一维稳态导热的数值模拟
直角坐标系运动控制体的一维稳态热传导问题(3-26)
r1 − r2
代入 r1 , r2 的值便可解出角速度的值
= TL − T∞
直角坐标系运动控制体的一维稳态热传导问题326一维热传导方程一维热传导方程的解一维稳态水质模型在平面直角坐标系中平面直角坐标系在直角坐标系xoy中如图在平面直角坐标系在直角坐标系中直角坐标系
解：取该杆上长为 dx 微段为控制体，由能量守恒有
d dt dt kA − ρ c ω RA − hP ( t − T∞ ) = 0 dx dx dx
即导热微分方程为 导热微分方程为
d 2θ ρ cU dθ hP − − θ =0 dx 2 k dx kA
其中 θ = t − T∞ ，为过余温度 该其次微分方程的特征方程为
r2 −
特征值为
ρ cω R
k
r−
hP =0 kA
2
ρ cω R
r1,2 = =
故微分方程的解为
k
ρ cω R hP ± − 4 − k kA 2
C1 = −
(T0 − T∞ ) r2 , C
r1 − r2
2
=
2
(T0 − T∞ ) r1 ,
r1 − r2
1
Байду номын сангаасθ=
而
(T0 − T∞ ) ( r1er x − r2er x )
r1 − r2
= TL − T∞ ,
t x = L = TL , 即θ
故
x=L
(T0 − T∞ ) ( r1er L − r2er L )
ρ cω RA ±
( ρ cω RA )
2kA
2
+ 4hP
稳态ansys热分析数值模拟
稳态热分析数值模拟实例1——短圆柱体的热传导过程1、问题描述有一短圆柱体，直径和高度均为1m，其结构如图7.1所示，现在其上端面施加大小为100℃的均匀温度载荷，圆柱体下端面及侧面的温度均为0℃，试求圆柱体内部的温度场分布（假设圆柱体不与外界发生热交换，圆柱体材料的热传导系数为30 W/（m•℃））。
图7.1 圆柱体结构示意图2、三维建模应用Pro-E软件对固体计算域进行三维建模，实体如图7.2所示：图7.2 圆柱体三维实体图3、网格划分采用流动传热软件CFX的前处理模块ICEM对计算域进行网格划分，得到如图7.3所示的六面体网格单元。
流场的网格单元数为640，节点数为891。
图7.3 圆柱体网格图4、模拟计算及结果采用流动传热软件CFX稳态计算，定义圆柱体材料的热传导系数为30 W/(m•℃)，求解时选取Thermal Energy传热模型。
固体上壁面的边界条件设置为100℃的温度，侧面和下壁面边界条件为0℃的温度。
求解方法采用高精度求解，计算收敛残差为10-4。
图7.4为计算得到的圆柱体中心剖面的温度等值线分布图。
数据文件及结果文件在steady文件夹内。
图7.4 圆柱体中心剖面的温度等值线分布瞬态热分析数值模拟实例详解实例1——型材瞬态传热过程分析1、问题描述有一横截面为矩形的型材，如图7.5所示。
其初始温度为500℃，现突然将其置于温度为20℃的空气中，求1分钟后该型材的温度场分布及其中心温度随时间的变化规律（材料性能参数如表7.1所示）。
表7.1 材料性能参数密度ρkg/m3 导热系数W/(m•℃)比热J/(kg•℃)对流系数W/(m2•℃)2400 30 352 110图7.5 型材横截面示意图2、三维建模应用Pro-E软件对固体计算域进行三维建模，实体如图7.6所示：图7.6 型材三维实体图3、网格划分采用流动传热软件CFX的前处理模块ICEM对计算域进行网格划分，得到如图7.7所示的六面体网格单元。
传热学上机C程序源答案之一维稳态导热的数值计算
一维稳态导热的数值计算1.1物理问题一个等截面直肋，处于温度=80的流体中。
肋表面与流体之间的对流换热系数为t ∞,肋基处温度，肋端绝热。
肋片由铝合金制成，其导热系数为ℎ=45W/(m 2∙℃)t w =300℃，肋片厚度为，高度为H=0.1m 。
试计算肋内的温度分布及肋λ=110W/(m ∙℃)δ=0.01m 的总换热量。
1.2数学描述及其解析解引入无量纲过余温度，则无量纲温度描述的肋片导热微分方程及其边界θ=t ‒t ∞t w ‒t ∞条件：2220d m dxθθ-=x=0,θ=θw =1x=H,0xθ∂=∂其中 m =上述数学模型的解析解为：[()]()()w ch m x H t t t t ch mH ∞∞--=-⋅ ()()w hp t t th mH m∞∅=-1.3数值离散1.3.1区域离散计算区域总节点数取N 。
1.3.2微分方程的离散对任一借点i 有：2220i d m dx θθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭用θ在节点i 的二阶差分代替θ在节点i 的二阶导数，得：211220i i i i m x θθθθ+--+-=V 整理成迭代形式： (i=2,3……,N-1)()112212i i i m x θθθ+-=++V1.3.3边界条件离散补充方程为：11w θθ==右边界为第二类边界条件，边界节点N 的向后差分得：，将此式整理为10N N x θθ--=V 迭代形式，得：N 1N θθ-=1.3.4最终离散格式11w θθ== (i=2,3……,N-1)()112212i i i m x θθθ+-=++V N 1N θθ-=1.3.5代数方程组的求解及其程序假定一个温度场的初始发布，给出各节点的温度初值：，，….，。
将这些初01θ02θ0N θ值代入离散格式方程组进行迭代计算，直至收敛。
假设第K 步迭代完成，则K+1次迭代计算式为：K 11wθθ+= (i=2,3……,N-1)()11112212i i K K K i m x θθθ+-++=++V 111N K K N θθ-++=#include<stdio.h>#include<math.h>#define N 11main(){int i;float cha;/*cha 含义下面用到时会提到*/float t[N],a[N],b[N];float h,t1,t0,r,D,H,x,m,A,p; /*r 代表λ,x 代表Δx ，D 代表δ*/printf("\t\t\t 一维稳态导热问题\t\t");printf("\n\t\t\t\t\t\t----何鹏举\n");printf("\n 题目：补充材料练习题一\n");printf("已知：h=45，t1=80, t0=200, r=110, D=0.01, H=0.1 (ISO)\n");/*下面根据题目赋值*/h=45.0; t1=80.0; t0=300.0; r=110.0; D=0.01; H=0.1;x=H/N; A=3.1415926*D*D/4; p=3.1415926*D; m=sqrt((h*p)/(r*A));/*x代表步长，p代表周长，A代表面积*/printf("\n请首先假定一个温度场的初始分布，即给出各节点的温度初值：\n");for(i=0;i<N;i++){scanf("%f",&t[i]);a[i]=(t[i]-t1)/(t0-t1);b[i]=a[i];/*这里b[i]用记录一下a[i]，后面迭代条件及二阶采用温度初场要用到*/ }/*采用一阶精度的向后差分法数值离散*/cha=1;while(cha>0.0001){a[0]=1;for(i=1;i<N;i++)a[i]=(a[i+1]+a[i-1])/(2+m*m*x*x);a[N-1]=a[N-2];cha=0;for(i=0;i<N;i++)cha=cha+a[i]-b[i];cha=cha/N;/*cha代表每次迭代后与上次迭代各点温度差值的平均值*/}for(i=0;i<N;i++)t[i]=a[i]*(t0-t1)+t1;printf("\n\n经数值离散(一阶精度的向后差分法)计算得肋片的温度分布为:\n");for(i=0;i<N;i++)printf("%4.2f\t",t[i]);printf("\n\n");getchar();/*采用二阶精度的元体平衡法数值离散(温度初值还用设定的初场，便于比较)*/ for(i=0;i<N;i++)a[i]=b[i];cha=1;while(cha>0.0001){a[0]=1;for(i=1;i<N;i++)a[i]=(a[i+1]+a[i-1])/(2+m*m*x*x);a[N-1]=a[N-2]/(1+0.5*m*m*x*x);cha=0;for(i=0;i<N;i++)cha=cha+a[i]-b[i];cha=cha/N;}for(i=0;i<N;i++)t[i]=a[i]*(t0-t1)+t1;printf("\n\n经数值离散(二阶精度的元体平衡法)计算得肋片的温度分布为:\n"); for(i=0;i<N;i++)printf("%4.2f\t",t[i]);printf("\n\n");getchar();}。
稳态热传导问题的数值模拟
稳态热传导问题的数值模拟热传导是热能从高温区向低温区传递的过程，在自然界和工程应用中有广泛的应用。
当材料或物体的长度，面积和体积足够大以至于其中的热量可以被视为连续分布时，稳态热传导方程可以用来描述热传导现象。
本文将讨论如何通过数值模拟来解决稳态热传导问题。
1. 稳态热传导方程首先，我们来看一下稳态热传导方程。
稳态热传导方程最常用的形式是二维热传导方程和三维热传导方程。
对于二维情况，可以表示为：$$ \frac{\partial^2 T}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 T}{\partial y^2}=0 $$对于三维情况，可以表示为：$$ \frac{\partial^2 T}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 T}{\partialy^2}+\frac{\partial^2 T}{\partial z^2}=0 $$其中，T表示温度。
2. 数值模拟方法由于稳态热传导方程在大多数情况下很难用解析方法求解，因此数值模拟方法成为了解决该问题的主要方法之一。
这里我们主要介绍两种数值模拟方法：有限差分法和有限元法。
2.1 有限差分法有限差分法是一种基于迭代计算的数值模拟方法，它将区域离散化为小的网格，并通过有限差分来逼近上述方程。
具体来说，它将偏微分方程近似为差分方程，然后用迭代方法来逼近和求解问题。
在应用有限差分法时，需要将连续的区域离散化为小的网格。
然后，用相邻两个网格点的温度差来逼近该点处的温度。
具体来说，对于二维情况，可以用以下公式来表示：$$ \frac{T(i+1,j)+T(i-1,j)+T(i,j+1)+T(i,j-1)-4T(i,j)}{h^2}=0 $$其中，h表示网格尺寸，i和j分别表示网格的横向和纵向坐标。
通过递归求解该方程，可以得到整个区域内的温度分布。
2.2 有限元法有限元法是一种更通用的数值模拟方法，可以用于解决各种类型的偏微分方程。
稳态与非稳态热传导问题的数值模拟
稳态与非稳态热传导问题的数值模拟热传导是物体中热量传输的过程，它在生产和生活中都具有非常重要的作用。
热传导的过程中，热量从高温区向低温区传播，同时产生热流。
在工程领域中，热传导的过程常常需要进行数值模拟，以便更好地预测材料的热传导过程。
在本文中，我们将探讨稳态与非稳态热传导问题的数值模拟方法及其应用。
1. 稳态热传导问题稳态热传导问题是指物体中温度分布随时间不发生变化，也就是说，热量在物体内部没有积累或损失。
这类问题通常使用拉普拉斯方程来描述，即：∇·(k∇T) = 0其中，T 是温度分布，k 是热传导系数。
由于热传导系数一般取决于温度，因此需要使用一定的迭代方法，如高斯-赛德尔迭代法、雅可比迭代法等等，来求解该方程。
在实际的工程领域中，稳态热传导的数值模拟运用非常广泛。
例如，汽车发动机的温度控制和机械零件的热稳定性分析等都需要进行稳态热传导模拟，以保证工艺和质量。
2. 非稳态热传导问题非稳态热传导问题是指物体中温度分布随时间发生变化的情况。
这类问题与时间和空间有关，需要使用偏微分方程来描述。
例如，常见的热传导方程为：∂T/∂t = α∇²T + Q其中，α 为热扩散系数，Q 为热源。
解决该方程需要使用数值方法，如有限元方法、有限差分法等等。
非稳态热传导问题的数值模拟应用广泛，例如，液体储罐中液体的温度变化、电子设备散热分析等。
在高温环境下，热量的传递通常是非稳态的，因此该类问题的数值模拟更为常见。
3. 数值模拟方法无论是稳态还是非稳态热传导问题，数值模拟都需要使用适当的方法来求解热传导方程。
下面介绍两种常用的数值模拟方法。
（1）有限元方法有限元方法是一种非常常用的数值计算方法，在热传导问题中也得到了广泛应用。
该方法将连续的物理量离散成一组有限的基函数，再用这些基函数对问题进行近似求解，从而得到数值解。
有限元方法的基本思想是将区域分割成有限数量的小元素，每个小元素可以用一组简单的函数来描述，这些函数称为形函数。
ANSYS Workbench 热分析教程
传热学上机实验指导书ANSYS Workbench 热分析基础教程编制：杨润泽汽车工程系热能教研室2012年7月1.大平板一维稳态导热问题1.1. 问题描述长500mm，宽300mm，厚度30mm的大钢板，钢板上下表面的温度分别为200℃和60℃，钢的导热率为30W/(m·K)，试分析钢板温度分布和热流密度。
图1-1 大平板一维稳态导热模型1.2. 问题分析该问题为稳态导热问题，分析思路如下：1.选择稳态热分析系统。
2.确定材料参数：稳态导热问题，仅输入平板导热率。
3.【DesignModeler】建立钢板的几何模型。
4.进入【Mechanical】分析程序。
5.网格划分：采用系统默认网格。
6.施加边界条件：钢板上下表面施加温度载荷，四周对称面无热量交换，为绝热边界，系统默认无需输入。
7.设置需要的结果：温度分布和热流密度。
8.求解及结果显示。
1.3. 数值模拟过程1、选择稳态热分析系统1)工程图解中调入稳态热分析系统Steady-State Thermal（ANSYS）2)工程命名Conduction Thermal Analysis3)保存工程名为Conduction Heat Transfer2、确定材料参数1)编辑工程数据模型，添加材料的导热率，右击鼠标选择【Engineering Data】【Edit】2)选择钢材料属性【Properties of Outline Row 3: Structure Steel】【Isotropic ThermalConductivity】3)出现【Table of Properties Row 2: Thermal Conductivity】材料属性表，双击鼠标，点击每个区域输入材料属性参数：温度20℃，导热率30W/(m·℃)。
4)参数输完后，工程数据表显示导热率-温度图表。
3、DM建立模型1)选择【Geometry】【New Geometry】，出现【DesignModeler】程序窗口，选择尺寸单位【Millimeter】。
一维稳态导热问题数值计算
一维稳态导热问题数值计算刘强引言❖目前为止，一般稍微复杂的导热问题几乎都依靠数值法求解。
❖导热问题的数值法有三种：有限差分法，有限元法和边界元法。
本教材介绍目前在铸造领域温度场计算中普遍采用的直接差分法，也叫单元热平衡法。
❖基本思想：不用导热微分方程，而是直接通过能量守恒定律，根据相邻单元间的能量交换关系导出差热方程。
❖分析i 单元的热量平衡关系，从t n 到t n+1时间内，由i-1单元流入i 单元的热量为：=1Q x i T i T k n n ∆---)1()(x ∆⋅（1）由i 单元流入i+1单元的热量为：=2Q 由内能计算公式：t x i T i T k n n ∆⋅∆-+-)()1(Tm C Q p ∆=而在该时间内，得出单元的内能增量为：[])()(1i T i T C x Q n n p -∆=+ρ蓄（2）（3）根据能量守恒定律则能得出蓄Q Q Q =-21t x i T i T k n n ∆⋅∆---)1()([])()()()1(1i T i T C x t x i T i T k n n p n n -∆=∆⋅∆-+++ρ或是其中[])1()()2()1(1++-+-i T i T M i T M n n n tx M ∆⋅∆=α/上式即为显式差分格式（4）=+)(1i T n初始条件：边界条件：给定初始温度T （i ），i=1，2,3，…，N由初始和边界条件可计算区域内部各节点随时间t 变化的温度值：代表时间步常数给定边界温度n n N T T nn ,,2,1,0),(),1(⋅⋅⋅=),3,2,1;1,,3,2(),(⋅⋅⋅=-⋅⋅⋅=n N i i T n步骤如下由初始条件和边界条件知图中第0排的温度，知，其中由初始条件提供)1(~)2(T 00-N T 由边界条件提供，与)()1(00N T T 第一排的温度值)1,,3,2)(1(1-⋅⋅⋅=N i T 可由（4）式得到；再利用边界条件，得到),()1(11N T T 与即能得到第一排上的全部节点的温度再由（4）式和边界条件依次算得inT n⋅⋅⋅==⋅⋅⋅i),,),2,1;(,3,2(n显示与隐式差分格式)(1i T n +)(1i T n +)1()()1(+-i T i T i T n n n 、、在4式中，n+1排上的任一节点i 的温度只依赖在n 排上i 节点及相邻节点i-1、i+1的温度值换言之，就是可由明显地来表示出来⇒显示差分格式若用)1()()1(111+-+++i T i T i T n n n 、、时刻的温度去计算1+n t tx i T i Tk Q n n ∆⋅∆---=++)1()(111t x i T i T k Q n n ∆⋅∆-+-=++)()1(112,21Q Q 、则能得到（5）（6）结合（3）式便得到另一种差分格式)()1(1)()21()1(1111i T i T Mi T M i T M n n n n =+-++--+++（7）此式只是表示的时间水平不同，实际上⇒与（4）式形势完全一致式（7）即完全隐式差分格式谢谢。
一维稳态导热数值解法matlab
一维稳态导热数值解法matlab 在导热传输的研究中，解析方法常常难以适用于复杂的边界条件和非均匀材料性质的情况。
因此，数值解法在求解热传导方程的问题上发挥了重要作用。
本文将介绍一维稳态导热数值解法，以及如何使用MATLAB来实现。
稳态导热数值解法通常基于有限差分法(Finite Difference Method, FDM)，它将连续的一维热传导方程离散为一组代数方程。
首先，我们需要将热传导方程转化为差分格式，然后利用MATLAB编写程序来求解。
下面，将具体介绍该方法的步骤。
步骤一：离散化根据一维热传导方程，可以将其离散为一组差分方程。
假设被研究的材料长度为L，将其等分为N个离散节点。
令x为节点位置，T(x)表示节点处的温度。
则可以得到以下差分方程：d²T/dx² ≈ (T(x+Δx) - 2T(x) + T(x-Δx)) / Δx²其中，Δx = L/N是节点之间的间距。
将热传导方程在每个节点处应用上述差分格式后，我们便得到了一组代表节点温度的代数方程。
步骤二：建立矩阵方程将差分方程中各节点的温度代入，我们可以将其表示为一个线性方程组。
这个方程组可以用矩阵的形式表示为Ax = b，其中A是系数矩阵，x是节点温度的向量，b是右侧项的向量。
步骤三：求解方程组使用MATLAB的线性方程求解器可以直接求解上述的线性方程组。
具体而言，通过利用MATLAB中的"\ "操作符，我们可以快速求解未知节点的温度向量x。
步骤四：结果分析与可视化在得到节点温度向量后，我们可以对结果进行可视化和分析。
例如，可以使用MATLAB的plot函数绘制温度随位置的分布曲线，以及温度随节点编号的变化曲线。
这样可以直观地观察到温度的变化情况。
总结：本文介绍了一维稳态导热数值解法以及使用MATLAB实现的步骤。
通过将热传导方程离散化为差分方程，然后建立矩阵方程并利用MATLAB的线性方程求解器求解，我们可以得到节点温度的数值解。
一维稳态导热数值计算
一维稳态导热数值计算引言在工程和科学领域中，热传导是一个重要的问题，它涉及到物体内部的热量传递过程。
一维稳态导热是指物体在一个方向上的热传导过程，且不随时间变化。
为了分析和解决一维稳态导热问题，我们可以使用数值计算方法，如有限差分法。
本文将介绍一维稳态导热数值计算的基本原理和步骤。
基本原理一维稳态导热问题可以描述为以下的热传导方程：$$\\frac{{d}}{{dx}}(k \\frac{{dT}}{{dx}}) = 0$$其中，k是物质的热导率，T是温度。
我们需要根据边界条件和初始条件求解该方程的解析解或数值解。
在数值求解中，我们通常将问题的区域离散化，将连续变量转化为离散变量。
我们可以将区域划分为多个小区间，每个小区间内的温度和导热系数近似为常数。
然后，我们可以使用有限差分法来近似求解。
数值计算步骤为了进行一维稳态导热问题的数值计算，我们需要按照以下步骤进行操作：步骤 1：确定区域和边界条件首先，我们需要确定问题的区域，并确定边界条件。
区域可以是一根导热杆或其他具有一维结构的物体。
边界条件可以是固定温度或热流量。
步骤 2：离散化区域将区域离散化是数值计算的基础。
我们可以将区域划分为多个小区间，每个小区间内的温度和导热系数近似为常数。
确定离散化的步长可以根据问题的要求进行选择。
步骤 3：建立差分方程根据离散化后的区域，我们可以建立差分方程，将热传导方程转化为一个线性方程组。
在一维稳态导热问题中，通常采用中心差分法或其他差分格式进行近似。
步骤 4：求解线性方程组求解差分方程就是求解线性方程组。
我们可以使用常见的数值计算工具或算法，如高斯消元法或迭代法，来求解线性方程组。
根据边界条件的不同，方程组的形式也会有所不同，需要根据具体情况进行选择。
步骤 5：计算结果最后，根据线性方程组的解，我们可以计算出每个小区间内的温度分布。
可以根据具体需求进行进一步计算和分析。
总结本文介绍了一维稳态导热数值计算的基本原理和步骤。
一维稳态导热问题数值模拟
一维稳态导热问题数值模拟问题描述：设有一导热方程，022=+T dxTd ，边界条件为011dTx dx x T ⎧==⎪⎨⎪==⎩编写一段程序对此问题进行数值模拟。
解析：220d T T dx += 0011dT x dx x T ⎧==⎪⎨⎪==⎩ 1、用控制容积有限差分方法做出内部节点和边界节点的离散化方程：首先进行离散化，先确定节点，再确定控制容积。
将0-1划分为N 段，共N+1个节点，N 个控制容积，其中1xN∆=。
可以得到如下：对原方程建立差分方程，内部节点有：[()]0ew d dTT dx dx dx +=⎰ 0e wdT dT T x dxdx⇒-+∆=0P W E P P T T T T T x x x --⇒-+∆=∆∆1011P W E P P T T T T T N N N--⇒-+=1(2)1E W P E W P E W P P E E W W a a NN T NT NT N a a a a T a T a T N ==⎫⎧⇒-=+⎪⎪⇒⎬⎨=+-⎪⎪=+⎭⎩则转换为下式，：Pi i Ei Ei Wi Wi a T a T a T =+ i=2，….,N上式即为内部节点的离散化方程。
对于外部节点可有：1011i i i T T i T i N +==⎧⎨==+⎩综上可以得到内部节点和外部节点的离散化方程为：12111Pi i Ei Ei Wi Wi i i i a T a T a T i N T T i T i N +=+=⎧⎪==⎨⎪==+⎩，...,即为11(2)2111i Ei Wi i i i N T NT NT i N N T T i T i N +⎧-=+=⎪⎪⎨==⎪==+⎪⎩，...,上式不满足系数为负数，则可改用如下离散方程：内部节点：*12011E p P W P P T T T T T T N N N N----+=E w a a N == 1p E w a a a N =++12p a N N =+*2p b T N= p p E E W W a T a T a T b =++ pi pi Ei Ei Wi Wi i a T a T a T b =++ *1112(2)()i i i PN T N T T T N N-++=++ 边界节点 1x= 11N T +=p p E E W W a T a T a T b =++E w a a N == 1p E w a a a N=++12p a N N=+*11112N N N N N N P a T a T a T T N ++--=++ *112(2)N N P N T N NT T N N-+=++边界节点 0x=0dTdx= (())0e P d dT T dx dx dx +=⎰ *1(2)012P E P P T T T T N N-+-=E a N = *1P b T N = 11++22P E a a N N N== p p E E a T a T b =+ *11221P a T a T T N =+ *1211()2P N T NT T N N-=+组成代数方程组：*12*11*111(+)1212(2)()212(2)1P i i i P N N P N T NT T i N N N T N T T T i N N N N T N NT T i N N N -+-⎧=+=⎪⎪⎪+=++≤≤⎨⎪⎪+=++=+⎪⎩写成矩阵方程组：*1*22*1*11+000021220001..0200.......2100202100002P P N N P N P N N T N N T N N N T NT N N N N NT T T N N N NT NT N NN N N --⎡⎤-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤-+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥-+⎣⎦⎢⎥⎣⎦2、写出代数方程组的迭代求解程序: 用Matlab 编写如下求解程序；（1）高斯赛德尔迭代法（调用程序gauseidel 文件） function [x,n]=gauseidel(A,b,x0,eps,M) %高斯迭代格式 %线性方程组的系数：A %线性方程组中常数向量：b %迭代初始向量：x0 %解的精度控制：eps %迭代步数控制：M %线性方程组的解：x%求出所需精度的解实际迭代步数：n if nargin==3 eps=0.000001; M=10000; elseif nargin==4 M=10000; endD=diag(diag(A)); L=-tril(A,-1); U=-triu(A,1); G=(D-L)\U;f=(D-L)\b;x=x0;n=0;tol=1;while tol>=epsx=G*x0+f;n=n+1;tol=norm(x-x0);x0=x;if (n>=M)disp ('Warning：’迭代次数过多，可能不收敛.') return;endend（2）主程序（demo文件）如下：N=input('请输入N值''\n')Tp=input('请输入Tp值''\n')x1=zeros(N,1)A0=zeros(N);A0(1,1)=N+1/(2*N);A0(1,2)=-N;A0(N,N-1)=-N;A0(N,N)=2*N+1/N;for i=2:N-1A0(i,i-1)=-N;A0(i,i)=2*N+1/N;A0(i,i+1)=-N;endb0=zeros(N,1);b0(1,1)=(1/N)*Tp;b0(N,1)=(2/N)*Tp+N;for i=2:N-1b0(i,1)=(2/N)*Tp;endA=A0; b=b0; x0=x1;[x,n]=gauseidel(A,b,x0) x=[x;1] t=(0:1/N:1)title('一维稳态导热问题空间温度分布图') xlabel('空间分布X') ylabel('温度分布T') hold on plot(t,x)3、结果分析，以上程序计算当取*p T =1。
一维稳态热传导方程的数值解法及其
具体步骤如下：（1）先假设一个温度分布初值；
（2）计算相应函数b, a n b 及 a p
（3）求解线性离散方程组； （4）由新的温度再计算函数（改进系数）；
（5）返回2后，再重复计算T，直到 104 为止。
其中
Tn1 Tn
Tn
设初值为T*，迭代后新的温度分布为T，
例如在热传导问题中SP为正值，意味着TP增加，源项热源也增加，如果这时没有有效的散热机构，可能会反 过来导致温度的升高，如此反复下去，造成温度飞升的不稳定现象。
为了保证代数方程迭代求解的收敛。Δν为控制容积的体积， 线性代数方程迭代求解收敛的一个充分条件是对角占优，即
ap anbSPV
ap anb
,这里A是控制体积界面的面积，这里取1，于是ΔV= ΔX
从而有
d dT x e d dT x w xSCSP T P0
对扩散项T 随x 呈分段线性分布得：
dT dx
e
e
TExTeP理得：
TExT ePTPxT w WxSCSPTP0
e
w
TPxee xwwSpxTExeeTWxwwScx
1) S c =4 S p=-5
2) S c =4-5Tp* S p=0
3) S c =4+7Tp* S p=-12
2）中将S作为常数（以上一次迭代计算的T*计算S）处理，使源项相对于T永远有一 个滞后；1）中Tp是迭代计算当前值使S能更快跟上Tp的变化；3）比实际的S~ T 关系更陡的曲线，使迭代收敛速度减慢，相当于欠松弛。
一维稳态导热方程的离散形式可表示成：
aP T PaE T Ea W T W b
1
aE
一维稳态导热数值解法matlab
一维稳态导热数值解法matlab 导热是物体内部热量传递的一种方式，对于一维稳态导热问题，我们可以使用数值解法来求解。
MATLAB是一种强大的数值计算软件，可以方便地实现一维稳态导热数值解法。
首先，我们需要了解一维稳态导热问题的基本原理。
一维稳态导热问题可以用一维热传导方程来描述，即：d²T/dx² = Q/k其中，T是温度，x是空间坐标，Q是热源的热量，k是热导率。
我们需要求解的是温度T在空间上的分布。
为了使用数值解法求解这个方程，我们需要将空间离散化。
假设我们将空间分成N个小区间，每个小区间的长度为Δx。
我们可以将温度T在每个小区间的位置上进行离散化，即T(i)表示第i个小区间的温度。
接下来，我们可以使用有限差分法来近似求解热传导方程。
有限差分法的基本思想是用差分代替微分，将微分方程转化为差分方程。
对于一维热传导方程，我们可以使用中心差分公式来近似求解：(T(i+1) - 2T(i) + T(i-1))/Δx² = Q(i)/k其中，Q(i)是第i个小区间的热源热量。
将上述差分方程整理后，可以得到：T(i+1) - 2T(i) + T(i-1) = (Q(i)/k) * Δx²这是一个线性方程组，我们可以使用MATLAB的矩阵运算功能来求解。
首先，我们需要构建系数矩阵A和常数向量b。
系数矩阵A是一个(N-1)×(N-1)的矩阵，其中A(i,i) = -2，A(i,i+1) = A(i,i-1) = 1。
常数向量b是一个(N-1)维的向量，其中b(i) = (Q(i)/k) * Δx²。
然后，我们可以使用MATLAB的线性方程组求解函数来求解这个方程组。
假设我们将求解得到的温度向量为T_solve，那么T_solve就是我们所求的稳态温度分布。
最后，我们可以使用MATLAB的绘图功能来可视化温度分布。
通过绘制温度随空间坐标的变化曲线，我们可以直观地观察到温度的分布情况。
一维稳态导热
§2-3 一维稳态导热（Steady-State Conduction）
一维稳态导热： t 0 ； t=t(n) τ
gratddt dn
0C m
ΦλA gratdλA dt常数 dn
4
一、通过平壁的导热 平壁的长度和宽度都远大于其厚度，因 而平板两侧保持均匀边界条件的稳态导 热就可以归纳为一维稳态导热问题。 从平壁的结构可分为单层壁，多层壁和 复合壁等类型 。
t2
t1
q 1 1
700 ℃
t3
t2
q
2 2
289 ℃
硅藻土层的平均温度为
t2 t3 499℃ 2
19
3.复合平壁
当B与C相差不是很 大时，是一维流动 。
t总 R d总
20
二、通过圆筒壁的导热 圆筒壁就是圆管的壁面。当管子的壁面
相对于管长而言非常小，且管子的内外壁 面又保持均匀的温度时，通过管壁的导热 就是 t=t(r) 的一维导热问题。
21
1、通过单层圆筒壁的导热
A(r) dt 2rl dt
dr
dr
分离变量： tw2 dt r2 dr
tw1
r1 2 l r
r
积分得：
tw2
t w1
2 l
ln
r2 r1
t1 r1
t2
r2
22
tw1tw2 tw1tw2 t 1 lnr2 1 lnd2 R
2l r1 2l d1
Rd
17
解：已知 1＝0.24m,
1=1.04W/(m℃) 2＝0.05m, 2=0.15W/(m℃) 3＝0.115m, 3=0.63W/(m℃) t1=1000℃
t2=60℃
一维稳态导热方程推导
一维稳态导热方程推导导热方程简介在理解一维稳态导热方程之前，我们先来了解导热方程的概念。
导热方程描述了热量在介质中的传播规律，通过该方程可以推导出温度在空间中的分布情况。
一维稳态导热方程的定义一维稳态导热方程描述了在一个维度上，介质中的热量分布不随时间变化的情况下的热传导行为。
该方程可以用数学形式表示为：$$\\frac{{d}}{{dx}}(k(x)\\frac{{dT}}{{dx}}) = 0$$其中，k(x)是介质的导热系数，T(x)是温度分布函数，x表示一维空间坐标。
推导过程为了推导一维稳态导热方程，我们需要考虑热传导过程中的热流量和热量守恒。
假设我们有一个长度为L的介质，其中的热传导是沿着x方向进行的。
首先，我们考虑介质内的一个微小段dx，该段温度为T(x)，导热系数为k(x)。
根据热量守恒定律，该微小段内的热量变化率应与进入和离开该段的热流量之和相等。
我们可以将该微小段的热量变化率表示为：$$\\frac{{d}}{{dt}}(Q(x)) = -\\frac{{d}}{{dx}}(F(x))$$其中，Q(x)表示该微小段内的热能，F(x)表示通过该微小段的热流量。
考虑微小段dx与其邻近的微小段之间的热传导，我们可以使用傅里叶定律来表示热流量F(x)：$$F(x) = -k(x) \\frac{{dT}}{{dx}} dx$$代入热量守恒定律的表达式中，我们得到：$$\\frac{{d}}{{dx}}(k(x)\\frac{{dT}}{{dx}}) = 0$$这就是一维稳态导热方程。
方程的物理意义一维稳态导热方程描述了热量在一个维度上的传播规律。
方程表明，在稳态下，介质中的热传导是由温度梯度驱动的。
温度梯度越大，热传导越强。
导热系数k(x)描述了介质内导热的特性，它可以反映介质的性质和结构。
通过求解一维稳态导热方程，我们可以确定介质内不同位置的温度分布。
这对于许多工程问题和科学研究都是非常重要的，例如热传导问题、传热设备设计等。
一维热传导方程数值解法及matlab实现
问题描述实验原理分离变量法实验原理有限差分法实验目的利用分离变量法和有限差分法解热传导方程问题利用matlab进行建模构建图形研究不同的情况下采用何种方法从更深层次上理解热量分布与时间、空间分布关系。
模拟与仿真作业（1）分离变量法（代码）：x=0:0.1*pi:pi;y=0:0.04:1;[x,t]=meshgrid(x,y);s=0;m=length(j);%matlab可计算的最大数相当于无穷for i=1:ms=s+(200*(1-(-1)^i))/(i*pi)*(sin(i*x).*exp(-i^2*t)); end;surf(x,t,s);xlabel('x'),ylabel('t'),zlabel('T');title(' 分离变量法（无穷）');axis([0 pi 0 1 0 100]);所得到的三维热传导图形为：有限差分法：u=zeros(10,25); %t=1 x=pi 构造一个1025列的矩阵（初始化为0）用于存放时间t和变量x 横坐标为x 纵坐标为ts=(1/25)/(pi/10)^2;fprintf('稳定性系数S为:\n');disp(s);for i=2:9u(i,1)=100;end;for j=1:25u(1,j)=0;u(10,j)=0;end;for j=1:24for i=2:9u(i,j+1)=s*u(i+1,j)+(1-2*s)*u(i,j)+s*u(i-1,j); endenddisp(u);[x,t]=meshgrid(1:25,1:10);surf(x,t,u);xlabel('t'),ylabel('x'),zlabel('T');title(' 有限差分法解');所得到的热传导图形为：（2）i分离变量法（取前100项和）x=0:0.1*pi:pi;y=0:0.04:1;[x,t]=meshgrid(x,y);s=0;for i=1:100s=s+(200*(1-(-1)^i))/(i*pi)*(sin(i*x).*exp(-i^2*t)); end;surf(x,t,u);xlabel('x'),ylabel('t'),zlabel('T');title(' 分离变量法');axis([0 pi 0 1 0 100]);所得到的热传导图形为：Ii有限差分法根据（1）我们有如下图结论：比较可得这两幅图基本相同，有限差分法和分离变量法对本题都适应（3）第一种情况（取无穷项）：在原来程序代码的基础上加上disp(s(:,6)); 可得出第六列（即x=pi/2）处温度随时间的变化情况x=0:0.1*pi:pi;y=0:0.04:1;[x,t]=meshgrid(x,y);s=0;m=length(j);%matlab可计算的最大数，相当于无穷for i=1:ms=s+(200*(1-(-1)^i))/(i*pi)*(sin(i*x).*exp(-i^2*t));end;surf(x,t,s);xlabel('x'),ylabel('t'),zlabel('T');title(' 分离变量法（无穷）');axis([0 pi 0 1 0 100]);disp(s(:,6));我们得到如下一组数据：当温度低于50度是时间为t=23.5*0.04=0.94第二种情况（取前100项和）在原来程序代码的基础上加上disp(s(:,6)); 可得出第六列（即x=pi/2）处温度随时间的变化情况x=0:0.1*pi:pi;y=0:0.04:1;[x,t]=meshgrid(x,y);r=0.04/(0.1*pi)^2;fprintf('稳定性系数S为：')disp(r);s=0;for i=1:100s=s+(200*(1-(-1)^i))/(i*pi)*(sin(i*x).*exp(-i^2*t));end;surf(x,t,s);xlabel('x'),ylabel('t'),zlabel('T');title(' 分离变量法');axis([0 pi 0 1 0 100]);disp(s(:,6));当温度低于50度是时间为t=23.5*0.04=0.94第三种情况（有限差分法）在原来程序代码的基础上加上disp(u(5,:));可得出第五行（即x=pi/2）处温度随时间的变化情况u=zeros(10,25); %t=1 x=pi 10行25列横坐标为x 纵坐标为ts=(1/25)/(pi/10)^2;fprintf('稳定性系数S为:\n');disp(s);for i=2:9u(i,1)=100;end;for j=1:25u(1,j)=0;u(10,j)=0;end;for j=1:24for i=2:9u(i,j+1)=s*u(i+1,j)+(1-2*s)*u(i,j)+s*u(i-1,j);endenddisp(u);[x,t]=meshgrid(1:25,1:10);surf(x,t,u);xlabel('t'),ylabel('x'),zlabel('T');title(' 有限差分法解');disp(u(5,:));得到如下结果我们知19列为50.3505 20列是数据为47.8902 所以时间t为20*0.04=0.78结论：比较一二三种情况，我们得到不同的时间，这是由于：1、加和不同一种为100，一种为无穷；2、采用的方法不同：一种为分离变量法，一种为有限差分法造成的。
一维瞬态导热数学模型,可表达为微分方程python
一维瞬态导热数学模型通常使用傅里叶导热定律来描述。
这个模型假设热量只在一个方向（例如x方向）上传递，并且材料的热物性（如热导率）是恒定的。
这个模型可以用偏微分方程来表示：ρc∂T/∂t = k∂²T/∂x² + q其中，ρ是材料的密度，c是材料的比热容，T是温度，t是时间，k是材料的热导率，q 是热源项（如果有的话）。
在Python中，我们可以使用SymPy库来定义和求解这个微分方程。
然而，对于偏微分方程，我们通常需要使用数值方法来求解，例如有限差分法或有限元法。
这里，我将展示如何使用SymPy库来定义这个微分方程，但请注意，这只是一个符号表示，并不直接用于求解。
pythonimport sympy as sp# 定义变量x, t = sp.symbols('x t')T = sp.Function('T')(x, t)# 定义材料属性rho, c, k = sp.symbols('rho c k', real=True, positive=True) # 密度，比热容，热导率q = sp.symbols('q', real=True) # 热源项# 建立微分方程equation = sp.Eq(rho*c*T.diff(t), k*T.diff(x, x) + q)# 打印方程print(equation)要解这个方程，你需要选择一个合适的数值方法，并且可能需要设定初始条件和边界条件。
例如，你可以使用有限差分法来离散化时间和空间，并且使用迭代方法来求解离散化后的方程组。
这通常涉及到编写更复杂的代码，并且可能需要使用额外的库，如NumPy 和SciPy。
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第一章一维稳态导热的数值模拟t c图1-1导热计算区域示意图如图1-1所示，平板的长宽度远远大于它的厚度，平板的上部保持高温t h ，平板的下部保持低温t c 。
平板的长高比为 30,可作为一维问题进行处理。
需要求解平板内的温度分布 以及整个稳态传热过程的传热量。
、实例操作步骤1.利用Gambit 对计算区域离散化和指定边界条件类型步骤1 ：启动Gambit 软件并建立新文件在路径C:\Fluent.lnc\ntbin\ntx86 下打开gambit 文件（双击后稍等片刻），其窗口布局如 图1-2所示。
Hile:W Save current sestonAccept |图1-3建立新文件在ID 文本框中输入on edim 作为文件名，然后单击 Accept 按纽，在随后显示的图 1-4对话框中单击 Yes 按纽保存。
、实例简介I 411然后是建立新文件，操作为选择File T New 打开入图1-3所示的对话框。
ID ：| onedlnfClose图1-2 Gambit 窗口的布局□1卩i ：D[u~祁」碣I PUI图1-4确认保存对话框步骤2:创建几何图形选择Operationl 刊〜Geometry 」〜Face 打开图1-5所示的对话框。
在 Width 内输入30，在Height 中输入1，在Direction 下选择+X+Y 坐标系，然后单击图1-6几何图形的显示步骤3：网格划分（1）边的网格划分当几何区域确定之后，接下来就需要对几何区域进行离散化，即进行网格划分。
选择 Operation 目 宀MesJ宀Edge，打开图1-7所示的对话框。
Apply ，并在 Global Control 下点击一1,则出现图1-6所示的几何图形。
图1-5创建面的对话框即ac 眄■ ftpply Defauill|Interval count i 1Options■F Remove old mesh_| Ign ore size Lin ctionsApply |Reset 1 Qnse 1图1-7边网格划分对话框Mesh EdyesRatio在Edges后面的黄色对话框中选中edge.1和edge.3。
也可以采用Shift +鼠标左键的方法选中edge.1和edge.3。
然后在Spaci ng中选择In terval co unt ,在其左边的对话框中输入100，即将这两个边各划分成100个等份。
最后点击Apply确认。
则出现图1-8所示的边网格划分。
图1-8上下边网格的划分采用同样的方法对面的其它边进行网格划分，设定edge.2和edge.4的Spaci ng对应的数值为10，注意Spaci ng的类型仍然为In terval count ,可以得到如图1-9所示面上各边的网格划分。
图1-9各边的网格划分(2)面的网格划分对边进行网格划分实际上是对计算区域的边界进行离散化, 行离计算区域的内部同样需要进散化，需要对计算区域进行面网格划分。
选择Operation曰宀Mesh 口宀Face E2，打开图1-10所示的对话框。
图1-10在Faces后面的黄色框中选中face.1，选中之后，可以看到面上的边均变成红色，表示选择成功。
对话框中的其它选项均保持默认值，此时Spaci ng的类型为In terval size，它左边的默认值为1。
点击Apply确认可以看到图1-11所示的面网格划分情况。
图1-11面的网格划分步骤4:边界条件类型的指定在指定边界条件之前，需要选定一个求解器，因为不同求解器的边界类型不一样。
这里选择Solve T Fluent5/6，选择之后Gambit布局窗口标题栏中的Solve:Generic将变成Solve: Fluent5/6 。
I r选择Operation=；'T Zone ，打开图1-12所示的对话框，指定边界条件的类型。
图1-12边界条件指定对话框首先指定面的上边为热源。
具体操作为在 Name 右边的白色框中输入 heat ,选择Entity 下面的类型为 Edges ，然后在Edges 右边的黄色对话框中选择热源对应的边 edge.3,点击 Apply 之后就将edge3定义成了热源。
用同样的方法可以将下边定义成冷源 cold 。
左右两条 边可以不需要定义，保持 Gambit 默认即可。
都定义完之后，可以得到图 1-13的边界名称和边界类型。
healW ALL电coldWALL图1-13热源和冷源边界条件的指定步骤5:指定计算区域的类型Gambit 默认的计算区域的类型为流体， 而这里墙体内部的材料为固体，因此需要设置。
设置方法为：选择 Operation 匚^宀Zone 匸，打开如图1-14所示窗口，选择 Type 为Solid , 选择Entity 为Faces ,并在Faces 右边的黄色对话框中选择面 face.1,然后点击应用，即将计算区域的类型指定为固体区域。
FLUENT 5JETypp ：SOLID -i图1-14指定计算区域的类型步骤6:网格文件的输出选择File T Export 宀Mesh 打开输出文件的对话框，如图1-15所示。
注意只有选择了 Export 2-D(X-Y) Mesh 选项之后才能输出为.msh 文件。
点击Accept 之后，窗口下面的 Tran script 内出现 Mesh was successfully written to on edim.msh ，表示网 格文件输出成功。
2.利用Fluent 求解器进行求解利用Gambit 软件绘制出几何图形、划分网格、指定边界类型以及输出 Mesh 文件，然后用Flue nt 将网格文件导入，便可以对其进行数值求解。
步骤1:网格文件的读入、检查及显示启动Flue nt 的2D 求解器之后，首先需要对网格文件进行读入并检查。
启动Flue nt 后出现下面的窗口，在 Versio ns 中选择2d ,点击Run 按钮即可。
NanisTyP 6solidSOLID1<1 4 <£>Ntanie:Action: * Add V MOtlily7 Delete 7JI Lab®Type27订曲 住Remove Edit |J SfiQw labels 」Show colors4Entity:Fac®s i |Apply [ meset |图1-15输出文件对话框(1 )网格文件的读入选择 File T ReadX ase 在 C:\Fluent.lnc\ntbin\ntx86 下找到 onedim.msh 文件并将其读入,如图1-16所示。
Cut Filt丈件匚型⑴：匚血电Files图1-16导入网格文件(2)检查网格文件选择Grid T Check 对网格文件进行检查， 这里要注意最小的网格体积 (minimum volume ) 值一定要大于0。
(3 )显示网格选择Display T Grid ，出现网格显示对话框，如图1-17所示。
网格文件的各个部分的显示可以通过 Surfaces 下面列表框中某个部分是否选中来控制。
如图1-17所示的Surfaces 下面列表框中的都被选中，此时单击 Display ，就会看到如图1-18所示的网格形状。
3]62Q6aOO)one ash 2±j] B2O6 (700)tliree… cas 迪 8206C70mthr“mh 到 6206 (TOO)two. cas 旦他06mh刮 aa. Bish,<J为 p i n^n e i 1. cas 宣pifljgMil ”hM pin^meiZ.nsh piiignai (I ), su pin^nei (Z). caspmlUu pmlClO pmlOOLdFLUfMl Vn-iiuririd (> 3d 3d<lp Se-iitnllAnRunpi"沪▼ 扫也tJ 區b査找范圉(I )-」ntx 页图1-17网格显示对话框图1-18 Flue nt中的网格显示步骤2:选择计算模型一维导热模型的控制方程只有能量方程，只需要选择Define宀Models^ Energy ,然后在出现的如图1-19所示的对话框中选中Energy Equation,单击OK即完成了方程的选择。
Energy两^EnerjiY.IEqiiation^OK Cancel Help图1-19 能量方程的选择对话框步骤3:定义固体的物理性质选择Define宀Materials,打开如图1-20所示窗口，在Material Type选项中选择solid ,Flue nt默认的固体材料为铝alumi num，我们假定平板的材料为铝，材料的属性取默认值,点击Change/Create按钮，再点击Close即可。
图1-20固体材料的属性步骤4:设置边界条件选择Define宀Boundary Conditions，对计算区域的边界条件进行具体设置。
对热源heat的边界类型wall点击set,出现图1-21所示的对话框，将默认的Thermal Condition下的heatFlux改为第一类边界条件Temperature, 在Temperature右边的白色文本框内输入310。
用同样的方法对冷源进行设置，其温度为300。
即热源和冷源的温度差为10K。
图1-21边界条件的设定步骤5:求解设置(1)初始化选择Solve f Initialize T In itialize打开如图1-22所示的对话框。
依次点击In it、Apply 和Close按钮。
图1-22初始化对话框(2 )残差设置选择Solve f Monitors ^R esidual,打开如图1-23所示的对话框。
选择Options下面的Plot复选项，则可在计算时动态地显示计算残差。
并将energy右边的残差设定为1e-08，然后点击OK按钮。
(3 )迭代计算选择Solve f Iterate ，打开如图1-24所示的对话框。
设置Number of Iterations 为200。
然后单击Iterate 按钮，就会显示图1-25所示的计算过程。
图1-25迭代求解过程步骤6:保存结果选择File f Write f Case & Data 保存所有的设置和所有的数据。
四、模拟实验结果经过上面的迭代计算，就可以查看模拟计算的结果。
模拟结果的主要包括三个方面: (1 )平板内部的温度分布；(2 )平板内部的温度梯度；(3)平板总的传热量。
届 Print¥ [HotIterations 1 000ResidualClheck ConvergenceMonitor Convergence Crilerioncontinuity丽 硬丽 17x^uelDcityii/-ueiocity HLonenergy1e-08Help图1-23残差设置对话框Ldual Ltor sNormallizalionPlottingNormalize 两 ScaleOKPlotR eniormiCanicel（1）平板的温度分布选择Display f Con tours,出现图1-26所示的对话框，在Con tours of下选择Temperature 和Static Temperature，单击Display出现一个窗口，按住鼠标中间向右拖动将等温度图适当放大（图形的缩放、移动可以通过Display -> Mouse Butt on来打开Mouse Butt on s（鼠标按键）面板进行设定。