金榜名师推荐高中数学北师大必修四同课异构练习 第二章 平面向量 课时提升作业二十二 含答案

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课时提升作业(二十二)
向量应用举例
(25分钟60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.直线x+2y-5=0的一个法向量可以是( )
A.(1,2)
B.(1,-2)
C.(1,5)
D.(2,5) 【解析】选A.因为直线Ax+By+C=0的一个法向量为(A,B),所以可以为(1,2).
2.(2015·绵阳高一检测)速度|v1|=10m/s,|v2|=12m/s,且v1与v2的夹角为60°,则合速度的大小是( )
A.2m/s
B.10m/s
C.12m/s
D.2m/s
【解析】选D.|v|2=|v1+v2|2=|v1|2+2v1·v2+|v2|2
=100+2×10×12cos 60°+144=364.
所以|v|=2(m/s).
3.(2015·赣州高一检测)已知点A(-2,-3),B(19,4),C(-1,-6),则△ABC 是
( ) A.等腰三角形 B.等边三角形
C.直角三角形
D.等腰直角三角形
【解析】选C.=(-1,-6)-(-2,-3)=(1,-3),
=(19,4)-(-2,-3)=(21,7),
所以·=1×21+(-3)×7=21-21=0.
故⊥,且||≠||,
所以△ABC是直角三角形.
4.两个大小相等的共点力F1,F2,当它们的夹角为90°时,合力大小为20N,则当它们的夹角为120°时,合力大小为( )
A.40 N
B.10N
C.20N
D.10N
【解析】选B.因为|F1+F2|=20.
又F 1⊥F2,所以|F1|=|F2|=10,
当F1与F2夹角为120°时,
==10(N).
5.(2015·萍乡高一检测)设平面上有四个互异的点A,B,C,D,已知(+-
2)·(-)=0,则△ABC的形状为( )
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.等腰直角三角形
D.等边三角形
【解析】选 B.由(+-2)·(-)=0得
(++2)·(-)=0,
即(+)·(-)=0.
所以-=0,
所以||=||.
故△ABC为等腰三角形.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.(2015·阜阳高一检测)过点B(0,-3)且垂直于直线2x-3y+2=0的直线方程为________.
【解析】取直线2x-3y+2=0的法向量为
n=(2,-3).设点P(x,y)在所求直线上,
且=(x,y+3).由题意知与n平行,
得2(y+3)-(-3)·x=0,即3x+2y+6=0.
答案:3x+2y+6=0
7.(2015·吉安高一检测)已知三个力F1=(3,4),F2=(2,-5),F3=(x,y),且F1+F2+F3=0,则F3=________.
【解析】由题设F1+F2+F3=0,
得(3,4)+(2,-5)+(x,y)=(0,0),
即即
所以F3=(-5,1).
答案:(-5,1)
8.(2014·江苏高考)如图,在平行四边形ABCD中,已知
AB=8,AD=5,=3,
·=2,则·的值是________.
【解题指南】选取一组不共线向量为基底,一般选取,,用这组向量表示题目中的其他向量进而用数量积公式求解.
【解析】由题干图知,在△ADP中=+=+,
在△BPC中=+=+
=-,
所以·=·
=-·-=2,
即25-·-×64=2,·=22.
答案:22
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.在风速为75(-)km/h的西风中,飞机以150km/h的航速向西北方向飞行,求没有风时飞机的航速和航向.
【解题指南】先用向量表示速度,利用向量关系构造几何图形,将速度的大小和方向转化为线段的长度和夹角,通过解三角形求相关的边角值,再回归到实际背景问题即获解决.
【解析】设向量a表示风速,b表示无风时飞机的航行速度,c表示有风时飞机的航行速度,则c=a+b.
如图,作向量=a,=b,=c,则四边形OACB为平行四边形.
过C,B分别作OA的垂线,交AO的延长线于D,E点.由已知||=75(-),
||=150,∠COD=45°.
在Rt△COD中,OD=OCcos45°=75,CD=75,
又ED=BC=OA=75(-),
所以OE=OD+ED=75.
又BE=CD=75,
在Rt△OEB中,OB==150,
sin∠BOE==,
所以||=150,∠BOE=30°.
故没有风时飞机的航速为150km/h,
航向为西偏北30°.
10.如图所示,平行四边形ABCD中,已知AD=1,AB=2,对角线BD=2,求对角线AC的长.
【解析】设=a,=b,则=a-b,=a+b.而
所以||2=5-2a·b=4,得2a·b=1.
又因为||2=|a+b|2=a2+2a·b+b2
=|a|2+2a·b+|b|2=1+4+2a·b,
所以||2=6,
所以||=,即AC=.
(20分钟40分)
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.(2015·渭南高一检测)已知A,B,C为三个不共线的点,P为△ABC所在平面内一点,若++=,则点P与△ABC的位置关系是( )
A.点P在△ABC内部
B.点P在△ABC外部
C.点P在直线AB上
D.点P在AC边上
【解析】选D.=--=++=2,故,共线,故P,A,C共线,故P在AC上.
2.质点P在平面上作匀速直线运动,速度向量ν=(4,-3)(即点P的运动方向与v相同,且每秒移动的距离为|v|个单位).设开始时点P的坐标为(-10,10),则5秒后点P的坐标为( )
A.(-2,4)
B.(-30,25)
C.(10,-5)
D.(5,-10)
【解析】选C.设(-10,10)为A,设5秒后P点的坐标为A1(x,y),
则=(x+10,y-10),由题意有=5ν.
即(x+10,y-10)=(20,-15),
所以解得
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB上的动点,则·的最大值为________.
【解析】设与的夹角为θ,
则·=||·||cosθ,
而||cosθ就是向量在方向上的射影,要想让·最大,即让射影最大,此时E点与B点重合,射影为||,所以最大值为1.
答案:1
【补偿训练】在边长为1的等边△ABC中,D为BC边上一动点,则·的取值范围是________.
【解析】因为D在BC上,所以设BD=x,0≤x≤1,则=x.
所以·=·(+)=+·
=1+xcos120°=1-x,
因为0≤x≤1,所以≤1-x≤1,
即·的取值范围是.
答案:
4.(2015·驻马店高一检测)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知两点坐标为A(3,1),B(-1,3),若点C满足=α+β,其中α+β=1,α,β∈R,则点C的轨迹方程是________.
【解析】设C(x,y),因为=α+β,且α+β=1,
所以
消去α得x+2y-5=0.
答案:x+2y-5=0
三、解答题(每小题10分,共20分)
5.两个粒子a,b从同一发射源发射出来,在某一时刻,它们的位移分别为s a=(4,3),s b=(2,10).求:
(1)写出此时粒子b相对于粒子a的位移s.
(2)计算s在s a方向上的投影.
【解析】(1)s=s b-s a=(2,10)-(4,3)=(-2,7).
(2)s在s a方向上的投影为|s|cosθ,θ为s与s a的夹角.
因为s·s a=|s||s a|cosθ,
==.
6.如图,▱ABCD中,点E,F分别是AD,DC边的中点,BE,BF分别与AC交于R,T两点.
求证:AR=RT=TC.
【证明】设=a,=b,=r,
则=a+b.由于∥,
所以设r=n(a+b),n∈R.
又∵=-=a-b,
由于a与b不共线,故必有,
解得m=n=,所以=,
同理=,于是=.
所以AR=RT=TC.
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