四川省绵阳市2021届高三数学第一次诊断试题 理(1)

四川省绵阳市2021届高三数学第一次诊断试题 理
本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）。

第I 卷1至2页，第II 卷2至4页.共4页。

总分值150分。

考试时刻120分钟.考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效。

考试终止后，将答题卡交回。

第Ⅰ卷（选择题，共50分） 注意事项：
必需利用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。

第I 卷共10小题。

一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分．在每题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 已知集合A={x ∈Z|x2-1≤0}，B={x|x2-x-2=0}，那么A ∩B= (A)
(B) {2}
(C) {0}
(D) {-1}
2．以下说法中正确的是
(A) 命题“)0(∞+∈∀，
x ，12>x ”的否定是“)0(0∞+∉∃，x ，02x ≤1” (B) 命题“)0(∞+∈∀，
x ，12>x ”的否定是“)0(0∞+∈∃，x ，02x ≤1” (C) 命题“若b a >，则22b a >”的逆否命题是“若2
2b a <，则b a <” (D) 命题“若b a >，则22b a >”的逆否命题是“若2a ≥2
b ，则a ≥b ”
3．设各项均不为0的数列{an}知足n n a a 21=+(n≥1)，Sn 是其前n 项和，假设5422a a a =，那么S4= (A) 42 (B) 28 (C) 233+
(D) 266+
4．如图，正六边形ABCDEF 的边长为1，那么DB AD ⋅= (A) -3 (B) 3- (C) 3
(D)
3
5．已知
53)4cos(=
-x π，那么sin 2x = A
B
D
E F
(A) 2518
(B)
2524±
(C)
257-
(D) 257
6．已知x ，y 知足⎪⎩⎪
⎨⎧≤--≥-+≥+-，
，，0330101y x y x y x 那么2x-y 的最大值为
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4 www 7．已知x ∈[π-，π]，那
么“x ∈]
22[π
π，-”是“sin(sinx)<cos(cosx)成立”的
(A) 充要条件
(B) 必要不充分条件
(C) 充分没必要要条件
(D) 既不充分也没必要要条件
8．)(x f 是概念在非零实数集上的函数，)(x f '为其导函数，且0>x 时，0)()(<-'
x f x f x ，记5log )5(log 2.0)2.0(2)2(222
22.02.0f c f b f a =
==，，，那么
(A) c b a <<
(B) c a b << (C) b a c <<
(D) a b c <<
9．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧
>≠><-=0)10(log 01)2
sin()(x a a x x x x f a ，，且，，
π的图象上关于y 轴对称的点至少有3对，那么实数a 的取值范
围是
(A)
)
33
0(， (B)
)155
(
，
(C)
)133
(
，
(D)
)55
0(，
10．已知∈b a ，R ，且1
+x e ≥b ax +对x ∈R 恒成立，那么ab 的最大值是
(A) 321e
(B) 3
22e
(C) 3
23e
(D) 3
e
第II 卷（非选择题 共100分） 注意事项：
必需利用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指的答题区域内作答。

作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚。

答在试题卷、草稿纸上无效。

第II 卷共11小题。

二、填空题：本大题共5小题，每题5分，共25分．
11．若
31tan -
=α，则=
-+ααα
αcos sin 2cos 2sin 3_______．
12．已知向量a=(1，2)，b=(2，0)，假设向量λa+b 与向量c=(1，-2)共线，那么实数λ=______．
13．某商场销售某种商品的体会说明，该产品生产总本钱C 与产量q(q ∈N*)的函数关系式为C=100+4q ，销
售单价p 与产量q 的函数关系式为
q
p 16125-
=．要使每件产品的平均利润最大，那么产量q 等于_______．
14．已知函数f (x)=1223--x x ，那么f (20151)＋f (20152)＋f (20153)＋…＋f (20152014
)=______．
15．概念：若是函数)(x f y =在概念域内给定区间][b a ，上存在)(00b x a x <<，知足
a b a f b f x f --=
)()()(0，那
么称函数)(x f y =是][b a ，上的“平均值函数”，0x 是它的一个均值点．例如y=| x |是]22[，-上的“平均值函数”，0确实是它的均值点．给出以下命题：
① 函数1cos )(-=x x f 是]22[ππ，-上的“平均值函数”．
② 若)(x f y =是][b a ，上的“平均值函数”，那么它的均值点x0≥2b
a +．
③ 假设函数1)(2
--=mx x x f 是]11[，-上的“平均值函数”，那么实数m 的取值范围是)20(，∈m ．
④ 若x x f ln )(=是区间[a ，b] (b>a ≥1)上的“平均值函数”，0x 是它的一个均值点，那么ab x 1ln 0<
．
其中的真命题有 ．（写出所有真命题的序号）
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解许诺写出文字说明．证明进程或演算步骤． 16．（本小题总分值12分）
已知向量m=(sin ωx ，cos ωx)，n=(cos ωx ，cos ωx)，其中ω>0，函数=)(x f 2m ·n-1的最小正周期为π． (Ⅰ) 求ω的值；
(Ⅱ) 求函数)(x f 在[6π，4π
]上的最大值．
17．（本小题总分值12分）
已知函数f (t)=log2(2-t)+1-t 的概念域为D ． (Ⅰ) 求D ；
(Ⅱ) 假设函数g (x)=x2+2mx-m2在D 上存在最小值2，求实数m 的值． 18．（本小题总分值12分）
在△ABC 中，a ，b ，c 别离是内角A ，B ，C 的对边，
51
cos 5=
∠=ABC AB ，．
(Ⅰ) 若2=BC ，求ACB ∠sin 的值；
(Ⅱ) 若D 是边AC 中点，且
27
=
BD ，求边AC 的长．
19．（本小题总分值12分）
记公差不为0的等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，93=S ，853a a a ，，成等比数列．
(Ⅰ) 求数列}{n a 的通项公式n a 及n S ；
(Ⅱ) 假设
)2
(
2λ-⋅=n
n n a c ，n=1，2，3，…，问是不是存在实数λ，使得数列}{n c 为单调递减数列？若存在，
请求出λ的取值范围；若不存在，请说明理由． 20．（本小题总分值13分）
已知函数
1)(--=ax e x f x
(e 为自然对数的底数)，a>0． (Ⅰ) 假设函数)(x f 恰有一个零点，证明：1
-=a a e a ；
(Ⅱ) 假设)(x f ≥0对任意x ∈R 恒成立，求实数a 的取值集合． 21．（本小题总分值14分）
已知函数
x e n
x m x f +=
ln )((m ，n 为常数，71828.2=e …是自然对数的底数)，曲线)(x f y =在点))1(1(f ，处的
切线方程是
e y 2=
．
B
C
D
(Ⅰ) 求m ，n 的值； (Ⅱ) 求)(x f 的单调区间；
(Ⅲ) 设2)
1ln()()(+⋅'=x e x f x g x (其中)(x f '为)(x f 的导函数)，证明：对任意0>x ，2
1)(-+<e x g ．
绵阳市高2012级第一次诊断性考试 数学(理工类)参考解答及评分标准
一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分． DBDAC BCCDA 10题提示：由1
+x e
≥b ax +对x ∈R 恒成立，显然a ≥0，b ≤1
+x e
-ax ．
若a=0，则ab=0．
若a>0，那么ab ≤a 1+x e -a2x ．设函数=)(x f x a ae x 21-+，求导求出f(x)的最小值为a a a a f ln 2)1(ln 22-=-．
设)0(ln 2)(2
2>-=a a a a a g ，求导能够求出g(a)的最大值为
3
23
21)
(e e g =，
即ab 的最大值是321e
，现在
23
2321
e b e a ==，． 二、填空题：本大题共5小题，每题5分，共25分．
11．53
-
12．-1
13．40 14．3021 15．①③④
15题提示：①容易证明正确．
②不正确．反例：x x f =)(在区间[0，6]上．
③正确．由概念：2102
0m
m mx x --=
--得
1)1(10020+=⇒-=-x m m x x ， 又
0x )
11(，-∈因此实数m 的取值范围是)20(，
∈m ． ④正确．理由如下：由题知
a b a
b x --=
ln ln ln 0．
要证明
ab x 1
ln 0<
，即证明： b a a b ab a b a b ab a
b a b -
=-<⇔<--ln 1ln ln ，
令1>=t a b ，原式等价于0
1ln 21ln 2<+-⇔-<t t t t t t ．
令)1(1
ln 2)(>+-=t t t t t h ，则0)1(12112)(2
2222<--=-+-=--='t t t t t t t t h ，
因此0
)1(1
ln 2)(=<+-=h t t t t h 得证．
三、解答题：本大题共6小题，共75分．
16．解：(Ⅰ)=)(x f 2m·n -11cos 2cos sin 22
-+⋅=x x x ωωω
=
)
42sin(22cos 2sin π
ωωω+=+x x x ． ……………………………6分 由题意知：π=T ，即π
ωπ=22，解得1=ω．…………………………………7分
(Ⅱ) 由(Ⅰ)知
)
42sin(2)(π
+
=x x f ，
∵ 6π≤x ≤4π，得127π≤
42π+
x ≤43π
， 又函数y=sinx 在[127π，43π
]上是减函数，
∴
)34sin(2127sin
2)(max πππ+==x f …………………………………10分
=21
3+．…………………………………………………………12分 17．解：(Ⅰ) 由题知⎩⎨
⎧≥->-，，0102t t 解得21<≤t ，即)21[，
=D ．……………………3分 (Ⅱ) g (x)=x2+2mx -m2=2
22)(m m x -+，此二次函数对称轴为m x -=．……4分
① 假设m -≥2，即m ≤-2时， g (x)在)21[，
上单调递减，不存在最小值； ②若21<-<m ，即12-<<-m 时， g (x)在)1[m -，上单调递减，]2(，m -上递增，现在22)()(2min ≠-=-=m m g x g ，现在m 值不存在；
③m -≤1即m ≥-1时， g (x)在)21[，
上单调递增，
现在
221)1()(2
min =-+==m m g x g ，解得m=1． …………………………11分 综上：1=m ． …………………………………………………………………12分
18．解：(Ⅰ)
51
cos 5=
∠=ABC AB ，，2BC =，
由余弦定理：ABC BC BA BC BA AC ∠⋅⋅-+=cos 22
22=52+22-2×5×2×51
=25，
∴ 5=AC ． ……………………………………………………………………3分
又(0,)π∠∈ABC ，因此
562cos 1sin 2=
∠-=∠ABC ABC ，
由正弦定理：ABC AC
ACB AB ∠=
∠sin sin ， 得
56
2sin sin =
∠⨯=
∠AC ABC AB ACB ．………………………………………6分
(Ⅱ) 以BC BA ，为邻边作如下图的平行四边
形ABCE ，如图，
则
5
1
cos cos -
=∠-=∠ABC BCE ，
BE=2BD=7，
CE=AB=5，
在△BCE 中，由余弦定理：BCE CE CB CE CB BE ∠⋅⋅-+=cos 22
22．
即
)
51
(5225492-⨯⨯⨯-+=CB CB ， 解得：4=CB ． ………………………………………………………………10分
在△ABC 中，33
51
45245cos 222222=⨯⨯⨯-+=∠⋅⋅-+=ABC BC BA BC BA AC ，
即33=AC ．…………………………………………………………………12分 19．解：(Ⅰ) 由832
539a a a S ⋅==，，
得：⎪⎩⎪⎨
⎧
+⋅+=+=⨯+，
，)7()2()4(922331
1211
d a d a d a d a 解得：121==d a ，．
B
C
D
E
∴ 1+=n a n ，
n
n n n S n 2322)12(2+=++=． …………………………………5分 (Ⅱ) 由题知=
n c )12
(
2λ-+n n ．
假设使}{n c 为单调递减数列，那么
=
-+n n c c 1)22(
21λ-++n n -)12(2λ-+n n
=
0)1224(
2<-+-+λn n n 对一切n ∈N*恒成立， …………………8分
即： max
)12
24(01224+-+>⇔<-+-+n n n n λλ，
又1224+-
+n n =322
232)1)(2(22++=
++=++n n n n n n n n ，……………………10分
当1=n 或2时， max
)12
24(
+-+n n =31．
∴
31
>
λ．………………………………………………………………………12分
20．(Ⅰ)证明： 由1)(--=ax e x f x
，得a e x f x -=')(．…………………………1分
由)(x f '>0，即a e x ->0，解得x>lna ，同理由)(x f '
<0解得x<lna ，
∴ )(x f 在(-∞，lna)上是减函数，在(lna ，+∞)上是增函数， 于是)(x f 在a x ln =取得最小值．
又∵ 函数)(x f 恰有一个零点，那么0)(ln )(min ==a f x f ， ………………… 4分 即01ln ln =--a a e
a
．………………………………………………………… 5分
化简得：
1ln 1ln 01ln -=-==--a a a a a a a a a
于是，即，， ∴ 1
-=a a e a ． ………………………………………………………………… 6分
(Ⅱ)解：由(Ⅰ)知，)(x f 在a x ln =取得最小值)(ln a f ，
由题意得)(ln a f ≥0，即1ln --a a a ≥0，……………………………………8分
令1ln )(--=a a a a h ，那么a a h ln )(-='
， 由0)(>'a h 可得0<a<1，由0)(<'
a h 可得a>1．
∴ )(a h 在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减，即0)1()(max ==h a h ， ∴ 当0<a<1或a>1时，h(a)<0，
∴ 要使得)(x f ≥0对任意x∈R 恒成立，.1=a ∴a 的取值集合为{1} ……………………………13分
21．解：(Ⅰ)由
x e n x m x f +=
ln )(得x xe x
mx nx m x f ln )(--=
'(0>x )．
由已知得
0)1(=-=
'e n m f ，解得m=n ． 又
e e n
f 2)1(=
=
，即n=2，
∴ m=n=2．……………………………………………………………………3分
(Ⅱ) 由 (Ⅰ)得
)ln 1(2
)(x x x xe x f x --=
'，
令=)(x p x x x ln 1--，)0(∞+∈，
x ， 当x ∈(0，1)时，0)(>x p ；当x ∈(1，+∞)时，0)(<x p ，
又0>x e ，因此当x ∈(0，1)时，0)(>'x f ； 当x ∈(1，+∞)时，0)(<'
x f ，
∴ )(x f 的单调增区间是(0，1)，)(x f 的单调减区间是(1，+∞)．……8分
(Ⅲ) 证明：由已知有
)
ln 1()
1ln()(x x x x x x g --+=
，)0(∞+∈，
x ， 于是对任意0>x ，2
1)(-+<e x g 等价于
)
1()1ln(ln 12-++<
--e x x
x x x ，
由(Ⅱ)知=)(x p x x x ln 1--，)0(∞+∈，
x ， ∴ )ln (ln 2ln )(2
---=--='e x x x p ，)0(∞+∈，
x ． 易患当
)0(2
-∈e x ，时，0)(>'x p ，即)(x p 单调递增； 当
)(2
∞+∈-，e x 时，0)(<'x p ，即)(x p 单调递减．
因此)(x p 的最大值为221)(--+=e e p ，故x x x ln 1--≤21-+e ．
设)1ln()(x x x q +-=，则
01)(>+=
'x x
x q ，
因此，当)0(∞+∈，
x 时，)(x q 单调递增，0)0()(=>q x q ． 故当)0(∞+∈，x 时，0)1ln()(>+-=x x x q ，即1
)1ln(>+x x
． ∴ x x x ln 1--≤21-+e <)1()1ln(2
-++e x x ．
∴ 对任意0>x ，2
1)(-+<e x g ． ……………………………………………14分。