2020届江苏省镇江市统一高考数学第一轮复习学案(解析答案版)：48 (理科)不等式
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2.设函数 =
（Ⅰ）证明： 2；
（Ⅱ）若 ，求 的取值范围.
（Ⅰ）证明：由绝对值不等式的几何意义可知：
，当且仅当 时，取等号，所以 .
（Ⅱ）因为 ，所以
，解得：
3.设 是非负实数，求证： .
（方法一）证明：
因为实数a、b≥0，
所以上式≥0.即有 .
（方法二）证明：由a、b是非负实数，作差得
当 时， ，从而 ，
解（ ）由 ，得 ，且当 时取等号．故 ，且当 时取等号．所以 的最小值为 ．
（ ）由（ ）知， ．由于 ，从而不存在 ，使得 ．
例题选讲3
已知 为实数，且
证明：
（一）选题目的
运用柯西不等式求最值
（二）分析诱导
转化成标准柯西不等式形式
（三）解题步骤
（四）变式训练
已知实数 满足 且 的最大值是7，求 的值．
所以 的解集 .
（II）由（I）知，当 时， ，
，
因此
六、课堂总结
证明不等式的方法：比较法、分析法、综合法和放缩法(比较法的步骤是：作差（商）后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与1的大小，然后作出结论.
七、课后作业
1.已知 且 ， .求证：
证：本题三种方法：作差比较；分析法；或构造函数 皆可.
（一）选题目的
运用基本不等式证明
（二）分析诱导
类比不等式 的证法，两两运用基本不等式即可证出
（三）解题步骤
证明：因为x，y，z都是为正数，
所以 ．
同理可得 ，
当且仅当x＝y＝z时，以上三式等号都成立．
将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，
得 ．
（四）变式训练
若 ，且 .
（Ⅰ）求 的最小值；
（Ⅱ）是否存在 ，使得 ？并说明理由.
得 ；
当 时， ，从而 ，
得 ；
所以 .
4.已知 ，函数 的最小值为4．
(1)求 的值；
(2)求 的最小值．
解：(1)
当且仅当 时，等号成立
又 ， ，所以 ．
(2)由(1)知 ，由柯西不等式得
，
即：
当且仅当 ,即 时，等号成立
所以 的最小值为 .
八、教学反思
镇江市区普通高中数学教学案
（教 师 版）
课题
不等式
上课教师
上课班级
主备人
审核人
上课时间
教学目标
1.含绝对值不等式的解法与证明
2.基本不等式的应用
3.熟悉一般形式的柯西不等式，理解柯西不等式的证明;
4.会应用柯西不等式解决函数最值、方程、不等式，等一些问题
教学重点与强化方法
基本不等式的运用，柯西不等式的熟练运用.
（五）小结提炼
1.证明含绝对值的不等式时，有时用绝对值不等式的性质可直接证出，而无需通过分类讨论去绝对值的方法来处理；
2.在运用柯西不等式证题时根据需要重新安排各量的位置，这种形式上的变更往往会给解题带来意想不到的方便.这种变换也是运用柯西不等式的常见方法.
五、当堂检测
1.证明不等式： ．
证明：因为 ①
2．绝对值不等式的解法
(1)含绝对值的不等式 与 的解集：
不等式
(2) ( )和 ( )型不等式的解法：
① ；
② 或 ;
(3) ( )和 ( )型不等式的解法：
①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．
教学难点与突破方法
柯西不等式的熟练运用，含绝对值不等式的证明，不等式的综合运用
前置学案
1.已知 ＞0，求证：
证明：∵
又∵ ＞0，∴ ＞0， ,
∴
∴
∴
2.设a，b，c为正实数，求证： ．
证明：因为 为正实数，由平均不等式可得
即
所以 ，
而
所以
3.已知 .
4.设 ， ， ，求证： ．
解：由 可得 ， ．
教学过程
（三）解题步骤
解：(1)由 ，得
则 ，解得
(2)
当且仅当 即 时等号成立，
故 .
（四）变式训练
已知定义在R上的函数 的最小值为 .
（ ）求 的值；（ ）若 为正实数，且 ，
求证： .
解：（ ）因为 ,当且仅当 时,等号成立,所以 的最小值等于3,即 .
（ ）由（ ）知 ,又因为 是正数,所以 ,即 .
三、基础训练
前置学案
四、例题选讲1
解不等式
（一）选题目的
求解含绝对值的不等式
（二）分析诱导
分类讨论去绝对值的条件
（三）解题步骤
解：试题分析：根据绝对值定义将不等式化为两个不等式组的并集，分别求解即可
试题解析：原不等式可化为 或 ．
解得 或 ．
综上，原不等式的解集是 ．
（四）集；
项目
内容
个性化
一、问题提出
（复习回顾）
1.如何解含绝对值的不等式；
2.基本不等式等号成立的条件
3．如何运用柯西不等式求最值与证明不等式
二、数学建构
（知识梳理）
1．绝对值三角不等式
(1)定理1：如果 是实数，则 ,对于 ，当且仅当 时，等号成立．
(2)定理2：如果 是实数，则 ，当且仅当 时，等号成立．
②
③
由①②③式两边相加，
得
即 ，故所证成立．
2.已知实数x，y满足：
求证： ．
证明：∵ ，由题设 ∴ .
∴ .
3.已知正实数 满足 .
求证： .
证明：因 ，
又 ，
所以 ，
即 .
4.已知函数 ， 为不等式 的解集．（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）证明：当 时， ．
解：（I）
当 时，由 得 解得 ；
当 时， ；
当 时，由 得 解得 .
（2）若不等式 的解集非空，求 的取值范围．
解（1） 可等价为 .
由 ，可得①当 时显然不满足题意；
2当 时， ，解得 ；
3当 时， 恒成立.
综上， 的解集为 .
不等式 等价于 ，
令 ，则 的解集非空只需要 .
而 .
①当 时， ；
②当 时， ；
4当 时， .
综上所述， ，故 .
例题选讲2
已知x，y，z均为正数．求证： ．
3.易错点形如 的不等式解法在讨论时应注意分类讨论点处的处理及的符号判断，若 则不等式解集为 .
4.柯西（Cauchy）不等式
等号当且仅当 或 时成立（k为常数， ）
5.平均值不等式
定理：如果 为正数，则 ，当且仅当 时，等号成立．
一般形式的算术—几何平均值不等式：如果 为个正数，则 ，当且仅当 时，等号成立．
解：由柯西不等式：
因为
所以 ，即 .
因为 的最大值是7,所以 ，得 ，
当 时， 取最大值，所以 .
例题选讲4
已知关于 的不等式 的解集为
(1)求实数 的值；
(2)求 的最大值.
（一）选题目的
含绝对值的不等式与柯西不等式的综合运用
（二）分析诱导
有些极值问题从表面上看不能利用柯西不等式，但只要适当添加上常数项或和为常数的各项，就可以应用柯西不等式来解.
（Ⅰ）证明： 2；
（Ⅱ）若 ，求 的取值范围.
（Ⅰ）证明：由绝对值不等式的几何意义可知：
，当且仅当 时，取等号，所以 .
（Ⅱ）因为 ，所以
，解得：
3.设 是非负实数，求证： .
（方法一）证明：
因为实数a、b≥0，
所以上式≥0.即有 .
（方法二）证明：由a、b是非负实数，作差得
当 时， ，从而 ，
解（ ）由 ，得 ，且当 时取等号．故 ，且当 时取等号．所以 的最小值为 ．
（ ）由（ ）知， ．由于 ，从而不存在 ，使得 ．
例题选讲3
已知 为实数，且
证明：
（一）选题目的
运用柯西不等式求最值
（二）分析诱导
转化成标准柯西不等式形式
（三）解题步骤
（四）变式训练
已知实数 满足 且 的最大值是7，求 的值．
所以 的解集 .
（II）由（I）知，当 时， ，
，
因此
六、课堂总结
证明不等式的方法：比较法、分析法、综合法和放缩法(比较法的步骤是：作差（商）后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与1的大小，然后作出结论.
七、课后作业
1.已知 且 ， .求证：
证：本题三种方法：作差比较；分析法；或构造函数 皆可.
（一）选题目的
运用基本不等式证明
（二）分析诱导
类比不等式 的证法，两两运用基本不等式即可证出
（三）解题步骤
证明：因为x，y，z都是为正数，
所以 ．
同理可得 ，
当且仅当x＝y＝z时，以上三式等号都成立．
将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，
得 ．
（四）变式训练
若 ，且 .
（Ⅰ）求 的最小值；
（Ⅱ）是否存在 ，使得 ？并说明理由.
得 ；
当 时， ，从而 ，
得 ；
所以 .
4.已知 ，函数 的最小值为4．
(1)求 的值；
(2)求 的最小值．
解：(1)
当且仅当 时，等号成立
又 ， ，所以 ．
(2)由(1)知 ，由柯西不等式得
，
即：
当且仅当 ,即 时，等号成立
所以 的最小值为 .
八、教学反思
镇江市区普通高中数学教学案
（教 师 版）
课题
不等式
上课教师
上课班级
主备人
审核人
上课时间
教学目标
1.含绝对值不等式的解法与证明
2.基本不等式的应用
3.熟悉一般形式的柯西不等式，理解柯西不等式的证明;
4.会应用柯西不等式解决函数最值、方程、不等式，等一些问题
教学重点与强化方法
基本不等式的运用，柯西不等式的熟练运用.
（五）小结提炼
1.证明含绝对值的不等式时，有时用绝对值不等式的性质可直接证出，而无需通过分类讨论去绝对值的方法来处理；
2.在运用柯西不等式证题时根据需要重新安排各量的位置，这种形式上的变更往往会给解题带来意想不到的方便.这种变换也是运用柯西不等式的常见方法.
五、当堂检测
1.证明不等式： ．
证明：因为 ①
2．绝对值不等式的解法
(1)含绝对值的不等式 与 的解集：
不等式
(2) ( )和 ( )型不等式的解法：
① ；
② 或 ;
(3) ( )和 ( )型不等式的解法：
①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．
教学难点与突破方法
柯西不等式的熟练运用，含绝对值不等式的证明，不等式的综合运用
前置学案
1.已知 ＞0，求证：
证明：∵
又∵ ＞0，∴ ＞0， ,
∴
∴
∴
2.设a，b，c为正实数，求证： ．
证明：因为 为正实数，由平均不等式可得
即
所以 ，
而
所以
3.已知 .
4.设 ， ， ，求证： ．
解：由 可得 ， ．
教学过程
（三）解题步骤
解：(1)由 ，得
则 ，解得
(2)
当且仅当 即 时等号成立，
故 .
（四）变式训练
已知定义在R上的函数 的最小值为 .
（ ）求 的值；（ ）若 为正实数，且 ，
求证： .
解：（ ）因为 ,当且仅当 时,等号成立,所以 的最小值等于3,即 .
（ ）由（ ）知 ,又因为 是正数,所以 ,即 .
三、基础训练
前置学案
四、例题选讲1
解不等式
（一）选题目的
求解含绝对值的不等式
（二）分析诱导
分类讨论去绝对值的条件
（三）解题步骤
解：试题分析：根据绝对值定义将不等式化为两个不等式组的并集，分别求解即可
试题解析：原不等式可化为 或 ．
解得 或 ．
综上，原不等式的解集是 ．
（四）集；
项目
内容
个性化
一、问题提出
（复习回顾）
1.如何解含绝对值的不等式；
2.基本不等式等号成立的条件
3．如何运用柯西不等式求最值与证明不等式
二、数学建构
（知识梳理）
1．绝对值三角不等式
(1)定理1：如果 是实数，则 ,对于 ，当且仅当 时，等号成立．
(2)定理2：如果 是实数，则 ，当且仅当 时，等号成立．
②
③
由①②③式两边相加，
得
即 ，故所证成立．
2.已知实数x，y满足：
求证： ．
证明：∵ ，由题设 ∴ .
∴ .
3.已知正实数 满足 .
求证： .
证明：因 ，
又 ，
所以 ，
即 .
4.已知函数 ， 为不等式 的解集．（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）证明：当 时， ．
解：（I）
当 时，由 得 解得 ；
当 时， ；
当 时，由 得 解得 .
（2）若不等式 的解集非空，求 的取值范围．
解（1） 可等价为 .
由 ，可得①当 时显然不满足题意；
2当 时， ，解得 ；
3当 时， 恒成立.
综上， 的解集为 .
不等式 等价于 ，
令 ，则 的解集非空只需要 .
而 .
①当 时， ；
②当 时， ；
4当 时， .
综上所述， ，故 .
例题选讲2
已知x，y，z均为正数．求证： ．
3.易错点形如 的不等式解法在讨论时应注意分类讨论点处的处理及的符号判断，若 则不等式解集为 .
4.柯西（Cauchy）不等式
等号当且仅当 或 时成立（k为常数， ）
5.平均值不等式
定理：如果 为正数，则 ，当且仅当 时，等号成立．
一般形式的算术—几何平均值不等式：如果 为个正数，则 ，当且仅当 时，等号成立．
解：由柯西不等式：
因为
所以 ，即 .
因为 的最大值是7,所以 ，得 ，
当 时， 取最大值，所以 .
例题选讲4
已知关于 的不等式 的解集为
(1)求实数 的值；
(2)求 的最大值.
（一）选题目的
含绝对值的不等式与柯西不等式的综合运用
（二）分析诱导
有些极值问题从表面上看不能利用柯西不等式，但只要适当添加上常数项或和为常数的各项，就可以应用柯西不等式来解.