人教版A必修5第一章解三角形备课资料

、知识总结
1•判断三角形解的方法
已知两边和其中一边的对角 ”解三角形，这类问题分为一解、二解和无解三种情况 •一方面,我们
可以利用课本上的几何图形加以理解 ，另一方面，也可以利用正弦函数的有界性进行分析 •
设已知A 、B 、A,则利用正弦定理
bsin A sin B , a
如果sinB > 1,则问题无解. 如果sinB = 1,则问题有一解;
如果求出的sinB v 1,则可得B 的两个值，但要通过 三角形内角和定理”或 大边对大角”等三角形 有关性质进行判断.
2.利用三角形面积证明正弦定理
已知△ ABC,设 BC = A, CA = B,AB = C,作 AD 丄 BC,垂足为 D. 则 Rt △ ADB 中,sinB AD ,
AB
/• AD=AB sinB=csinB.
1
1
…ABC = a? AD
acsi nB . 2
2 1 1
同理，可证 S A ABC = absinC bcsin A .
2 2
1 1
…S A ABC = absinC bcsin A
2 2
/• abs in c=bcs in A=acs inB,
,常常将正弦定理写成 a • b .小 c A=2RsinA,B=2Rsin B,C=2RsinC 或 sinA= ,SinB ,SinC .（R ABC 外接圆半径）
2R 2R 2R 这样可以很方便地把边和角的正弦进行转换 ，我们将在以后具体应用.
二、典型例题
1.若△ ABC 中(A 2+B 2)sin(A-B)=(A 2-B 2)sinC,贝忆ABC 是( )
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D .等腰或直角三角形
分析：运用正弦定理 A=2RsinA,B=2RsinB 以及结论 sin 2A-sin 2B =sin(A+B)sin(A-B), 由( A 2+ B 2)
sin(A-B) = (A 2- B 2)sinC,
•••(sin 2A+sin 2B)sin(A-B) =(sin 2A-sin 2B)sinC=sin(A+B) sin(A-B) sinC. 若 sin(A-B)= 0,则 A = B.
若 sin(A-B)丰(则 sin 2A+sin 2B=sin 2CA 2+B 2=C 2. • △ ABC 为等腰三角形或直角三角形 .故答案选D.
1、1、1备课资料
1 acsin B . 2
在等式两端同除以
ABC,可得 sinC
c
sin A sin B
b
C si
nC 即」 L
sin A sinB
3.利用正弦定理进行边角互换
对于三角形中的三角函数，在进行恒等变形时
2.在△ ABC 中,A=45 ° B : C = 4 : 5，最大边长为10,求角B 、C,外接圆半径及面积 S. 分析：由 A+B+C=180° 及 B : C=4 : 5,可得 B=4K,C=5K , 则 9K=135，故 K=15 .那么 B=60° , C =75° 厂哙5出血)，
2sin 75
】bc?sinA 】c?2RsinB?sinA 75 25 3 .
2 2
那么 B i =60 ° C i =90 ° C i =8 或 B 2=120 ° C 2=30
点评：若已知三角形两边和其中一边上的对角，如图可以看出满足条件的三角形有 4.已知△ ABC 的三个内角成等差数列并且
tanA tanC =2+ - 3
(1 )求A 、B 、C 的度数;(2)若AB 边上的高CD=4 . 3，求三边A 、B 、C 的长. 分析：(1)由 2B=A+C ，得 B=60° 贝U A+C=120° ,
sin A?si nC ? 3
(1+ . 3 )COsA COsC+ (COsA COsC-sinA sinC)=0
A
(1+ .3) 1 : COs(A+C)+COs(A-C): +COs(A+C)=0
2
1
3
[-1 +COs(A-C)] +COs(A+C)=0. • COs(A-C)^-3 . 2 2 2
得|A-C|=30。

.又 T A+C=120° . ••• A=45° ,C=75° 或 A=75° ,C=45°. (2)如图若A v B v C,由正弦定理得 A=8, B=4 6 , C=BCOsA+ACOsB=4( 3 +1).
同理，若 A > B > C 时，贝U A=4(3+1) , B=46,, C =8. 点评：这类具有一定综合性的题目，恒等变形有一定的技巧•由三个角成等差得 A+C=120°,恒等 变形的目标就是寻找 A 与C 的关系，用恒等变形的方法的观点对条件等式进行转化.
由正弦定理R 由面积公式S
点评：求面积时
B 未知但可转化为B=2RsinB,从而解决问题.
3•在△ ABC 中，已知A=30 ° A 、B 分别为角A 、 B 对边，且A=4， B=4 . 3，解此三角形.
分析：由正弦定理知-^―
sin A
b
_4_ sin B sin30
竺 sinB
sin B
.3 2
，C 2=4.
tanA?tanC 2 , 3
cosA?cosC
即(2+3)COsA COsC-si nA si nC=0
45
此题还可以由ta nA tanC =2+ , 3求出tanA+tanC =3+ … 3 ,运用韦达定理解出tanA和tanC,这对
综合能力的训练大有益处.
1、1、2备课资料
、向量方法证明三角形中的射影定理
在厶ABC中设三内角A、B、C的对边分别是A、B、C.
•/ AC CB AB ,
••• AC?(AC CB) AB?AC.
••• AC? AC AC?CB AB?AC.
]2I ■!I i |
•AC ACCBcos(180 C) AB AC cosA.
•AC CB cosC A B ?cosA..
二b-acosC=ccosA,
即B=ccosA+acosC.
类似地有 C =acosB+bcosA,a=bcosC +ccosB.
上述三式称为三角形中的射影定理
二、解斜三角形题型分析
正弦定理和余弦定理的每一个等式中都包含三角形的四个元素，如果其中三个元素是已知的(其中至少有一个元素是边)，那么这个三角形一定可解.
关于斜三角形的解法，根据所给的条件及适用的定理可以归纳为下面四种类型：
(1)已知两角及其中一个角的对边，如A、B、人,解厶ABC.
解：①根据A+B+C= n ,求出角C;
②根据一a—及一a—,求B、C.
sin A sinB sin A sinC
如果已知的是两角和它们的夹边，如A、B、C,那么先求出第三角C,然后按照②来求解.求解过
程中尽可能应用已知元素.
⑵已知两边和它们的夹角，如A、B、。

,解厶ABC.
解：①根据C2=A2+B2-2abcosC,求出边C;
b2 2 2
②根据cosA= cosA- -———,求出角A;
2bc
③由B=180°-A-C,求出角B.
求出第三边C后，往往为了计算上的方便，应用正弦定理求角，但为了避免讨论角是钝角还是锐角,应先求A、B较小边所对的角（它一定是锐角）,当然也可以用余弦定理求解.
⑶已知两边及其中一条边所对的角，如a、b、人,解厶ABC.
a b
解：①，经过讨论求出B;
sin A sin B
②求出B后，由A+B+C=180°，求角C;
③再根据—二,求出边C.
sin A sinC
⑷已知三边A、B、。

,解厶ABC.
解：一般应用余弦定理求出两角后，再由A+B+C=180°，求出第三个角• 另外，和第二种情形完全一样，当第一个角求出后，可以根据正弦定理求出第二个角，但仍然需注意要先求较小边所对的锐角.
（5）已知三角，解厶ABC.
解：满足条件的三角形可以作出无穷多个，故此类问题解不唯一•
三、可解三角形”与需解三角形”
解斜三角形是三角函数这章中的一个重要内容，也是求解立体几何和解析几何问题的一个
重要工具.但在具体解题时，有些同学面对较为复杂（即图中三角形不止一个）的斜三角形问题, 往往不知如何下手•至于何时用正弦定理或余弦定理也是心中无数，这既延长了思考时间，更
影响了解题的速度和质量•但若明确了可解三角形”和需解三角形”这两个概念，则情形就不
一样了.
所谓可解三角形”是指己经具有三个元素（至少有一边）的三角形；而需解三角形”则是指需求边或角所在的三角形•当一个题目的图形中三角形个数不少于两个时，一般来说其中必有一个三角形是可解的，我们就可先求出这个可解三角形”的某些边和角，从而使需解三角形”可解•在确定了可解三角形”和需解三角形”后,就要正确地判断它们的类型，合理地选择正弦定理或余弦定理作为解题工具，求出需求元素，并确定解的情况.
可解三角形”和需解三角形”的引入，能缩短求解斜三角形问题的思考时间. 一题到手后，先做什么，再做什么，心里便有了底.分析问题的思路也从试试看”做做看”等不大确定的状
态而变为有的放矢”地去挖掘，去探究.
1、1、3备课资料
、正、余弦定理的边角互换功能
对于正、余弦定理，同学们已经开始熟悉，在解三角形的问题中常会用到它 ，其实，在涉及
到三
角形的其他问题中，也常会用到它们•两个定理的特殊功能是边角互换 ，即利用它们可以把边的
关系转化为角的关系，也可以把角的关系转化为边的关系 ，从而使许多问题得以解决•
a
b
sin A a
解：•••
sin A sin B
sin B b
又 sin A 2
（这是角的关
sinB 3
a 3
a b
-- （这是边的关系）.于是，由合比定理得 — b 2 b
【例2】已知△ ABC 中，三边A 、B 、C 所对的角分别是 求证:sinA+sinC=2sinB.
证明：■/ a 、b 、c 成等差数列， ••• a+c=2B （这是边的关系）.①
又 __________
b _______ ， sin A sinB sinC
bsi nC — •- a ，②
sin B
bsi nC — c •③
sin B
将②③代入①，得竺皿竺巴C 2b =2B.
sin B sin B
整理得sinA+sinC=2sinB （这是角的关系）. 二、正、余弦定理的巧用
某些三角习题的化简和求解，若能巧用正、余弦定理，则可避免许多繁杂的运算，从而使问题 较轻松地获得解决，现举例说明如下：
【例 3】求 sin 220
°
COS 280 ° 3 sin20 °s80 的值.
解：原式=sin 220 °sin 210 °-2sin20 sin10 °s150 ； •/20°+10°+150° =180°，
• 20° 10° 150°可看作一个三角形的三个内角
.
设这三个内角所对的边依次是 A 、B 、C ，由余弦定理得a 2+b 2-2abcos150 °C 2.(*) 而由正弦定理知 A=2Rsin20°，B=2Rsin10°，C=2Rsin 150°，
1
代入(*)式得 sin 220 °+sin 210 °-2sin20 s °10 °s150 =sin 2150 °=-.
【例1】已知A 、B ABC 的边，A 、B 分别是A 、B
的对角，且 3
求已丄的值.
sin B 2 b
3 2
5
2.
A 、
B 、
C ，且a 、b 、c 成等差数列
4 1
•原式=—.
4
三、构造正三角
通常，我们使用标尺作正三角形•以标尺作正三角形，只需相异两点 A 、B ，再配合工具
即可•分别以A 、B 点为圆心，AB 长为半径作圆，两圆相交于C 点，△ ABC 就是正三角形了.因 为，圆A 中，AB=AC （半径）；而且圆B 中，BA=BC （半径），所以AB=BA=AC .（参见上图）
如果没了圆规，我们要如何作出正三角形呢？再者连标尺也没了， 那么万能的双手又要如
何作出正三角形呢？这时我们可以考虑折纸来协助完成•取适当大小的矩形纸张，先对折， 取
得一边的中垂线；再以 A 点为基点，将此边向内翻折，并使得顶点落在中垂线上 B 点；最后
再将B 点和A 、C 点连成三角形（参见右图），就是正三角形了.因为， AC=AB ，又B 点在中垂 线
上，所以，BA=BC ，因此，AB=BC=CA .
1、2、1备课资料 利用余弦定理证明正弦定理
在厶 ABC 中，已知 a 2=b 2+c 2-2bccosA,b 2=c 2+a 2-2cacosB,c 2=a 2+b 2-2abcosC,
a b c
sin A sinB sinC
2 2 2 2 2 2
(2 bc b c a )(2bc b c a )
2 2
4b c
4a 2b 2c 2
(a b c)( a b c)(a b c)(a b c)
记该式右端为M,同理可得
证明：由 a 2=b+c 2
-2bccosA ，得 cos A
b 2
c 2 a 2 2bc
sin 2A =1-cos 2A =1-
(b 2 c 2 a 2)
2bc
2
八 2
2 2、2
(2bc) (b c a )
2
(2bc)
(b c a)(b c a)(a b c)
2 2
4b c
2
a sin B
.2 2
b
c
2
M ,
2 sin B sin C
2 .2
a b M , •••
sin A sin B
a b c sin A sinB sinC
1、2、2备课资料
备用例题
1•地平面上有一旗杆 0P ，为了测得它的高度 h ,在地面上选一基线 AB , AB=20 m,在A 点处测 得P 点的倾角/ OAP=30,在B 点处测得P 点的仰角/ OBP=45，又测得/ AOB=60°求旗杆的 高度h.（结果保留两个有效数字）
思路分析：在看图时要注意结合实际 一一旗杆0P 垂直地面，所以△ AOP 和厶BOP 都是直角三 角形.又这两个三角形中各已知一个锐角，那么其他各边均可用 h 的代数式表示.在 △AOB
中，已知一边及其对角，另两边均为 h 的代数式，可利用余弦定理构造方程，解这个方程即求
出旗杆高h .
解：在 Rt △ AOP 中，/ OAP=30° , OP=h,
• OA=OP c ot30 °3h.
在 Rt △ BOP 中，/ OBP=45 , • OB=OP cot45 °h. 在厶 AOB 中，AB=20 ,Z AOB=60° , 由余弦定理得
AB 2=OA 2+OB 2-2 QA8B c os60 °
2
+h 2-2 3h h 丄，解得 h 2= 400 - 176.4/. h - 2
4寸3
答：旗杆高度约为13 m .
点评：（1）仰角和俯角是在同一铅垂面内视线与水平线的夹角，当视线在水平线之上时，称为
2
c
sin 2 C
即 202
=（ . 3h ）
13.
1、2、3备课资料
仰角，当视线在水平线之下时称为俯角.
（2）由余弦定理（正弦定理）构造方程，是解决此问题的关键•方程思想是解决问题的一种 常用思想方法.
2•在某时刻，A 点西400千米的B 处是台风中心，台风以每小时 40千米的速度向东北方向直 线前进，以台风中心为圆心、 300千米为半径的圆称为 台风圈”从此时刻算起，经过多长时 间A 进入台风圈？ A 处在台风圈中的时间有多长？
解：如图，以AB 为边， （点P 在B 点的东北方
向上），射线BP 即台风中心B 的移动方向，以 A 点为圆心、300千米 为半径画弧交射线 BP 于C 、D 两点，显然当台风中心从
B 点到达
C 点时，A 点开始进入台风
圈，台风中心在CD 上移动的时间即为 A 处在台风圈中的时间.设台风中心由B 到C 要t 小时, 在厶ABC 中，AB=400 （千米），AC=300 （千米），BC=40t （千米），/ ABC=45°由余弦定理 得
AC 2=AB 2+BC 2-2AB BC c os / ABC , 即 3002=4002+（40t ） 2-2 肖00 >40t cos45 ° 二 4t 2-402t+175=0.
答：经过4.6小时A 进入台风圈，A 处在台风圈中的时间为 5小时.
t 2-t l =
40 .2
20 8
10、2 5 2
10 一 2 5 2
10 2
5
2
5（ 一2 1） =4.6 （小时）
10,2
5
2
=5 （小时）
1•半角定理 在厶ABC 中，三个角的半角的正切和三边之间有如下的关系 P P 其中 P= 1 ( a+b+c). A 证明：tan
— 2 .A sin
_2 A' cos — 2
因为 si n A > 0,cos- > 0, 2 2
所以 A sin — 2 h
cosA
卩(
1 丄 j
2 2bc
■ 4bc
因为 所以 1
P = (a+b+c), 2 a -b+c =2(p-b),a+b-c=2(p -c). 所以 A sin 2 (P b)(p c)
bc A cos — 2 .1 cosA .； 2 2 2 x
■ 2(1 2bc 9
a b c)(a b c)
4bc
(b c)2 a 2 4bc (b c a)(b c a)
4bc P(P a) bc
.A A si n
^ 所以tan -------- 2
2 A cos — 2
(P b)(p c)
bc P(P a) bc (P b)(P c)
P(P a)
1 (P a)(P b)(P c) P a ,
A 1 所以tan — 2 P (P a)(p b)(p c)
B 同理，可得tan B
2
1 (P a)(p b)(p c) P b ,
C 1 (p a)(p b)( p c)
tan
•从上面的证明过程中，我们可以得到用三角形的三条
2 P c
P
边表示半角的正弦和半角的余弦的公式
：
2•用三角形的三边表示它的内角平分线
设在△ ABC 中(如右图),已知三边a 、b 、c,如果三个角 A 、B 和C 的平分线分别是 t A t B 和t c ， 那么，用已知边表示三条内角平分线的公式是：
t a -^Vbcp( p a)； b c t b -^vacp(p b);
a c t c —Jabp(p c) •
a b
证明：设AD 是角A 的平分线，并且 BD=x ，DC=y,那么，在△ ADC 中，由余弦定理，得
t A 2=b 2+y 2-2bycosC,①
根据三角形内角平分线的性质，得
c
-,
b y
所以J g
b y
因为x+y=a, 所以
ab
所以y 仁•② 心 A ](p b)(p c) cos A sin ,cos —
2 】 be 2
同理可得
B (p a)(p c)
C sin , si n — 2 , ac 2
'p(p a) \ bc
(p a)(p b)
,cosB ab 2
p(p b)
cosC ac 2
2 2 将②代入①，得t a
b 2
诜)2
2b^ab )cosC b c
b 2
2
2bc a 2a(b c) cosC].
ti x- D y c
2 .2 2
因为 cosC a b
— bc
1、3备课资料 备用例题
A 、
B 两点间有小山和小河，为了求A 、B 两点间的距离，选择一点D,使AD 可以直接测量且 B 、 D 两点可以通视，再在AD 上选一点C,使B 、
C 两点也可通视，测量下列数据： AC =m,CD=n, / ADB= a / ACB= 3 求 AB.
所以t a 2
_b 2 (b
c 2
2bc 2a(b
2
c)?- b 2 c 2] 2ab
bc (b c)2
(b 2 c 2 2bc a 2)
L(a (b c)2 b c)(b
a)
诜严p?2(p a)
4
2
?bcp(p
(b c)
a),所以 t a
、、bcp(p a )
. c
口
2
------------- 2 • ------------ 同理，可得 t b
： acp( p b) ,t c ------ .. abp( p c). a c a b
这就是已知三边求三角形内角平分线的公式
.
3•用三角形的三边来表示它的外接圆的半径
设在△ ABC 中,已知三边a 、b 、c,那么用已知边表示外接圆半径
R 的公式是
abc
R
.p(p a)(p b)(p c)
证明：因为 所以sin A
R -—,S 1bcsi nA , 2si nA 2 2S bc
所以R
2sin A abc
4S
abc
、P (P a)(p b)(p c)
(1) 计算方法
如图所示，在△ BCD中,CD= n, / CDB=a,
DBC = ^- a.
由正弦定理可得BC CD ?sin BDC nsin sin DBC sin( )
在厶ABC中，再由余弦定理得
AB2=BC2+AC2-2BC •C COs Z ACB.
其中BC可求，AC=m, Z ACB=3故AB可求.
解三角形
三角形的三条边和三个内角是三角形的六个基本元素•已知其中的三个基本元素(至少有一个是边)求其余的基本元素叫做解三角形.
1•直角三角形的解法
因为直角三角形中有一个是直角，例如△ ABC中，C= 90°角A、B、C的对边分别是A、B、
C.那么利用以下关系式：
(1) A+B=90° ; (2) A 2+ B 2=C 2； (3) A=csinA=ccosB= B tanA; (4) B=ccosA=csinB=acxtana . 可
分四种情况来解直角三角形.
(1)已知斜边和一锐角；
(2)已知一条直角边和一锐角；
(3)已知一斜边和一直角边；
(4)已知两条直角边.
2•斜三角形的解法
在一个三角形中，如果没有一个角是直角，那么这个三角形叫做斜三角形. 斜三角形的解法可分以下四种情况：(1)已知两角和一边；(2 )已知两边和其中一边的对角； (3)已知两边和它们的夹角；(4)已知三边.解斜三角形常常利用以下基本关系式：
1.三角形内角和为180 °即A+ B + C=180 °
2.正弦定理，即
a b
c2R
si nC
sin A sin B
a ccosB bcosC,
3.余弦定理，即(1) b acosC ccosA,
c bcosA acosB;
2 a b2 2 c2bccosA,
⑵b2 2 a 2 c2accosB
2 c 2 a b22abcosC
一般地说，在已知两边和其中一边的对角的情况下，解三角形时，问题不一定有解，如果有解也不一定。