【艺体生基础考点】考点26 圆的方程,直线和圆的位置关系学生版

题型五 圆与圆的位置关系问题
例 5 （2020·湖南张家界.高三期末）已知圆 M : (x 3)2 ( y 4)2 4 与圆 N : x2 y2 9 ，则两圆的位
置关系为（ ）
A．内切 [玩转跟踪]
B．外切
C．相交
D．外离
1.（2020·贵州省思南中学高一期末）圆 x2+y2-2x-3=0 与圆 x2+y2-4x+2y+3=0 的位置关系是（ ）
考点 26 圆的方程
[玩前必备]
1．圆的定义
在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆．确定一个圆最基本的要素是圆心和半径．
2. 圆的标准方程 (1) 以(a，b)为圆心，r (r>0)为半径的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2． (2) 特殊的，以(0，0)为圆心，r (r>0)为半径的圆的标准方程为 x2＋y2＝r2．
位置关系
r2 的关系
组成方程组的解的情况
两圆公切线的条数
相离
d>r1＋r2
无解
4
外切
d＝r1＋r2
一组实数解
3
相交
|r1－r2|<d<r1＋r2
两组不同的实数解
2
内切
d＝|r1－r2|(r1≠r2)
一组实数解
1
内含
0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)
无解
0
6．求圆的弦长的常用方法
(1)几何法：设圆的半径为 r，弦心距为 d，弦长为 l，则( l )2＝r2－d2. 2
1．（2020·河南濮阳）斜率为 1 的直线 l 被圆 x2+y2＝4x 截得的弦长为 4，则 l 的方程为（ ）
A．y＝x﹣3
B．y＝x+3
C．y＝x﹣2
D．y＝x+2
题型四 直线与圆相切问题 例 4 过点 P(2,4)引圆(x－1)2＋(y－1)2＝1 的切线，则切线方程为__________； [玩转跟踪] 1.过坐标原点且与圆 x2－4x＋y2＋2＝0 相切的直线方程为______________．
A．1
B．2
C． 2
D． 2 2
5．（2016•新课标Ⅱ）圆 x2 y2 2x 8y 13 0 的圆心到直线 ax y 1 0 的距离为 1，则 a ( )
4. 直线与圆的位置关系的判断方法 设直线 l：Ax＋By＋C＝0(A，B 不全为 0)，圆为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，d 为圆心(a，b)到直线 l 的距离，
联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.
方法 位置关系
几何法
代数法
相交
d<r
Δ>0
相切
d＝r
Δ＝0
相离
d>r
与圆 D:(x2)2 y2 3的位置关系是（ ）
A．相交 [玩转跟踪]
B．相切
C．相离
D．不确定
1．（2020·包头市田家炳中学高三期中）直线 y＝x﹣1 与圆 x2+y2＝1 的位置关系为（ ）
A．相切
B．相离
C．直线过圆心
D．相交但直线不过圆心
题型三 直线与圆相交弦长问题 例 3 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 x＋2y－3＝0 被圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4 截得的弦长为________． [玩转跟踪]
A．13
B．5
C． 5
D． 13
2.（2018•新课标Ⅲ）直线 x y 2 0 分别与 x 轴， y 轴交于 A ， B 两点，点 P 在圆 (x 2)2 y2 2 上，则
ABP 面积的取值范围是 ( )
A．[2 ， 6]
B．[4 ， 8]
C．[ 2 ， 3 2]
D．[2 2 ， 3 2]
(2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：
设直线与圆的交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则|AB|＝ 1＋k2|x1－x2|＝ （1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2].
注意：常用几何法研究圆的弦的有关问题．
[玩转典例]
题型一 求圆的方程 例 1 （2020·河南濮阳.高三期末）若圆 C 经过(1,0)，(3,0)两点，且与 y 轴相切，则圆 C 的方程为( )
A．(x－2)2＋(y±2)2＝3 C．(x－2)2＋(y±2)2＝4
B．(x－2)2＋(y± 3)2＝3 D．(x－2)2＋(y± 3)2＝4
[玩转跟踪]
1． (1)圆心在 y 轴上且经过点(3，1)的圆与 x 轴相切，则该圆的方程是( )
A．x2＋y2＋10y＝0
B．x2＋y2－10y＝0
C．x2＋y2＋10x＝0
3．（2016•山东）已知圆 M : x2 y2 2ay 0(a 0) 截直线 x y 0 所得线段的长度是 2 2 ，则圆 M 与圆
N : (x 1)2 ( y 1)2 1 的位置关系是 ( )
A．内切
B．相交
C．外切
D．相离
4．（2016•北京）圆 (x 1)2 y2 2 的圆心到直线 y x 3 的距离为 ( )
Δ<0
5. 圆与圆的位置关系及判断方法
(1) 圆与圆的位置关系有五种，分别为外离、外切、相交、内切、内含．
(2) 判断两圆位置关系的方法
设圆 O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r1>0)，圆 O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2>0)．圆心距 O1O2＝d，则
方法 几何法：圆心距 d 与 r1， 代数法：两圆方程联立
D．x2＋y2－10x＝0
(Hale Waihona Puke ) 已知圆 C 经过 A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在 x 轴上，则圆 C 的方程为______________．
题型二 判断直线与圆的位置关系
例 2 （2020·福建高三期末）若直线 l : y kx 1(k 0) 与圆 C: x2 4x y2 2y 3 0 相切，则直线 l
A．相离
B．内含
C．相切
D．相交
2.过两圆 x2＋y2＋6x＋4y＝0 及 x2＋y2＋4x＋2y－4＝0 的交点的直线方程是( )
A．x＋y＋2＝0
B．x＋y－2＝0 C．5x＋3y－2＝0 D．不存在
[玩转练习]
1.（2019•全国）若直线 x 5 与圆 x2 y2 6x a 0 相切，则 a ( )
3. 圆的一般方程
方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
可变形为
x＋D 2
2
＋
y＋E 2
2＝D2＋E2－4F.
4
－D，－E (1) 当 D2＋E2－4F>0 时，方程表示以 2 2 为圆心，
D2＋E2－4F为半径的圆；
2
－D，－E (2) 当 D2＋E2－4F＝0 时，该方程表示一个点 2 2 ；
(3) 当 D2＋E2－4F＜0 时，该方程不表示任何图形．