2019_2020学年高中数学阶段质量检测(五)数系的扩充与复数的引入北师大版选修2_2

阶段质量检测（五） 数系的扩充与复数的引入
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．i 是虚数单位，复数7－i
3＋i ＝( )
A ．2＋i
B ．2－i
C ．－2＋i
D ．－2－i
解析：选B
7－i 3＋i ＝(7－i )(3－i )10＝20－10i
10
＝2－i. 2．已知复数z ＝－i
3
(－1＋2i )2(i 为虚数单位)，则z 在复平面内所对应的点位于( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
解析：选C 因为z ＝i －3－4i ＝i (－3＋4i )(－3－4i )(－3＋4i )＝－4－3i 25＝－425－3
25i ，所以z 在复
平面内所对应的点在第三象限，故选C.
3．若复数z 满足(z －3)(2－i)＝5(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 为( ) A ．2＋i B ．2－i C ．5＋i
D ．5－i
解析：选D 因为(z －3)(2－i)＝5，所以z －3＝52－i ＝5(2＋i )
(2－i )(2＋i )＝2＋i ，所以z ＝5
＋i ，所以z ＝5－i.
4．设复数z ＝－1－i(i 为虚数单位)，z 的共轭复数是z ，则2－z
z
等于( )
A ．－1－2i
B ．－2＋i
C ．－1＋2i
D ．1＋2i
解析：选C 由题意可得2－z z ＝2－(－1＋i )－1－i
＝
(3－i )(－1＋i )
(－1－i )(－1＋i )
＝－1＋2i ，故选C.
5．已知a ∈R ，i 是虚数单位．若z ＝a ＋ 3 i ，z ·z ＝4，则a ＝( ) A ．1或－1 B ．7或－7 C ．－ 3
D. 3
解析：选A 法一：由题意可知z ＝a －3i ，
∴z ·z ＝(a ＋3i)(a －3i)＝a 2
＋3＝4，故a ＝1或－1. 法二：z ·z ＝|z |2
＝a 2
＋3＝4，故a ＝1或－1.
6．已知复数z 1＝2＋a i(a ∈R)，z 2＝1－2i ，若z 1z 2
为纯虚数，则|z 1|＝( ) A. 2 B ． 3 C ．2
D. 5
解析：选D 由于z 1z 2＝2＋a i 1－2i ＝(2＋a i )(1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＝2－2a ＋(4＋a )i
5
为纯虚数，则a ＝1，则|z 1|
＝5，故选D.
7．已知i 为虚数单位，复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝2－i ，且|z 1|＝|z 2|，则实数a 的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．1或－1
D ．±1或0
解析：选C 因为复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝2－i ，且|z 1|＝|z 2|，所以a 2
＋4＝4＋1，解得a ＝±1，故选C.
8．已知复数z ＝－12＋3
2i ，则z ＋|z |＝( )
A ．－12－32i
B ．－12＋32i
C.12＋32
i D.12－32
i 解析：选D 因为z ＝－12＋32i ，所以z ＋|z |＝－12－3
2
i ＋
⎝ ⎛⎭
⎪⎫－122＋322＝12－32i.
9．设z ＝(2t 2
＋5t －3)＋(t 2
＋2t ＋2)i ，t ∈R ，则以下结论正确的是( ) A ．z 对应的点在第一象限 B ．z 一定不为纯虚数 C.z 对应的点在实轴的下方 D ．z 一定为实数
解析：选C ∵t 2
＋2t ＋2＝(t ＋1)2
＋1＞0，∴z 对应的点在实轴的上方．又∵z 与z 对应的点关于实轴对称．
∴C 项正确．
10．复数2＋i 与复数1
3＋i
在复平面上的对应点分别是A ，B ，若O 为坐标原点，则∠AOB
等于( )
A.π6 B ．π4
C.π3
D.π2
解析：选B ∵
13＋i ＝3－i (3＋i )(3－i )＝310－i 10
， ∴它在复平面上的对应点为B ⎝
⎛⎭
⎪⎫310，－110，
而复数2＋i 在复平面上的对应点是A (2,1)， 显然AO ＝5，BO ＝
1010，AB ＝410
10
. 由余弦定理得cos ∠AOB ＝AO 2＋BO 2－AB 22AO ·BO ＝2
2
，
∴∠AOB ＝π
4
.故选B.
11．已知z 是复数z 的共轭复数，z ＋z ＋z ·z ＝0，则复数z 在复平面内对应的点的轨迹是( )
A ．圆
B ．椭圆
C ．双曲线
D ．抛物线
解析：选A 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，则z ＝x －y i ， 代入z ＋z ＋z ·z ＝0，得x ＋y i ＋x －y i ＋x 2
＋y 2
＝0， 即x 2
＋y 2
＋2x ＝0，整理得(x ＋1)2
＋y 2
＝1. ∴复数z 在复平面内对应的点的轨迹是圆．
12．已知复数z ＝(x －2)＋y i(x ，y ∈R)在复平面内对应的向量的模为3，则y x
的最大值是( )
A.32
B ．
33
C.12
D. 3
解析：选D 因为|(x －2)＋y i|＝3，所以(x －2)2
＋y 2
＝3，所以点(x ，
y )在以C (2,0)为圆心，以3为半径的圆上，如图，由平面几何知识－3≤
y
x
≤ 3.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确的答案填在题中的横线上)
13．计算：2－i
3
1－2i ＝________.
解析：
2－i
3
1－2i ＝2＋i 1－2i ＝(2＋i )(1＋2i )(1－2i )(1＋2i )
＝
2＋2i ＋i ＋2i 2
1－(2i )
2
＝3i
3
＝i. 答案：i
14．i 是虚数单位，若复数(1－2i)(a ＋i)是纯虚数，则实数a 的值为________． 解析：由(1－2i)(a ＋i)＝(a ＋2)＋(1－2a )i 是纯虚数可得a ＋2＝0,1－2a ≠0，解得a ＝－2.
答案：－2
15．设复数a ＋b i(a ，b ∈R)的模为3，则(a ＋b i)(a －b i)＝________. 解析：∵|a ＋b i|＝a 2
＋b 2
＝3， ∴(a ＋b i)(a －b i)＝a 2
＋b 2＝3. 答案：3
16．若关于x 的方程x 2＋(2－i)x ＋(2m －4)i ＝0有实数根，则纯虚数m ＝________. 解析：设m ＝b i(b ∈R 且b ≠0)，则x 2
＋(2－i)x ＋(2b i －4)i ＝0，化简得(x 2
＋2x －2b )＋
(－x －4)i ＝0，即⎩⎪⎨
⎪⎧
x 2
＋2x －2b ＝0，
－x －4＝0，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝－4，
b ＝4，
故m ＝4i.
答案：4i
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知复数z 1＝2－3i ，z 2＝15－5i (2＋i )2，求：(1)z 1z 2；(2)z 1
z 2.
解：因为z 2＝15－5i (2＋i )2＝
15－5i 3＋4i ＝(15－5i )(3－4i )(3＋4i )(3－4i )＝25－75i
25＝1－3i ， 所以(1)z 1z 2＝(2－3i)(1－3i)＝－7－9i. (2)z 1z 2＝
2－3i 1－3i ＝(2－3i )(1＋3i )(1－3i )(1＋3i )＝11＋3i 10＝1110＋310
i.
18．(本小题满分12分)设复数z ＝lg(m 2
－2m －2)＋(m 2
＋3m ＋2)i(m ∈R)，试求m 取何值时？
(1)z 是实数. (2)z 是纯虚数．
(3)z 对应的点位于复平面的第一象限．
解：(1)由m 2
＋3m ＋2＝0且m 2
－2m －2＞0，解得m ＝－1或m ＝－2，复数表示实数． (2)当实部等于零且虚部不等于零时，复数表示纯虚数． 由lg(m 2
－2m －2)＝0，且m 2
＋3m ＋2≠0， 求得m ＝3，故当m ＝3时，复数z 为纯虚数．
(3)由lg(m 2
－2m －2)＞0，且m 2
＋3m ＋2＞0，解得m ＜－2或m ＞3，故当m ＜－2或m ＞3时，复数z 对应的点位于复平面的第一象限．
19．(本小题满分12分)已知复数z 满足(1＋2i)z ＝4＋3i. (1)求复数z ；
(2)若复数(z ＋a i)2
在复平面内对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围． 解：(1)∵(1＋2i)z ＝4＋3i ，
∴z ＝4＋3i 1＋2i ＝(4＋3i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝10－5i
5
＝2－i ，∴z ＝2＋i.
(2)由(1)知z ＝2＋i ，则(z ＋a i)2
＝(2＋i ＋a i)2
＝[2＋(a ＋1)i]2
＝4－(a ＋1)2
＋4(a ＋1)i ，
∵复数(z ＋a i)2
在复平面内对应的点在第一象限，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
4－(a ＋1)2
>0，
4(a ＋1)>0，
解得－1<a <1，
即实数a 的取值范围为(－1,1)．
20．(本小题满分12分)已知复数z 1满足(1＋i)z 1＝－1＋5i ，z 2＝a －2－i ，其中i 为虚数单位，a ∈R ，若|z 1－z 2|<|z 1|，求a 的取值范围．
解：因为z 1＝－1＋5i 1＋i ＝2＋3i ，z 2＝a －2－i ，z 2＝a －2＋i ，
所以|z 1－z 2|＝|(2＋3i)－(a －2＋i)|＝|4－a ＋2i| ＝(4－a )2
＋4，
又因为|z 1|＝13，|z 1－z 2|<|z 1|， 所以(4－a )2＋4<13， 所以a 2
－8a ＋7<0，解得1<a <7. 所以a 的取值范围是(1,7)．
21．(本小题满分12分)设z 为复数z 的共轭复数，满足|z －z |＝2 3. (1)若z 为纯虚数，求z . (2)若z －z 2
为实数，求|z |.
解：(1)设z ＝b i(b ∈R 且b ≠0)，则z ＝－b i ， 因为|z －z |＝23，则|2b i|＝23，即|b |＝3， 所以b ＝±3，所以z ＝±3i.
(2)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z ＝a －b i ， 因为|z －z |＝23，则|2b i|＝23，即|b |＝3， 因为z －z 2
＝a ＋b i －(a －b i)2
＝a －a 2
＋b 2
＋(b ＋2ab )i.
z －z 2为实数，
所以b ＋2ab ＝0.
因为|b |＝3，所以a ＝－1
2，
所以|z |＝ ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－122＋(±3)2＝132.
22．(本小题满分12分)已知复数z 满足|z |＝2，z 2
的虚部是2. (1)求复数z ；
(2)设z ，z 2
，z －z 2
在复平面上的对应点分别为A ，B ，C ，求△ABC 的面积．
解：(1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z 2
＝a 2
－b 2
＋2ab i ，由题意得a 2
＋b 2
＝2且2ab ＝2，解得a ＝b ＝1或a ＝b ＝－1，所以z ＝1＋i 或z ＝－1－i.
(2)当z ＝1＋i 时，z 2
＝2i ，z －z 2
＝1－i ， 所以A (1,1)，B (0,2)，C (1，－1)， 所以S △ABC ＝1.
当z ＝－1－i 时，z 2
＝2i ，z －z 2
＝－1－3i ， 所以A (－1，－1)，B (0,2)，C (－1，－3)， 所以S △ABC ＝1.。