高考数学备考之百所名校组合卷系列 专题07 立体几何(理)

2012年高考数学备考之百所名校组合卷系列
一、选择题：
1. (吉林省长春市2012年3月高中毕业班第二次调研测试理科5)如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为
A.1
B.12
C.
34 D.32
【答案】B
【解析】由题意可知，该几何体为一个四棱锥，底面面积为3
2
，高为1，体积为1311322
V =
⋅⋅=. 2．(山东实验中学2012届高三第一次诊断性考试理3)如图是某一几何体的三视图，则这个几何体的体积为（ ）
(A). 4 (B). 8 (C). 16 (D). 20
【答案】C
【解析】由三视图我们易判断这个几何体是四棱锥，由左视图和俯视图我们易该棱锥底面的长和宽，及棱锥的高，代入棱锥体积公式即可得到答案 解：由三视图我们易判断这个几何体是一个四棱锥， 又由侧视图我们易判断四棱锥底面的宽为2，棱锥的高为4
由俯视图我们易判断四棱锥的长为4代入棱锥的体积公式，我们易得 V=
1
3
×6×2×4=16 故答案为：16
3. (福建省泉州市2012年3月普通高中毕业班质量检查理科5)下列四个条件：
①x ，y ，z 均为直线； ②x ，y 是直线，z 是平面； ③x 是直线，y ，z 是平面；④x ，y ，z 均为平面.
其中，能使命题“,x y y
z x z ⊥⇒⊥”成立的有
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】C
【解析】①③④能使命题“,x y y
z x z ⊥⇒⊥”成立.
4. (山东省青岛市2012届高三上学期期末检测理科5)已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是
解析：由三视图可知，该集合体为底面是边长为20的正方形、高为20的四棱锥，
1800020202033
V =⨯⨯⨯=.
5. (山东省青岛市2012届高三上学期期末检测理科8)已知a 、b 、c 为三条不重合的直线，下面有三个结论：①若c a b a ⊥⊥,则b ∥c ；
②若c a b a ⊥⊥,则b ⊥c ；③若a ∥,b b ⊥c 则c a ⊥. 其中正确的个数为 A ．0个
B ．1个
C ． 2个
D ． 3个
答案：B
解析：①b ，c 可能异面；②b ，c 可能异面，也可能平行. 二、填空题：
6. (吉林省长春市2012年3月高中毕业班第二次调研测试理科16)如图，已知球O 是棱长为1 的正方体1111ABCD A BC D -的内切球，则以1B 为顶点，以平面1ACD 被球O 所截得的圆为底面的圆锥的全面积为________. 【答案】 23
π
【解析】O 为球心，也是正方体的中心，
O 到平面1ACD 的距离h 等于体对角线的1
6
，即为h =
，
B 到平面1ACD 的距离k 等于体对角线的2
3
，即为k =
A 1
又球的半径R 等于正方体棱长的一半，即为12
R =，
由勾股定理可知，截面圆的半径为6
r =，
圆锥底面面积为216
S ππ=⋅=，
圆锥的母线可利用勾股定理求出：l =，
圆锥的侧面积为2==6622S l πππ=⋅
⋅⋅.
圆锥的表面积为122+623
S S S πππ
==+=.
7.(江苏省淮阴中学、海门中学、天一中学2012届高三联考13)将一个长宽分别是
,(0)a b b a <<的铁皮的四角切去相同的正方形，然后折成一个无盖的长方体的盒子，若
这个长方体的外接球的体积存在最小值，则a
b
的取值范围是 .
【解析】设减去的正方形边长为x ,其外接球直径的平方2222R =(a-2x)+(b-2x)+x 由()209R x a b '
=∴=
+ 0,2a a b x ⎛⎫
<∴∈ ⎪⎝⎭
()2092a a b ∴<+< 514b a ∴<< 8. (福建省泉州市2012年3月普通高中毕业班质量检查理科12)一个三棱锥的正视图和侧
视图及其尺寸如图所示，则该三棱锥俯视图的面积为 .
【解析】该三棱锥俯视图为直角三角形，两直角边分别为1,2，其面积为
1
12 1.2
⨯⨯= 三、解答题
9．(浙江省部分重点中学2012年3月高三第二学期联考理科20)（本小题满分14分）
在长方体1111ABCD A BC D -中，
11,2,AD AA AB ===点E 是AB 上的动点，点M 为1D C 的中点.
（Ⅰ）当E 点在何处时，直线ME //平面11ADD A ，
并证明你的结论；
（Ⅱ）在（Ⅰ）成立的条件下，求二面角1A D E C --
的大小. 证明：（Ⅰ）当E 为AB 的中点时,
ME ∥平面11ADD A .
证明：取1DD 的中点N ，连结MN 、AN 、ME ，
M
N F
H 1
23
侧视图
正视图
MN ∥CD 21，AE ∥CD 2
1，
∴ 四边形MNAE 为平行四边形，可知 ME ∥AN
AN 在平面
1AD 内∴ME ∥平面1AD . …………5分
方法二）延长CE 交DA 延长线于N ，连结1D N .
AN ∥BC NE EC ∴=，又M 为1D C 的中点,
∴ME ∥1D N 1D N ⊂平面1AD ∴ME ∥平面1AD .………… 5分
（Ⅱ）当E 为AB 的中点时，DE CE =,又2CD =,
可知0
90DEC ∠=,所以DE CE ⊥,平面1CED ⊥平面1DD E ,
所以二面角C E D D --1的大小为
2
π
；.………… 8分 又二面角C E D A --1的大小为二面角D E D A --1与二面角C E D D --1大小的和， 只需求二面角D E D A --1的大小即可；.………… 10分 过A 点作DE AF ⊥交DE 于F ，则⊥AF 平面E DD 1,2
2=AF ， 过F 作E D FH 1⊥于H ，连结AH ，
则∠AHF 即为二面角D E D A --1的平面角， ………… 12分
11AD AE E D AH ⋅=⋅，630=
∴AH ，5
15sin =∠∴AHF ， 所以二面角C E D A --1的大小为
5
15
arcsin
2
+π
．………… 14分 10. (山东实验中学2012届高三第一次诊断性考试理19) (本小题满分12分） 如图，在四棱锥P 一ABCD 中，底面ABCD 为菱形，
,Q 为AD 的中点。

，点M 在线段PC 上 P M =
：,证明：平面MQB;
(1) 若平面
平面求二面角
的大小.
【解析】解：连AC 交BQ 于N ，由AQ//BC 可得，
1
, (22)
1
,// (43)
//.............................6.......7AQ AN ANC BNC BC NC PM PC PA MN PA MBQ AD ABD ∆∆∴
===∴∴⊥⊥⊥∠∆
0分分
分
(2)
由PA=PD=AD=2，Q 为AD 的中点，则PQ 分又平面PAD 平面ABCD,所以PQ 平面ABCD ，连接BD ，则四边形ABCD 为菱形
AD=AB,BAD=60，.......8(,,),0030
//,,300
0Q AD AD x y z y PA MN x z →
→→
→→
→→→→∴⊥=⎧⎧⎧===⎪⎪∴⎨⎨-=⎪⎪==⎩
⎩为正三角形
为的中点，BQ 分
以Q 为坐标原点，分别以QA 、QB 、QP 所在的直线为x,y,z 轴，
建立如图所示的坐标系，则各点坐标为A(1,0，0),
Q(0,0，0),P(0，设平面MQB 的法向量为n 可得n QB n QB n MN n PA 1z →
⎪⎨
⎪⎩
==取，解得n 分
取平面ABCD 的法向量
0||1cos 2||||
60.................12QP n QP QP n θθ→
→
→
→
→
===
设所求的二面角为，则故二面角的大小为分
11. (吉林省长春市2012年3月高中毕业班第二次调研测试理科19)（本小题满分12分）
如图，正方形ABCD 与直角梯形ADEF 所在平面 互相垂直，90ADE ∠=，DE AF //，22===AF DA DE . ⑴求证：//AC 平面BEF ；
⑵求平面BEF 与平面ABCD 所成角的正切值.
【解析】⑴证明：方法一.设AC BD O =，取BE 中点G ，连结OG FG 、， 则OG ∥DE 且OG ＝
1
2DE .∵DE AF //，AF DE 2=，
∴AF ∥OG 且AF ＝OG ，∴AFGO 是平行四边形，∴AO FG //. ∵FG ⊂平面BEF ,AO ⊄平面BEF ,
∴//AO 平面BEF ，即//AC 平面BEF .
方法二.如图建立空间直角坐标系，设平面BEF 的一个法向量为(,,)n x y z =，
则00n FE n FB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，而(2,0,1)(0,2,1)
FE FB ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，∴2020x z y z -+=⎧⎨-=⎩，令1x =，则1y =，2z =，
(1,1,2)n =. ∵(2,2,0)AC =-， ∴n AC ⋅＝0，∴n AC ⊥， 而AC ⊄平面BEF ，∴//AC 平面BEF .
⑵设平面ABCD 与平面BEF 所成二面角的平面角为α，由条件知α是锐角 由⑴知平面BEF 的法向量为(1,1,2)n =.
又平面ABCD 与z 轴垂直，
所以平面ABCD 的法向量可取为
1(0,0,1)n =
所以111cos |cos ,||
1n n n n n n
α⋅=<>=
==
⋅⋅， 所以tan α=
即为所求. 12．(江苏省淮阴中学、海门中学、天一中学2012届高三联考16)（本小题满分14分） 在直三棱柱111C B A ABC -中，AC=4,CB=2,AA 1=2，
60=∠ACB ，E 、F 分别是BC C A ,11 的中点．
（1）证明：平面⊥AEB 平面C C BB 11； （2）证明：//1F C 平面ABE ；
（3）设P 是BE 的中点，求三棱锥F C B P 11-的体积． 【解析】()1证明：在中ABC ∆，∵AC =2BC =4,
60=∠ACB
∴32=AB ，∴2
22AC BC AB =+，∴BC AB ⊥
由已知1BB AB ⊥， ∴AB ⊥面11BB C C 又∵AB ⊂ 面ABE 11ABE BB C C ∴⊥
()2证明：取AC 的中点M ，连结FM M C ,1
在//ABC FM AB ∆，,
A B C
D F
E A
B
C E F P
1A 1
B 1C
而FM ABE ⊄，∴直线FM//平面ABE
在矩形11A ACC 中，E,M 都是中点，∴AE M C //1 而1C M ABE ⊄，∴直线1//C M ABE 又∵M FM M C =⋂1 ∴1//ABE FMC 面 故1//C F AEB
()
3取11
B C 的中点H ，连结EH ，则//EH AB 且12
EH AB =
由C C BB AB 11面⊥，∴11EH BB C C ⊥面，
∵P 是BE 的中点，
∴111111111
223
P B C F E B C F B C F V V S EH --∆==⨯⋅=13. (福建省泉州市2012年3月普通高中毕业班质量检查理科19)（本小题满分13分）
如图，侧棱垂直底面的三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，13AA AB AC ++=，
(0)AB AC t t ==>，P 是侧棱1AA 上的动点.
（Ⅰ）当1AA AB AC ==时，求证：11AC ABC ⊥平面； （Ⅱ）试求三棱锥1P BCC -的体积V 取得最大值时的t 值；
（Ⅲ）若二面角1A BC C --t 的值. 【解析】（Ⅰ）证法一：∵1AA ⊥面ABC ，∴1AA AC ⊥，1AA AB ⊥.
又∵1AA AC =，∴四边形11AAC C 是正方形， ∴11AC AC ⊥.
∵11111,,,,AB AC AB AA AA AC AAC C AA AC A ⊥⊥⊂=平面，
∴11AB AAC C ⊥平面.
又∵111AC AAC C ⊂平面, ∴1AB AC ⊥.
∵111,,AB AC ABC AB AC A ⊂=平面,
∴1
1AC ABC ⊥平面. 证法二：∵1AA ⊥面ABC ，∴1AA AC ⊥，1AA AB ⊥. 又∵AB AC ⊥，
∴分别以1,,AB AC AA 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系. 则11(0,0,0),(0,1,1),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)A C B C A ，
1
1(0,1,1),(0,1,1),(1,0,0)AC AC AB =-==， ∴1110,0AC AC AC AB ⋅=⋅=， ∴111,AC AC AC AB ⊥⊥. 又∵111,,AB AC ABC AB AC A ⊂=平面
∴1
1AC ABC ⊥平面. 证法三：∵1AA ⊥面ABC ，∴1AA AC ⊥，
1AA AB ⊥.
又∵AB AC ⊥，
∴分别以1,,AB AC AA 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系. 则11(0,0,0),(0,1,1),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)A C B C A ,
1
1(0,1,1),(0,1,1),(1,0,0)AC AC AB =-==. 设平面1ABC 的法向量(,,)n x y z =，
则100
n AC y z n AB x ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩，解得0x y z =⎧⎨=-⎩.
令1z =，则(0,1,1)n =-，
∵1AC n =-, ∴11AC ABC ⊥平面. （Ⅱ）∵1
11AA BB C C 平面，
∴点P 到平面11BB C C 的距离等于点A 到平面11BB C C 的距离
∴1112231113
(32)(0)6232
P BCC A BCC C ABC V V V V t t t t t ---====-=-<<, '(1)V t t =--，
令'0V =，得0t =（舍去）或1t =，
列表，得
(0,1)
1 3(1,)2
'V + 0 － V
递增
极大值
递减
∴当1t =时，max 1
6
V =
. （Ⅲ）分别以1,,AB AC AA 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系. 则11(0,0,0),(0,,32),(,0,0),(0,,0),(0,0,32)A C t t B t C t A t --,
1
1(0,,23),(0,,32),(,0,0)AC t t AC t t AB t =-=-=， 1(0,0,32)CC t =-，(,,0)BC t t =-.
设平面1ABC 的法向量1111(,,)n x y z =， 则
111111(32)00
n AC ty t z n AB tx ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅==⎪⎩，解得
111023x t y z t =⎧⎪⎨-=⎪⎩
, 令1z t =，则1(0,23,)n t t =-. 设平面1BCC 的法向量2222(,,)n x y z =，
则2222120(32)0
n BC tx ty n CC t z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩. 由于3
02t <<
，所以解得222
0x y z =⎧⎨=⎩.
令21y =，则2(1,1,0)n =. 设二面角1A BC C --的平面角为θ，
则有1212|||cos |||||2n n n n θ⋅=
==⋅.
化简得2
516120t t -+=,解得2t =（舍去）或6
5
t =
. 所以当
65t =时，二面角1A BC C --
14．(江西省南昌二中2012届高三第三次月考理科19)如图是某直三棱柱被削去上底后所得
几何体的直观图、左视图、俯视图，在直观图中，M 是BD 的中点，左视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示。

（Ⅰ）求该几何体的体积；
（Ⅱ）求证：EM ∥平面ABC ；
（Ⅲ）试问在棱DC 上是否存在点N ，使MN ⊥平面BDE ？若存在，确定点N 的位置；若
不存在，请说明理由。

【解析】
∵△DMN ∽△DCB ，∴DN DM
DB DC =4=3DN =，即34DN DC = 所以，边DC 上存在点N ，当满足34
DN DC =时，使MN ⊥平面BDE ． 15．(江苏省南京市、盐城市2012届高三第一次模拟22)（本小题满分10分）
【解析】 (1)以1,,AB AD AA 为正交基底建立空间直角坐标系A xyz -,设
(0CP a a =≤≤ ,
则(2,2,0),(2CQ P a Q =- ,1(2,2)B Q =-, 1(2,,2)D P a =--,
∵11B Q D P ⊥,∴11
0BQ D P ⋅=，∴240a -+=，解得1a =…………4分 ∴PC=1,CQ=1,即P Q 、分别为,BC CD 中点……………………………5分
(2)设平面1C PQ 的法向量为(,,)n a b c =，∵1(1,1,0),(0,1,2)PQ PC =-= ,又10n PQ n PC ⋅=⋅=，
∴020
a b b c -+=⎧⎨+=⎩，令1c =-，则2a b ==,(2,2,1)n =- ……………8分
∵(0,0,2)k =-为面APQ 的一个法向量, ∴1cos ,3n k <>=,而二面角为钝角,故余弦值为13-
……10分 【点评】本题主要考查了空间向量在立体几何中的简单应用，利用空间向量的坐标运算求解二面角的大小。

16．(江苏省南京市、盐城市2012届高三第一次模拟16) (本小题满分14分)
如图,在四棱锥P ABCD -中,四边形ABCD 是菱形,PA PC =,E 为PB 的中点.
(1)求证:∥PD
面AEC ； (2)求证:平面AEC ⊥平面PDB .
【分析】（1）问的关键在于找//PD EO ，（2）问的关键在于论证AC ⊥面PBD 。

17．(山东省青岛市2012届高三上学期期末检测理科20)（本小题满分12分）
已知四边形ABCD 满足AD ∥BC ，12
BA AD DC BC a ====，E 是BC 的中点，将BAE ∆沿着AE 翻折成1B AE ∆，使面1B AE ⊥面AECD ，F 为1B D 的中点.
（Ⅰ）求四棱
1B AECD -的体积；
（Ⅱ）证明：1B E ∥面ACF ；
（Ⅲ）求面1ADB 与面1ECB 所成二面
角的余弦值.
答案：
解析：（Ⅰ）取AE 的中点,M 连接
1B M ，因为12BA AD DC BC a ====，ABE ∆为等边三角形，则12B M a =，又因为面1B AE ⊥面AECD ，所以1B M ⊥面AECD ，……2分
所以3
1sin 3234
a V a a π=⨯⨯⨯= …………………4分
（Ⅱ）连接ED 交AC 于O ，连接OF ，因为
AECD 为菱形，OE OD =，又F 为1B D 的
中点，
所以FO ∥1B E ，所以1B E ∥面
A C F …………………………………7分
（Ⅲ）连接MD ，分别以1,,ME MD MB 为,,x y z 轴
则1(,0,0),(,0),(,0,0),,0),)22a
a E C a A D B -
11333(,,0),(,0,),(,,0),(2222a a a a a a a EC EB AD AB ==-==……9分
设面1ECB 的法向量(,,)v x y z '''=
，0202a x a x ⎧''+=⎪⎪⎨⎪''-=⎪⎩，令1x '=
，则3(1,u =- 设面1ADB 的法向量为(,,)u x y
z =
，0202
a x a x ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 令1x =
，则3(1,,33v =--…………………………………………………………11分
则1113cos ,5u v +-<>==，所以二面角的余弦值为35……………12分 解析说明：利用体积公式即可.构造三角形BDE 的中位线，利用线面平行的判定定理证明即可. 以1,,ME MD MB 为,,x y z 轴，通过求两平面的法向量所成的角，进而求得两平面所成的角.。