2019-2020年八年级数学下学期开学摸底考B卷(北师大版)(含解析)

2019-2020年八年级数学下学期开学摸底考（北师大版B卷）
一、选择题（本题共计6小题，每题3分，共计18分）
1．如图是我国几家银行的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A．B．C．D．
【答案】A
2．在如图所示的方格纸（1格长为1个单位长度）中，△ABC的顶点都在格点上，将△ABC绕点O按顺时针方向旋转得到△A'B'C'，使各顶点仍在格点上，则其旋转角的度数是
A．30°B．60°C．90°D．120°
【答案】C
3．如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，AB的垂直平分线OD交AB于点O，交AC于点D，连接B D．有下列结论：①∠C=2∠A；②BD平分∠ABC；③S△BCD=S△BO D．其中正确的选项是
A．①③B．②③C．①②③D．①②
【答案】D
4．如图，一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）与正比例函数y=ax（a为常数，且a≠0）相交于点P，则不等式kx+b<ax的解集是
A．x>1B．x<1C．x>2D．x<2
【答案】C
5．如图，小亮为了测量校园里教学楼AB 的高度，将测角仪CD 竖直放置在与教学楼水平距离为318的地面上，若测角仪的高度为1.5m ，测得教学楼的顶部A 处的仰角为30°，则教学楼的高度是 A ．55.5m
B ．19.5m
C ．54m
D ．19m
【答案】B
6．如图，在△ABC 中，点O 是∠ABC 和∠ACB 两个内角平分线的交点，过点O 作EF ∥BC 分别交AB ，AC 于点E ，F ，已知△ABC 的周长为8，BC =x ，，△AEF 的周长为y ，则表示y 与x 的函数图象大致是
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A
二、填空题（本题共计6小题，每题3分，共计18分） 7．不等式组⎩⎨⎧≥->+3
42
5x x 的最小整数解是________．
【答案】–2
8．已知点M （a –1，2a +3）关于原点对称的点在第四象限，则a 的取值范围是________． 【答案】12
3
<<-
a 9．如图，将Rt △ABC 的斜边AB 绕点A 顺时针旋转α（0°<α<90°）得到AE ，直角边AC 绕点A 逆时针旋转β（0°<β<90°）得到AF ，连结EF ．若AB =3，AC =2，且α＋β=∠B ，则EF =________．
C
【答案】13
10．若关于x 的一元一次不等式组⎩
⎨⎧>+<-20
2m x m x 有解，则m 的取值范围为________．
【答案】3
2
>
m 11．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA ，OB 组成，两根棒在O 点相连并可绕O 转动，C 点固定，OC =CD =DE ，点D 、E 可在槽中滑动．若∠BDE =75°，则∠CDE 的度数是________．
【答案】80°
12．如图，在平面直角坐标系xoy 中，A （4，0），B （0，3），点P 在x 轴上且在点A 的右边，使得△ABP 是等腰三角形．则点P 坐标是________．
【答案】（–1，0），（–4，0），（
8
7
，0）． 三、（本题共计5小题，每小题6分，共30分）
13．（6分）解不等式组⎪⎩⎪⎨⎧->-++≥+9)1(4312
3x x x ，
并把解集在数轴上表示出来．
【答案】
解：{x+3
2
≥x+1，
3+4（x−1）>−9，
由①得x≤1，
由②得x>−2，
故不等式组的解为−2<x≤1．
把解集在数轴上表示出来为：
14．（6分）如图，△ABC是边长为2的等边三角形，将△ABC沿直线BC向右平移，使点B与点C重合，得到△DCE，连接BD，交AC于点F．求线段BD的长．
【答案】
解：∵正△ABC沿直线BC向右平移得到正△DCE，
∴BE=2BC=4，BC=CD，DE=AC=2，∠E=∠ACB=∠DCE=∠ABC=60∘，
∴∠DBE=1
2
∠DCE=30∘，
∴∠BDE=90∘．
在Rt△BDE中，由勾股定理得BD=√BE2−DE2=√42−22=2√3．
15．（6分）如图所示，由5个大小完全相同的小正方形摆成如图形状，请按要求作图．
（1）在图1中补画一个小正方形，使它成为一个轴对称图形，且对称轴只有1条；
（2）在图2中补画一个小正方形，使它成为一个轴对称图形，且对称轴多于1条；
（3）在图3中补画一个小正方形，使它成为一个中心对称图形，但不是轴对称图形．
【答案】
解：（1）如图1所示；
（2）如图1所示；
（3）如图1所示．
16．（6分）某商店从厂家选购甲、乙两种商品，其进货单价分别为120元和100元，在出售时，甲种商品每件售价145元，乙种商品每件售价120元．甲、乙两种商品共购进40件，要使这两种商品全部售出后总利润不少于870元，甲种商品至少要购进多少件？
【答案】
解：设甲种商品购进x件，乙种商品购进（40−x）件．根据题意得：
（145−120）x+（120−100）（40−x）≥870，
解这个不等式得x≥14．
答：甲种商品至少要购进14件．
17．（6分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D．
(1)若∠C=42°，求∠BAD的度数；
(2)若点E在边AB上，EF∥AC交AD的延长线于点F．求证：AE=FE．
【答案】
（1）解：∵AB=AC，AD⊥BC于点D，
∴∠BAD=∠CAD，∠ADC=90∘，
又∠C=42∘，
∴∠BAD=∠CAD=90∘−42∘=48∘；
（2）证明：∵AB=AC，AD⊥BC于点D，
∴∠BAD=∠CAD，
∵EF // AC，
∴∠F=∠CAD，
∴∠BAD =∠F ， ∴AE =FE ．
四、（本题共计3小题，每小题8分，共24分） 18．（8分）若关于想x ，y 的二元一次方程组⎩⎨⎧+=+-=-3
325
23a y x a y x 的解都是正数．
（1）求a 的取值范围；
（2）若上述二元一次方程组的解是一个等腰三角形的一条腰和底边的长，且这个等腰三角形的周长为9，求a 的值． 【答案】
解{3x −y =2a −5x +2y =3a +3
得∴{x =a −1y =a +2，
∵若关于x 、y 的二元一次方程组{3x −y =2a −5
x +2y =3a +3的解都为正数，
∴a >1；
∵二元一次方程组的解是一个等腰三角形的一条腰和一条底边的长，这个等腰三角形的周长为9， ∴2（a −1）+a +2=9， 解得：a =3，
∴x =2，y =5，不能组成三角形， ∴2（a +2）+a −1=9， 解得：a =2，
∴x =1，y =4，能组成等腰三角形， ∴a 的值是2．
19．（8分）如图，△ABC 中，AD ⊥BC ，EF 垂直平分AC ，交AC 于点F ，交BC 于点E ，且BD =DE ，连接AE ．
（1）若∠BAE =40°，求∠C 的度数；
（2）若△ABC 的周长为14cm ，AC =6cm ，，求DC 长． 【答案】
∵AD⊥BC，BD=DE，EF垂直平分AC，
∴AB=AE=EC，
∴∠C=∠CAE，
∵∠BAE=40∘，
（180∘−40∘）=70∘，
∴∠AED=1
2
∠AED=35∘；
∴∠C=1
2
∵△ABC周长14cm，AC=6cm，
∴AB+BC=8cm，
∴AB+BE+EC=8cm，
即2DE+2EC=8cm，
∴DE+EC=4cm，
∴DC=DE+EC=4cm．
20．（8分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
（1）请画出将△ABC向左平移4个单位长度后得到的图形△A1B1C1，直接写出点A1的坐标；（2）请画出△A1B1C1绕原点O顺时针旋转90°的图形△A2B2C2，直接写出点A2的坐标；
（3）在x轴上找一点P，使P A+PB的值最小，请直接写出点P的坐标．
【答案】
解：（1）根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点的位置，然后顺次连接即可，如图所示：
点A1的坐标（−3， 1）；
（2）找出点A1、B1、C1绕原点O顺时针旋转90∘点的位置，然后顺次连接即可，如图所示：
点A2的坐标（1， 3）；
（3）找出A的对称点A′（1， −1），
连接BA′，与x轴交点即为P；
如图所示：
点P坐标为（2， 0）．
五、（本题共计2小题，每小题9分，共18分）
21．（9分）我市部分地区近年出现持续干旱现象，为确保生产生活用水，某村决定由村里提供一点，村民捐一点的办法筹集资金维护和新建一批储水池．该村共有243户村民，准备维护和新建的储水池共有20个，费用和可供使用的户数及用地情况如下表：
已知可支配使用土地面积为106m2，若新建储水池x个，新建和维护的总费用为y万元．
（1）求y与x之间的函数关系；
（2）满足要求的方案各有几种；
（3）在以上备选方案中，若、若每户捐2000元时，村里出资最多和最少分别是多少？
【答案】
由题意得y=4x+3（20−x），
即y=x+60；
由题意得5x+18（20−x）≥243，
化简得13x≤117，即x≤9．
又∵4x+6（20−x）≤106，解得x≥7，
∴7≤x≤9
又∵x为整数．
故满足要求的方案有三种：
新建7个，维修13个；
新建8个，维修12个；
新建9个，维护11个；
由y=x+60知y随x的增大而增大．
∴当x=7时，y最小=67（万），
当x=9时，y最大=69（万）．
而居民捐款共243×0.2=48.6（万）．
∴村里出资最多为20.4万，最少为18.4万．
22．（9分）在△ABC中，∠ABC=120°，线段AC绕点A逆时针旋转60°得到线段AD，连接CD，BD交AC 于P．
(1)若∠BAC=α，直接写出∠BCD的度数________．（用含α的代数式表示）；
(2)求AB，BC，BD之间的数量关系；
(3)当α=30°时，直接写出AC，BD的关系．
【答案】
（1）120°–α
(2)延长BA，使AE=BC，连接DE，如图所示，
由(1)知△ADC是等边三角形，
∴AD=CD，
∴∠DAB+∠DCB=∠DAB+∠DAE=180∘．
∴DCB=∠DAE.
∴△ADE≅△CDB.
∴BD=DE=BE.
∴BD=AB+BC.
(3)AC，BD的数量关系是BD=2√3
AC.
3
位置关系是:AC⊥BD于点P，
证明如下：由(2)知，α=30∘时，∠DAB=90∘，
∴∠DCB=90∘，∠BAC=∠BCA=30∘，
∴AB=BC，
又AD=DC，
∴AC⊥BD，
DP =√3AP ，BP =√33
AP ，AP =PC . ∴BD =BP +DP =4√33AP =2√33
AC . 六、（本题共计1小题，每小题12分，共12分）
23.（12分）如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC 和DEC 重合放置，其中∠C =90°，∠B =∠E =30°.
（1）操作发现：如图2，固定△ABC ，使△DEC 绕点C 旋转，当点D 恰好落在AB 边上时， ①△ADC 是______三角形；
②设△BDC 的面积为S 1，△AEC 的面积为S 2，那么S 1与S 2的数量关系是________．
（2）猜想论证当△DEC 绕点C 旋转到如图3所示的位置时，
小明猜想（1）中S 1与S 2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC 和△AEC 中BC ，CE 边上的高，请你证明小明的猜想．
（3）拓展探究，如图4，已知∠ABC =60°，点D 是角平分线上一点，BD =CD =4，DE ∥AB 交BC 于点E （如图4）．若在射线BA 上存在点F ，使S △DCF =S △BDE ，请直接写出相应的BF 的长．
【答案】
（1）等边，S 1=S 2
（2）如图3，∵△DEC 是由△ABC 绕点C 旋转得到，
∴BC =CE ，AC =CD ，
∵∠ACN +∠BCN =90∘，∠DCM +∠BCN =180∘−90∘=90∘，
∴∠ACN =∠DCM ，
∵在△ACN 和△DCM 中，
{∠ACN =∠DCM ，
∠CMD =∠N =90∘，AC =CD ，
∴△ACN ≅△DCM （AAS ），
∴AN =DM ，
∴△BDC 的面积和△AEC 的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即S 1=S 2.
（3）BF 的长为43√3或8
3√3．
理由：如图4，作EG ⊥BD 于G ，延长CD 交AB 于H ，
∵BD 平分∠ABC ，∠ABC =60∘，DE // AB ，
∴∠ABD =∠DBE =∠BDE =30∘，
∴ED =EB ，
∴BG =12BD =2，
∴Rt △BEG 中，GE =√3=23√3， ∵DB =DC =4，
∴∠BCD =∠DBC =30∘，
又∵∠ABC =60∘，
∴∠CHB =90∘，即CH ⊥AB ，
∵S △DCF =S △BDE ，DB =DC ，
∴△CDF 中CD 边上的高等于23√3，
当点F 在HB 上时，HF =23√3，
又∵Rt △BDH 中，DH =12BD =2，∠DBH =30∘，
∴BH =√3DH =2√3，
∴BF =BH −FH =2√3−23√3=43√3；
当点F ′在BH 延长线上时，同理可得HF ′=23√3，
∴BF ′=BH +F ′H =2√3+23√3=83√3．
综上所述，BF 的长为43√3或83√3．。