，
故FC ＝FD ＋DC ＝32
5
.
3．(2011·陕西高考)如图，∠B ＝∠D ，AE ⊥BC ，∠ACD ＝90°，且
AB ＝6，AC ＝4，AD ＝12，求BE .
解：由于∠B ＝∠D ，∠AEB ＝∠ACD ，故△ABE ∽△ADC ，从而得AB AD
＝
AE
AC
，解得AE ＝2， 故BE ＝AB 2
－AE 2
＝4 2.
4．在△ABC 中，∠BAC ＝90°，BC 边的垂直平分线EM 和AB 以及CA 的延长线分别交于
D 、
E ，连结AM ，求证：AM 2＝DM ·EM .
证明：∵∠BAC ＝90°，M 是BC 边的中点，∴AM ＝CM ， ∠MAC ＝∠C ，
又∵EM ⊥BC ，∴∠E ＋∠C ＝90°， 又∵∠BAM ＋∠MAC ＝90°，∴∠E ＝∠BAM . 又∵∠EMA ＝∠AMD ， ∴△AMD ∽△EMA .∴AM DM ＝EM AM
， ∴AM 2
＝DM ·EM .
5．如图，Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，BE 平分∠ABC 交AC 于E ，EF ⊥BC 于F .
求证：EF ∶DF ＝BC ∶AC .
证明：∵∠BAC ＝90°，且AD ⊥BC ， ∴由射影定理得AC 2
＝CD ·BC ， ∴AC CD ＝BC AC
.①
∵EF ⊥BC ，AD ⊥BC ，∴EF ∥AD ，∴AE DF ＝
AC
CD
. 又BE 平分∠ABC ，且EA ⊥AB ，EF ⊥BC ，∴AE ＝EF ， ∴EF DF ＝AC CD
.② 由①②得EF DF ＝
BC
AC
，
即EF ∶DF ＝BC ∶AC .
1．在△ABC 中，点D 是AC 的中点，点E 是BD 的中点，AE 交BC 于点F ，求BF FC
的值．
解：过点D 作DM ∥AF 交BC 于点M .∵点E 是BD 的中点，∴在△BDM 中，BF ＝FM . 又点D 是AC 的中点，∴ 在△CAF 中，CM ＝MF ， ∴BF FC ＝
BF FM ＋MC ＝1
2
.
2.如图所示，平行四边形ABCD 中，AE ∶EB ＝1∶2，若△AEF 的面积等于1 cm 2
，求△CDF 的面积．
解：∵AE EB ＝12，∴AE AB ＝AE CD ＝13
.
又DC ∥AE ，∴△DCF ∽△EAF . ∴
S △DCF S △EAF ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫CD AE 2＝9，即S △DCF ＝9(cm 2
)． 3．如图所示，已知直线FD 和△ABC 的BC 边交于D ，与AC 边交于E ，与BA 的延长线交于F ，且BD ＝DC ，求证：AE ·FB ＝BC ·FA .
证明：过A 作AG ∥BC ，交DF 于G 点．
∴FA FB ＝AG BD .又∵BD ＝DC ， ∴FA FB ＝AG DC
. ∵AG ∥BC ，∴AG DC ＝
AE EC ，∴AE EC ＝FA
FB
，
即AE ·FB ＝EC ·FA .
第二节 直线与圆的位置关系
[备考方向要明了]
考 什 么
怎 么 考
1.会证明并应用圆周角定理，圆的切线的判定定理与性质定理．
2.会证明并应用相交弦定理，圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理.
与圆有关的切线、割线以及三角形问题是高考的热点内容．以解答题形式考查，一般以基础知识为主，难度不大，如2012年新课标T22等.
[归纳·知识整合] 1．圆周角
[探究] 1.圆周角具有的两个特征是什么？
提示：顶点在圆上，角的两边与圆相交是圆周角的两个基本特征．2.圆的切线
3．弦切角定理及其推论
4．圆中的比例线段
5．圆内接四边形的性质定理和判定定理
[探究] 2.任意一个四边形是否有外接圆，三角形呢？
提示：任意一个四边形不一定有外接圆，但一个三角形一定有外接圆，并且外接圆惟一．
[自测·牛刀小试]
1．从圆外一点P向圆O所引的一条切线为PA(切点为A)，连结PO并延长交圆O于点B，若PA＝3，PB＝3，求圆O的周长．
解：由切割线定理，得PA2＝PC·PB.所以PC＝1.从而BC＝2，圆O
的半径R＝1，周长为2πR＝2π.
2．如图，已知⊙O的弦AB交半径OC于点D，若AD＝3，BD＝2，且
D为OC的中点，求CD的长．
解：延长CO交圆O于E，由相交弦定理，得AD·DB＝DC·DE，又DE＝3DC，所以3×2＝3DC2，DC＝ 2.
3.如图，在直角三角形ABC中，∠B＝90°，AB＝4，以BC为直径的
圆交边AC于点D，AD＝2，求∠C的大小．
解：连结BD，则有∠ADB＝90°.
在Rt△ABD中，AB＝4，AD＝2，所以∠A＝60°；
在Rt△ABC中，∠A＝60°，于是有∠C＝30°.
4.如图，从圆O外一点P引圆的切线PC和割线PBA，已知PC＝2PB，BC
＝3，求AC的长．
解：∵∠PCB＝∠PAC，
∠CPB＝∠APC，
∴△PBC∽△PCA，
∴PB
PC
＝
BC
AC
，∴
BC
AC
＝
1
2
，∴AC＝2 3.
5.如图，已知EB是半圆O的直径，A是BE延长线上一点，AC是半圆O的切线，切点为D，BC⊥AC于C，若BC＝6，AC＝8，求AE.
解：设圆的半径为R，连结DO，
AB＝AC2＋BC2＝10，
BC DO ＝
AB
AO
，
6
R
＝
10
10－R
，R＝
15
4
，AE＝10－2R＝10－
15
2
＝
5
2
.
[例1] 如图，已知圆上的弧
»AC＝»BD，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点．
求证：(1)∠ACE＝∠BCD；
(2)BC2＝BE×CD.
[自主解答] (1)因为
»AC＝»BD，所以∠BCD＝∠ABC.又因为EC与圆相切于点C，根据弦切角定理知∠ACE＝∠ABC，所以∠ACE＝∠BCD.
(2)因为∠ECA等于»AC上的圆周角，∠ACB等于»AB上的圆周角，所以∠ECB等于¼
CAB
上的圆周角，故∠ECB＝∠CDB，又由(1)知∠EBC＝∠BCD，所以△BDC∽△ECB，故BC
BE ＝
CD BC
，
即BC2＝BE×CD.
———————————————————
弦切角定理的应用
弦切角定理经常作为工具，进行三角形相似的证明，然后利用三角形相似进一步确定相应边之间的关系，在圆中证明比例式或等积式，常常需要借助于三角形相似处理．
1.如图，已知直线MN与以AB为直径的半圆相切于点C，∠CAB＝28°.
(1)求∠ACM的度数；
(2)在MN上是否存在一点D，使AB·CD＝AC·BC？为什么？
解：(1)∵AB是直径，∴∠ACB＝90°.又∵∠CAB＝28°，
∴∠CBA＝62°.∵MN是切线，C为切点，
∴∠ACM＝62°.
(2)在MN上存在符合条件的点D.
证明如下：
过点A作AD⊥MN，垂足为D，如图，在Rt△ABC和Rt△ACD中，∵MN切半圆于点C，∴∠ABC＝∠ACD.
∴△ABC∽△ACD.
∴AB
AC
＝
BC
CD
.∴AB·CD＝AC·BC.
同理，过B点向MN作垂线，垂足D′同样符合条件．
圆的切线的判定及性质
[例2] 如图，已知弦AB与⊙O的半径相等，连结OB并延长使BC＝OB.
(1)问AC与⊙O的位置关系是怎样的；
(2)试在⊙O上找一点D，使AD＝AC.
[自主解答] (1)∵AB与⊙O的半径相等，
∴△OAB为正三角形，∠OAB＝60°＝∠OBA.
又∵BC＝OB＝AB，∴∠BAC＝∠C＝30°，
故∠OAC＝90°，∴AC与⊙O相切．
(2)延长BO交⊙O于D，连结AD，则必有AD＝AC.理由如下：
∵∠BOA＝60°，OA＝OD，
∴∠D＝30°.
又∵∠C＝30°，∴∠C＝∠D，
∴AD＝AC.
———————————————————
证明直线是圆的切线的方法
证明直线是圆的切线的方法：若已知直线经过圆上某点(或已知直线与圆有公共点)，则连结圆心和这个公共点，设法证明直线垂直于这条半径；如果已知条件中直线与圆的公共点不明确(或没有公共点)，则应过圆心作直线的垂线，得到垂线段，设法证明这条垂线段的长等于圆的半径．
2．如图，⊙O 1和⊙O 2内切于点P ，且⊙O 1过点O 2，PB 是⊙O 2的直径，A 为⊙O 2上的点，连结AB ，过O 1作O 1C ⊥AB 于点C ，连结CO 2，若PA ＝4
3
，PB ＝4，求证：BA 是⊙O 1的切线．
证明：∵O 1C ⊥AB ，∴∠O 1CB ＝90°.
又∵⊙O 1和⊙O 2内切于点P,PB 是⊙O 2的直径， ∴PB 过O 1且∠PAB ＝90°， ∴O 1C ∥PA ，∴
PA O 1C ＝PB O 1B
. ∵⊙O 1过点O 2，PB ＝4， ∴O 1B ＝3，O 1P ＝1. 又PA ＝4
3，∴O 1C ＝1.
∴BA 是⊙O 1的切线．
与圆有关的比例线段问题
[例3] (2012·天津高考改编)如图，已知AB 和AC 是圆的两条弦，过点B 作圆的切线与AC 的延长线相交于点D .过点C 作BD 的平行线与圆相交于点E ，与AB 相交于点F ，AF ＝3，FB ＝1，EF ＝3
2
，求线段CD 的长．
[自主解答] 因为AF ·FB ＝CF ·FE ， 所以CF ＝2，
又CF BD ＝AF AB ＝34⇒BD ＝83
， 设CD ＝x ，则AD ＝4x ， 又BD 2
＝x ·4x ⇒x ＝43
.
————————————————
———
与圆有关的比例线段问题的解题方法
涉及与圆有关的等积线段或成比例的线段，常利用圆周角或弦切角证明三角形相似，在相似三角形中寻找比例线段；也可以利用相交弦定理、切割线定理证明线段成比例，在实际应用中，一般涉及两条相交弦应首先考虑相交弦定理，涉及两条割线就要想到割线定理，见
到切线和割线时要注意应用切割线定理．
3.如图所示，PA切⊙O于点A，割线PBC交⊙O于点B，C，∠APC 的角平分线分别与AB，AC相交于点D，E，求证：
(1)AD＝AE；
(2)AD2＝DB·EC.
证明：(1)∠AED＝∠EPC＋∠C，
∠ADE＝∠APD＋∠PAB.
因为PE是∠APC的角平分线，故∠EPC＝∠APD.
又PA是⊙O的切线，故∠C＝∠PAB.
所以∠AED＝∠ADE.故AD＝AE.
(2)∵PE是∠APC角平分线，AD＝AE，
∴EC
AD
＝
PC
PA
；
AE
DB
＝
PA
PB
.
又PA是切线，PBC是割线⇒PA2＝PB·PC⇒PA
PB
＝
PC
PA
.故
EC
AD
＝
AE
DB
，又AD＝AE，故AD2＝DB·EC.
3个结论——直线与圆位置关系的三个相关结论
(1)切点与圆心的连线与圆的切线垂直；过切点且与圆的切线垂直的直线过圆心；
(2)相离两圆的内公切线夹在外公切线间的线段长等于两圆外公切线的长；
(3)若两点在一条线段同侧且对该线段张角相等，则此两点与线段两个端点共圆，特别地，对定线段张角为直角的点共圆．
5种方法——与圆有关的辅助线的五种方法
(1)有弦，作弦心距；
(2)有直径，作直径所对的圆周角；
(3)有切点，作过切点的半径；
(4)两圆相交，作公共弦；
(5)两圆相切，作公切线．
2种思路——解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路
(1)直接应用相交弦、切割线定理及其推论；
(2)当比例式(等积式)中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似，一般思路为“相似三角形→比例式→等积式”．在证明中有时还要借助中间比来代换，解题时应灵活把握.
易误警示——与圆有关的计算问题中的误区
[典例] (2012·陕西高考改编)如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EF⊥DB，垂足为F，若AB＝6，AE＝1，求DF·DB.
[解] 由相交弦定理可知，DE2＝AE×EB＝5，又易知△EBD∽△FED，得DF·DB＝DE2＝5.
[易误辨析]
(1)因不知道相交弦定理，得不出AE×EB＝DE2；
(2)因找不出相似三角形，得不出等积式；
(3)解答此类问题还易对基本知识了解不够、定理记忆不准等而出现错误．
[变式训练]
如图所示，已知在△ABC中，∠ABC＝90°，O是AB上一点，以O
为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D，连结DB，DE，
OC.若AD＝2，AE＝1，求CD的长．
解：由切割线定理得AD2＝AE·AB，
所以AB＝4，EB＝AB－AE＝3.
又∵∠OCD＝∠ADE＝90°－∠CDB，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACO，
∴AD
AE
＝
AC
AO
，即
2
1
＝
CD＋2
2.5
，CD＝3.故CD的长等于3.
1．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，以BC 为直径的圆O 交AC 于点D ，连结OD ，并延长交BA 的延长线于点E ，圆O 的切线DF 交EB 于F .
(1)证明：AF ＝BF ；
(2)若ED ＝8，sin E ＝4
5
，求OC 的长．
解：(1)证明：连结BD ，则∠BDC ＝90°，由DF 是切线，得FB ＝FD ，∠FDO ＝∠EDF ＝90°， ∵∠FDA ＋∠ADE ＝∠FDA ＋∠BCD ＝90°， ∠BAD ＋∠BCD ＝90°.∴∠FDA ＝∠BAD . ∴FA ＝FD ，∴AF ＝BF . (2)sin E ＝
OC OC ＋ED ＝45，OC OC ＋8＝4
5
，OC ＝32. 2．如图，已知AP 是圆O 的切线，P 为切点，AC 是圆O 的割线，与圆O 交于B 、C 两点，圆O 在∠PAC 的内部，点M 是BC 的中点．
(1)证明A、P、O、M四点共圆；
(2)求∠OAM＋∠APM的大小．
解：(1)证明：连结OP、OM.
因为AP与圆O相切，所以OP⊥AP.
因为M是圆的弦BC的中点，所以OM⊥BC.
于是∠OPA＋∠OMA＝180°.
由圆心O在∠PAC的内部，可知四边形APOM的对角互补，所以A、P、O、M四点共圆．
(2)由(1)，得A、P、O、M四点共圆，
所以∠OAM＝∠OPM.由(1)，得OP⊥AP.
由圆心O在∠PAC的内部，可知∠OPM＋∠APM＝90°，所以∠OAM＋∠APM＝90°.
3.(2012·宿迁模拟)如图，AB是⊙O的直径，弦BD、CA的延长线
相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F.求证：
(1)∠AED ＝∠AFD ； (2)AB 2
＝BE ·BD －AE ·AC . 证明：(1)连结AD . 因为AB 为圆的直径，所以 ∠ADB ＝90°，
又EF ⊥AB ，∠EFA ＝90°， 则A 、D 、E 、F 四点共圆． ∴∠DEA ＝∠DFA .
(2)由(1)知，BD ·BE ＝BA ·BF . 连结BC ，显然△ABC ∽△AEF ， ∴AB AE ＝AC AF
.即AB ·AF ＝AE ·AC .
∴BE ·BD －AE ·AC ＝BA ·BF －AB ·AF ＝AB (BF －AF )＝AB 2
.
4．(2012·辽宁高考)如图，⊙O 和⊙O ′相交于A ，B 两点，过A 作两圆的切线分别交两圆于C ，D 两点，连结DB 并延长交⊙O 于点E .证明：
(1)AC ·BD ＝AD ·AB ； (2)AC ＝AE .
证明：(1)由AC 与⊙O ′相切于A ，得∠CAB ＝∠ADB ， 同理∠ACB ＝∠DAB ，
所以△ACB ∽△DAB .从而AC AD ＝AB BD
， 即AC ·BD ＝AD ·AB .
(2)由AD 与⊙O 相切于A ，得∠AED ＝∠BAD ， 又∠ADE ＝∠BDA ，得
△EAD ∽△ABD .从而AE AB ＝AD
BD ，
即AE ·BD ＝AD ·AB .
结合(1)的结论，AC ＝AE .
5．如图，△ABC 内接于⊙O ，且AB ＝AC ，过点A 的直线交⊙O
于点P ，交BC 的延长线于点D .
(1)求证：AC 2＝AP ·AD ；
(2)如果∠ABC ＝60°，⊙O 的半径为1，且P 为弧»AC 的中点，
求AD 的长．
解：(1)证明：连结BP .
∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB .
又∠ACB ＝∠APB ，
∴∠ABC ＝∠APB .
∴△ABP ∽△ADB .
∴AB AP ＝AD
AB ，
即AB 2＝AP ·AD .
∵AB ＝AC ，∴AC 2＝AP ·AD .
(2)∵∠ABC ＝60°且AB ＝AC ，∴△ABC 是等边三角形．
∴∠BAC ＝60°.∵P 为弧AC 的中点．
∴∠ABP ＝∠PAC ＝30°.∴∠BAP ＝90°.
∴BP 是⊙O 的直径．∴BP ＝2.∴AP ＝1
2BP ＝1.
在Rt △PAB 中，AB 2＝BP 2－AP 2＝3，
∴AD ＝AB 2
AP ＝3.
1.如图所示，AB ，CD 是半径为a 的圆O 的两条弦，它们相交于AB 的中点P ，PD ＝2a 3
，∠OAP ＝30°，求CP 的长．
解：由题意知OP ⊥AB ，且AP ＝32
a ， 根据相交弦定理AP 2＝CP ·PD ，CP ＝98
a . 2．(2013·韶关调研)如图所示，⊙O 和⊙O ′相交于A 、B 两点，过A 作两圆的切线分别交两圆于C 、D ，若BC ＝4，BD ＝9，求AB 的长．
解：因为AC 、AD 分别是两圆的切线，所以∠C ＝∠2，∠1＝∠D ，所以△ACB ∽△DAB .所以BC AB ＝AB BD ，所以AB 2＝BC ·BD ，又BC ＝4，BD ＝9，因此AB ＝6.
3．如图，在△ABC 中，CD 是∠ACB 的角平分线，△ACD 的外接圆交BC 于点E ，AB ＝2AC .
(1)求证：BE ＝2AD ；
(2)当AC ＝1，BC ＝2时，求AD 的长．
解：(1)证明：连结DE ，因为ACED 是圆的内接四边形，所以∠BDE ＝∠BCA .又∠DBE ＝∠CBA ，
所以△BDE ∽△BCA ，即有BE BA ＝
DE CA
.而AB ＝2AC ，所以BE ＝2DE .又CD 是∠ACB 的平分线，所以AD ＝DE ，
从而BE ＝2AD .
(2)由条件得AB ＝2AC ＝2，设AD ＝t ，根据割线定理得 BD ·BA ＝BE ·BC ，即(AB －AD )·BA ＝2AD ·BC ，
所以(2－t )·2＝2t ·2，解得t ＝23，即AD ＝23
. 4．(2011·江苏高考)如图所示，圆O 1与圆O 2内切于点A ，其半径分别为r 1与r 2(r 1＞r 2)．圆O 1的弦AB 交圆O 2于点C (O 1不在AB 上)．求证：AB ∶AC 为定值．
证明：连结AO 1，并延长分别交两圆于点E 和点D .连结BD ，CE .因为圆O 1与圆O 2内切于点A ，所以点O 2在AD 上．故AD ，AE 分别为圆O 1，圆O 2的直径．
从而∠ABD ＝∠ACE ＝π2.
所以BD ∥CE ，
于是AB AC ＝AD AE ＝2r 12r 2＝r
1r 2
.
所以AB ∶AC 为定值．。