深圳中学必修第一册第五单元《三角函数》检测卷(包含答案解析)

一、选择题
1．已知0>ω，函数()sin 3f x x πω⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭在,2ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减，则ω的取值范围是（ ） A ．15,36
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．17,36
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C ．15,46
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D ．17,46
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
2．函数()2sin(2)33
f x x π
=-+的最小正周期为（ ）
A ．
2
π
B ．π
C ．2π
D ．4π
3．下列三个关于函数()sin 2sin 23f x x x π⎛⎫
=-+ ⎪⎝
⎭
的命题： ①只需将函数()3sin 2g x x =
的图象向右平移6
π
个单位即可得到()f x 的图象；
②函数()f x 的图象关于5,012π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称； ③函数()f x 在,63ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣
⎦上单调递增． 其中，真命题的个数为（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 4．已知一个扇形的半径与弧长相等，且扇形的面积为22cm ，则该扇形的周长为（ ） A ．6cm
B ．3cm
C ．12cm
D ．8cm
5．已知()tan f x x =，x ∈Z ，则下列说法中正确的是（ ） A ．函数()f x 不为奇函数 B ．函数()f x 存在反函数 C ．函数()f x 具有周期性
D ．函数()f x 的值域为R
6．函数()[sin()cos()]f x A x x ωθωθ=+++部分图象如图所示，当[,2]x ππ∈-时()f x 最小值为（ ）
A ．1-
B ．2-
C ．2-
D ．3-
7．已知函数()
()
2sin ,0,2f x x x x π=∈⎛⎫
⎡⎤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝
⎭，则()f x 的单调递增区间是（ ）
A ．06
,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．0,
4⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
π C ．0,
3π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
D ．0,
2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
8．如果函数()cos 3f x x θ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
的图象关于直线2x π
=对称，那么θ的最小值为（ ）
A ．
6
π
B ．
4
π
C ．
3
π D ．
2
π 9．已知函数()sin (0)6f x x πωω⎛⎫
=+> ⎪⎝
⎭在区间2,43ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上单调递增，则ω的取值范围为（ ） A ．80,3
⎛⎤ ⎥⎝
⎦
B ．10,2
⎛⎤ ⎥⎝
⎦
C ．18,23⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
D ．3
,28
⎡⎤⎢⎥⎣
⎦
10．已知函数()()sin 20,2f x A x A πϕϕ⎛⎫
=+>< ⎪⎝
⎭
满足03f π⎛⎫
=
⎪⎝⎭
，则()f x 图象的一条对称轴是（ ） A ．6
x π
=
B ．56
x π
=
C ．512
x π=
D ．712
x π=
11．sin15cos15+=（ ）
A ．
12
B ．
2
C ．
2
D ．
2
12．已知函数()()π
π3
6sin 0f x A x A ⎛⎫=>
⎪⎝⎭+在它的一个最小正周期内的图像上，最高点
与最低点的距离是5，则A 等于（ ）． A ．1
B ．2
C ．2.5
D ．4
二、填空题
13．已知函数()sin 2cos 2f x x a x =+，对x R ∀∈，|()|8f x f π⎛⎫
≤ ⎪⎝⎭
成立，则
a =_______.
14．已知函数()2
2sin cos f x x x x ωωω=-，且()f x 图象的相邻对称轴之间的
距离为π4，则当π0,4x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，()f x 的最小值为______． 15．在ABC 中，若sin 2sin cos A C B =，则这个三角形的形状是________． 16．已知ABC ∆不是直角三角形，45C =︒，则(1tan )(1tan )A B --=__. 17．已知tan 2α=，则cos2=α__．
18．若函数()πsin 26g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭在区间0,3a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦和7π4,6a ⎡⎤⎢⎥⎣
⎦上均递增，则实数a 的取值范围是______． 19．若0,2x π⎛
⎫
∀∈ ⎪⎝
⎭
，sin cos m x x ≥+恒成立，则m 的取值范围为_______________. 20．若πcos cos 24αα⎛⎫
-
= ⎪⎝
⎭
，则sin 2α=________. 三、解答题
21．已知函数()()0,2
2f x x π
πωϕωϕ⎛⎫
=+>-≤<
⎪⎝
⎭
的图象关于直线3
x π
=
对称，
且图象上相邻两个最高点的距离为π. （1）求ω和ϕ的值； （2）当0,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，求函数()y f x =的最大值和最小值. 22．已知函数()()sin 0,06f x A x A πωω⎛⎫=+>> ⎪⎝
⎭只能同时．．．．满足下列三个条件中的两
个：①图象上一个最低点为2,23M π⎛⎫
-
⎪⎝⎭；②函数()f x 的图象可由4y x π⎛⎫=- ⎪
⎝
⎭的图象平移得到；③若对任意x ∈R ，()()()12f x f x f x ≤≤恒成立，且12x x -的最小值为
2
π
. （1）请写出这两个条件序号，并求出()f x 的解析式； （2）求方程()10f x -=在区间[],ππ-上所有解的和.
23．已知函数()sin (sin )1f x x x x =+-. （1）若(0,
)2
π
α∈，且1
sin 2α=，求()f α的值；
（2）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间. 24．已知函数π()2sin 6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭
. （1）求()f x 的单调递减区间；
（2）设π()()6g x f x f x ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭. 当[0,]x m ∈时，()g x 的取值范围为0,2⎡⎣，求m 的最大值.
25．已知函数2()22cos 1f x x x =
-+．
（1）求()f x 的最小正周期；
（2）若对任意[
,]6
x m π
∈，都有()()6f x f π
≥，求m 的最大值．
26．已知函数()()sin 0,2f x x ϕωϕπω⎛
⎫
=->≤ ⎪⎝
⎭
的最小正周期为π. （1）求ω的值及()6g f ϕπ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
的值域； （2）若3
π
ϕ=
，sin 2cos 0αα-=. 求()f
α的值.
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一、选择题 1．B 解析：B 【分析】 由3222
3
2k x k π
π
ππωπ+
+
+
求得22766k k x ππππ
ωωωω
++，k z ∈．可得函数()f x 的一
个减区间为[6πω，7]6π
ω．再由6276ππωππ
ω
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，求得ω的范围．
【详解】
函数()sin()3f x x π
ω=+在(,)2
π
π上单调递减， 设函数的周期22
T T πππω⇒
=-，2ω∴． 再由函数()sin()3
f x x π
ω=+满足3222
3
2
k x k π
π
π
πωπ+
+
+
，k z ∈， 求得
22766k k x π
πππ
ω
ωωω
+
+，k z ∈． 取0k =，可得
766x ππ
ωω
， 故函数()f x 的一个减区间为[
6πω，
7]6π
ω
． 再由6276ππ
ωππ
ω
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，求得17
36ω，
故选：B ． 【点睛】
函数sin()y A x ωϕ=+的单调区间的求法：若0,0A ω>>,把x ωϕ+看作是一个整体，由
22k x π
πωϕ+≤+≤
()322
k k Z π
π+∈求得函数的减区间，由222
2
k x k π
π
πωϕπ-
+≤+≤
+求得增区间
2．B
解析：B 【分析】
利用函数()sin y A ωx φ=+的周期公式2T ω
π
=即可求解.
【详解】
22
T π
π=
=， 故函数()2sin(2)33
f x x π
=-+的最小正周期为π，
故选：B
3．C
解析：C 【分析】
先对函数()f x 进行化简，得到()26f x x π⎛
⎫- ⎪⎝
⎭，对于①运用三角函数图像平移进
行判断；对于②计算出函数()f x 的对称中心进行判断；对于③计算出函数()f x 的单调增区间进行判断. 【详解】
因为1()sin 2sin 2sin 22sin 232f x x x x x x π⎛
⎫
=-
+=+ ⎪⎝
⎭
3sin 222x x =
26x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭
对于①，将函数()2g x x =的图像向右平移
6
π
个单位可得函数
23y x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭的图像，得不到()26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故①错误； 对于②，令()26
x k k Z π
π-
=∈，解得()12
2
k x k Z π
π
=
+
∈，故无论k 取何整数，函数
()f x 的图像不会关于点5,012π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称，故②错误； 对于③，当()2222
6
2
k x k k Z π
π
π
ππ-
+≤-
≤
+∈，即()
6
3
k x k k Z π
π
ππ-
+≤≤
+∈时函数()f x 递增，当0k =时，()f x 的一个递增区间为,63ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
，故③正确.只有1个命题正确. 故选：C 【点睛】
思路点睛：解答此类题目需要熟练掌握正弦型函数的单调性、对称性，以及三角函数的图像平移，在计算单调区间和对称中心时要能够通过整体代入计算求出结果，如
()2222
6
2
k x k k Z π
π
π
ππ-
+≤-
≤
+∈等.
4．A
解析：A 【分析】
由题意利用扇形的面积公式可得2
122
R =，解得R 的值，即可得解扇形的周长的值．
【详解】
解：设扇形的半径为Rcm ，则弧长l Rcm =， 又因为扇形的面积为22cm ， 所以2
122
R =，
解得2R cm =， 故扇形的周长为6cm ． 故选：A ．
5．B
解析：B 【分析】
根据()tan f x x =，x ∈Z 图象与性质，逐一分析选项，即可得答案. 【详解】
对于A ：()f x 的定义域关于原点对称，且()tan()tan ()f x x x f x -=-=-=-，x ∈Z ，故()f x 为奇函数，故A 错误；
对于B ：()tan y f x x ==，x ∈Z 在定义域内一一对应，所以arctan =x y ，即()f x 的反函数为arctan y x =，故B 正确；
对于C ：因为()tan f x x =，x ∈Z ，故()f x 图象为孤立的点，不是连续的曲线，所以
()f x 不具有周期性，故C 错误；
对于D ：因为()tan f x x =，x ∈Z ，所以()f x 图象为孤立的点，不是连续的曲线，所以
()f x 的值域为一些点构成的集合，不是R ，故D 错误.
故选：B
6．D
解析：D 【分析】
首先结合图像求得()f x 的解析式，然后根据三角函数最值的求法，求得()f x 在区间
[],2ππ-上的最小值.
【详解】
由已知()()sin 04f x x πωθω⎛
⎫=
⋅++> ⎪⎝
⎭，
由图象可知取A =
，
52433
T ππ
π=-=， 故最小正周期4T π=，所以21
2
T πω==， 所以()1
2sin 2
4f x x πθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，
由55152sin 2sin 0332464f π
πππ
πθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯++=++=
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，
及图象单调性知，取
564
ππ
θπ++=，则46ππθ+=
所以()1
2sin 26x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，
[],2x ππ∈-，17,2636x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦
， ()
f x 最小值为()2sin 3f ππ⎛⎫
-=-= ⎪⎝⎭
故选：D
7．A
解析：A 【分析】
根据三角恒等变换公式化简()f x ，结合x 的范围，可得选项. 【详解】
因为()()
2sin ,0,2f x x x x π=+∈⎛⎫
⎡⎤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝
⎭，所以 ()()
2
22sin sin cos +3cos f x x x
x x x x +==
222cos +12cos 2+22sin 2+26x x x x x π⎛
⎫=+=+=+ ⎪⎝
⎭，
因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，所以72+,666x πππ∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以由2+662x πππ≤≤，解得06x π
≤≤， 所以()f x 的单调递增区间是06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，
故选：A.
8．A
解析：A 【分析】
利用余弦函数的对称轴以及整体思想可得：θ的表达式，进而得到θ的最小值． 【详解】
由题意函数()cos 3f x x θ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
的图象关于直线2x π=对称，
则有 1,32
k π
θπ⋅
+= 解得 θ＝k π6
π
-，k ∈Z ，
所以由此得|θmin 6
π
=．
故选：A ． 【点睛】
方法点睛：求正余弦函数的对称轴及对称中心一般利用整体思想求解
9．B
解析：B 【分析】
由正弦函数的性质可得1
21(2)(2),33
k x k k Z ππ
ππω
ω-
≤≤+∈，结合已知单调区间列不等式组求ω解集即可. 【详解】
由函数解析式知：()f x 在()2,222k k k Z ππππ⎡
⎤-+∈⎢⎥⎣
⎦上单调递增，
∴
1
21(2)(2),33
k x k k Z ππ
ππω
ω-
≤≤+∈，()f x 单调递增， 又∵()f x 在区间2,43ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
上单调递增，
∴12(2)34
12(2)33k k πππωπππω
⎧-≤-⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩，解得8831320k k k Z ωωω⎧≤-⎪⎪⎪≤+⎨⎪
>⎪⎪∈⎩
，所以当0k =时，有102ω<≤，
故选：B 【点睛】
关键点点睛：利用整体代入法得到
1
21(2)(2),33
k x k k Z ππ
ππω
ω-
≤≤+∈，结合已知单调区间与所得区间的关系求参数范围.
10．D
解析：D 【分析】
利用三角函数的性质，2()sin(
)03
3
f A π
π
ϕ=+=，求ϕ，然后，令()f x A =，即可求解 【详解】
根据题意得，2()sin(
)03
3
f A π
πϕ=+=，得23k πϕπ+=，k z ∈又因为2π
ϕ<，进而求得，3
π
ϕ=
，所以，()sin(2)3
f x A x π
=+
，令()f x A =，所以，sin(2)13x π
+=，
所以，2,3
2
x k k z π
π
π+
=
+∈，解得,k x k z 12
2
π
π
=
+
∈，当1k =时，712x π=，所以，()f x 图象的一条对称轴是712
x π
= 故选D 【点睛】
关键点睛：求出ϕ后，令()f x A =，所以，sin(2)13
x π
+
=，进而求解，属于中档题
11．D
解析：D 【分析】
由辅助角公式可直接计算得到结果. 【详解】
()6
sin15cos152sin 15452sin 60+=+==
. 故选：D.
12．B
解析：B 【分析】
根据正弦型函数图象性质确定函数()f x 的最小正周期T ，再根据最高点与最低点的距离是5
5=，从而解得A 的值. 【详解】
解：函数()()π
π3
6sin 0f x A x A ⎛⎫=> ⎪⎝⎭+的最小正周期2263
T ππ
πω
=== 函数()()π
π3
6sin 0f x A x A ⎛⎫=> ⎪⎝⎭+在它的一个最小正周期内的图像上，最高点与最低
点的距离是5，
5=，解得2A =.
故选：B. 【点睛】
对于三角函数，求最小正周期和最值时可先把所给三角函数式化为()sin y A ωx φ=+或
()cos y A x ωϕ=+的形式，则最小正周期为2T ω
π
=
，最大值为A ，最小值为A -；奇
偶性的判断关键是解析式是否为sin y A x ω=或cos y A x ω=的形式．
二、填空题
13．1【分析】利用辅助角公式和为的形式：根据已知可得是f(x)的图象的对称轴进而求得利用的关系和诱导公式求得的值【详解】解：其中∵对成立∴是f(x)的图象的对称轴即∴故答案为：1【点睛】本题考查三角函数
解析：1 【分析】
利用辅助角公式和为()Asin x ωϕ+
的形式：
()sin 2cos2)f x x a x x ϕ=+=+，根据已知可得π
8
x =
是f(x)的图象的对称轴，进而求得ϕ，利用,a ϕ的关系tan a ϕ=和诱导公式求得a 的值. 【详解】
解：()sin 2cos2)f x x a x x ϕ=+=+，
其中sin tan a ϕϕϕ=
=
=.
∵对x R ∀∈，|()|8f x f π⎛⎫
≤ ⎪⎝⎭
成立， ∴π8x =
是f(x)的图象的对称轴，即π2,82
k k Z π
ϕπ⨯+=+∈, ∴,4k k Z π
ϕπ=+
∈，
tan 1a ϕ==，
故答案为：1. 【点睛】
本题考查三角函数的图象和性质，涉及辅助角公式化简三角函数，利用辅助角化简是前
提，理解,a ϕ的关系是基础，由对x R ∀∈，|()|8f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭
成立，得出π8x =是f(x)的图象的对称轴是关键.
14．【分析】先将函数化简整理根据相邻对称轴之间距离求出周期确定再根据正弦函数的性质结合给定区间即可求出最值【详解】因为由题意知的最小正周期为所以即所以当时所以因此所以函数的最小值为故答案为：
解析：-
【分析】
先将函数化简整理，根据相邻对称轴之间距离求出周期，确定2ω=，再根据正弦函数的性质，结合给定区间，即可求出最值. 【详解】
因为()2
1cos 22sin cos sin 22
x f x x x x x ωωωωω+=-=- π
sin 222sin 23x x x ωωω⎛
⎫=-=-- ⎪⎝
⎭
由题意知()f x 的最小正周期为ππ
242
⨯=，所以
2ππ22ω=，即2ω=，
所以()π2sin 43f x x ⎛
⎫
=-
⎪⎝
⎭
当π0,4x ⎡
⎤∈⎢⎥⎣⎦
时，ππ2π4,333x ⎡⎤
-∈-⎢⎥⎣⎦，
所以π2sin 423x ⎛
⎫⎡⎤-∈ ⎪⎣⎦⎝
⎭，
因此()π2sin 423f x x ⎛
⎫
⎡=-
- ⎪⎣⎝
⎭
，
所以函数()f x 的最小值为-．
故答案为：-
15．等腰三角形【分析】利用公式利用两角和差的正弦公式化简并判断三角形的形状【详解】代入条件可得即即所以三角形是等腰三角形故答案为：等腰三角形
解析：等腰三角形 【分析】
利用公式()sin sin A B C =+，利用两角和差的正弦公式，化简，并判断三角形的形状. 【详解】
180A B C ++=，
()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C ∴=+=+，
代入条件可得sin cos cos sin 0C B C B -=，即()sin 0C B -=， 即0C B C B -=⇔=， 所以三角形是等腰三角形. 故答案为：等腰三角形
16．2【分析】由已知可得利用正切函数的和角公式即可求解【详解】因为所以则整理得所以故答案为：2
解析：2. 【分析】
由已知可得135A B +=︒，利用正切函数的和角公式即可求解. 【详解】 因为45C =︒， 所以135A B +=︒， 则tan tan tan()11tan tan A B
A B A B
++=
=--，
整理得tan tan tan tan 1A B A B +=-，
所以(1tan )(1tan )tan tan 1(tan tan )A B A B A B --=+-+，
tan tan 1(tan tan 1)A B A B =+--，
2=，
故答案为：2.
17．【分析】利用余弦的倍角公式和三角函数的基本关系式即可求解【详解】由又由故答案为： 解析：
35
【分析】
利用余弦的倍角公式和三角函数的基本关系式，即可求解. 【详解】
由tan 2α=，又由2222
222
2
cos sin cos 2cos sin cos sin 1tan 143
1tan 145
ααααααααα--===-++-=-==+. 故答案为：
3
5
． 18．【分析】由的范围求出的范围结合正弦函数性质得不等关系【详解】时时由题意又解得故答案为：【点睛】方法点睛：本题考查正弦型复合函数的单调性在中则的单调性与的单调性一致因此对一个区间我们只要求得的范围它应
解析：π7π,624⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
【分析】
由x 的范围求出26
x π
+的范围，结合正弦函数性质得不等关系．
【详解】
0,3a x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦时，22,6636a x πππ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，7π4,6x a ⎡⎤∈⎢⎥⎣
⎦时，528,662x a πππ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，
由题意2362
3862a a ππππ⎧+≤⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩，又03746a
a π⎧>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩
，解得7624a ππ≤<．
故答案为：π7π,624⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
． 【点睛】
方法点睛：本题考查正弦型复合函数的单调性，在sin()y A x ωϕ=+中，0,0A ω>>，则sin()y A x ωϕ=+的单调性与sin y x =的单调性一致，因此对一个区间[,]a b ，我们只要求
得x ωϕ+的范围，它应在sin y x =的单调区间内，那么sin()y A x ωϕ=+在[,]a b 上就有相同的单调性．这是一种整体思想的应用．
19．【分析】根据三角函数的性质求得的最大值进而可求出结果【详解】因为由可得所以则因为恒成立所以只需故答案为：
解析：)
+∞
【分析】
根据三角函数的性质，求得sin cos x x +的最大值，进而可求出结果. 【详解】
因为sin cos 4x x x π⎛⎫+=
+ ⎪⎝⎭，由0,2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
可得3,
444x πππ⎛⎫
+∈ ⎪⎝⎭
，
所以sin 42x π⎛⎤⎛
⎫+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦
，则(
sin cos 4x x x π⎛⎫+=+∈ ⎪⎝⎭，
因为0,
2x π⎛⎫
∀∈ ⎪⎝
⎭
，sin cos m x x ≥+恒成立，所以只需m ≥
故答案为：)
+∞.
20．或【分析】根据两角差的余弦公式和余弦的二倍角展开再进行平方再根据正弦的二倍角公式可答案得【详解】由得即所以或当时两边同时平方得所以解得；当时所以所以所以故答案为：或
解析：1-或1
2
【分析】
根据两角差的余弦公式和余弦的二倍角展开，再进行平方，再根据正弦的二倍角公式可答案得． 【详解】
由πcos cos 24αα⎛⎫-
= ⎪⎝
⎭，得)22cos +sin cos sin 2
αααα=-，即
)()()cos +sin cos sin cos +sin αααααα=-，
所以cos sin =2
αα-或cos +sin 0αα=，
当cos sin =2
αα-时，两边同时平方得112sin cos =2αα-，所以11sin2=2α-.解得
sin 2α=
1
2
； 当cos +sin 0αα=时，tan 1α=-，所以()+,4
k k Z π
απ=-
∈所以
()2+2,2
k k Z π
απ=-
∈所以sin 21α=-，
故答案为：1-或
12
. 三、解答题
21．（1）2ω=，6
π
ϕ=-；（2）max ()f x =min ()2
f x =-
. 【分析】
（1）由图象上相邻两个最高点的距离为π得()f x 的最小正周期T π=，故2ω=，由函数图象关于直线3
x π
=
对称得23
2
k π
π
ϕπ⨯
+=+
，k Z ∈，再结合范围得6
π
ϕ=-
；
（2）由（1）得()26f x x π⎛
⎫=- ⎪⎝⎭，进而得52666
x πππ-≤-≤，再结合正弦函数的
性质即可得答案. 【详解】
（1）因为()f x 的图象上相邻两个最高点的距离为π， 所以()f x 的最小正周期T π=，从而22T
π
ω==. 又因为()f x 的图象关于直线3
x π
=对称，所以23
2
k π
π
ϕπ⨯
+=+
，k Z ∈，
又2
2
π
π
ϕ-
≤<
，
所以22
36
ππϕπ
=
-
=-. 综上，2ω=，6
π
ϕ=-
.
（2）由（1）知()26f x x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭.
当0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，可知52666x πππ-≤-≤.
故当226x ππ-=，即3
x π
=时，max ()f x =
当26
6
x π
π
-
=-
，即0x =时，min ()f x =. 【点睛】
本题解题的关键在于先根据0,
2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
得52666x πππ-≤-≤，进而结合正弦函数的性质，采用整体思想求解，考查运算求解能力，是中档题. 22．（1）①③，()2sin 26f x x π⎛
⎫
=+ ⎪⎝
⎭
；（2）3
π-
. 【分析】
（1）由题意分析出①②矛盾，可知③满足题意，由③可得出函数()f x 的最小正周期为π，可求得2ω=，可说明②不符合条件，进而可知符号题意的条件序号为①③，可得出2A =，由此可得出函数()f x 的解析式； （2）由()10f x -=可得1sin 262
x π⎛⎫
+
= ⎪⎝
⎭，解得()x k k Z π=∈或()3
x k k Z π
π=+
∈，再由[],x ππ∈-可求得结果.
【详解】
（1）函数()sin 6f x A x πω⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
满足的条件为①③； 理由如下：由题意可知条件①②互相矛盾， 故③为函数()sin 6f x A x πω⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
满足的条件之一， 由③可知，函数()f x 的最小正周期为T π=，所以2ω=，故②不合题意，
所以函数()sin 6f x A x πω⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭
满足的条件为①③；
由①可知2A =，所以()2sin 26f x x π⎛
⎫
=+ ⎪⎝
⎭
（2）因为()10f x -=，所以1sin 262
x π⎛⎫
+= ⎪⎝
⎭， 所以()226
6
x k k Z π
π
π+
=+
∈或()5226
6
x k k Z π
π
π+
=+
∈， 所以()x k k Z π=∈或()3
x k k Z π
π=+∈
又因为[],x ππ∈-，所以x 的取值为π-、23π
-
、0、3
π、π， 所以方程()10f x -=在区间[],ππ-上所有的解的和为3
π
-. 【点睛】
方法点睛：根据三角函数()()sin f x A x b ωϕ=++的基本性质求函数解析式的方法： （1）求A 、()()max min
:2
f x f x b A -=
，()()max min
2
f x f x b +=
；
（2）求出函数的最小正周期T ，进而得出2T
πω=； （3）取特殊点代入函数可求得ϕ的值. 23．（1）1
2；（2）T π=；调递增区间为[,]63
k k ππππ-+，k Z ∈. 【分析】
先把函数()f x 化简，
（1）根据条件即可求出角α的大小，代入解析式即可求解.
（2）根据周期定义即可求出周期，再利用整体代换思想代入正弦函数的递增区间求出x 的范围即可求解. 【详解】
21
()sin (sin )1sin cos 1sin(2)62
f x x x x x x x x π=-=-=--，
（1）由(0,)2
π
α∈，1sin 2α=，可得6π
α=，
所以1
()sin(2)sin 66662
f ππππ=⨯-==，
（2）函数周期为22
T π
π==， 令2[2,2]6
22
x k k π
π
π
ππ-
∈-
+，k Z ∈， 解得[,]63
x k k π
π
ππ∈-
+，k Z ∈， 所以函数()f x 的单调递增区间为[,]63
k k π
π
ππ-+，k Z ∈.
24．（1）42,2()3
3k k k Z π
πππ⎡
⎤++
∈⎢⎥⎣
⎦
；（2）
56π
. 【分析】 （1）令322262
πππ
k πx k π+
≤+≤+，()k Z ∈，解不等式即可求解；
（2）先求出并化简()2sin 23g x x π⎛
⎫
=-
+ ⎪⎝
⎭
()g x 的值域可得出
sin 23π⎡⎤⎛
⎫-∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦
x ，结合正弦函数的图象可知42233m πππ≤-≤，即可求出m 的
最大值. 【详解】 （1）令322262
πππ
k πx k π+≤+≤+，k Z ∈. 所以42233
ππk πx k π+
≤≤+，()k Z ∈. 所以函数()f x 的单调递减区间42,2()3
3k k k Z π
πππ⎡
⎤
++
∈⎢⎥⎣
⎦
. （2）()()4sin sin 66g x f x f x x x ππ⎛
⎫
⎛
⎫=-
=+ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
1
4cos sin 2x x x ⎫=+⎪⎝⎭
22cos sin x x x =+
cos2)sin 2x x =-+
2sin 23x π⎛
⎫=-+ ⎪⎝
⎭
因为0x m ≤≤， 所以223
3
3
x m π
π
π
-
≤-
≤-
.
因为()g x 的取值范围为0,2⎡⎣，
所以sin 23x π⎛
⎫- ⎪⎝⎭的取值范围为2⎡⎤-
⎢⎥⎣⎦
所以
422
3
3
m π
π
π
≤-
≤
. 解得：
55126
m ππ≤≤. 所以m 的最大值为56
π
.
【点睛】
关键点点睛：本题的关键点是要熟记正弦函数的图象，灵活运用三角恒等变换将()g x 化为一名一角，能结合正弦函数的图象得出422
3
3
m π
π
π≤-
≤
. 25．（1）π；（2）2
π. 【分析】
（1）首先利用二倍角公式和辅助角公式化简函数()2sin 26f x x π⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
，再求最小正周期；（2）由题意可知当6
x π
=
时，函数取得最小值，首先求26
x π
-
的范围，再根据根据
函数的取值范围确定右端点的范围，求m 的最大值. 【详解】
（1）因为2()22cos 1f x x x =
-+
2cos 2x x =-
1
2cos 2)2
x x =- 2sin(2)6
x π
=-
所以()f x 的最小正周期为2π
π2
T =
=． （2）由（1）知()2sin(2).6
f x x π=- 令2,6
t x π=-
当[
,]6x m π
∈时，[,2]66
t m ππ
∈-. 若对任意[
,]6
x m π
∈，都有()()6f x f π
≥，
即对任意[,2]66t m π
π∈-，都有1sin ,2
t ≥ 所以266
m π5π
-≤. 即2
m π
≤
， 所以m 的最大值为2
π. 【点睛】
思路点睛：本题考查()sin y A ωx φ=+的解析式和性质的判断，可以整体代入求解函数性质，根据x 的范围，求x ωϕ+的范围，再代入sin y x =的性质，求解.
26．（1）2ω=，()g ϕ的值域为1,12⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦；（2）()f α= 【分析】
（1）由函数()f x 的最小正周期可求得ω的值，求得()sin 3g πϕϕ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，结合ϕ的取值范围可求得()g ϕ的值域；
（2）求得tan 2α=，利用二倍角的正、余弦公式以及弦化切思想可求得()f α的值.
【详解】
（1）由于函数()()sin 0,2f x x ϕωϕπω⎛
⎫
=->≤
⎪⎝
⎭
的最小正周期为π，则22π
ωπ
=
=，
()()sin 2f x x ϕ∴=-，()sin 63g f ππϕϕ⎛⎫⎛⎫
∴==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
2
2
π
π
ϕ-
≤≤
，56
3
6π
π
πϕ∴-
≤
-≤
，所以，()1sin ,132g πϕϕ⎛⎫⎡⎤=-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
； （2）
sin 2cos 0αα-=，可得tan 2α=，
3
π
ϕ=
，所以，
()()21sin 2sin 22sin cos 2cos 13222f πααααααα⎛
⎫=-=-=-- ⎪⎝
⎭
2
2
222sin cos tan sin cos 2sin cos 2tan 12
αααααααααα=-+=+=+
++
==
【点睛】
求函数()()sin f x A x =+ωϕ在区间[],a b 上值域的一般步骤：
第一步：三角函数式的化简，一般化成形如()sin y A x k ωϕ=++的形式或
()cos y A x k ωϕ=++的形式．
第二步：由x 的取值范围确定x ωϕ+的取值范围，再确定()sin x ωϕ+（或
()cos x ωϕ+）的取值范围；
第三步：求出所求函数的值域（或最值）.。