2014年高一数学必修4考试题(6)

2014年高一数学必修4考试题(6)
D
A. 重心
B. 垂心
C. 外心
D. 内心
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13. 函数1tan y x
=-的定义域是 __________________________.
14.
函
数
2sin cos y x x
=+的
值
域
是
________________________.
15. 下面四个命题中，其中正确命题的序号为____________.
① 函数()tan f x x =是周期为π的偶函数；
② 若βα、是第一象限的角，且βα>，则βαsin sin >；
③ 8π=x 是函数)4
5
2sin(π+=x y 的一条对称轴方程； ④ 在(,)22
ππ-内方程tan sin x x =有3个解. 16. 在△ABC 中，AB = 4，AC = 3，60A ∠=，D 是AB 的中点，则CA CD ⋅=______.
三、解答题（本大题共5小题，共48分） 17. （6分）已知点A (1,1)-，点B (1,2)，若点C 在直线3y x
=上，且AB BC ⊥. 求点C 的坐标.
18. （8分）已知
sin()3sin()
2()112cos()cos(5)
2
f π
απααπαπα++--=
---.
（Ⅰ）化简()f α； （Ⅱ）已知tan 3α=，求()f α的值．
19．（11分）已知向量(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=，25a b -=． （Ⅰ）求cos()αβ-的值；
（Ⅱ）若02πα<<，02πβ-<<，且5
sin 13
β=-，求sin α．
20. （11分）已知向量(
3,cos 2),(sin 2,1),(0)
a x
b x ωωω==>，令
(),f x a b =⋅
且)(x f 的周期为π．
（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；
（Ⅱ）若[0,]2
x π∈时()3f x m +≤，求实数m 的取值范围．
21. （12分）已知函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0,)A ωϕπ>><，在同一周期内，
当12x π=时，()f x 取得最大值3；当712x π=时，()f x 取得
最小值3-.
（Ⅰ）求函数()f x 的解析式； （Ⅱ）求函数()f x 的单调递减区间；
（Ⅲ）若,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣
⎦
时，
函数()2()1h x f x m =+-有两个零点，求实数m 的取值范围．
参考答案
一、选择题（本小题共12小题，每小题3分，共36分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案
D C B A B B C C A D D A
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13. (,]
24
k k k Z
ππ
ππ-++∈ 14. 5[1,]4
- 15. ①③ 16. 6
三、 解答题（本大题共5小题，共48分） 17.【解析】设C （x ，3x ），则(2,1),(1,32)AB BC x x ==--
4412
2(21)320(,)555x x x C ∴-+-=∴=∴ ……………6分
18
．【解析】（Ⅰ）
cos 3sin ()2sin cos f ααααα
+=
-+ …………
…4分 （
Ⅱ）
13tan 10
()2
2tan 15
f ααα+=
==--+- …
…………8分 19．【解析】（Ⅰ）
||1,||1
a b == 又2
4
||5a b -=
4
3
225
5a b a b ∴-⋅=
∴⋅=
即3
cos cos sin sin 5αβαβ+=
()3
cos 5
αβ∴-=
……………5分
（法二） (cos ,sin )a αα=， (cos ,sin )b ββ=，
()
cos cos sin sin a b αβαβ∴-=--，．
25
a b -=
， ()()
2
2
25cos cos sin sin αβαβ-+-=
，
即 ()422cos 5αβ--=， ()3
cos 5αβ∴-=．
（Ⅱ）
0,0,02
2
π
π
αβαβπ
<<
-<<∴<-<，
()3
cos 5
αβ-=， ()4
sin .5αβ∴-=
5sin 13β=-
， 12cos 13
β∴=
，
()()()sin sin sin cos cos sin 4123533
51351365
ααββαββαββ
∴=-+=-+-⎡⎤⎣⎦⎛⎫=⋅+⋅-= ⎪⎝⎭ (11)
分
20. 【解析】（Ⅰ）()3sin2cos22sin(2)6f x a b x x x πωωω=⋅=
+=+ ∵)(x f 的周期为π ∴1=ω ()2sin(2)6
f x x π∴=+ ……………5分 （Ⅱ） 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦
1sin(2)[,1]62
x π∴+∈- ()[1,2]f x ∴∈- 231m m ∴+≤∴≤
……………11分 21. 【解析】（Ⅰ）由题意，
3A = 72(),1212T πππ=-= 2 2.T πω== ……2分
由22122k ππϕπ⨯+=+ 得2,3
k k Z πϕπ=+∈ 又
,3ππϕπϕ-<<∴= ()3sin(2)3f x x π∴=+ ……4分 （Ⅱ）由3222232k x k πππππ+≤+≤+ 得722266
k x k ππππ+≤≤+ 71212k x k k Z π
πππ+≤≤+∈
7(),]1212f x k k k Z π
πππ∴++∈函数的单调递减区间为[ …
…8分
（Ⅲ）由题意知，方程1sin(2)36m x π-+=在,]36
ππ[-上有两个根.
2,]2,]36333x x ππ
π
ππ
∈∴+∈[-[-
1
3
,1)[331,7)
6m m -∴∈∴∈ ……12分。