陕西省延安市2021届新高考数学二模考试卷含解析

陕西省延安市2021届新高考数学二模考试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AD ⊥DC ，AD ＝DC ＝2AB ，E 为AD 的中点，若
(,)CA CE DB R λμλμ=+∈u u u r u u u r u u u r
，则λ＋μ的值为（ ）
A ．
6
5
B ．
85
C ．2
D ．83
【答案】B 【解析】 【分析】
建立平面直角坐标系，用坐标表示,,CA CE DB u u u r u u u r u u u r ，利用(,)CA CE DB R λμλμ=+∈u u u r u u u r u u u r
，列出方程组求解即
可. 【详解】
建立如图所示的平面直角坐标系，则D(0，0).
不妨设AB ＝1，则CD ＝AD ＝2，所以C(2，0)，A(0，2)，B(1，2)，E(0，1)，
(2,2),(2,1),(1,2)CA CE DB ∴=-=-=u u u r u u u r u u u r
CA CE DB λμ=+u u u r u u u r u u u r Q
∴(－2，2)＝λ(－2，1)＋μ(1，2)，
2222λμλμ-+=-⎧∴⎨+=⎩解得65
2
5λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
则85λμ+=.
故选：B 【点睛】
本题主要考查了由平面向量线性运算的结果求参数，属于中档题.
2．从某市的中学生中随机调查了部分男生，获得了他们的身高数据，整理得到如下频率分布直方图：
根据频率分布直方图，可知这部分男生的身高的中位数的估计值为 A ．171.25cm B ．172.75cm C ．173.75cm D ．175cm
【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】
由题可得0.00520.02020.040(1)10a ⨯++⨯+⨯=，解得0.010a =， 则(0.0050.0100.020)100.35++⨯=，0.350.040100.750.5+⨯=>， 所以这部分男生的身高的中位数的估计值为0.50.35
17010173.75(cm)100.040
-+
⨯=⨯，故选C ．
3．定义：{}()()N f x g x ⊗表示不等式()()f x g x <的解集中的整数解之和.若2()|log |f x x =，
2()(1)2g x a x =-+，{}()()6N f x g x ⊗=，则实数a 的取值范围是 A ．(,1]-∞- B ．2(log 32,0)-
C ．2(2log 6,0]-
D ．2log 32
(
,0]4
- 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】
由题意得，{}()()6N f x g x ⊗=表示不等式22|log |(1)2x a x <-+的解集中整数解之和为6.
当0a >时，数形结合（如图）得22|log |(1)2x a x <-+的解集中的整数解有无数多个，22|log |(1)2x a x <-+解集中的整数解之和一定大于6.
当0a =时，()2g x =，数形结合（如图），由()2f x <解得144x <<.在1
(,4)4
内有3个整数解，为1，2，3，满足{}()()6N f x g x ⊗=，所以0a =符合题意.
当0a <时，作出函数2()|log |f x x =和2()(1)2g x a x =-+的图象，如图所示.
若{}()()6N f x g x ⊗=，即22|log |(1)2x a x <-+的整数解只有1，2，3.
只需满足(3)(3)(4)(4)f g f g <⎧⎨≥⎩，即2log 342292a a <+⎧⎨≥+⎩
，解得
2log 3204a -<≤，所以2log 3204a -<<. 综上，当{}()()6N f x g x ⊗=时，实数a 的取值范围是2log 32
(
,0]4
-.故选D. 4．已知抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点为F ，01,2M y ⎛⎫
⎪⎝⎭
为该抛物线上一点，以M 为圆心的圆与C 的准线相切于点A ，120AMF ∠=︒，则抛物线方程为（ ） A ．22y x = B ．24y x =
C ．26y x =
D ．2
8y x =
【答案】C 【解析】 【分析】
根据抛物线方程求得M 点的坐标，根据//MA x 轴、120AMF ∠=︒列方程，解方程求得p 的值. 【详解】
不妨设M 在第一象限，由于M 在抛物线上，所以12M p ⎛
⎝，由于以M 为圆心的圆与C 的准线相切于点A ，根据抛物线的定义可知，MA MF =、//MA x 轴，且,02p F ⎛⎫
⎪⎝⎭
.由于120AMF ∠=︒，所以直
线MF 的倾斜角α为120o ，所以
tan1203122
MF p k p
-==
=--o ，解得3p =，或13p =（由于10,122
p
p -<>，故舍去）.所以抛物线的方程为26y x =. 故选：C
【点睛】
本小题主要考查抛物线的定义，考查直线的斜率，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题. 5．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线 D ．α，β垂直于同一平面 【答案】B 【解析】 【分析】
本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件，渗透直观想象、逻辑推理素养，利用面面平行的判定定理与性质定理即可作出判断． 【详解】
由面面平行的判定定理知：α内两条相交直线都与β平行是//αβ的充分条件，由面面平行性质定理知，若//αβ，则α内任意一条直线都与β平行，所以α内两条相交直线都与β平行是//αβ的必要条件，故选B ． 【点睛】
面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭主观臆断，如：“若
,,//a b a b αβ⊂⊂，则//αβ”此类的错误．
6．已知向量()3,2AB =u u u r ，()5,1AC =-u u u r ，则向量AB u u u r 与BC uuu
r 的夹角为（ ）
A ．45︒
B ．60︒
C ．90︒
D ．120︒
【答案】C 【解析】 【分析】
求出()2,3BC AC AB =-=-u u u r u u u r u u u r
，进而可求()32230AB BC ⋅=⨯+⨯-=u u u r u u u r ,即能求出向量夹角.
【详解】
解：由题意知，()2,3BC AC AB =-=-u u u r u u u r u u u r
. 则()32230AB BC ⋅=⨯+⨯-=u u u r u u u r
所以AB BC ⊥u u u r u u u r ，则向量AB u u u r 与BC uuu r
的夹角为90︒. 故选:C. 【点睛】
本题考查了向量的坐标运算，考查了数量积的坐标表示.求向量夹角时，通常代入公式
cos ,a b a b a b
⋅=r r
r r r r 进行计算.
7．已知集合{}2,1,0,1,2A =--，2}2{|0B x x x =-+>，则A B =I ( ) A ．{}1,0- B ．{}0,1 C ．{}1,0,1- D ．{}2,1,0,1,2--
【答案】D 【解析】 【分析】
先求出集合B ，再与集合A 求交集即可. 【详解】
由已知，2
217
2()024
x x x -+=-
+>，故B R =，所以A B =I {}2,1,0,1,2--. 故选：D. 【点睛】
本题考查集合的交集运算，考查学生的基本运算能力，是一道容易题.
8．已知集合{}
2
|3100M x x x =--<，{}
2
9N x y x ==-，且M 、N 都是全集R （R 为实数集）
的子集，则如图所示韦恩图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A ．{}
35x x <≤
B ．{
3x x <-或}5x >
C ．{}
32x x -≤≤- D ．{}
35x x -≤≤
【答案】C 【解析】 【分析】
根据韦恩图可确定所表示集合为()
R N M I ð，根据一元二次不等式解法和定义域的求法可求得集合
,M N ，根据补集和交集定义可求得结果.
【详解】
由韦恩图可知：阴影部分表示()
R N M I ð，
()(){}{}52025M x x x x x =-+<=-<<Q ，{}
{}29033N x x x x =-≥=-≤≤， (){}32R N M x x ∴⋂=-≤≤-ð.
故选：C . 【点睛】
本题考查集合运算中的补集和交集运算，涉及到一元二次不等式和函数定义域的求解；关键是能够根据韦恩图确定所求集合. 9．函数()sin()(0)4
f x A x π
ωω=+
>的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为3
π的等差数列，要得到
函数()cos g x A x ω=的图象，只需将()f x 的图象（ ）
A ．向左平移
12
π
个单位 B ．向右平移
4π
个单位 C ．向左平移4
π
个单位 D ．向右平移
34
π
个单位 【答案】A 【解析】
依题意有()f x 的周期为()22ππ,3,sin 334T f x A x π
ωω
⎛
⎫=
=
==+ ⎪⎝
⎭.而()πππππsin 3sin 3sin 3244124g x A x A x A x ⎡⎤⎛⎫⎛
⎫⎛⎫=+=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
，故应左移π12.
10．过抛物线C 的焦点且与C 的对称轴垂直的直线l 与C 交于A ，B 两点，||4AB =，P 为C 的准线上的一点，则ABP ∆的面积为（ ） A ．1 B ．2
C ．4
D ．8
【答案】C
【解析】 【分析】
设抛物线的解析式2
2(0)y px p =>，得焦点为,02p F ⎛⎫
⎪⎝⎭
，对称轴为x 轴，准线为2p x =-，这样可设A
点坐标为,22p ⎛⎫
⎪⎝⎭
，代入抛物线方程可求得p ，而P 到直线AB 的距离为p ，从而可求得三角形面积． 【详解】
设抛物线的解析式2
2(0)y px p =>， 则焦点为,02p F ⎛⎫
⎪⎝⎭
，对称轴为x 轴，准线为2p x =-，
∵ 直线l 经过抛物线的焦点，A ，B 是l 与C 的交点， 又AB x ⊥轴，∴可设A 点坐标为,22p ⎛⎫
⎪⎝⎭
， 代入2
2y px =，解得2p =，
又∵点P 在准线上，设过点P 的AB 的垂线与AB 交于点D ，||222
p p
DP p =+-==， ∴11
||||24422
ABP S DP AB ∆=⋅=⨯⨯=. 故应选C. 【点睛】
本题考查抛物线的性质，解题时只要设出抛物线的标准方程，就能得出A 点坐标，从而求得参数p 的值．本题难度一般．
11．某人用随机模拟的方法估计无理数e 的值，做法如下：首先在平面直角坐标系中，过点()1,0A 作x 轴的垂线与曲线x
y e =相交于点B ，过B 作y 轴的垂线与y 轴相交于点C （如图），然后向矩形OABC 内投
入M 粒豆子，并统计出这些豆子在曲线x
y e =上方的有N 粒()N M <，则无理数e 的估计值是（ ）
A ．
N
M N
-
B ．
M
M N
-
C ．
M N
N
- D ．
M N
【答案】D 【解析】 【分析】
利用定积分计算出矩形OABC 中位于曲线x
y e =上方区域的面积，进而利用几何概型的概率公式得出关于e 的等式，解出e 的表达式即可. 【详解】
在函数x
y e =的解析式中，令1x =，可得y e =，则点()1,B e ，直线BC 的方程为y e =，
矩形OABC 中位于曲线x
y e =上方区域的面积为()()
1
10
1x
x
S e e dx ex e =
-=-=⎰，
矩形OABC 的面积为1e e ⨯=， 由几何概型的概率公式得1N M e =，所以，M e N
=. 故选：D. 【点睛】
本题考查利用随机模拟的思想估算e 的值，考查了几何概型概率公式的应用，同时也考查了利用定积分计算平面区域的面积，考查计算能力，属于中等题.
12．已知四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的正方形，5PA =
E 为
PC 的中点，则异面直线BE 与PD 所成角的余弦值为（ ）
A ．13
39
-
B ．
1339
C ．15
D ．
155
【答案】B
【分析】
由题意建立空间直角坐标系，表示出各点坐标后，利用
cos ,BE PD BE PD BE PD
⋅=⋅u u u r u
u u r
u u u r u u u r u u u r u u u r 即可得解. 【详解】
Q PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的正方形，
∴如图建立空间直角坐标系，由题意：
()0,0,0A ，()2,0,0B ，()2,2,0C ，()
0,0,5P ，()0,2,0D ，
Q E 为PC 的中点，∴51,1,E ⎛⎫
⎪ ⎪⎝
⎭. ∴51,1,BE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭
u u u r ，()
0,2,5PD =-u u u r ， ∴1132cos ,133BE PD BE PD BE PD
-⋅===-⋅⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，
∴异面直线BE 与PD 所成角的余弦值为cos ,BE PD u u u r u u u r
即为13.
故选：B.
【点睛】
本题考查了空间向量的应用，考查了空间想象能力，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若1c =，60C =o ，则b 的取值范围是_____． 【答案】23⎛ ⎝⎦
【解析】 【分析】
计算出角B 的取值范围，结合正弦定理可求得b 的取值范围.
60C =o Q ，则0120B <<o o ，所以，0sin 1B <≤
，
由正弦定理sin sin b c B C ===
，0,33b B ⎛∴=∈ ⎝⎦
. 因此，b
的取值范围是⎛ ⎝⎦.
故答案为：⎛ ⎝⎦
.
【点睛】
本题主要考查了正弦定理，正弦函数图象和性质，考查了转化思想，属于基础题．
14．二项式6
12x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭
的展开式的各项系数之和为_____，含2x 项的系数为_____． 【答案】1 240 【解析】 【分析】
将1x =代入二项式可得展开式各项系数之和，写出二项展开式通项，令x 的指数为2，求出参数的值，代入通项即可得出2x 项的系数. 【详解】
将1x =代入二项式6
12x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭
可得展开式各项系数和为()6121-=.
二项式612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭
的展开式通项为()()626166122r
r r
r r
r r T C x C x x --+⎛⎫=⋅⋅-=⋅-⋅ ⎪
⎝⎭，
令262r -=，解得4r =，因此，展开式中含2x 项的系数为4
6161615240C =⨯=.
故答案为：1；240. 【点睛】
本题考查了二项式定理及二项式展开式通项公式，属基础题． 15．()()6
121x x -+的展开式中2x 的系数为__________． 【答案】3 【解析】 【分析】
分别用1和()2x -进行分类讨论即可
当第一个因式取1时，第二个因式应取含2x 的项，则对应系数为：22
66115C C ⨯==；
当第一个因式取2x -时，第二个因式应取含x 的项，则对应系数为：()1
6212C -⨯=-；
故()()6
121x x -+的展开式中2x 的系数为()21
6623C C +-=.
故答案为：3 【点睛】
本题考查二项式定理中具体项对应系数的求解，属于基础题
16．函数()4cos sin()0)4f x x x π
ωωω=-+>的最大值与最小正周期相同，则()f x 在[1,1]-上的单调递
增区间为______. 【答案】13[,]44
- 【解析】 【分析】
利用三角函数的辅助角公式进行化简，求出函数的解析式，结合三角函数的单调性进行求解即可． 【详解】
∵()4cos (
sin )22
f x x x x ωωω=-+
2cos x x x ωωω=-
22x x ωω=
2sin(2)4
x π
ω=-， 则函数的最大值为2，周期22T ππωω
=
=， ()f x Q 的最大值与最小正周期相同，
∴
2πω
=，得2πω=，
则()2sin()4f x x π
π=-，
当11x -剟
时，5344
4
x ππ
π
π--剟， 则当2
4
2
x π
π
π
π-
-
剟时，得1
344
x -剟
， 即函数()f x 在[1-，1]上的单调递增区间为13[,]44
-， 故答案为：13[,]44
-
.
本题考查三角函数的性质、单调区间，利用辅助角公式求出函数的解析式是解决本题的关键，同时要注意单调区间为定义域的一个子区间．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．{}2*112n 11
=1=,.n 2
n n n n
n a a a a n N n ++++∈+已知数列满足， (Ⅰ)证明：22n n a ≥≥当时， ()
*
n N ∈；
(Ⅱ)证明：()1121111=2122312
n n n a a a a n n ++++-⋅⋅⋅+L (*n N ∈)； (Ⅲ)证明：43
1,42
n a e e <
-为自然常数. 【答案】 (Ⅰ)见解析（Ⅱ）见解析（Ⅲ）见解析 【解析】 【分析】
()1运用数学归纳法证明即可得到结果
()2化简21211
2
n n n n n a a n n +++=++，运用累加法得出结果
()3运用放缩法和累加法进行求证
【详解】
（Ⅰ）数学归纳法证明
时，
①当时，成立；
②当时，假设成立，则时
所以时，
成立
综上①②可知，
时，
（Ⅱ）由
得
所以； ；
故，又
所以
(Ⅲ)
由累加法得：
所以故
【点睛】
本题考查了数列的综合，运用数学归纳法证明不等式的成立，结合已知条件进行化简求出化简后的结果，利用放缩法求出不等式，然后两边同时取对数再进行证明，本题较为困难。

18．已知椭圆22
22:1(0)x y E a b a b
+=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，12||2F F =，M 是椭圆E 上的一个
动点，且12MF F △3. （1）求椭圆E 的标准方程，
（2）若(,0)A a ，(0,)B b ，四边形ABCD 内接于椭圆E ，//AB CD ，记直线AD ，BC 的斜率分别为1k ，
2k ，求证:12k k 为定值.
【答案】（1）22
143
x y +=（2）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）设椭圆E 的半焦距为c ，由题意可知，当M 为椭圆E 的上顶点或下顶点时，12MF F △的面积取得
,,a b c ，即可得答案；
（2）根据题意可知(2,0)A
，B ，因为//AB CD ，所以可设直线CD
的方程为
()()1122(,,,y x m m D x y C x y =+≠，
将直线代入曲线的方程，利用韦达定理得到12,x x 的关系，再代入斜率公式可证得12k k 为定值. 【详解】
（1）设椭圆E 的半焦距为c ，由题意可知，
当M 为椭圆E 的上顶点或下顶点时，12MF F △
所以2
22
1122c c b a b c =⎧⎪⎪
⨯⨯=⎨⎪=+⎪⎩，所以2a =
，b =
故椭圆E 的标准方程为22
143
x y +=.
（2）根据题意可知(2,0)A
，B ，因为//AB CD ，
所以可设直线CD
的方程为()()1122(,,,y x m m D x y C x y =+≠.
由22
143x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
，消去y
可得2264120x m -+-=，
所以123
x x +=
，即123x x =-.
直线AD
的斜率
11
1112
2
2x m
y k x x +=
=--， 直线BC
的斜率
222
2
2
x m k x -
+-=
=， 所以
121212222x m x m k k x x ++-=
⋅
-(
)()1212112
33(4222x x x x x m m x x +++=
-()12212
33(422x x x m m x x ⎫-+-+-⎪⎝⎭=
- ()1221233
4
22x x x x x -=-3
4
=，故12k k 为定值. 【点睛】
本题考查椭圆标准方程的求解、椭圆中的定值问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意坐标法的运用. 19．已知函数()(2)ln(1)()f x x x ax a R =++-∈
（Ⅰ）若1a =，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）若()0f x ≥在[)0,+∞上恒成立，求实数a 的取值范围；
（Ⅲ）若数列{}n a 的前n 项和2
31n S n n =+-，
4
n n
b a =，求证：数列{}n b 的前n 项和ln(1)(2)n T n n <++. 【答案】 (Ⅰ)0x y -=；(Ⅱ)(,2]-∞；(Ⅲ)证明见解析. 【解析】
试题分析：()1将1a =，求出切线方程()2求导后讨论当2a ≤时和2a >时的单调性证明，求出实数a 的取值范围()3先求出n a 、n b 的通项公式，利用当0x >时，()()2ln 12x x x ++>得()2ln 12
x
x x +>+，下面证明：()()ln 12n T n n <++
解析：（Ⅰ）因为1a =，所以()()()2ln 1f x x x x =++-，()()002ln100f =+⨯-=，切点为()0,0. 由()()2ln 111x f x x x +=++
-+'，所以()()02
0ln 011101
f '+=++-=+，所以曲线()y f x =在()0,0处的切线方程为()010y x -=-，即0x y -= （Ⅱ）由()()2
ln 11
x f x x a x +=++-+'，令()()[)()0,g x f x x ∈'=+∞， 则()()()22
110111x g x x x x =
-=≥+++'（当且仅当0x =取等号）.故()f x '在[)0,+∞上为增函数. ①当2a ≤时，()()00f x f ''≥≥,故()f x 在[
)0,+∞上为增函数， 所以()()00f x f ≥=恒成立，故2a ≤符合题意；
②当2a >时，由于()020f a ='-<，()
1
110a
a f e e
-=+
>'，根据零点存在定理， 必存在()
0,1a
t e ∈-，使得()0f t '=，由于()f x '在
[
)0,+∞上为增函数，
故当()0,x t ∈时，()0f t '<,故()f x 在()0,x t ∈上为减函数，
所以当()0,x t ∈时，()()00f x f <=,故()0f x ≥在[
)0,+∞上不恒成立，所以2a >不符合题意.综上所述，实数a 的取值范围为(]
,2-∞
（III ）证明：由2
4
,13,1331,.22,22,2
1
n n n n n S n n a b n n n n ⎧=⎪=⎧⎪=+-⇒=⇒=⎨
⎨+≥⎩⎪≥⎪+⎩ 由（Ⅱ）知当0x >时，()()2ln 12x x x ++>，故当0x >时，()2ln 12
x
x x +>
+， 故2
222ln 1212n n n n
⋅
⎛⎫+>= ⎪+⎝⎭+，故11
22ln 11n
n k k k k ==⎛⎫+> ⎪+⎝⎭∑∑.下面证明：()()ln 12n T n n <++ 因为
1
222222ln 1ln 1ln 1ln 1ln 1ln 11231n
k k n n =⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
+=++++++⋅⋅⋅++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑
()()()()12456
12ln 3ln
ln 12ln223412n n n n n n n n ++++⎛⎫=⨯⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯==++- ⎪-⎝⎭
而，4222321311
n T n =
+++⋅⋅⋅++++ 1
222222224111111213122131233n
n n
k T T k n n ==+++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+=+-=-++++++++∑ 所以，()()1
ln 12ln23n n n T ++->-，即：()()1
ln 12ln23
n n n n T T ++>-
+> 点睛：本题考查了利用导数的几何意义求出参数及证明不等式成立，借助第二问的证明过程，利用导数的单调性证明数列的不等式，在求解的过程中还要求出数列的和，计算较为复杂，本题属于难题． 20．如图：在ABC ∆中，10a =，4c =，5cos 5
C =-
.
（1）求角A ；
（2）设D 为AB 的中点，求中线CD 的长.
【答案】（1）4
A π
=；（2）2
【解析】 【分析】
（1）通过cos C 求出sin C 的值，利用正弦定理求出sin A 即可得角A ；（2
）根据()sin sin B A C =+求出sin B 的值，由正弦定理求出边b ，最后在ACD ∆中由余弦定理即可得结果. 【详解】 （1）∵5
cos 5
C =-
，∴2125sin 1cos 155C C =-=-=
. 由正弦定理sin sin a c A C
=，即10sin 25A =
. 得2
sin A =，∵5cos 05
C =-<，∴C 为钝角，A 为锐角， 故4
A π
=
.
（2）∵()B A C π=-+，
∴()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+2522510
252510⎛⎫=
⨯-+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭
. 由正弦定理得sin sin b a B A
=，即10
1022
=
得2b =. 在ACD ∆中由余弦定理得：2222cos CD AD AC AD AC A =+-⋅⋅2
242222=+-⨯⨯⨯=，∴2CD =.
【点睛】
本题主要考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，考查三角函数知识的运用，属于中档题. 21．如图，平面四边形ABCD 为直角梯形，//AD BC ，90ADC ∠=o ，22AB AD BC ===，将ABD △绕着AD 翻折到PAD ∆.
（1）M 为PC 上一点，且PM MC λ=u u u u r u u u u r
，当//PA 平面DMB 时，求实数λ的值；
（2）当平面PAD 与平面PBC 所成的锐二面角大小为30o 时，求PC 与平面ABCD 所成角的正弦. 【答案】（1）2λ=；（2）310
. 【解析】 【分析】
（1）连接AC 交BD 于点N ，连接MN ，利用线面平行的性质定理可推导出//PA MN ，然后利用平行线分线段成比例定理可求得λ的值；
（2）取AD 中点O ，连接OP 、OB ，过点P 作//l AD ，则//l BC ，作PH OB ⊥于H ，连接CH ，推导出OP l ⊥，OB l ⊥，可得出BPO ∠为平面PAD 与平面PBC 所成的锐二面角，由此计算出PH 、PC ，并证明出PH ⊥平面ABCD ，可得出直线PC 与平面ABCD 所成的角为PCH ∠，进而可求得PC 与平面ABCD 所成角的正弦值. 【详解】
（1）连接AC 交BD 于点N ，连接MN ，
//PA Q 平面BDM ，PA ⊂平面PAC ，平面PAC I 平面BDM MN =，//PA MN ∴，
在梯形ABCD 中，//BC AD Q ，则ADN CBN V :V ，1
2
CN BC NA AD ∴
==， //PA MN Q ，2PM AN
MC CN
∴
==，所以，2λ=；
（2）取AD 中点O ，连接OP 、OB ，过点P 作//l AD ，则//l BC ，作PH OB ⊥于H ，连接CH .
O Q 为AD 的中点，且//BC AD ，2AD BC =，//OD BC ∴且OD BC =，
所以，四边形OBCD 为平行四边形，由于90BCD ∠=o ，OB AD ∴⊥，
PA AB =Q ，OA OA =，PAO BAO ∠=∠，PAO BAO ∴
≅V V ，90AOP AOB ∴∠=∠=o ，
O Q 为AD 的中点，所以，2BD AB ==，OB ∴OP =
AD OP ⊥Q ，AD OB ⊥，OP OB O =I ，AD ∴⊥平面POB ，
//l AD Q ，l OP ∴⊥，l OP ⊥，BPO ∴∠为面PAD 与面PBC 所成的锐二面角，
30BPO ∴∠=o ，
OP OB ==Q 30BPO ∠=o ，30OBP ∴∠=o ，则120BOP ∠=o ，
PH OB ⊥Q ，3
sin 602
PH OP ∴==o ，
AD ⊥Q 平面POB ，PH ⊂平面POB ，AD PH ∴⊥，
PH OB ⊥Q ，AD OB O ⋂=，PH ∴⊥面ABCD ，
PCH ∴∠为PC 与底面ABCD 所成的角，
cos 60BH OB OP =+=
o Q CH ==，PC =
在Rt PCH △中，
3sin
PH PCH PC ∠==.
因此，PC 与平面ABCD . 【点睛】
本题考查利用线面平行的性质求参数，同时也考查了线面角的计算，涉及利用二面角求线段长度，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
22． [选修4-5：不等式选讲]:已知函数()2f x x a x a =++-. （1）当1a =时，求不等式()42f x x ≥-+的解集； （2）设0a >，0b >，且()f x 的最小值为t .若33t b +=，求12
a b
+的最小值.
【答案】（1） 7(,][1,)3
-∞--+∞U （2）3+ 【解析】 【分析】
（1）当1a =时，()|2||1|f x x x =++-，原不等式可化为2|2||1|4x x ++-≥，分类讨论即可求得不等式的解集；
（2）由题意得，()f x 的最小值为t ，所以3t a =，由333a b +=，得1a b +=，利用基本不等式即可求解其最小值．
【详解】
（1）当1a =时，()21f x x x =++-，原不等式可化为2214x x ++-≥，① 当2x ≤-时，不等式①可化为2414x x ---+≥，解得73x ≤-
，此时73
x ≤-； 当21x -<<时，不等式①可化为2414x x +-+≥，解得1x ≥-，此时11x -≤<； 当1x ≥时，不等式①可化为2414x x ++-≥，解得1
3
x ≥，此时1x ≥， 综上，原不等式的解集为][7
,1,3⎛⎫-∞-
⋃-+∞ ⎪⎝⎭
. （2）由题意得，()2f x x a x a =++-≥ ()()23x a x a a +--=，
因为()f x 的最小值为t ，所以3t a =，由333a b +=，得1a b +=，
所以
()1212a b a b a b ⎛⎫+=+⋅+ ⎪⎝⎭ 2333b a a b =++≥+=+
当且仅当2b a a b =，即1a =，2b =12
a b
+的最小值为3+. 【点睛】
本题主要考查了绝对值不等式问题，对于含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．
23．已知函数2()x f x ae x =-.
（1）若曲线()f x 存在与y 轴垂直的切线，求a 的取值范围.
（2）当1a ≥时，证明：2
3()12
f x x x +-…
. 【答案】（1）2
a e
„（2）证明见解析 【解析】 【分析】
（1）()20x
f x ae x '=-=在x ∈R 上有解，2x x a e =
，设2()x
x
g x e =，求导根据函数的单调性得到最值，
得到答案.
（2）证明23()12f x x x +-…
，只需证223
12
x e x x x -+-…，记21()12x h x e x x =+--，求导得到函数
的单调性，得到函数的最小值，得到证明. 【详解】
（1）由题可得，()20x
f x ae x '=-=在x ∈R 上有解，
则2x x a e =，令2()x x g x e =，22()x x g x e
-'=， 当1x <时，()0,()'>g x g x 单调递增；当1x >时，()0,()g x g x '<单调递减. 所以1x =是()g x 的最大值点，所以2a e
„. （2）由1,x x a ae e ∴厖，所以2()x f x e x -…， 要证明23()12f x x x +-…，只需证22312x e x x x -+-…，即证21102x e x x +--…. 记21()1,()1,()2
x x h x e x x h x e x h x ''=+--=+-在R 上单调递增，且(0)0h '=， 当0x <时，()0,()h x h x '<单调递减；当0x >时，()0,()h x h x '>单调递增.
所以0x =是()h x 的最小值点，()(0)0h x h =…，则21102
x e x x +--…， 故23()12
f x x x +-…
. 【点睛】 本题考查了函数的切线问题，证明不等式，意在考查学生的综合应用能力和转化能力.。