数列必会常见题型归纳

数列必会基本题型
题型一：求值类的盘算题（多关于等差等比数列） A ）依据根本量求解（方程的思惟）
1.已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,63,6,994=-==n S a a ,求n ;
2.等差数列{}n a 中,410a =且3610a a a ，，成等比数列,求数列{}n a 前20项的和20S ．
3.设{}n a 是公比为正数的等比数列,若16,151==a a ,求数列{}n a 前7项的和.
4.已知四个实数,前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,首末两数之和为37,中央两数之和为36,求这四个数. 5在等差数列{a n }中,
(1)已知a 15＝10,a 45＝90,求a 60; (2)已知S 12＝84,S 20＝460,求S 28; (3)已知a 6＝10,S 5＝5,求a 8和S 8．
6.有四个数,个中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和是12,求这四个数．
7.已知△ABC 中,三内角A.B.C 的度数成等差数列,边a.b.c 依次成等比数列．求证：△ABC 是等边三角形．
B ）依据数列的性质求解（整体思惟）
1.已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,1006=a ,则=11S ;
2.设n S .n T 分离是等差数列{}n a .{}n a 的前n 项和,
3
27++=n n T S n n ,则
=5
5
b a . 3.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若
==5
935,95S S
a a 则（ ） 4.等差数列{}n a ,{}n
b 的前n 项和分离为n S ,n T ,若231
n n S n
T n =+,则
n
n
a b =（ ） 5.已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,)(,m n n S m S m n ≠==,则=+n m S ..
6.已知等比数列{a n }中,a 1·a 9＝64,a 3＋a 7＝20,则a 11＝． 题型二：求数列通项公式： (A ）给出前n 项和求通项公式 1.⑴n n S n 322+=; ⑵13+=n n S .
2.设数列{}n a 知足2*12333()3
n n a a a a n N +++=∈n-1…+3,求数列{}n a 的通项公式
B ）给出递推公式求通项公式
⑴已知关系式)(1n f a a n n +=+,可应用迭加法或迭代
法;11232211)()()()(a a a a a a a a a a n n n n n n n +-++-+-+-=-----
{}n a 知足1
41
,212
11-+==
+n a a a n n ,求数列{}n a 的通项公式. 2. 已知数列{}n a 知足11211n n a a n a +=++=，,求数列{}n a 的通项公
式.
{}n a 知足112313n n n a a a +=+⨯+=，,求数列{}n a 的通项公式. }{n a 知足21=a ,12123-+⋅=-n n n a a ,求数列}{n a 的通项公式 （2）.已知关系式)(1n f a a n n ⋅=+,可应用迭乘法.
1. 已知数列{}n a 知足112(1)53n n n a n a a +=+⨯=，,求数列{}n a 的通项公式.
{}n a 知足321=a ,n n a n n
a 1
1+=
+,求n a . 31=a ,n n a n n a 2
3131
+-=+)1(≥n ,求n a . （3）倒数变换法 实用于分式关系的递推公式,分子只有一项
1.已知数列{}n a 知足112,12
n
n n a a a a +=
=+,求数列{}n a 的通项公式. C ）结构新数列待定系数法
1. 已知数列{}n a 中,111,21(2)n n a a a n -==+≥,求数列{}n a 的通项公式.
{}n a 中,若111,23(1)n n a a a n +==+≥,则该数列的通项n a =______________
3.已知数列{}n a 知足*111,21().n n a a a n N +==+∈求数列{}n a 的通项公式;
4.已知数列{}n a 知足112356n n n a a a +=+⨯=，,求数列{}n a 的通项公式.
题型三：证实数列是等差或等比数列 A)证实数列等差
例 1.已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,)(+∈=
N n n
S b n
n .求证：数列{}n b 是等差数列.
例2.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且知足a n +2S n ·S n －1=0（n ≥2）,a 1=2
1.求证：{
n
S 1}是等差数列;
B ）证实数列等比
1.设{a n }是等差数列,b n ＝n
a ⎪⎭
⎫
⎝⎛21,求证：数列{b n }是等比数列;
2.设n S 为数列{}n a 的前n 项和,已知()21n n n ba b S -=-
⑴证实：当2b =时,{}12n n a n --⋅是等比数列;⑵求{}n a 的通项公式
3.已知数列{}n a 知足*12211,3,32().n n n a a a a a n N ++===-∈
⑴证实：数列{}1n n a a +-是等比数列;⑵求数列{}n a 的通项公式; ⑶若数列{}n b 知足1
2
111*44...4(1)(),n
n
b b b b n a n N ---=+∈证实{}n b 是等差数列.
题型四：求数列的前n 项和 根本办法： 1）公式法,
d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=⎪⎩
⎪⎨⎧≠--==)1(1)
1()
1(11q q q a q na S n n 公比含字母时
必定要评论辩论
}{n a 知足,11=a 32=a ,求前n 项和}{n S
2. 等差数列{a n }中,a 1=1,a 3+a 5=14,其前n 项和S n =100,则n =（ ）
A ．9
B ．10
C ．11
D ．12
}{n a 知足,11=a 32=a ,求前n 项和}{n S
2）裂项相消法,数列的罕有拆项有：
1111()()n n k k n n k =-++;n n n n -+=++11
1
;
例1.乞降：S =1+n
+++++
+++++ 3211
3211211 2数列{a n }的通项公式是a n ＝1
1++n n ,若前n 项之和为10,则
项数n 为（ ） 3.乞降：
n
n +++++++++11341231121 . 3）错位相减法,
例.若数列{}n a 的通项n n n a 3)12(⋅-=,求此数列的前n 项和n S 例：1．乞降21123n n S x x nx -=++++
2.乞降：n
n a n
a a a
S +
+++
= 32321
{}n a 是等差数列,{}n b 是各项都为正数的等比数列,且111a b ==,3521a b +=,5313a b += （Ⅰ）求{}n a ,{}n b 的通项公式;
（Ⅱ）求数列n n a b ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和n S ． 题型五：数列单调性最值问题
基本常识：在等差数列中,求S n 的最大(小)值,症结是找出某一项,使这一项及它前面的项皆取正(负)值或0,而它后面的各项皆取负(正)值．
⑴ a 1> 0,d <0时,解不等式组 ⎩
⎨⎧<≥+00
1
n n a a 可解得S n 达到最值时n
的值．
⑵ a 1<0,d>0时,解不等式组 ⎪⎩
⎪
⎨
⎧可解得S n 达到最小值时n
的值．
根本题型演习：
1.数列{}n a 中,492-=n a n ,当数列{}n a 的前n 项和n S 取得最小值时,=n .
2.已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,.16,2541==a a 当n 为何值时,n S 取得最大值;
3.数列{}n a 中,12832+-=n n a n ,求n a 取最小值时n 的值.
4.数列{}n a 中,22+-=n n a n ,求数列{}n a 的最大项和最小项.
5.设数列{}n a 的前n 项和为n S ．已知1a a =,13n n n a S +=+,*n ∈N ． （Ⅰ）设3n n n b S =-,求数列{}n b 的通项公式;（Ⅱ）若1n n a a +≥,*n ∈N ,求a 的取值规模．。