数学课时作业25

课时作业(二十五）
一、选择题
1．(2012年唐山一模)函数y＝sin 3x的图象可以由函数y＝cos 3x的图象
( ) A．向右平移错误!个单位得到B．向左平移错误!个单位得到C．向右平移错误!个单位得到D．向左平移错误!个单位得到
解析：因为y＝sin 3x＝cos 错误!＝cos 错误!＝cos 3错误!,所以只需将y＝cos 3x的图象向右平移错误!个单位得到y＝sin 3x的图象,故选A.
答案：A
2．若函数f（x）＝2sin （ωx＋φ)，x∈R（其中ω>0，|φ|〈错误!)的最小正周期是π，且f（0)＝错误!，则( ) A．ω＝错误!，φ＝错误!B．ω＝错误!，φ＝错误!
C．ω＝2,φ＝π
6
D．ω＝2，φ＝错误!
解析:由T ＝错误!＝π，∴ω＝2。

由f （0)＝错误!⇒2sin φ＝错误!， ∴sin φ＝错误!，又｜φ|<错误!,∴φ＝错误!。

答案:D
3．（2013年长春调研测试）给定命题p ：函数y ＝sin(2x ＋错误!）和函数y ＝cos （2x －错误!）的图象关于原点对称；命题q ：当x ＝kπ＋错误!(k ∈Z )时,函数y ＝错误!(sin2x ＋cos2x ）取得极小值,下列说法正确的是
( ）
A ．p ∨q 是假命题
B ．綈p ∧q 是假命题
C ．p ∧q 是真命题
D ．綈p ∨q 是真命题
解析：p 命题中y ＝cos(2x －错误!）＝cos(2x －错误!－错误!)＝
cos ［错误!－(2x －错误!)］＝sin(2x －错误!）与y ＝sin 错误!关于原点对称，故p 为真命题；q 命题中y ＝错误!(sin2x ＋cos2x ）＝2sin 错误!取极小值时,2x ＋π
4
＝2kπ－错误!，则x ＝kπ－错误!(k ∈Z )，故q 为假命题，则綈
p ∧q 为假命题，故选B.
答案:B
4．（2013年冀州中学期中)已知函数f （x )＝2sin 2（错误!＋x ）－错误!
cos2x －1，x ∈R ，若函数h (x )＝f （x ＋α）的图象关于点错误!对称,且α∈(0，π），则α＝( ）
A 。

错误! B.错误! C 。

错误! D 。

错误!
解析：因为函数
f (x )＝2sin 2错误!－错误!cos2x －1
＝1－cos 错误!－错误!cos2x －1
＝1＋sin2x －错误!cos2x －1＝2sin 错误!,
所以函数h (x )＝f (x ＋α)＝2sin 错误!，由于其图象关于点错误!对称，则代入解析式可知函数值为零，得到α＝错误!,选C 。

答案：C
5．(2012年烟台模拟)函数f （x )＝A sin （ωx ＋φ）(A >0，ω>0，|φ｜〈错误!)的部分图象如图所示,则ω，φ的值分别为
（
A ．2，0
B ．2，错误!
C ．2，－错误!
D ．2，错误!
解析：由图象得错误!T ＝错误!－错误!＝错误!，则T ＝π,ω＝2。

当2x ＋φ＝π
2时，函数取最大值，由2×错误!＋φ＝错误!得φ＝错误!.
答案：D
6．已知函数f(x）＝错误!sin ωx＋cos ωx（ω〉0)，y＝f（x)的图象与直线y＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f（x）的单调递增区间是( )
A.错误!，k∈Z
B。

错误!，k∈Z
C.错误!，k∈Z
D.错误!,k∈Z
解析：f(x)＝2sin 错误!，由题设f（x）的周期为T＝π，∴ω＝2，由2kπ－错误!≤2x＋错误!≤2kπ＋错误!得，kπ－错误!≤x≤kπ＋错误!,k∈Z,故选C。

答案：C
二、填空题
7．设函数f(x）＝2cos错误!，若对于任意的x∈R，都有f（x1）≤f（x）≤f（x2）,则|x1－x2|的最小值为________．
解析:｜x1－x2|的最小值即为函数f（x）＝2cos错误!周期的一半，此函数周期为4，故|x1－x2｜的最小值为2。

答案：2
8．(2012年北京房山区一模）已知函数y ＝sin (ωx ＋φ)的图象如图所示，则ω＝________，φ＝________.
解析:由函数图象可得错误!＝错误!－错误!,所以T ＝π，则ω＝2。

又由2×π3＋φ＝π，所以φ＝π
3.
答案：2
错误!
9．已知函数f （x )＝2sin ωx （ω>0）在区间错误!上的最小值是－2，则ω的最小值等于________．
解析：由题意得：函数在没有平移的情况下,可以在区间错误!上取得最小值－2，说明错误!＝错误!≤错误!，即ω≥错误!。

答案：3
2
三、解答题
10．(2013年原创题）设函数y ＝cos 错误!－cos 2x －1. （1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；
（2)若函数y ＝f (x )－k 在［0，π）内恰有两个零点,求实数k 的取值范围．
解：（1）f (x ）＝cos 2x cos 错误!＋sin 2x sin 错误!－cos 2x －1 ＝错误!sin 2x －错误!cos 2x －1＝sin 错误!－1,
∴函数f (x )的最小正周期是T ＝错误!＝π,
由2kπ－错误!≤2x －错误!≤2kπ＋错误!，k ∈Z ，解得kπ－错误!≤x ≤kπ＋错误!，∴函数f (x ）的单调递增区间是错误!（k ∈Z )．
（2)∵0≤x <π，且f （x )的最小正周期是π， ∴－1≤sin 错误!≤1，∴－2≤f (x ）≤0.
又∵函数y ＝f (x ）－k 在区间[0,π）内恰有两个零点， ∴－2<k 〈0，
∴k 的取值范围是(－2,0)．
11．已知函数f (x ）＝A sin （ωx ＋φ),x ∈R (其中A >0,ω>0，0〈φ<
错误!
）的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为错误!，且
图象上一个最低点为M 错误!.
（1）求f (x ）的解析式;
（2)当x ∈错误!时,求f (x )的值域． 解：（1)由最低点为M
（
⎭
⎪⎫
2π3，－2,得A ＝2。

由x 轴上相邻的两个交点之间的距离为错误!， 得T
2＝错误!，即T ＝π，ω＝错误!＝错误!＝2.
由点M 错误!在图象上，
得2sin （2×错误!＋φ）＝－2，即sin 错误!＝－1,故错误!＋φ＝2kπ－错误!,k∈Z，
∴φ＝2kπ－错误!,k∈Z。

又φ∈错误!，∴φ＝错误!，故f（x）＝2sin 错误!.（2）∵x∈错误!，∴2x＋错误!∈错误!，
当2x＋错误!＝错误!,即x＝错误!时，f(x)取得最大值2;
当2x＋π
6
＝错误!，即x＝错误!时，f(x)取得最小值－1，
故f（x）的值域为[－1,2］．
12．（2012年山东)已知向量m＝(sin x，1）,n＝(错误!A cos x，
错误!cos 2x）（A〉0)，函数f(x）＝m·n的最大值为6。

（1)求A；
（2）将函数y＝f（x)的图象向左平移错误!个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的错误!倍,纵坐标不变，得到函数y＝g （x）的图象，求g(x)在错误!上的值域．
解：（1)f(x)＝m·n＝3A sin x cos x＋错误!cos 2x
＝A错误!＝A sin错误!.
因为A〉0，由题意知A＝6。

（2)由（1）f(x）＝6sin 错误!.
将函数y＝f（x)的图象向左平移错误!个单位后得到
y＝6sin 错误!＝6sin 错误!的图象；
再将得到图象上各点横坐标缩短为原来的错误!倍，纵坐标不变,得到y＝6sin 错误!的图象．
因此g（x)＝6sin 错误!.
因为x∈错误!,所以4x＋错误!∈错误!.
故g（x)在错误!上的值域为[－3,6］．
［热点预测］
13．设f（x)＝sin (ωx＋φ),其中ω〉0，则f（x)是偶函数的充要条件是（）
A．f(0）＝1 B．f（0）＝0 C．f′（0）＝1 D．f′（0）＝0
解析：∵f（x)＝sin (ωx＋φ)是偶函数，
∴sin (ωx＋φ）＝sin (－ωx＋φ）．
∴sin ωx cos φ＝0,∴cos φ＝0。

∴φ＝kπ＋错误!(k∈Z）,∴f(0）＝sin φ＝±1。

又f′（x)＝ωcos （ωx＋φ），∴f′（0)＝ωcos φ＝0。

答案：D
14．若函数y＝A sin （ωx＋φ）(A〉0，ω>0，|φ|〈错误!）在一个周期内的图象如图所示，M，N分别是这段图象的最高点与最低点，且错误!·错误!＝0，则A·ω＝________.
解析：由题中图象知错误!＝错误!－错误!，∴T＝π，∴ω＝2.
则M错误!,N错误!，由错误!·错误!＝0，得错误!＝A2,
∴A＝错误!π，∴A·ω＝错误!π。

答案：错误!π
15．设函数f(x）＝cos (ωx＋φ）（ω〉0，－错误!<φ〈0)的最小正周期为π.且f错误!＝错误!。

(1)求ω和φ的值;
(2）在给定坐标系中作出函数f(x）在[0，π］上的图象；
(3）若f(x)>错误!,求x的取值范围．
解：(1）周期T＝错误!，∴ω＝2,
∵f错误!＝cos 错误!＝cos 错误!＝－sin φ＝错误!，
∵－错误!〈φ<0,∴φ＝－错误!.
（2)∵f（x）＝cos 错误!，列表如下:
2x－错误!－
错误!
0错误!π错误!π错误!π
x0错误!错误!π错误!π11
12
ππ
f（x）错误!10－10错误!
(3)∵cos 错误!〉错误!，∴2kπ－错误!〈2x－错误!〈2kπ＋错误!，2kπ＋错误!〈2x〈2kπ＋错误!π，kπ＋错误!〈x<kπ＋错误!π，k∈Z,∴x的范围是错误!.。