2020届河北衡水密卷新高考原创考前信息试卷(六)理科数学

2020届河北衡水密卷新高考原创考前信息试卷（六）
理科数学
★祝考试顺利★ 注意事项：
1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合{|1}A x x =<，2{|log 1}B x x =<，则（ ） A ．{|1}A B x x =<U B ．{|2}A B x x =<U
C ．{|1}A B x x =<I
D ．{|2}A B x x =<I
2．i 是虚数单位，4i
1i
z =-，则||z =（ ） A ．2
B ．22
C ．4
D ．42
3．已知某公司按照工作年限发放年终奖金并且进行年终表彰．若该公司有工作10年以上的员工100人，工作510:年的员工400人，工作05:年的员工200人，现按照工作年限进行分层抽样，在公司的所有员工中抽取28人作为员工代表上台接受表彰，则工作510:年的员工代表有（ ） A ．8人
B ．16人
C ．4人
D ．24人
4．已知向量||2=a ，||1=b ，(2)2⋅-=a a b ，则a 与b 的夹角为（ ） A ．30︒
B ．60︒
C ．90︒
D ．150︒
5．长方体1111ABCD A B C D -，1AB =，2AD =，13AA =，则异面直线11A B 与1AC 所成角的
余弦值为（ ） A ．
1414
B ．
83
14
C ．
1313
D ．
13
6．执行下图的程序框图，若输出的结果为10，则判断框中的条件是（ ）
A ．4?i <
B ． 5?i <
C ．6?i <
D ．7?i <
7．函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，0ω>）的部分图象如图所示，将函数()f x 的图象 向左平移
π
6
个单位长度，得到()y g x =的图象，则下列说法不正确的是（ ）
A ．函数()g x 为奇函数
B ．函数()g x 的最大值为3
C ．函数()g x 的最小正周期为π
D ．函数()g x 在π(0,)3
上单调递增
8．随机设置某交通路口亮红绿灯的时间，通过对路口交通情况的调查，确定相邻两次亮红灯与亮绿灯的时间之和为90秒，且一次亮红灯的时间不超过60秒，一次亮绿灯的时间不超过50秒，则亮绿灯的时间不小于亮红灯的时间的概率为（ ） A ．
1
4
B ．
19
C ．
59
D ．
511
9．已知函数1
()1ln f x x x
=
--，则()y f x =的图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．已知圆222x y r +=(0)r >与抛物线22y x =交于A ，B 两点，与抛物线的准线交C ，D 两点，若四边形ABCD 是矩形，则r 等于（ ）
A ．2
2
B 2
C 5
D 511．在ABC △中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知5a =，253
ABC S =△， 且2222cos cos b c a ac C c A +-=⋅+⋅，则sin sin B C +=（ ） A ．3
B 93
C 3
D ．3312．已知函数2
4,0(),
0x x x x f x e x x
⎧+≤⎪
=⎨>⎪⎩，()()g x f x ax =-，若()g x 有4个零点，则a 的取值范围
为（ ）
A ．2
(,4)4
e
B ．(,4)4e
C ．(,)4e
+∞
D ．2
(,)4
e +∞
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．若5
(2)()a
x x x
+-展开式的常数项等于80，则a = ．
14．设x ，y 满足约束条件10103x y x y x -+≥⎧⎪
++≥⎨⎪≤⎩
，则23z x y =-的最小值是 ．
15．已知双曲线2
2
:13
y C x -=的左右焦点分别为1F 、2F ，
点A 在双曲线上，点M 的坐标为2(,0)3，且M 到直线1AF ，2AF 的距离相等，则1||AF = ．
16．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22
:1O x y +=，直线:l y x a =+，过直线l 上点P 作圆O 的
切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，若存在点P 使得32
PA PB PO +=u u u r u u u r u u u r
，则实数a 的取值范围
是 ．
三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）已知数列{}n a 满足132********
n n n a a a a +-+
+++=-L ()n ∈*
N ，4log n n b a =． （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）求数列1
1
{}n n b b +⋅的前n 项和n T ．
18．（12分）如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，
22AD BC ==，90BAD ABC ∠=∠=︒．
（1）证明：PC BC ⊥；
（2）若直线PC 与平面PAD 所成角为30︒，求二面角B PC D --的余弦值．
19．（12分）某学校共有1000名学生，其中男生400人，为了解该校学生在学校的月消费情况，采
取分层抽样随机抽取了100名学生进行调查，月消费金额分布在450~950之间．根据调查的结果
绘制的学生在校月消费金额的频率分布直方图如图所示：
将月消费金额不低于750元的学生称为“高消费群”．
（1）求a的值，并估计该校学生月消费金额的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）现采用分层抽样的方式从月消费金额落在[550,650)，[750,850)内的两组学生中抽取10人，
再从这10人中随机抽取3人，记被抽取的3名学生中属于“高消费群”的学生人数为随机变量X，
求X的分布列及数学期望；
握认为该校学生属于“高消费群”与“性别”有关？
（参考公式：
2
2
()
()()()()
n ad bc
K
a b c d a c b d
-
=
++++
，其中n a b c d
=+++）
20．（12分）已知椭圆
22
22
1
x y
a b
+=(0)
a b
>>的右焦点F与抛物线28
y x
=的焦点重合，且椭圆的
离心率为
3x轴正半轴一点(,0)
m
且斜率为
3
-l交椭圆于A，B两点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）是否存在实数m使以线段AB为直径的圆经过点F，若存在，求出实数m的值；若不存在说明理由．21．（12分）已知函数
1
()ln1
2
m
f x x
x
=+-()
m∈R的两个零点为
1
x，
2
x
12
()
x x
<．（1）求实数m的取值范围；
（2）求证：
12
112
x x e
+>．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
平面直角坐标系中，直线l
的参数方程为1
1
x t y =+⎧⎪⎨
=+⎪⎩(t 为参数)，以原点为极点，x 轴正半轴为 极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22cos 1cos θ
ρθ
=-．
（1）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；
（2）已知与直线l 平行的直线l '过点(2,0)M ，且与曲线C 交于A ，B 两点，试求||||MA MB ⋅．
23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】
设函数()||([0,2])f x x x a =-∈． （1）当1a =时，解不等式()1f x ≥； （2）求证：()2f x ≤．
答 案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】B
【解析】{|1}A x x =<，{|02}B x x =<<，{|01}A B x x =<<I ，{|2}A B x x =<U ． 2．【答案】B 【解析】由题意得4i 4i(1i)
2i(1i)22i 1i (1i)(1i)
z +===+=-+--+，
∴||z ==． 故选B ． 3．【答案】B
【解析】依题意知，该公司的所有员工中工作10年以上、工作510:年、工作05:年的员工人数比例为1:4:2，
所以工作510:年的员工代表有4
28167
⨯=． 4．【答案】B
【解析】∵2
(2)2422⋅-=-⋅=-⋅=a a b a a b a b ，∴1⋅=a b ． 设a 与b 的夹角为θ，则1
cos ||||2
θ⋅=
=a b a b ，
又0180θ︒≤≤︒，∴60θ=︒，即a 与b 的夹角为60︒． 5．【答案】A
【解析】∵1111C D A B ∥，∴异面直线11A B 与1AC 所成的角即为11C D 与1AC 所成的角
11AC D ∠，
在11AC D Rt △中，111C D =
，1AC ==，
∴11111cos 14
C D AC D AC ∠===，故选A ． 6．【答案】B
【解析】由程序框图可知，该程序框图的功能是计算(1)
1232
i i S i +=++++=
L 的值，
又10S =，所以4i =，当15i +=时退出循环，结合选项可知，应填5?i <． 7．【答案】D
【解析】由图可知3A =，35ππ3π
()41234T =--=，
∴πT =，2ω=，将点5π(,3)12代入3sin(2)y x ϕ=+，得π
2π3k ϕ=-+()k ∈Z ，
故π
()3sin(2)3
f x x =-，
向左平移π6个单位长度得ππ
()3sin[2()]3sin 263
y g x x x ==+-=，
故A ，B ，C 正确，故选D ． 8．【答案】A
【解析】设亮绿灯的时间随机设置为t 秒，则50t ≤， 亮红灯的时间为9060t -≤，所以3050t ≤≤， 亮绿灯的时间不小于亮红灯的时间即为45t ≥， 由几何概型的概率公式知：50451
50304
P -==-．
9．【答案】A 【解析】∵1
()1ln f x x x
=
--，∴1ln 0x x --≠，
令()1ln g x x x =--，∵(1)0g =，∴函数的定义域为(0,1)(1,)+∞U ， 可得2
11
()(1ln )x f x x x x -'=-
⋅--， 当(0,1)x ∈时，()0f x '>，函数单调递增； 当(1,)x ∈+∞时，()0f x '<，函数单调递减， ∴A 选项图象符合题意，故选A ． 10．【答案】C
【解析】由题意可得，抛物线的准线方程为1
2
x =-
，画出图形如图所示：
在222
x y r +=(0)r >中，当12x =-
时，则有22
14
y r =-．① 由2
2y x =，得22
y x =，代入222x y r +=，消去x 整理得422
440y y r +-=．②
结合题意可得点A ，D 的纵坐标相等，故①②中的y 相等，
由①②两式消去2
y ，得2
22
2
11()4()404
4
r r r -+--=，
整理得42168150r r --=，解得2
54r =或2
34
r =-（舍去）， ∴5
2
r =
，故选C ． 11．【答案】C
【解析】在ABC △中，
由余弦定理得222222
2
2cos cos 22a b c b c a ac C c A ac c bc ab bc
+-+-⋅+⋅=⋅+⋅=，
∵2222cos cos b c a ac C c A +-=⋅+⋅，∴222b c a bc +-=，
由余弦定理得2221
cos 22
b c a A bc +-==，
∵0πA <<，∴π3
A =
， ∵253ABC S =
△，∴13253
sin 2bc A ==，∴25bc =，即22225b c a +-=， ∵5a =，∴2250b c +=，
由22
25
50bc b c =⎧⎨+=⎩
，解得5b c ==，∴a b c ==， ∴π3B C A ===
，∴π3
sin sin 2sin 233B C +===
【解析】因为()()
g x f x ax
=-有4个零点，即函数()
y f x
=与y ax
=有4个交点，
当0
x>时，
2
(1)
()
x
x e
f x
x
-
'=，
所以(0,1)
x∈时，()0
f x
'<，()
f x单调递减；(1,)
x∈+∞时，()0
f x
'>，()
f x单调递增，
画出()
f x的图象如图所示，
求出()
f x的过原点的切线，
()
f x在0
x=处的切线1l的斜率为2
100
(4)|(24)|4
x x
k x x x
==
'
=+=+=，
设()
f x的过原点的切线
2
l的切点为0
(,)
x
e
P x
x0
(0)
x≠，切线
2
l的斜率为
2
k，
又
2
(1)
()
x x
e x e
x x
-
'=，故
22
2
(1)x
x
x e
k
x
e
x
k
x
⎧-
=
⎪
⎪⎪
⎨
⎪
⎪=
⎪⎩
，解得02
x=，
2
24
e
k=，
由图可知()
y f x
=与y ax
=有4个交点，则
21
k a k
<<，所以
2
4
4
e
a
<<．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．【答案】2
【解析】5
()
a
x
x
-的通项公式为55525
155
C(1)(1)C
r r r r r r r r r
r
T a x x a x
----
+
=⋅⋅⋅-⋅=-⋅，
∴5
(2)()
a
x x
x
+-展开式中的常数项为23
5
C80
a=，∴2
a=．
【解析】根据题意，画出可行域与目标函数线如图所示，
由
10
3
x y
x
-+=
⎧
⎨
=
⎩
，得
3
4
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
，
由图可知目标函数在点(3,4)
A取最小值23346
z=⨯-⨯=-．15．【答案】4
【解析】由题意得1(2,0)
F-，
2
(2,0)
F，
点A在双曲线的右支上，又点M的坐标为
2
(,0)
3
，
∴
1
28
||2
33
F M=+=，
2
24
||2
33
MF=-=．
画出图形如图所示，
1
MP AF
⊥，
2
MQ AF
⊥，垂足分别为P，Q，
由题意得||||
MP MQ
=，∴AM为
12
F AF
∠的平分线，
∴11
22
||||
2
||||
AF F M
AF MF
==，即
12
||2||
AF AF
=，
又12
||||2
AF AF
-=，∴
1
||4
AF=，
2
||2
AF=．故答案为4．
16．【答案】[-
【解析】取AB 中点H ，OH AB ⊥，
∵PA PB =，H 为AB 中点，∴90AHP ∠=︒，
∴O ，H ，P 三点在一条直线上，2PA PB PH +=u u u r u u u r u u u r
，322PH PO =u u u r u u u r ，34
PH PO =u u u r u u u r ，
设||3PH x =u u u r ，∴||4PO x =u u u r
，∴OH x =，
在AHO Rt △中，得222r OH AH -=，221AH x =-，①，
在OAP 中运用射影定理得2AH OH PH =⋅，2233AH x x x =⋅=，②， 联立①②，2231x x =-，2
14x =
，1
2
x =，||42OP x ==， ∴P 点以O 为圆心，2r =的圆上，P 轨迹2
2
4x y +=，
又∵P 在y x a =+上，直线与圆有交点，∴2
d =≤，∴a -≤≤．
三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤．
17．【答案】（1）21
2n n a -=；（2）421
n n
T n =
+． 【解析】（1）∵
13
212122222
n n n a a a a +-+
+++=-L ，
∴
31212222222
n
n n a a a a --+
+++=-L (2)n ≥， 两式相减得
11
2222
n n n
n n a +-=-=，∴212n n a -=(2)n ≥． 又当1n =时，12a =满足上式，∴21
2n n a -=()n ∈*N ． ∴数列{}n a 的通项公式21
2n n a -=．
（2）由（1）得21
421
log 2
2
n n n b --==
，
∴
11411
2()(21)(21)2
121
n n b b n n n n +==-⋅-+-+， ∴1223111111111
2[(1)()()]3352121
n n n T b b b b b b n n +=
+++=-+-++-⋅⋅-+L L 142(1)2121
n
n n =-
=++． 18．【答案】（1）证明见解析；（2）27
7
-
． 【解析】（1）取AD 的中点为O ，连接PO ，CO ， ∵PAD △为等边三角形，∴PO AD ⊥．
底面ABCD 中，可得四边形ABCO 为矩形，∴CO AD ⊥，
∵0PO CO =I ，∴AD ⊥平面POC ，PC ⊂平面POC ，AD PC ⊥． 又AD BC ∥，所以PC BC ⊥．
（2）由面PAD ⊥面ABCD ，PO AD ⊥知，
∴PO ⊥平面ABCD ，OP ，OD ，OC 两两垂直，直线PC 与平面PAD 所成角为30︒， 即30CPO ∠=︒，
由2AD =，知3PO =，得1CO =．
分别以OC u u u r ，OD u u u r ，OP uuu r
的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系O xyz -，
则3)P ，(0,1,0)D ，(1,0,0)C ，(1,1,0)B -，
(0,1,0)BC =u u u r ，(1,0,3)PC =u u u r ，(1,1,0)CD =-u u u r
，
设平面PBC 的法向量为(,,)x y z =n ，∴0
30y x z =⎧⎪⎨=⎪⎩
，则3,0,1)=n ．
设平面PDC的法向量为(,,)
x y z
=
m
，∴
30
x y
x z
-=
⎧⎪
⎨
-=
⎪⎩
，则(3,3,1)
=
m．
427
|cos,|
||||7
27
⋅
<>===
m n
m n
m n
，
∴二面角B PC D
--的余弦值为
27
7
-．
19．【答案】（1）0.0035
a=，平均数：670元；（2）分布列见解析，
9
()
10
E X=；（3）列联表见解析，有97.5%的把握认为．
【解析】（1）由题意知100(0.00150.00250.00150.001)1
a
++++=，解得0.0035
a=，样本的平均数为：
5000.156000.357000.258000.159000.10670
x=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元），
所以估计该校学生月消费金额的平均数为670元．
（2）由题意，从[550,650)中抽取7人，从[750,850)中抽取3人．
随机变量X的所有可能取值有0，1，2，3，
3
37
3
10
C C
()
C
k k
P X k
-
==(0,1,2,3)
k=，
所以，随机变量X的分布列为
随机变量X的数学期望
35632119
()0123
12012012012010
E X=⨯+⨯+⨯+⨯=．
（3）由题可知，样本中男生40人，女生60人，属于“高消费群”的25人，其中女生10人；得出以下22
⨯列联表：
222
()100(10251550)50
5.556 5.024()()()()406025759
n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯===≈>++++⨯⨯⨯，
所以有97.5%的把握认为该校学生属于“高消费群”与“性别”有关．
20．【答案】（1）22
162
x y +=；
（2）存在，3m =． 【解析】（1）∵抛物线2
8y x =的焦点是(2,0)，∴(2,0)F ，∴2c =，
又∵椭圆的离心率为
3
3
c a =，
∴a =2
6a =，则2
2
2
2b a c =-=，故椭圆的方程为22
162
x y +=．
（2）由题意得直线l
的方程为)y x m =-(0)m >，
由22
162)x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
，消去y 得222260x mx m -+-=， 由2
2
48(6)0Δm m =-->
，解得m -< 又0m >
，∴0m <<
设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则12x x m +=，21262
m x x -=，
∴2
121212121[)][)]()333
m m y y x m x m x x x x =-⋅-=-++
． ∵11(2,)FA x y =-u u u r ，22(2,)FB x y =-u u u r
，
∴212121212462(3)(2)(2)()43333
m m m m FA FB x x y y x x x x +-⋅=--+=-+++=
u u u r u u u r ， 若存在m 使以线段AB 为直径的圆经过点F ，则必有0FA FB ⋅=u u u r u u u r
， 即
2(3)
03
m m -=，解得0m =或3m =．
又0m <<3m =，
即存在3m =使以线段AB 为直径的圆经过点． 21．【答案】（1）(0,)2
e
；（2）证明见解析．
【解析】（1）22
12()22m x m
f x x x x -'=-
+=， 当0m ≤时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上单调递增，不可能有两个零点； 当0m >时，由()0f x '>，可解得2x m >；由()0f x '<，可解得02x m <<， ∴()f x 在(0,2)m 上单调递减，在(2,)m +∞上单调递增，
∴min 1
()(2)ln 2122
m f x f m m m ==
+-， 要使得()f x 在(0,)+∞上有两个零点，则
11ln 21022m +-<，解得02
e m <<， 则m 的取值范围为(0,)2
e
．
（2）令1t x =
，则1111
()ln()1ln 122
f x m mt t x x =--=--， 由题意知方程1ln 102mt t -
-=有两个根，即方程ln 2
2t m t
+=有两个根， 不妨设111t x =
，221t x =，令ln 2()2t h t t
+=， 则当1(0,)t e ∈时，()h t 单调递增，1(,)t e
∈+∞时，()h t 单调递减，
综上可知，121
0t t e >
>>， 令2()()()x h x h x e
ϕ=--，下面证()0x ϕ<对任意的1(0,)x e
∈恒成立，
2
22
1ln()
21ln ()()()222()x x e x h x h x e x x e
ϕ-----'''=+-=+-， ∵1(0,)x e
∈，∴ln 10x -->，2
2
2()x x e
<-，
∴22222
1ln()2ln ()
1ln ()2222()2()2()x x x x e e x x x x e e e
ϕ--------'>+=---， 又∵1(0,)x e
∈，∴22
2
21()()2x x
e x x e e +--≤=， ∴()0x ϕ'>，则()x ϕ在1
(0,)e 单调递增，∴1()()0x e
ϕϕ<=，
∵2222()()()0t h t h t e ϕ=--<，∴222()()h t h t e
<-，
又∵12()()h t h t =，∴122()()h t h t e <-，∴122t t e >-，∴122
t t e
+>，即12112x x e +>． 22．【答案】（1
10y -+-=，2
2y x =；（2）
16
3
． 【解析】（1）把直线l
的参数方程化为普通方程为1)1y x =-+，
10y -+=． 由2
2cos 1cos θρθ
=
-，可得22
(1cos )2cos ρθρθ-=， ∴曲线C 的直角坐标方程为2
2y x =．
（2）直线l 的倾斜角为
π3，∴直线l '的倾斜角也为π
3
，
又直线l '过点(2,0)M ，∴直线l '
的参数方程为1222
x t y ⎧
'=+⎪⎪
⎨⎪'=⎪⎩（t '为参数），
将其代入曲线C 的直角坐标方程可得234160t t ''--=，
设点A ，B 对应的参数分别为1
t '，2t '， 由一元二次方程的根与系数的关系知1
2163t t ''=-，1
24
3
t t ''+=， ∴16
||||3
MA MB ⋅=
． 23．【答案】（1）1[,)2
+∞；（2）证明见解析．
【解析】（1）当1a =时，解不等式()1f x ≥等价于|1||1|1x x +--≥， ①当1x ≤-时，不等式化为111x x --+-≥，原不等式无实数解； ②当11x -<<时，不等式化为111x x ++-≥，解得
1
12
x ≤<； ③当1x ≥时，不等式化为111x x +-+≥，解得1x ≥， 综上所述，不等式()1f x ≥的解集为1[,)2
+∞．
（2）()|((|f x x x ≤+-=
，
∵[0,2]a ∈，∴(2)a a +-≥22[(2)]a a +-≥，
∴24≤2≤， ∴()2f x ≤．。