湛河区第四高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

湛河区第四高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 方程（x 2﹣4）2+（y 2﹣4）2=0表示的图形是（ ） A ．两个点 B ．四个点 C ．两条直线 D ．四条直线
2． 已知集合M={0，1，2}，则下列关系式正确的是（ ） A ．{0}∈M B ．{0}∉M C ．0∈M
D ．0⊆M
3． 如图是七位评委为甲，乙两名参赛歌手打出的分数的茎叶图（其中m ，n 为数字0～9中的一个），则甲歌手得分的众数和乙歌手得分的中位数分别为a 和b ，则一定有（ ）
A ．a ＞b
B ．a ＜b
C ．a=b
D ．a ，b 的大小与m ，n 的值有关
4． （文科）要得到()2log 2g x x =的图象，只需将函数()2log f x x =的图象（ ）
A ．向左平移1个单位
B ．向右平移1个单位
C ．向上平移1个单位
D ．向下平移1个单位 5． 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是
A 、28+
B 、30+
C 、56+
D 、 60+
6． 如果执行如图所示的程序框图，那么输出的a=（ ）
A ．2
B ．
C ．﹣1
D ．以上都不正确
7． 已知直线l ∥平面α，P ∈α，那么过点P 且平行于l 的直线（ ）
A ．只有一条，不在平面α内
B ．只有一条，在平面α内
C ．有两条，不一定都在平面α内
D ．有无数条，不一定都在平面α内
8． 用反证法证明命题：“已知a 、b ∈N *，如果ab 可被5整除，那么a 、b 中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为（ ）
A ．a 、b 都能被5整除
B ．a 、b 都不能被5整除
C ．a 、b 不都能被5整除
D ．a 不能被5整除
9． （2016广东适应）已知双曲线的顶点为椭圆12
2
2
=+y x 长轴的端点，且双曲线的离心率与椭圆的离心率的乘积等于1，则双曲线的方程是（ ）
A ．122=-y x
B ．122=-x y
C ．222=-y x
D ．222=-x y
10．如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数．从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
11．已知向量(,2)a m =，(1,)b n =-（0n >），且0a b ⋅=，点(,)P m n 在圆225x y +=上，则
|2|a b +=（ ）
A B ． C ． D ．
12．已知x ＞1，则函数的最小值为（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
二、填空题
13．如图所示，圆C 中，弦AB 的长度为4，则AB AC ×的值为_______．
【命题意图】本题考查平面向量数量积、垂径定理等基础知识，意在考查对概念理解和转化化归的数学思想． 14．若双曲线的方程为4x 2﹣9y 2=36，则其实轴长为 ．
15．过原点的直线l 与函数y=的图象交于B ，C 两点，A 为抛物线x 2=﹣8y 的焦点，则|+
|= ．
16．某城市近10年居民的年收入x 与支出y 之间的关系大致符合=0.9x+0.2（单位：亿元），预计今年该城市居民年收入为20亿元，则年支出估计是 亿元．
17．已知
a 、
b 、
c 分别是ABC ∆三内角A B C 、、的对应的三边，若C a A c cos sin -=，则
3
s i n c o s (
)4
A B π
-
+的取值范围是___________． 【命题意图】本题考查正弦定理、三角函数的性质，意在考查三角变换能力、逻辑思维能力、运算求解能力、转化思想．
18．在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AB=CD=2，则四面体ABCD 的体积的最大值为 ．
三、解答题
19．如图，椭圆C ：
+
=1（a ＞b ＞0）的离心率e=
，且椭圆C 的短轴长为2．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设P ，M ，N 椭圆C 上的三个动点．
（i ）若直线MN 过点D （0，﹣），且P 点是椭圆C 的上顶点，求△PMN 面积的最大值；
（ii ）试探究：是否存在△PMN 是以O 为中心的等边三角形，若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由．
20．已知在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是边长为4的正方形，△PAD 是正三角形，平面PAD ⊥平面ABCD ，E 、F 、G 分别是PA 、PB 、BC 的中点． （I ）求证：EF ⊥平面PAD ；
（II ）求平面EFG 与平面ABCD 所成锐二面角的大小．
21．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知椭圆C 的极坐标方程为2
2212
3cos 4sin ρθθ
=
+，点12,F F
为其左、右焦点，直线的参数方程为
22
x y ⎧=+⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩（为参数，t R ∈）. （1）求直线和曲线C 的普通方程；
（2）求点12,F F 到直线的距离之和.
22．2014年“五一”期间，高速公路车辆较多．某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km/t ）
分成六段：[60，65），[65，70），[70，75），[75，80），[80，85），[85，90）后得到如图所示的频率分布直方图．
（Ⅰ）求这40辆小型车辆车速的众数及平均车速（可用中值代替各组数据平均值）；
（Ⅱ）若从车速在[60，70）的车辆中任抽取2辆，求车速在[65，70）的车辆至少有一辆的概率．
23．【盐城中学2018届高三上第一次阶段性考试】已知函数f （x ）=ax 2+lnx （a ∈R ）． （1）当a=
1
2
时，求f （x ）在区间[1，e]上的最大值和最小值； （2）如果函数g （x ），f 1（x ），f 2（x ），在公共定义域D 上，满足f 1（x ）＜g （x ）＜f 2（x ），那么就称g （x ）为f 1（x ），f 2（x ）
的“活动函数”．已知函数()()
22
1121-a ln ,2f x a x ax x ⎛
⎫=-++ ⎪⎝⎭
.()22
122f x x ax =+。

若在区间（1，+∞）上，函数f （x ）是f 1（x ），f 2（x ）的“活动函数”，求a 的取值范围．
24．在平面直角坐标系xoy 中，已知圆C 1：（x+3）2
+（y ﹣1）2
=4和圆C 2：（x ﹣4）2
+（y ﹣5）2
=4
（1）若直线l过点A（4，0），且被圆C1截得的弦长为2，求直线l的方程
（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，求所有满足条件的点P的坐标．
湛河区第四高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）一、选择题
1．【答案】B
【解析】解：方程（x2﹣4）2+（y2﹣4）2=0
则x2﹣4=0并且y2﹣4=0，
即，
解得：，，，，
得到4个点．
故选：B．
【点评】本题考查二元二次方程表示圆的条件，方程的应用，考查计算能力．
2．【答案】C
【解析】解：对于A、B，是两个集合的关系，不能用元素与集合的关系表示，所以不正确；
对于C，0是集合中的一个元素，表述正确．
对于D，是元素与集合的关系，错用集合的关系，所以不正确．
故选C
【点评】本题考查运算与集合的关系，集合与集合的关系，考查基本知识的应用
3．【答案】C
【解析】解：根据茎叶图中的数据，得；
甲得分的众数为a=85，
乙得分的中位数是b=85；
所以a=b．
故选：C．
4．【答案】C
【解析】
试题分析：()2222
==+=+，故向上平移个单位.
g x x x x
log2log2log1log
考点：图象平移．
5．【答案】B
【解析】从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥，
所求表面积为三棱锥四个面的面积之和。

利用垂直关系和三角形面积公式，可得：
====
S S S S
10,10,10,
后右左
底
S=+B．
因此该几何体表面积30
6．【答案】B
【解析】解：模拟执行程序，可得
a=2，n=1
执行循环体，a=，n=3
满足条件n≤2016，执行循环体，a=﹣1，n=5
满足条件n≤2016，执行循环体，a=2，n=7
满足条件n≤2016，执行循环体，a=，n=9
…
由于2015=3×671+2，可得：
n=2015，满足条件n≤2016，执行循环体，a=，n=2017
不满足条件n≤2016，退出循环，输出a的值为．
故选：B．
7．【答案】B
【解析】解：假设过点P且平行于l的直线有两条m与n
∴m∥l且n∥l
由平行公理4得m∥n
这与两条直线m与n相交与点P相矛盾
又因为点P在平面内
所以点P且平行于l的直线有一条且在平面内
所以假设错误．
故选B．
【点评】反证法一般用于问题的已知比较简单或命题不易证明的命题的证明，此类题目属于难度较高的题型．8．【答案】B
【解析】解：由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证．
命题“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除”的否定是“a，b都不能被5整除”．
故选：B．
9．【答案】D
【解析】∵椭圆的端点为(0,∴
c=，b=D．
依题意双曲线的实半轴a=∴2
10．【答案】C
【解析】解：从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，有（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5）（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5）共10种，
其中只有（3，4，5）为勾股数，
故这3个数构成一组勾股数的概率为．
故选：C
11．【答案】A
【解析】
考点：1、向量的模及平面向量数量积的运算；2、点和圆的位置关系.
12．【答案】B
【解析】解：∵x＞1∴x﹣1＞0
由基本不等式可得，
当且仅当即x﹣1=1时，x=2时取等号“=”
故选B
二、填空题
13．【答案】8
14．【答案】6．
【解析】解：双曲线的方程为4x2﹣9y2=36，即为：
﹣=1，
可得a=3，
则双曲线的实轴长为2a=6．
故答案为：6．
【点评】本题考查双曲线的实轴长，注意将双曲线方程化为标准方程，考查运算能力，属于基础题．15．【答案】4．
【解析】解：由题意可得点B和点C关于原点对称，∴|+|=2||，
再根据A为抛物线x2=﹣8y的焦点，可得A（0，﹣2），
∴2||=4，
故答案为：4．
【点评】本题主要考查抛物线的方程、简单性质，属于基础题，利用|+|=2||是解题的关键．16．【答案】18.2
【解析】解：∵某城市近10年居民的年收入x和支出y之间的关系大致是=0.9x+0.2，
∵x=20，
∴y=0.9×20+0.2=18.2（亿元）．
故答案为：18.2．
【点评】本题考查线性回归方程的应用，考查学生的计算能力，考查利用数学知识解决实际问题的能力，属于基础题．
17．【答案】
【解析】
18．【答案】．
【解析】解：过CD作平面PCD，使AB⊥平面PCD，交AB与P，
设点P到CD的距离为h，
则有V=×2×h××2，
当球的直径通过AB与CD的中点时，h最大为2，
则四面体ABCD的体积的最大值为．
故答案为：．
【点评】本小题主要考查棱柱、棱锥、棱台的体积、球内接多面体等基础知识，考查运算求解能力，考查空间想象力．属于基础题．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由题意得解得a=2，b=1，
所以椭圆方程为．
（Ⅱ）（i）由已知，直线MN的斜率存在，
设直线MN方程为y=kx﹣，M（x1，y1），N（x2，y2）．
由得（1+4k2）x2﹣4kx﹣3=0，
∴x1+x2=，x1x2=，
又．
所以S△PMN=|PD|•|x1﹣x2|=
=．
令t=，则t≥，k2
=
所以S△PMN=，
令h（t）=，t∈[，+∞），则h′（t）=1﹣=＞0，所以h（t）在[，+∞），单调递增，
则t=，即k=0时，h（t）的最小值，为h（）=，
所以△PMN面积的最大值为．
（ii）假设存在△PMN是以O为中心的等边三角形．
（1）当P在y轴上时，P的坐标为（0，1），则M，N关于y轴对称，MN的中点Q在y轴上．
又O为△PMN的中心，所以，可知Q（0，﹣），M（﹣，），N（，）．
从而|MN|=，|PM|=，|MN|≠|PM|，与△PMN为等边三角形矛盾．
（2）当P在x轴上时，同理可知，|MN|≠|PM|，与△PMN为等边三角形矛盾．
（3）当P不在坐标轴时，设P（x0，y0），MN的中点为Q，则k OP=，
又O为△PMN的中心，则，可知．
设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=2x Q=﹣x0，y1+y2=2y Q=﹣y0，
又x12+4y12=4，x22+4y22=4，两式相减得k MN=，
从而k MN=．
所以k OP•k MN=•（）=≠﹣1，
所以OP与MN不垂直，与等边△PMN矛盾．
综上所述，不存在△PMN是以O为中心的等边三角形．
【点评】本小题考查点到直线的距离公式、椭圆的性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、分析解决问题能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、特殊与一般思想、化归与转化思想
20．【答案】
【解析】解：（I）证明：∵平面PAD⊥平面ABCD，AB⊥AD，
∴AB⊥平面PAD，
∵E、F为PA、PB的中点，
∴EF∥AB，
∴EF⊥平面PAD；
（II）解：过P作AD的垂线，垂足为O，
∵平面PAD⊥平面ABCD，则PO⊥平面ABCD．
取AO中点M，连OG，EO，EM，
∵EF∥AB∥OG，
∴OG即为面EFG与面ABCD的交线
又EM ∥OP ，则EM ⊥平面ABCD ．且OG ⊥AO ， 故OG ⊥EO
∴∠EOM 即为所求 在RT △EOM 中，EM=OM=1
∴tan ∠EOM=
，故∠EOM=60°
∴平面EFG 与平面ABCD 所成锐二面角的大小是60°．
【点评】本题主要考察直线与平面垂直的判定以及二面角的求法．解决第二问的难点在于找到两半平面的交线，进而求出二面角的平面角．
21．【答案】（1）直线的普通方程为2y x =-，曲线C 的普通方程为22
143
x y +=；（2）． 【解析】
试题分析：（1）由公式cos sin x
y ρθρθ=⎧⎨=⎩
可化极坐标方程为直角坐标方程，利用消参法可化参数方程为普通方程；
考点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程与普通方程的互化，点到直线的距离公式． 22．【答案】
【解析】解：（1）众数的估计值为最高的矩形的中点，即众数的估计值等于77.5… 这40辆小型车辆的平均车速为：
（km/t ）
… （2）从图中可知，车速在[60，65）的车辆数为：m 1=0.01×5×40=2（辆） 车速在[65，70）的车辆数为：m 2=0.02×5×40=4（辆）
设车速在[60，65）的车辆设为a ，b ，车速在[65，70）的车辆设为c ，d ，e ，f ，则所有基本事件有：（a ，b ），（a ，c ），（a ，d ），（a ，e ），（a ，f ），（b ，c ），（b ，d ），（b ，e ），（b ，f ）（c ，d ），（c ，e ），（c ，f ），（d ，e ），（d ，f ）（e ，f ）共15种
其中车速在[65，70）的车辆至少有一辆的事件有：（a ，c ），（a ，d ），（a ，e ），（a ，f ），（b ，c ），（b ，d ），（b ，e ），（b ，f ），（c ，d ），（c ，e ），（c ，f ），（d ，e ），（d ，f ），（e ，f ），共14种
所以，车速在[65，70）的车辆至少有一辆的概率为
．…
【点评】本题考查频率分布直方图的应用，古典概型概率公式的应用，基本知识的考查．
23．【答案】（1）()()2max
min 11,.22e f x f x =+= （2）a 的范围是11,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
.
【解析】试题分析：（1）由题意得f（x）=1
2x2+lnx，()
2
'
11
f0
x
x
x
x x
+
=+=>，∴f（x）在区间[1，e]上为
增函数，即可求出函数的最值．
试题解析：
（1）当时，，；
对于x∈[1，e]，有f'（x）＞0，∴f（x）在区间[1，e]上为增函数，
∴，．
（2）在区间（1，+∞）上，函数f（x）是f1（x），f2（x）的“活动函数”，则f1（x）＜f（x）＜f2（x）令
＜0，对x∈（1，+∞）恒成立，
且h（x）=f1（x）﹣f（x）=＜0对x∈（1，+∞）恒成立，
∵
若，令p′（x）=0，得极值点x1=1，，
当x2＞x1=1，即时，在（x2，+∞）上有p′（x）＞0，
此时p（x）在区间（x2，+∞）上是增函数，并且在该区间上有p（x）∈（p（x2），+∞），不合题意；
当x2＜x1=1，即a≥1时，同理可知，p（x）在区间（1，+∞）上，有p（x）∈（p（1），+∞），也不合题意；
若，则有2a﹣1≤0，此时在区间（1，+∞）上恒有p′（x）＜0，
从而p（x）在区间（1，+∞）上是减函数；
要使p（x）＜0在此区间上恒成立，只须满足，
所以≤a≤．
又因为h′（x）=﹣x+2a﹣=＜0，h（x）在（1，+∞）上为减函数，
h（x）＜h（1）=+2a≤0，所以a≤
综合可知a的范围是[，]．
24．【答案】
【解析】
【分析】（1）因为直线l过点A（4，0），故可以设出直线l的点斜式方程，又由直线被圆C1截得的弦长为2，根据半弦长、半径、弦心距满足勾股定理，我们可以求出弦心距，即圆心到直线的距离，得到一个关于直线斜率k的方程，解方程求出k值，代入即得直线l的方程．
（2）与（1）相同，我们可以设出过P点的直线l1与l2的点斜式方程，由于两直线斜率为1，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，故我们可以得到一个关于直线斜率k的方程，解方程求出k 值，代入即得直线l1与l2的方程．
【解答】解：（1）由于直线x=4与圆C1不相交；
∴直线l的斜率存在，设l方程为：y=k（x﹣4）（1分）
圆C1的圆心到直线l的距离为d，∵l被⊙C1截得的弦长为2
∴d==1（2分）
d=从而k（24k+7）=0即k=0或k=﹣
∴直线l的方程为：y=0或7x+24y﹣28=0（5分）
（2）设点P（a，b）满足条件，
由题意分析可得直线l1、l2的斜率均存在且不为0，
不妨设直线l1的方程为y﹣b=k（x﹣a），k≠0
则直线l2方程为：y﹣b=﹣（x﹣a）（6分）
∵⊙C1和⊙C2的半径相等，及直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，
∴⊙C1的圆心到直线l1的距离和圆C2的圆心到直线l2的距离相等
即=（8分）
整理得|1+3k+ak﹣b|=|5k+4﹣a﹣bk|
∴1+3k+ak﹣b=±（5k+4﹣a﹣bk）即（a+b﹣2）k=b﹣a+3或（a﹣b+8）k=a+b﹣5
因k的取值有无穷多个，所以或（10分）解得或
这样的点只可能是点P1（，﹣）或点P2（﹣，）（12分）。