七年级上册数学 压轴解答题达标训练题(Word版 含答案) 汇编经典

七年级上册数学 压轴解答题达标训练题（Word 版 含答案） 汇编经典
一、压轴题
1．概念学习：
规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方．
如：222÷÷，()()()()3333-÷-÷-÷-等，类比有理数的乘方，我们把222÷÷记作
32，读作“2的3次商”，()()()()3333-÷-÷-÷-记作()43-，读作“3-的4次
商”．一般地，我们把n 个()0a a ≠相除记作n a ，读作“a 的n 次商”．
（1）直接写出结果：3
12⎛⎫
= ⎪⎝⎭______，()42-=______．
（2）关于除方，下列说法错误的是（ ） A ．任何非零数的2次商都等于1 B ．对于任何正整数n ，()111n --=-
C ．除零外的互为相反数的两个数的偶数次商都相等，奇数次商互为相反数
D ．负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数． 深入思考：
除法运算能转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （3）试一试，将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式
()43-=______ 6
15⎛⎫
= ⎪
⎝⎭______ （4）想一想，将一个非零有理数a 的n 次商写成乘方（幂）的形式等于______．
（5）算一算：2019
23420201111162366⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
÷-÷---⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
2．如图一，点C 在线段AB 上，图中有三条线段AB 、AC 和BC ，若其中一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C 是线段AB 的“巧点”．
（1）填空：线段的中点 这条线段的巧点（填“是”或“不是”或“不确定是”） （问题解决）
（2）如图二，点A 和B 在数轴上表示的数分别是20-和40，点C 是线段AB 的巧点，求点C 在数轴上表示的数。

（应用拓展）
（3）在（2）的条件下，动点P 从点A 处，以每秒2个单位的速度沿AB 向点B 匀速运动，同时动点Q 从点B 出发，以每秒4个单位的速度沿BA 向点A 匀速运动，当其中一点到达中点时，两个点运动同时停止，当A 、P 、Q 三点中，其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点时，直接写出运动时间()t s 的所有可能值．
3．（1）如图，已知点C 在线段AB 上，且6AC cm =，4BC cm =，点M 、N 分别是
AC 、BC 的中点，求线段MN 的长度；
（2）若点C 是线段AB 上任意一点，且AC a =，BC b =，点M 、N 分别是AC 、
BC 的中点，请直接写出线段MN 的长度；（结果用含a 、b 的代数式表示）
（3）在（2）中，把点C 是线段AB 上任意一点改为：点C 是直线AB 上任意一点，其他条件不变，则线段MN 的长度会变化吗？若有变化，求出结果． 4．综合与实践 问题情境
在数学活动课上，老师和同学们以“线段与角的共性”为主题开展数学活动．发现线段的中点的概念与角的平分线的概念类似，甚至它们在计算的方法上也有类似之处，它们之间的题目可以转换，解法可以互相借鉴．如图1，点C 是线段AB 上的一点，M 是AC 的中点，N 是BC 的中点．
图1 图2 图3 （1）问题探究
①若6AB =，2AC =，求MN 的长度；（写出计算过程） ②若AB a ，AC b =，则MN =___________；（直接写出结果） （2）继续探究
“创新”小组的同学类比想到：如图2，已知80AOB ∠=︒，在角的内部作射线OC ，再分别作AOC ∠和BOC ∠的角平分线OM ，ON ． ③若30AOC ∠=︒，求MON ∠的度数；（写出计算过程）
④若AOC m ∠=︒，则MON ∠=_____________︒；（直接写出结果） （3）深入探究
“慎密”小组在“创新”小组的基础上提出：如图3，若AOB n ∠=︒，在角的外部作射线
OC ，再分别作AOC ∠和BOC ∠的角平分线OM ，ON ，若AOC m ∠=︒，则MON ∠=__________︒．（直接写出结果）
5．尺规作图是指用无刻度的直尺和圆规作图。

尺规作图是起源于古希腊的数学课题.只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题.初中阶段同学们首次接触的尺规作图是“作一条线段等于已知线段”.
图1
图2
备用图
（1）如图1，在线段AB 外有一点C ，现在利用尺规作图验证“两点之间线段最短”，
AB AC CB <+.请根据提示，用尺规完成作图，并补充验证步骤.
第一步，以A 为圆心，AC 为半径作弧，交线段AB 于点M ，则AC =_____________； 第二步，以B 为圆心，BC 为半径作弧，交线段AB 于点N ，则BC =_____________； 则AC BC +=______________+_______________AB =+_______________ 故：AB AC CB <+.
（2）如图2，在直线l 上，从左往右依次有四个点O ，E ，O '，F ，且4OE EO '==，10EF =.现以O 为圆心，半径长为r 作圆，与直线l 两个交点中右侧交点记为点P .再以O '
为圆心；相同半径长r 作圆，与直线l 两个交点中左侧交点记为点Q .若P ，Q ，F 三点中，有一点分另外两点所连线段之比为1:2，求半径r 的长.
6．如图1，点O 为直线AB 上一点，过点O 作射线OC ，OD ，使射线OC 平分∠AOD ． （1）当∠BOD ＝50°时，∠COD ＝ °；
（2）将一直角三角板的直角顶点放在点O 处，当三角板MON 的一边OM 与射线OC 重合时，如图2．
①在（1）的条件下，∠AON ＝ °； ②若∠BOD ＝70°，求∠AON 的度数；
③若∠BOD ＝α，请直接写出∠AON 的度数（用含α的式子表示）．
7．数轴上有两点A ，B ， 点C ，D 分别从原点O 与点B 出发，沿BA 方向同时向左运动. （1）如图，若点N 为线段OB 上一点，AB=16，ON=2，当点C ，D 分别运动到AO ，BN 的中点时，求CD 的长；
（2）若点C 在线段OA 上运动，点D 在线段OB 上运动，速度分别为每秒1cm, 4cm ，在点C ，D 运动的过程中，满足OD=4AC ，若点M 为直线AB 上一点，且AM-BM=OM ，求AB OM
的值.
8．已知AOB ∠是锐角，2AOC BOD ∠=∠.
（1）如图，射线OC ，射线OD 在AOB ∠的内部（AOD AOC ∠>∠），AOB ∠与
COD ∠互余；
①若60AOB ︒∠=，求BOD ∠的度数； ②若OD 平分BOC ∠，求BOD ∠的度数.
（2）若射线OD 在AOB ∠的内部，射线OC 在AOB ∠的外部，AOB ∠与COD ∠互补.方方同学说BOD ∠的度数是确定的；圆圆同学说：这个问题要分类讨论，一种情况下
BOD ∠的度数是确定的，另一种情况下BOD ∠的度数不确定.你认为谁的说法正确?为什么?
9．点O 为直线AB 上一点，在直线AB 同侧任作射线OC 、OD ，使得∠COD=90°
（1）如图1，过点O 作射线OE ，当OE 恰好为∠AOC 的角平分线时，另作射线OF ，使得OF 平分∠BOD ，则∠EOF 的度数是__________度；
（2）如图2，过点O 作射线OE ，当OE 恰好为∠AOD 的角平分线时，求出∠BOD 与∠COE 的数量关系；
（3）过点O 作射线OE ，当OC 恰好为∠AOE 的角平分线时，另作射线OF ，使得OF 平分∠COD ，若∠EOC=3∠EOF ，直接写出∠AOE 的度数
10．如图，点O 在直线AB 上，OC ⊥AB ，△ODE 中，∠ODE =90°，∠EOD =60°，先将△ODE 一边OE 与OC 重合，然后绕点O 顺时针方向旋转，当OE 与OB 重合时停止旋转． （1）当OD 在OA 与OC 之间，且∠COD =20°时，则∠AOE =______；
（2）试探索：在△ODE 旋转过程中，∠AOD 与∠COE 大小的差是否发生变化？若不变，请求出这个差值；若变化，请说明理由；
（3）在△ODE 的旋转过程中，若∠AOE =7∠COD ，试求∠AOE 的大小．
11．如图，已知数轴上点A 表示的数为10，B 是数轴上位于点A 左侧一点，且AB=30，动点P 从点A 出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒.
(1)数轴上点B 表示的数是________，点P 表示的数是________(用含的代数式表示)； (2)若M 为线段AP 的中点，N 为线段BP 的中点，在点P 运动的过程中，线段MN 的长度会发生变化吗?如果不变，请求出这个长度；如果会变化,请用含的代数式表示这个长度； (3)动点Q 从点B 处出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P 、Q 同时出发，问点P 运动多少秒时与点Q 相距4个单位长度?
12．一般地，n 个相同的因数a 相乘......a a a ⋅，记为n a ， 如322228⨯⨯==，此时，3叫做以2为底8的对数，记为2log 8 (即2log 83=) ．一般地，若(0n
a b a =>且
1,0)a b ≠>， 则n 叫做以a 为底b 的对数， 记为log a b (即log a b n =) ．如4381=， 则
4叫做以3为底81的对数， 记为3log 81 (即3log 814=) ．
（1）计算下列各对数的值：2log 4= ；2log 16= ；2log 64= ． （2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式，222log 4,log 16,log 64之间又满足怎样的关系式；
（3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗?
（4） 根据幂的运算法则：n m n m a a a +=以及对数的含义说明上述结论．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、压轴题
1．（1）2，14；（2）B ；（3）21()3-，45；（4）21()n a -；（5）29
- 【解析】 【分析】
（1）利用题中的新定义计算即可求出值； （2）利用题中的新定义计算即可求出值； （3）将原式变形即可得到结果； （4）根据题意确定出所求即可； （5）原式变形后，计算即可求出值． 【详解】
（1）311111122222
2⎛⎫=÷÷=÷= ⎪
⎝⎭， ()()()()()4111
222221224
-=-÷-÷-÷-=⨯
⨯=， 故答案为：2，
14
； （2）A ．任何非零数的2次商都等于1，说法正确，符合题意；
B ．对于任何正整数n ，当n 为奇数时，()111n --=-；当n 为偶数时，()111n --=，原说法错误，不符合题意；
C ．除零外的互为相反数的两个数的偶数次商都相等，奇数次商互为相反数，说法正确，符合题意；
D ．负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数，说法正确，符合题意． 故选：B ；
（3）()()()()()433333-=-÷-÷-÷-
111()()33
=⨯-⨯-
21
()3
=-；
611111115555555
⎛⎫=÷÷÷÷÷ ⎪⎝⎭ 15555=⨯⨯⨯⨯
45=；
故答案为：2
1()3
-，45； （4）由（3）得到规律：2
1()
n n a a
-=，
所以，将一个非零有理数a 的n 次商写成乘方（幂）的形式等于2
1()n a
-，
故答案为：2
1()
n a
-；
（5）2019
23420201111162366⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
÷-÷---⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
()
()
()
2019
32
42
20202
112366---⎛⎫=÷-÷---⨯ ⎪⎝⎭
2018
20181111162966⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯-⨯⨯ ⎪ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
2018
11161866⎛⎫⎛⎫=--⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
11186
=-
- 29=-．
【点睛】
本题考查了有理数的混合运算，新定义的理解与运用；熟练掌握运算法则是解本题的关键．对新定义，其实就是多个数的除法运算，要注意运算顺序． 2．（1）是；（2）10或0或20；(3) 152t =；t=6；607t =；t=12；907t =；454
t =． 【解析】 【分析】
（1）根据新定义，结合中点把原线段分成两短段，满足原线段是短线段的2倍关系，进行判断即可；
（2）由题意设C 点表示的数为x ，再根据新定义列出合适的方程即可；
（3）根据题意先用t 的代数式表示出线段AP ，AQ ，PQ ，再根据新定义列出方程，得出合适的解即可求出t 的值．
【详解】
解：（1）因原线段是中点分成的短线段的2倍，所以线段的中点是这条线段的巧点， 故答案为：是；
（2）设C 点表示的数为x ，则AC=x+20，BC=40-x ，AB=40+20=60， 根据“巧点”的定义可知： ①当AB=2AC 时，有60=2（x+20）， 解得，x=10；
②当BC=2AC 时，有40-x=2（x+20）， 解得，x=0；
③当AC=2BC 时，有x+20=2（40-x ）， 解得，x=20．
综上，C 点表示的数为10或0或20；
（3）由题意得()
()60601026046601015t t AP t AQ t PQ t t -≤≤⎧⎪==-=⎨-≤⎪⎩
，，＜，
（i ）、若0≤t ≤10时，点P 为AQ 的“巧点”，有 ①当AQ=2AP 时，60-4t=2×2t ， 解得，15
2
t =
， ②当PQ=2AP 时，60-6t=2×2t ， 解得，t=6；
③当AP=2PQ 时，2t=2（60-6t ）， 解得，607
t =
； 综上，运动时间()t s 的所有可能值有152t =；t=6；607
t =； （ii ）、若10＜t ≤15时，点Q 为AP 的“巧点”，有 ①当AP=2AQ 时，2t=2×（60-4t ）， 解得，t=12；
②当PQ=2AQ 时，6t-60=2×（60-4t ），
解得，90
7
t =；
③当AQ=2PQ 时，60-4t=2（6t-60）， 解得，454
t =
． 综上，运动时间()t s 的所有可能值有：t=12；907t =；454
t =． 故，运动时间()t s 的所有可能值有：152t =；t=6；607t =；t=12；907t =；454
t =． 【点睛】
本题是新定义题，是数轴的综合题，主要考查数轴上的点与数的关系，数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，解题的关键是根据新定义列出方程并进行求解． 3．（1）5cm ；（2）2a b +；（3）线段MN 的长度变化，2a b MN +=，2a b -，
2
b a
-. 【解析】 【分析】
（1）根据点M 、N 分别是AC 、BC 的中点，先求出CM 、CN 的长度，则
MN CM CN =+；
（2）根据点M 、N 分别是AC 、BC 的中点，12CM AC =
，1
2
CN BC =，所以()122
a b
MN AC BC +=
+=
； （3）长度会发生变化，分点C 在线段AB 上，点B 在A 、C 之间和点A 在B 、C 之间三种情况讨论. 【详解】
（1）
6AC cm =，M 是AC 的中点， ∴1
32
CM AC ==（cm ），
4BC cm =，N 是CB 的中点，
∴1
22
CN CB ==（cm ），
∴325MN CM CN =+=+=（cm ）； （2）由AC a =，M 是AC 的中点，得
11
22
CM AC a ==，
由BC b =，N 是CB 的中点，得
11
22CN CB b ==，
由线段的和差，得
222
a b a b
MN CM CN +=+=+=；
（3）线段MN 的长度会变化.
当点C 在线段AB 上时，由（2）知2
a b
MN +=，
当点C 在线段AB 的延长线时，如图：
则AC a BC b =>=，
AC a =，点M 是AC 的中点，
∴11
22
CM AC a =
=， BC b =，点N 是CB 的中点， ∴11
22
CN BC b ==，
∴222
a b a b
MN CM CN -=-=-=
当点C 在线段BA 的延长线时，如图：
则AC a BC b =<= ， 同理可得：11
22
CM AC a =
=， 11
22
CN BC b =
=， ∴222
b a b a
MN CN CM -=-=
-=， ∴综上所述，线段MN 的长度变化，2a b MN +=
，2a b -，
2
b a
-. 【点睛】
本题主要是线段中点的运用，分情况讨论是解题的难点，难度较大. 4．（1）①3；②12
a ；（2）③40︒；④40；（3）1
2n
【解析】 【分析】
（1）①先求出BC ，再根据中点求出AM 、BN ，即可求出MN 的长； ②利用①的方法求MN 即可；
（2）③先求出∠BOC ，再利用角平分线的性质求出∠AOM ，∠BON ，即可求出∠MON ； ④利用③的方法求出∠MON 的度数；
（3）先求出∠BOC ，利用角平分线的性质分别求出∠AOM ，∠BON ，再根据角度的关系求出答案即可. 【详解】
（1）①∵6AB =，2AC =， ∴BC=AB-AC=4，
∵M 是AC 的中点，N 是BC 的中点．
∴112AM AC =
=， 1
22
BN BC ==， ∴MN=AB-AM-BN=6-1-2=3；
②∵AB a ，AC b =， ∴BC=AB-AC=a-b ，
∵M 是AC 的中点，N 是BC 的中点． ∴12AM b =，1()2
BN a b =-， ∴MN=AB-AM-BN=11()22a b a b -
--=12a ， 故答案为：12
a ； （2）③∵80AOB ∠=︒，30AOC ∠=︒，
∴∠BOC=∠AOB-∠AOC=50︒，
∵OM ，ON 分别平分AOC ∠和BOC ∠，
∴∠AOM=15︒，∠BON=25︒，
∴∠MON=∠AOB-∠AOM-∠BON=40︒；
④∵80AOB ∠=︒，AOC m ∠=︒，
∴∠BOC=(80-m)︒，
∵OM ，ON 分别平分AOC ∠和BOC ∠，
∴∠AOM=
12m ，∠BON=（40-12
m ）︒， ∴∠MON=∠AOB-∠AOM-∠BON=40︒, 故答案为：40；
（3）∵AOB n ∠=︒，AOC m ∠=︒，
∴∠BOC=∠AOC-∠AOB=(m-n)︒，
∵AOC ∠和BOC ∠的角平分线分别是OM ，ON ，
∴∠AOM=12m ,∠CON=1()2
m n -， ∴∠MON=∠AOC-∠AOM-∠CON=111()222m m m n n -
--=， 故答案为：12
n . 【点睛】
此题考查线段的和差计算，角度的和差计算，线段中点的性质，角平分线的性质，解题中注意规律性解题思想的总结和运用.
5．（1）作图见解析；AM ；BN ；AM ； BN ；MN （2）6、10、
23
、34. 【解析】
【分析】
（1）根据尺规作图的步骤按步骤进行操作，根据线段的数量关系进行判断即可.
（2）根据题目中的线段间的关系，分类进行讨论，分别为当P 点在Q 、F 之间时，当Q 点在P 、F 之间时，当F 点在P 、Q 之间时，分别根据线段间的数量关系求解即可.
【详解】
（1）第一步，以A 为圆心，AC 为半径作弧，交线段AB 于点M ，则AC =AM ； 第二步，以B 为圆心，BC 为半径作弧，交线段AB 于点N ，则BC =BN ；
则AC BC +=AM +BN AB =+MN
故：AB AC CB <+.
（2）
当P 点在QF 之间，①PF=2QP 时，
∵'OE EO ==4，
∴'8OO =,
∵OP=r,
∴'8PO r =-，
同理可得OQ=8-r
∴QP=()()''88828OO OQ PO r r r --=----=-
∵'6O F =,
∴PF=8-r+6=14-r ，
2（2r-8）=14-r,
解得：r=6.
②PQ=2PF
∵'4,'6OE O E O F ===,
∴OF=14，
∵OP=r ，
∴PF=14-r,
∵'O Q OP r ==,
∴OQ=r-8
∴8OQ r =-，
同理'8r O P =-
∴QP=8+2×（8-r ）=24-2r
解得r=10.
当Q 点在中间时，即QF=2PQ
∵'OE EO ==4，
∴'8OO =,
∵'OP O Q r ==,
∴PQ=8-2r ，
QF=6+r
6+r=8-2r
∴r=23
. 当F 点在Q 、P 之间，QF=2FP 时
∵'OE EO ==4，
∴'8OO =,
∵'OP O Q r ==,
∴FP=r-OF=r-14，
QF=r+6，
∴r+6=2（r-14），
解得r=34
故答案是：6、10、
23、34. 【点睛】
本题考查了尺规作图，根据线段关系求线段的长度，解决本题的关键是正确理解题意，根据题意分类进行讨论探究.
6．（1）65°；（2）①25°；②35°；③1AON a 2∠=
【解析】
【分析】
（1）由题意可得∠COD=1AOD 2
∠，∠AOD=∠AOB-∠BOD. （2）①由（1）可得∠AOC ＝∠COD ＝65°,∠AON ＝90°﹣∠AOC ＝25°
②同①可得，∠AOC＝∠COD＝55°,∠AON＝90°﹣∠AOC＝35°
③根据（2）可直接得出结论.
【详解】
解：（1）∠AOD＝180°﹣∠BOD＝130°，
∵OC平分∠AOD，
∴∠COD＝1
2
AOD
∠＝65°．
故答案为：65°；
（2）①由（1）可得∠AOC＝∠COD＝65°，∴∠AON＝90°﹣∠AOC＝25°，
故答案为：25°；
②∵∠BOD＝70°，
∴∠AOD＝180°﹣∠BOD＝110°，
∵OC平分∠AOD，
∴∠AOC＝1
55
2
AOD
∠=︒，
∵∠MON＝90°，
∴∠AON＝90°﹣∠AOC＝35°；
③
1 AON
2
∠α
=．
【点睛】
本题考查的知识点是角的和差问题，根据所给图形找出各角之间的数量关系是解题的关键.
7．（1）9；（2）5
3
或1.
【解析】【分析】
（1）根据C，D分别为AO，BN的中点，可得ND=1
2
BN，CO=
1
2
AO，再根据
CD=CO+ON+DN，将ND，CO代入可得出结果；
（2）根据OD=4AC，BD=4CO,可得出OA:OB=1：4.由点M为直线AB上一点，且AM-BM=OM，分两种情况求解：①当点M在线段AB上，先由已知等量关系得出AO=BM，设AO=x，再用x表示出AB，OM即可得出结果；②当点M在B点右侧时，由. AM-
BM=AB=OM可得出结果.
【详解】
解：（1）当点C，D分别运动到AO，BN的中点时，得
ND=1
2
BN，CO=
1
2
AO，
∴CD=CO+ON+DN=1
2
AO+ON+
1
2
BN=
1
2
(AO+BN)+ON=
1
2
(AB-ON)+ON，
又AB=16，ON=2，
∴CD=12
×（16-2）+2=9. （2）∵C,D 两点运动的速度比为1:4，∴BD=4CO.
又OD=4AC ，∴BD+OD=4（CO+AC ）,
∴OB=4OA ，即OA:OB=1：4.
若点M 为直线AB 上一点，且AM-BM=OM ，
①点M 在线段AB 上时，如图，
∵AM-BM=OM ，∴AO+OM-BM=OM ，
∴AO=BM ，
设AO=x ，则BM=x ，
由OA:OB=1：4，得BO=4x ，AB=5x
∴OM=BO-BM=3x ，
∴55=33
AB x OM x . ②当点M 在B 点右侧时，如图，
∵AM-BM=OM ，
∴AB=OM ，
∴
=1.AB OM
综上所述：AB OM 的值为53
或1. 【点睛】 本题考查了数轴上的动点问题以及线段中点、线段和差的运算问题，解题的关键是掌握点的移动与点所表示的数之间的关系
8．（1）①10°，②18°；（2）圆圆的说法正确，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）①根据∠AOB 与∠COD 互余求出∠COD ，再利用角度的和差关系求出
∠AOC+∠BOD=30°，最后根据∠AOC=2∠BOD 即可求出∠BOD ；
②设∠BOD=x ，根据角平分线表示出∠COD 和∠BOC ，根据∠AOC=2∠BOD 表示出∠AOC ，最后根据∠AOB 与∠COD 互余建立方程求解即可；
（2）分两种情况讨论：OC 靠近OA 时与OC 靠近OB 时，画出图形分类计算判断即可.
【详解】
解：（1）①∵∠AOB 与∠COD 互余，且∠AOB=60°，
∴∠COD=90°－∠AOB=30°，
∴∠AOC+∠BOD=∠AOB－∠COD=60°－30°=30°，∵∠AOC=2∠BOD，
∴2∠BOD+∠BOD=30°，
∴∠BOD=10°；
②设∠BOD=x，
∵OD平分∠BOC，
∴∠BOD=∠COD=x，∠BOC=2∠BOD=2x，
∵∠AOC=2∠BOD，
∴∠AOC=2x，
∴∠AOB=∠AOC+∠COD +∠BOD=4x，
∵∠AOB与∠COD互余，
∴∠AOB+∠COD=90°，即4x+x=90°，
∴x=18°，即∠BOD=18°；
（2）圆圆的说法正确，理由如下：
当OC靠近OB时，如图所示，
∵∠AOB与∠COD互补，
∴∠AOB+∠COD=180°，
∵∠AOB=∠AOD+∠BOD，∠COD=∠BOC+∠BOD，∴∠AOD+∠BOD+∠BOC+∠BOD=180°，
∵∠AOC=∠AOD+∠BOD+∠BOC，
∴∠AOC+∠BOD=180°，
∵∠AOC=2∠BOD，
∴2∠BOD+∠BOD=180°，
∴∠BOD=60°；
当OC靠近OA时，如图所示，
∵∠AOB与∠COD互补，
∴∠AOB+∠COD=180°，
∵∠AOB=∠AOD+∠BOD，∠COD=∠AOC+∠AOD，
∴∠AOD+∠BOD+∠AOC+∠AOD=180°，
∵∠AOC=2∠BOD，
∴∠AOD+∠BOD+2∠BOD +∠AOD=180°，即3∠BOD+2∠AOD=180°，
∵∠AOD不确定，
∴∠BOD也不确定，
综上所述，当OC靠近OB时，∠BOD的度数为60°，当OC靠近OA时，∠BOD的度数不确定，所以圆圆的说法正确.
【点睛】
本题考查角的计算，正确找出角之间的关系，分情况画出图形解答是解题的关键. 9．（1）135°；（2）∠BOD=2∠COE；（3）67.5°.
【解析】
【分析】
（1）由∠COD=90°，则∠AOC+∠BOD=90°，由OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，得
∠COE+∠DOF=45°，即可求出∠EOF的度数；
（2）由题意得出∠BOD+∠AOC=90°，∠BOD=180°-∠AOD，再由角平分线的定义进行计算，即可得出结果；
（3）由角平分线定义得出∠AOC=∠COE，∠COF=∠DOF=45°，再由∠BOD+∠AOC=90°，设∠EOF=x，则∠EOC=3x，∠COF=4x，根据题意得出方程，解方程即可．
【详解】
解：（1）如图：
∵∠COD=90°，
∴∠AOC+∠BOD=90°，
∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，
∴∠COE+∠DOF=11
()9045
22
AOC BOD
∠+∠=⨯︒=︒，
∴∠EOF=∠COE+∠COD+∠DOF=45°+90°=135°；故答案为：135°；
（2）∠BOD=2∠COE；
理由如下：如图，
∵∠COD=90°．
∴∠BOD+∠AOC=90°，∵OE平分∠AOD，
∴∠AOE=∠DOE=1
2
∠AOD，
又∵∠BOD=180°-∠AOD，∴∠COE=∠AOE-∠AOC
=1
2
∠AOD-（90°-∠BOD）
=1
2
（180°-∠BOD）-90°+∠BOD
=1
2
∠BOD，
∴∠BOD=2∠COE；
（3）如图，
∵OC为∠AOE的角平分线，OF平分∠COD，
∴∠AOC=∠COE，∠COF=∠DOF=45°，
∵∠EOC=3∠EOF，
设∠EOF=x，则∠EOC=3x，
∴∠COF=4x，
∴∠AOE=2∠COE=6x，∠DOF=4x，
∵∠COD=90°，
∴4x+4x=90°，
解得：x=11.25°，
∴∠AOE=6×11.25°=67.5°．
【点睛】
本题考查了角平分线定义、角的互余关系、邻补角定义以及角的计算；熟练掌握角平分线
定义，得出角之间的关系是解决问题的关键．
10．（1）130°；（2）∠AOD与∠COE的差不发生变化，为30°；（3）∠AOE=131.25°或175°．
【解析】
【分析】
(1)求出∠COE的度数，即可求出答案；
(2)分为两种情况，根据∠AOC=90°和∠DOE=60°求出即可；
(3)根据∠AOE=7∠COD、∠DOE=60°、∠AOC=90°求出即可．
【详解】
(1)∵OC⊥AB，
∴∠AOC=90°，
∵OD在OA和OC之间，∠COD=20°，∠EOD=60°，
∴∠COE=60°-20°=40°，
∴∠AOE=90°+40°=130°，
故答案为130°；
(2)在△ODE旋转过程中，∠AOD与∠COE的差不发生变化，
有两种情况：①如图1、∵∠AOD+∠COD=90°，∠COD+∠COE=60°，
∴∠AOD-∠COE=90°-60°=30°，
②如图2、∵∠AOD=∠AOC+∠COD=90°+∠COD，∠COE=∠DOE+∠DOC=60°+∠DOC，
∴∠AOD-∠COE=(90°+∠COD)-(60°+∠COD)=30°，
即△ODE在旋转过程中，∠AOD与∠COE的差不发生变化，为30°；
(3)如图1、∵∠AOE=7∠COD，∠AOC=90°，∠DOE=60°，
∴90°+60°-∠COD=7∠COD，
解得：∠COD=18.75°，
∴∠AOE=7×18.75°=131.25°；
如图2、∵∠AOE=7∠COD，∠AOC=90°，∠DOE=60°，
∴90°+60°+∠COD=7∠COD，
∴∠COD=25°，
∴∠AOE=7×25°=175°，
即∠AOE=131.25°或175°．
【点睛】
本题考查了角的有关计算的应用，能根据题意求出各个角的度数是解此题的关键.注意分类思想的运用.
11．（1）-20，10-5t；（2）线段MN的长度不发生变化，都等于15．（3）13秒或17秒【解析】
【分析】
(1)根据已知可得B点表示的数为10-30；点P表示的数为10-5t；
(2)分类讨论：①当点P在点A、B两点之间运动时，②当点P运动到点B的左侧时，利用中点的定义和线段的和差易求出MN．
(3) 分①点P、Q相遇之前，②点P、Q相遇之后，根据P、Q之间的距离恰好等于2列出方程求解即可；
【详解】
解：（1））∵点A表示的数为10，B在A点左边，AB=30，
∴数轴上点B表示的数为10-30=-20；
∵动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为
t（t＞0）秒，
∴点P表示的数为10-5t；
故答案为-20，10-5t；
（2）线段MN的长度不发生变化，都等于15．理由如下：
①当点P在点A、B两点之间运动时，
∵M为线段AP的中点，N为线段BP的中点，
∴MN=MP+NP=AP+BP=（AP+BP）=AB=15；
②当点P运动到点B的左侧时：
∵M为线段AP的中点，N为线段BP的中点，
∴MN=MP-NP=AP-BP=（AP-BP）=AB=15，
∴综上所述，线段MN 的长度不发生变化，其值为15．
（3）若点P 、Q 同时出发，设点P 运动t 秒时与点Q 距离为4个单位长度．
①点P 、Q 相遇之前，
由题意得4+5t=30+3t ，解得t=13；
②点P 、Q 相遇之后，
由题意得5t-4=30+3t ，解得t=17．
答：若点P 、Q 同时出发，13或17秒时P 、Q 之间的距离恰好等于4；
【点睛】
本题考查了数轴一元一次方程的应用，用到的知识点是数轴上两点之间的距离，关键是根据题意画出图形，注意分两种情况进行讨论．
12．（1）2，4，6；（2）4×16=64，222log 4+log 16log 64=；（3）
log m+log log a a a n mn =；（4）见解析
【解析】
【分析】
（1）根据对数的定义求解可得；
（2）观察三个数字及对应的结果，找出规律；
（3）将找出的规律写成一般形式；
（4）设log m=x a ，log a n y =，利用n m n m a a a +=转化可推导．
【详解】
（1）∵224=,4 216=,6
264= ∴2log 4=2，2log 16=4，2log 64=6
（2）4、16、64的规律为：4×16=64
∵2+4=6，∴2log 4+2log 16=2log 64
（3）根据（2）得出的规律，我们一般化，为：log m+log log a a a n mn =
（4）设log m=x a ，log a n y =
则x a m =，y a n =
∴x y x y a a mn a +==
∴log mn=x+y a
∴log mn=log m+log n a a a ，得证
【点睛】
本题考查指数运算的逆运算，解题关键是快速学习题干告知的运算法则，找出相应规律．。