人教版高中数学必修42.1平面向量的实际背景及基本概念(共34张PPT)
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数量：只有大小，没有方向的量.
二、向量的概念
在数学中,把既有大小，又有方向的量叫做向量. 在数学中，把只有大小，没有方向的量叫做数量．
注：向量与数量的区别 ①较数大量小只. 有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比
②向量有方向，大小双重属性，而方向是不能比较大小 的，因此向量不能比较大小。
二、向量的概念
B（终点）
向量就是有向线段么？
2、向量的表示
A（起点）
（1）向量的几何表示：可以用有向线段表示.
（2）向量的符号表示：①
a
,
b
,
c
,
. . .印刷体可
。② 以用黑体表示向量 AB CD ，
模 向量| AB | 的 长度（大小）就是向量 | AB |的模，
注：向量的模是可以比较大小的。
零向量 :长度为0的向量叫做零向量，记作 0.
记作 | AB |
注：零向量也有方向，并且规定零向量的方向是任意的 单位向量 ：长度等于1个单位的向量叫做单位向量.
注：单位向量的大小相等，但方向不一定相同.
课堂反馈
（1）数量和向量都可以比较大小吗？ （2）向量的模是一个正数吗？ （3）所有单位向量的模都相等？ （4）书写向量符号时箭头可以省吗？
A 南
B
东
既有大小又有方向，许多物理量都有这样 的性质
抽 象 概 括
向量
1.问：力、速度、加速度、位移有什么共同特点？
向量：既有大小，又有方向的量.
2.问：路程、面积、功、身高
数量：只有大小，没有方向的量.
1.问：力、速度、加速度、位移有什么共同特点？
向量：既有大小，又有方向的量.
向量的两要素：方向、大小 2.问：路程、面积、功、身高
1.平行向量：方向相同或相反的非零向量 a
记作： a b c
b
c
规定0 向量与任一向量平行
2.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
记作： a = b
a b
共线向量 平行向量 相反向量
➢ 任意一组平行向量都可以平移到同一直 线上，所平行向量也叫共线向量 ➢ 任意一个向量 AB 的相反向量 BA
练习： 1、平行向量是否一定方向相同？
不一定
2、不相等的向量一定不平行吗？
不一定
当堂测试
1、下列物理量中， 不能称为向量的是
（）
A．距离 B．加速度 C．力 D．位移
2、下列四个命题正确的是
（）
A．两个单位向量一定相等 B．若与不共线，则与都是非零向量
C．共线的单位向量必相等 D．两个相等的向量起点、方向、长度必须都 相同
人教版高中数学必修四第二章平面向量
向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，有深刻 的几何背景，是解决几何问题的有力工具。向量概念引入 后，全等和平行（平移）、相似、垂直、勾股定理就可转 化为向量的加（减）法、数乘向量、数量积运算，从而把 图形的基本性质转化为向量的运算体系。
向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极 其丰富的实际背景。在本章中，学生将了解向量丰富的实 际背景，理解平面向量及其运算的意义，能用向量语言和 方法表述和解决数学和物理中的一些问题，发展运算能力 和解决实际问题的能力
2、不相等的向量一定不平行吗？
与非零向量a平行的向量中，不相等的单位向量有_____个.
2、单位向量的大小是否一定相等？ （1）数量和向量都可以比较大小吗？
1平面向量的实际背景及基本概念
③与零向量相等的向量必定是什么向量？
数量有：质平行向量是否一定方向相同？
2、不相等的向量一定不平行吗？
在数学中,把既有大小，又有方向的量叫做向量. 在数学中，把只有大小，没有方向的量叫做数量． 注：向量与数量的区别
①较数大量小只. 有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比
②向量有方向，大小双重属性，而方向是不能比较大小 的，因此向量不能比较大小。
注：我们所学的向量常被称为自由向量.
1、有向线段的三要素：起点、方向、长度
3、①平行向量是否一定方向相同？ ②不相等的向量是否一定不平行？ ③与零向量相等的向量必定是什么向量？ ④与任意向量都平行的向量是什么向量？ ⑤若两个向量在同一直线上，则这两个向量
一定是什么向量？ ⑥共线向量一定在同一直线上吗？
练习：
1.与非零向量a平行的向量中，不相等的单 位向量有_____个.
(2)与向量 OA长度相等的向量 ：长度等于1个单位的向量叫做单位向量.
问：力、速度、加速度、位移有什么共同特点？
C
有多少个？ （2）模相等的两个平行向量是相等的向量；
记作： a = b
在下列结论中，哪些是正确的？
（3）与向量 OA 共线的向量有
哪几个？
D
A O
F E
判断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由. 1、任一向量与它的相反向量不相等； 2、共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.
（2）向量的模是一个正数吗？
（2）若“a = b ”，则“│a│=│b│ ” （ 1平面向量的实际背景及基本概念
）
西
①数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小.
如图，如何由A点确定B点的位置?
数量有：质量、身高、面积、体积
平行向量：方向相同或相反的非零向量
向量：既有大小，又有方向的量.
练习 1、若两个向量在同一直线上，则这两个 向量是什么向量？
2、共线向量一定在一条直线上吗？
练习：
在质量、重力、速度、加速度、身高、面积、 体积这些量中，哪些是数量？哪些是向量？
数量有： 向量有：
练习：
在质量、重力、速度、加速度、身高、面积、 体积这些量中，哪些是数量？哪些是向量？
数量有：质量、身高、面积、体积 向量有：重力、速度、加速度
a=b或 加、减、…… a>b或 乘、除、 a<b 幂等 （相反）
一、向量的物理背景与概念
情景创设
猫和老鼠的故事
嘻嘻!大笨猫!
C
唉,去哪儿了?
B
A
D
如图，如何由A点确定B点的位置?
你有什么方法？
北
问：路程、面积、功、身高
（2）向量的模是一个正数吗？
③与零向量相等的向量必定是什么向量？
向量的两要素：方向、大小
练习：
1.已知a、b为不共线的非零向量,且存在 向量 c,使 c ∥ a, c ∥ b, 则
c =____
练习:判断正误
对于向量a ， b
（1）若“│a│=│b│”，则“ a = b ” (
)
（2）若“a = b ”，则“│a│=│b│ ” （ ）
在下列结论中，哪些是正确的？ （1）如果两个向量相等，那么它们的起点和终点 分别重合； （2）模相等的两个平行向量是相等的向量； （3）如果两个向量是单位向量，那么它们相等； （4）两个相等向量的模相等。
3、下列说法错误的是
（）
A．向量的长度与向量的长度相等 B．零向量与任意非零向量平行
C．长度相等方向相反的向量共线
D．方向相反的向量可能相等
4、对于以下命题：（1）平行向量一定相等； （2）不相等的向量一定不平 行；
（3）共线向量一定相等；（4）相等向量一定共线。其中真命题的个数是 （）
A．0个 B．1个 C．2个
练习 （1）相等向量一定是平行向量？
（2）平行向量一定是相等向量？
在下列结论中，哪些是正确的？ （1）如果两个向量相等，那么它们的起点和终点 分别重合； （2）模相等的两个平行向量是相等的向量； （3）如果两个向量是单位向量，那么它们相等； （4）两个相等向量的模相等。
例3．如图，设O 是正六边形 ABCDEF 的中心，分别写出图中
与向量OA 、OB 、OC 相等的向量．
平行练向量习相∶反向上量 题中
B
⑥共线向量一定在同一直线上吗？
2、共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.
(1)向量OA与FE相等吗? 4、对于以下命题：（1）平行向量一定相等；
1平面向量的实际背景及基本概念
问：路程、面积、功、身高
判断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由.
目标定位
2.1.1 向量的物理背景与概念 2.1.2 向量的几何表示 2.1.3 相等向量与共线向量
学习数量的过程
名称 实际 概念 背景
表示
特殊元 关系 运算
素
（大小）
应用
数量 一棵 树， 一本 书， 三个 人
只有大 小，没 有方向 的量
•几何表 单位1 示：数轴 和0 上的点；
•符号表 示：a,b,c
练习： 1、单位向量是否一定相等？
2、单位向量的大小是否一定相等？
练习：
1、单位向量是否一定相等？
如图，如何由A点确定B点的位置?
平行向量 相反向量
（2）若“a = b ”，则“│a│=│b│ ” （ ） 与向量 、 、 相等的向量． 2、不相等的向量一定不平行吗？
不一定
（1）如果两个向量相等，那么它们的起点和终点分别重合；
D．3个
有向线段
课时小结
a, AB
向量
向量的大小 （长度，模）
向量的方向
零向量 单位向量
相等向量
平行向量 共线向量
二、向量的概念
在数学中,把既有大小，又有方向的量叫做向量. 在数学中，把只有大小，没有方向的量叫做数量．
注：向量与数量的区别 ①较数大量小只. 有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比
②向量有方向，大小双重属性，而方向是不能比较大小 的，因此向量不能比较大小。
二、向量的概念
B（终点）
向量就是有向线段么？
2、向量的表示
A（起点）
（1）向量的几何表示：可以用有向线段表示.
（2）向量的符号表示：①
a
,
b
,
c
,
. . .印刷体可
。② 以用黑体表示向量 AB CD ，
模 向量| AB | 的 长度（大小）就是向量 | AB |的模，
注：向量的模是可以比较大小的。
零向量 :长度为0的向量叫做零向量，记作 0.
记作 | AB |
注：零向量也有方向，并且规定零向量的方向是任意的 单位向量 ：长度等于1个单位的向量叫做单位向量.
注：单位向量的大小相等，但方向不一定相同.
课堂反馈
（1）数量和向量都可以比较大小吗？ （2）向量的模是一个正数吗？ （3）所有单位向量的模都相等？ （4）书写向量符号时箭头可以省吗？
A 南
B
东
既有大小又有方向，许多物理量都有这样 的性质
抽 象 概 括
向量
1.问：力、速度、加速度、位移有什么共同特点？
向量：既有大小，又有方向的量.
2.问：路程、面积、功、身高
数量：只有大小，没有方向的量.
1.问：力、速度、加速度、位移有什么共同特点？
向量：既有大小，又有方向的量.
向量的两要素：方向、大小 2.问：路程、面积、功、身高
1.平行向量：方向相同或相反的非零向量 a
记作： a b c
b
c
规定0 向量与任一向量平行
2.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
记作： a = b
a b
共线向量 平行向量 相反向量
➢ 任意一组平行向量都可以平移到同一直 线上，所平行向量也叫共线向量 ➢ 任意一个向量 AB 的相反向量 BA
练习： 1、平行向量是否一定方向相同？
不一定
2、不相等的向量一定不平行吗？
不一定
当堂测试
1、下列物理量中， 不能称为向量的是
（）
A．距离 B．加速度 C．力 D．位移
2、下列四个命题正确的是
（）
A．两个单位向量一定相等 B．若与不共线，则与都是非零向量
C．共线的单位向量必相等 D．两个相等的向量起点、方向、长度必须都 相同
人教版高中数学必修四第二章平面向量
向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，有深刻 的几何背景，是解决几何问题的有力工具。向量概念引入 后，全等和平行（平移）、相似、垂直、勾股定理就可转 化为向量的加（减）法、数乘向量、数量积运算，从而把 图形的基本性质转化为向量的运算体系。
向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极 其丰富的实际背景。在本章中，学生将了解向量丰富的实 际背景，理解平面向量及其运算的意义，能用向量语言和 方法表述和解决数学和物理中的一些问题，发展运算能力 和解决实际问题的能力
2、不相等的向量一定不平行吗？
与非零向量a平行的向量中，不相等的单位向量有_____个.
2、单位向量的大小是否一定相等？ （1）数量和向量都可以比较大小吗？
1平面向量的实际背景及基本概念
③与零向量相等的向量必定是什么向量？
数量有：质平行向量是否一定方向相同？
2、不相等的向量一定不平行吗？
在数学中,把既有大小，又有方向的量叫做向量. 在数学中，把只有大小，没有方向的量叫做数量． 注：向量与数量的区别
①较数大量小只. 有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比
②向量有方向，大小双重属性，而方向是不能比较大小 的，因此向量不能比较大小。
注：我们所学的向量常被称为自由向量.
1、有向线段的三要素：起点、方向、长度
3、①平行向量是否一定方向相同？ ②不相等的向量是否一定不平行？ ③与零向量相等的向量必定是什么向量？ ④与任意向量都平行的向量是什么向量？ ⑤若两个向量在同一直线上，则这两个向量
一定是什么向量？ ⑥共线向量一定在同一直线上吗？
练习：
1.与非零向量a平行的向量中，不相等的单 位向量有_____个.
(2)与向量 OA长度相等的向量 ：长度等于1个单位的向量叫做单位向量.
问：力、速度、加速度、位移有什么共同特点？
C
有多少个？ （2）模相等的两个平行向量是相等的向量；
记作： a = b
在下列结论中，哪些是正确的？
（3）与向量 OA 共线的向量有
哪几个？
D
A O
F E
判断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由. 1、任一向量与它的相反向量不相等； 2、共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.
（2）向量的模是一个正数吗？
（2）若“a = b ”，则“│a│=│b│ ” （ 1平面向量的实际背景及基本概念
）
西
①数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小.
如图，如何由A点确定B点的位置?
数量有：质量、身高、面积、体积
平行向量：方向相同或相反的非零向量
向量：既有大小，又有方向的量.
练习 1、若两个向量在同一直线上，则这两个 向量是什么向量？
2、共线向量一定在一条直线上吗？
练习：
在质量、重力、速度、加速度、身高、面积、 体积这些量中，哪些是数量？哪些是向量？
数量有： 向量有：
练习：
在质量、重力、速度、加速度、身高、面积、 体积这些量中，哪些是数量？哪些是向量？
数量有：质量、身高、面积、体积 向量有：重力、速度、加速度
a=b或 加、减、…… a>b或 乘、除、 a<b 幂等 （相反）
一、向量的物理背景与概念
情景创设
猫和老鼠的故事
嘻嘻!大笨猫!
C
唉,去哪儿了?
B
A
D
如图，如何由A点确定B点的位置?
你有什么方法？
北
问：路程、面积、功、身高
（2）向量的模是一个正数吗？
③与零向量相等的向量必定是什么向量？
向量的两要素：方向、大小
练习：
1.已知a、b为不共线的非零向量,且存在 向量 c,使 c ∥ a, c ∥ b, 则
c =____
练习:判断正误
对于向量a ， b
（1）若“│a│=│b│”，则“ a = b ” (
)
（2）若“a = b ”，则“│a│=│b│ ” （ ）
在下列结论中，哪些是正确的？ （1）如果两个向量相等，那么它们的起点和终点 分别重合； （2）模相等的两个平行向量是相等的向量； （3）如果两个向量是单位向量，那么它们相等； （4）两个相等向量的模相等。
3、下列说法错误的是
（）
A．向量的长度与向量的长度相等 B．零向量与任意非零向量平行
C．长度相等方向相反的向量共线
D．方向相反的向量可能相等
4、对于以下命题：（1）平行向量一定相等； （2）不相等的向量一定不平 行；
（3）共线向量一定相等；（4）相等向量一定共线。其中真命题的个数是 （）
A．0个 B．1个 C．2个
练习 （1）相等向量一定是平行向量？
（2）平行向量一定是相等向量？
在下列结论中，哪些是正确的？ （1）如果两个向量相等，那么它们的起点和终点 分别重合； （2）模相等的两个平行向量是相等的向量； （3）如果两个向量是单位向量，那么它们相等； （4）两个相等向量的模相等。
例3．如图，设O 是正六边形 ABCDEF 的中心，分别写出图中
与向量OA 、OB 、OC 相等的向量．
平行练向量习相∶反向上量 题中
B
⑥共线向量一定在同一直线上吗？
2、共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.
(1)向量OA与FE相等吗? 4、对于以下命题：（1）平行向量一定相等；
1平面向量的实际背景及基本概念
问：路程、面积、功、身高
判断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由.
目标定位
2.1.1 向量的物理背景与概念 2.1.2 向量的几何表示 2.1.3 相等向量与共线向量
学习数量的过程
名称 实际 概念 背景
表示
特殊元 关系 运算
素
（大小）
应用
数量 一棵 树， 一本 书， 三个 人
只有大 小，没 有方向 的量
•几何表 单位1 示：数轴 和0 上的点；
•符号表 示：a,b,c
练习： 1、单位向量是否一定相等？
2、单位向量的大小是否一定相等？
练习：
1、单位向量是否一定相等？
如图，如何由A点确定B点的位置?
平行向量 相反向量
（2）若“a = b ”，则“│a│=│b│ ” （ ） 与向量 、 、 相等的向量． 2、不相等的向量一定不平行吗？
不一定
（1）如果两个向量相等，那么它们的起点和终点分别重合；
D．3个
有向线段
课时小结
a, AB
向量
向量的大小 （长度，模）
向量的方向
零向量 单位向量
相等向量
平行向量 共线向量