课时跟踪检测(五十三) 圆的方程 作业

课时跟踪检测（五十三） 圆的方程
一、题点全面练
1．圆(x －3)2＋(y －1)2＝5关于直线y ＝－x 对称的圆的方程为( ) A ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝5 B ．(x －1)2＋(y －3)2＝5 C ．(x ＋1)2＋(y ＋3)2＝5
D ．(x －1)2＋(y ＋3)2＝5
解析：选C 由题意知，所求圆的圆心坐标为(－1，－3)，半径为5，所以所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋3)2＝5，故选C.
2．已知三点A (1,0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( ) A.53 B.213
C.253
D.43
解析：选B 设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)，
∴⎩⎨⎧
1＋D ＋F ＝0，
3＋3E ＋F ＝0，
7＋2D ＋3E ＋F ＝0，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
D ＝－2，
E ＝－433
，
F ＝1，
∴△ABC 外接圆的圆心为⎝
⎛⎭⎫1，233，
故△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为
1＋
⎝⎛⎭
⎫2332＝
21
3
. 3．(2019·成都模拟)若抛物线y ＝x 2－2x －3与坐标轴的交点在同一个圆上，则由交点确定的圆的方程为( ) A ．x 2＋(y －1)2＝4 B.(x －1)2＋(y －1)2＝4 C ．(x －1)2＋y 2＝4
D ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝5
解析：选D 抛物线y ＝x 2－2x －3关于直线x ＝1对称，与坐标轴的交点为A (－1,0)，B (3,0)，C (0，－3)，设圆心为M (1，b )，半径为r ，则|MA |2＝|MC |2＝r 2，即4＋b 2＝1＋(b ＋3)2＝r 2，解得b ＝－1，r ＝5，∴由交点确定的圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝5，故选D.
4．(2019·银川模拟)若圆C 与y 轴相切于点P (0,1)，与x 轴的正半轴交于A ，B 两点，且|AB |＝2，则圆C 的标准方程是( ) A ．(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝2 B.(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝2 C ．(x －2)2＋(y －1)2＝2
D ．(x －1)2＋(y －2)2＝2
解析：选C 设线段AB 的中点为D ，则|AD |＝|CD |＝1，∴r ＝|AC |＝2＝|CP |，故C (2，1)，故圆C 的标准方程是(x －2)2＋(y －1)2＝2，故选C.
5．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任意一点连接的线段的中点的轨迹方程为( )
A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B.(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4
D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1
解析：选A 设中点为A (x ，y )，圆上任意一点为B (x ′，y ′)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧
x ′＋4＝2x ，
y ′－2＝2y ，则
⎩⎪⎨⎪
⎧
x ′＝2x －4，y ′＝2y ＋2，
故(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，化简得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1，故选A. 6．在平面直角坐标系内，若曲线C ：x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0上所有的点均在第四象限内，则实数a 的取值范围为________．
解析：圆C 的标准方程为(x ＋a )2＋(y －2a )2＝4，所以圆心为(－a,2a )，半径r ＝2，故由题意知⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＜0，|－a |＞2，|2a |＞2，
解得a ＜－2，故实数a 的取值范围为(－∞，－2)．
答案：(－∞，－2)
7．已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455
，则圆C 的方程为____________________．
解析：因为圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，设C (a,0)，且a ＞0，所以圆心到直线2x －y ＝0的距离d ＝
2a 5
＝455，解得a ＝2，所以圆C 的半径r ＝|CM |＝4＋5＝3，所以圆C 的方程
为(x －2)2＋y 2＝9. 答案：(x －2)2＋y 2＝9
8．在平面直角坐标系xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为____________________．
解析：因为直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )恒过点(2，－1)，所以当点(2，－1)为切点时，半径最大，此时半径r ＝2，故所求圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝2. 答案：(x －1)2＋y 2＝2
9．已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1,0)和B (3,4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C ，D ，且|CD |＝410. (1)求直线CD 的方程； (2)求圆P 的方程．
解：(1)由题意知，直线AB 的斜率k ＝1，中点坐标为(1,2)．则直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0.
(2)设圆心P (a ，b )，由点P 在CD 上得a ＋b －3＝0.① 又∵直径|CD |＝410，
∴|PA |＝210， ∴(a ＋1)2＋b 2＝40.②
由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝6或⎩
⎪⎨⎪
⎧
a ＝5，
b ＝－2.
∴圆心P (－3,6)或P (5，－2)．
∴圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40.
10．已知M 为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点，且点Q (－2,3)． (1)求|M Q |的最大值和最小值； (2)若M (m ，n )，求
n －3
m ＋2
的最大值和最小值． 解：(1)由圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0， 可得(x －2)2＋(y －7)2＝8，
所以圆心C 的坐标为(2,7)，半径r ＝2 2. 又|Q C |＝(2＋2)2＋(7－3)2＝42＞2 2. 所以点Q 在圆C 外，
所以|M Q |max ＝42＋22＝62， |M Q |min ＝42－22＝2 2.
(2)可知n －3
m ＋2表示直线M Q 的斜率，
设直线M Q 的方程为y －3＝k (x ＋2)， 即kx －y ＋2k ＋3＝0，则n －3
m ＋2＝k .
因为直线M Q 与圆C 有交点， 所以|2k －7＋2k ＋3|1＋k 2≤22，
可得2－3≤k ≤2＋3，
所以n －3m ＋2的最大值为2＋3，最小值为2－ 3.
二、专项培优练
(一)易错专练——不丢怨枉分
1．方程|y |－1＝1－(x －1)2表示的曲线是( )
A ．一个椭圆 B.一个圆 C ．两个圆
D ．两个半圆
解析：选D 由题意知|y |－1≥0，则y ≥1或y ≤－1，当y ≥1时，原方程可化为(x －1)2＋(y －1)2＝1(y ≥1)，其表示以(1，1)为圆心、1为半径、直线y ＝1上方的半圆；当y ≤－1时，原方程可化为(x －1)2＋(y ＋1)2＝1(y ≤－1)，其表示以(1，－1)为圆心、1为半径、直线y ＝－1下方的半圆．所以方程|y |－1＝1－(x －1)2表示的曲线是两个半圆，选D.
2．(2019·海口模拟)已知实数x ，y 满足x 2＋y 2＝4(y ≥0)，则m ＝3x ＋y 的取值范围是( ) A ．(－23，4) B.[－23，4] C ．[－4,4]
D ．[－4,23]
解析：选B x 2＋y 2＝4(y ≥0)表示圆x 2＋y 2＝4的上半部分，如图所示，直线3x ＋y －m ＝0的斜率为－3，在y 轴上的截距为m .当直线3x ＋y －m ＝0过点(－2,0)时，m ＝－2 3.设圆心(0,0)到直线3x ＋y －m ＝0的距离为d ，
则⎩⎨⎧
m ≥－23，d ≤2，即⎩⎪⎨⎪⎧
m ≥－23，|－m |2≤2，
解得m ∈[－23，4]．
3．若对圆(x －1)2＋(y －1)2＝1上任意一点P (x ，y )，|3x －4y ＋a |＋|3x －4y －9|的取值与x ，y 无关，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－4]
B.[－4,6] C ．(－∞，－4]∪[6，＋∞)
D ．[6，＋∞)
解析：选D |3x －4y －9|表示点P 到直线l 1：3x －4y －9＝0的距离的5倍，|3x －4y ＋a |表示点P 到直线l 2：3x －4y ＋a ＝0的距离的5倍，|3x －4y ＋a |＋|3x －4y －9|的取值与x ，y 无关，即点P 到直线l 1，l 2的距离之和与点P 的位置无关，所以直线3x －4y ＋a ＝0与圆相离或相切，并且l 1和l 2在圆的两侧，所以|3－4＋a |5
≥1，且a ＞0，解得a ≥6，故选D.
4．已知圆C 关于y 轴对称，经过点(1,0)且被x 轴分成两段，弧长比为1∶2，则圆C 的方程为______________________．
解析：由已知圆心在y 轴上，且被x 轴所分劣弧所对圆心角为2π
3，设圆心(0，a ), 半径为r ，
则r sin π3＝1，r cos π3＝|a |，解得r ＝23，即r 2＝43，|a |＝33，即a ＝±3
3，故圆C 的方程为x 2
＋⎝⎛⎭⎫y ±
332＝43
.
答案：x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±
332＝43
5．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1，设点P 是圆C 上的动点．记d ＝|PB |2＋|PA |2，其中A (0,1)，B (0，－1)，则d 的最大值为________．
解析：设P (x 0，y 0)，d ＝|PB |2＋|PA |2＝x 20＋(y 0＋1)2＋x 20＋(y 0－1)2＝2(x 20＋y 20)＋2.x 20＋y 20为圆上任一点到原点距离的平方，∴(x 20＋y 20)max ＝(32＋42＋1)2＝36，∴d max ＝74.
答案：74
(二)交汇专练——融会巧迁移
6．[与不等式交汇]已知圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0关于直线ax －by ＋3＝0(a ＞0，b ＞0)对称，则1a ＋3
b 的最小值是( ) A ．2 3 B.203 C ．4
D.163
解析：选D 由圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0知，其标准方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝9，∵圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0关于直线ax －by ＋3＝0(a ＞0，b ＞0)对称，∴该直线经过圆心(－1,3)，即－a －3b ＋3＝0，∴a ＋3b ＝3(a ＞0，b ＞0)，
∴1a ＋3b ＝1
3
(a ＋3b )⎝⎛⎭⎫1a ＋3b ＝13⎝⎛⎭⎫1＋3a b ＋3b a ＋9≥13⎝⎛⎭⎫10＋2 3a b ·3b a ＝16
3
， 当且仅当3b a ＝3a
b ，即a ＝b 时取等号，故选D.
7．[与线性规划交汇]已知平面区域⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≥0，y ≥0，
x ＋2y －4≤0
恰好被面积最小的圆C ：(x －a )2＋(y －
b )2＝r 2及其内部所覆盖，则圆C 的方程为____________________． 解析：如图，不等式表示的平面区域是以O (0,0)，P (4,0)，Q (0，2)所构成的三角形及其内部，
∴覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆． ∵△OP Q 为直角三角形，
∴圆心为斜边P Q 的中点(2,1)，半径r ＝|P Q |
2
＝5， 因此圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5. 答案：(x －2)2＋(y －1)2＝5
8．[与函数交汇]如果直线2ax －by ＋14＝0(a ＞0，b ＞0)和函数f (x )＝m x ＋
1＋1(m ＞0，m ≠1)
的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆(x －a ＋1)2＋(y ＋b －2)2＝25的内部或圆上，那么b
a
的取值范围为________．
解析：易知函数f (x )＝m x ＋
1＋1(m ＞0，m ≠1)的图象过定点(－1,2)，∴直线2ax －by ＋14＝0(a ＞0，b ＞0)过定点(－1，2)，∴a ＋b ＝7，①
又定点(－1,2)在圆(x －a ＋1)2＋(y ＋b －2)2＝25的内部或圆上，∴a 2＋b 2≤25，② 由①②解得3≤a ≤4，∴14≤1a ≤1
3，
∴b a ＝7－a a ＝7
a －1∈⎣⎡⎦⎤34，43. 答案：⎣⎡⎦⎤34，43
9．[与向量交汇]已知圆C 过点P (1,1)，且与圆M ：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝r 2(r ＞0)关于直线x ＋y ＋2＝0对称． (1)求圆C 的方程；
(2)设Q 为圆C 上的一个动点，求P Q ―→·M Q ―→的最小值． 解：(1)设圆C 的圆心C (a ，b )，由已知得M (－2，－2)，
则⎩⎪⎨⎪⎧
a －22＋
b －2
2
＋2＝0，b ＋2a ＋2＝1，
解得⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＝0，
b ＝0，
则圆C 的方程为x 2＋y 2＝r 2，
将点P 的坐标代入得r 2＝2，故圆C 的方程为x 2＋y 2＝2.
(2)设Q (x 0，y 0)，则x 20＋y 20
＝2， P Q ―→·M Q ―→
＝(x 0－1，y 0－1)·(x 0＋2，y 0＋2)
＝x 20＋y 20＋x 0＋y 0－4＝x 0＋y 0－2.
令x 0＝2cos θ，y 0＝2sin θ， 所以P Q ―→·M Q ―→＝x 0＋y 0－2 ＝2(sin θ＋cos θ)－2 ＝2sin ⎝⎛⎭
⎫θ＋π
4－2， 又⎣⎡⎦
⎤sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4min ＝－1， 所以P Q ―→·M Q ―→
的最小值为－4.
(三)难点专练——适情自主选
10．在平面直角坐标系xOy 中，曲线Γ：y ＝x 2－mx ＋2m (m ∈R )与x 轴交于不同的两点A ，B ，曲线Γ与y 轴交于点C .
(1)是否存在以AB 为直径的圆过点C ？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由． (2)求证：过A ，B ，C 三点的圆过定点．
解：由曲线Γ：y ＝x 2－mx ＋2m (m ∈R )，令y ＝0，得x 2－mx ＋2m ＝0.设A (x 1,0)，B (x 2,0)，可得Δ＝m 2－8m ＞0，则m ＜0或m ＞8.x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝2m .令x ＝0，得y ＝2m ，即C (0,2m )． (1)若存在以AB 为直径的圆过点C ，则AC ―→·BC ―→＝0，得x 1x 2＋4m 2＝0，即2m ＋4m 2＝0，所以m ＝0(舍去)或m ＝－12
.
此时C (0，－1)，AB 的中点M ⎝⎛⎭⎫－1
4，0即圆心， 半径r ＝|CM |＝
17
4
， 故所求圆的方程为⎝⎛⎭⎫x ＋142＋y 2＝1716
. (2)证明：设过A ，B 两点的圆的方程为x 2＋y 2－mx ＋Ey ＋2m ＝0， 将点C (0,2m )代入可得E ＝－1－2m ，
所以过A ，B ，C 三点的圆的方程为x 2＋y 2－mx －(1＋2m )y ＋2m ＝0. 整理得x 2＋y 2－y －m (x ＋2y －2)＝0.
令⎩
⎪⎨
⎪
⎧
x 2＋y 2－y ＝0，
x ＋2y －2＝0，可得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝0，
y ＝1或⎩⎨⎧
x ＝2
5，
y ＝4
5，
故过A ，B ，C 三点的圆过定点(0,1)和⎝⎛⎭⎫
25，45.。