高考数学《概率与统计》专项练习(解答题含答案)(可编辑修改word版)

500x - 5700，x ＞19 《概率与统计》专项练习（解答题）
1．（2016 全国Ⅰ卷，文 19，12 分）某公司计划购买 1 台机器，该种机器使用三年后即被淘
汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个 200 元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个 500 元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：
件件
242016
10
16
17
18
19
20
21
件件件件件件件件
记 x 表示 1 台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y 表示 1 台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），n 表示购机的同时购买的易损零件数． （Ⅰ）若 n ＝19，求 y 与 x 的函数解析式；
（Ⅱ）若要求“需更换的易损零件数不大于 n ”的频率不小于 0.5，求 n 的最小值；
（Ⅲ）假设这 100 台机器在购机的同时每台都购买 19 个易损零件，或每台都购买 20 个易
损零件，分别计算这 100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买 1 台机器的同时应购买 19 个还是 20 个易损零件？
解：（Ⅰ）当 x ≤19 时，y ＝3800
当 x ＞19 时，y ＝3800＋500(x －19)＝500x －5700
∴y 与 x 的函数解析式为 y ＝{
3800， x ≤ 19
(x ∈N )
（Ⅱ）需更换的零件数不大于 18 的频率为 0.46，不大于 19 的频率为 0.7
∴n 的最小值为 19
（Ⅲ）①若同时购买 19 个易损零件
则这 100 台机器中，有 70 台的费用为 3800，20 台的费用为 4300，10 台的费用为 4800
1
∴平均数为100(3800×70＋4300×20＋4800×10)＝4000 ②若同时购买 20 个易损零件
则这 100 台机器中，有 90 台的费用为 4000，10 台的费用为 4500 1
∴平均数为100(4000×90＋4500×100)＝4050 ∵4000＜4050
∴同时应购买 19 个易损零件
2．（2016 全国Ⅱ卷，文 18，12 分）某险种的基本保费为 a （单位：元），继续购买该险种的投保
∑ i =1
7
( y - y )
2
i
7 n
（Ⅱ）记 B 为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的 160％”，求
P (B )的估计值；
（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费估计值． 解：（Ⅰ）若事件 A 发生，则一年内出险次数小于 2
60 + 50 则一年内险次数小于 2 的频率为 P (A )＝ ∴P (A )的估计值为 0.55
200
＝0.55
（Ⅱ）若事件 B 发生，则一年内出险次数大于 1 且小于 4
30 + 30 一年内出险次数大于 1 且小于 4 的频率为 P (B )＝ ∴P (B )的估计值为 0.3
（Ⅲ）续保人本年度的平均保费为
1
200
＝0.3
200(0.85a ×
60＋a ×50＋1.25a ×30＋1.5a ×30＋1.75a ×20＋2a ×10)＝1.1925a
3．（2016 全国Ⅲ卷，文 18，12 分）下图是我国 2008 年至 2014 年生活垃圾无害化处理量（单位：
亿吨）的折线图
（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系，请用相关系数加以说明； （Ⅱ）建立 y 关于 t 的回归方程（系数精确到 0.01），预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理
量． 附注：
7
7
参考数据： ∑ y i = 9.32 ， ∑t i y i = 40.17 ，
＝0.55， ≈2.646．
i =1
i =1
∑(t
i
- t )( y i - y )
参考公式：相关系数 r
回归方程y ＝a ＋b t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
∑(t
i
- t )( y i - y )
b ＝ i =1
，a ＝y －bt
n
∑(t
i
i =1
- t )2
1
解：（Ⅰ）由折线图中数据得t ＝7(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4… ................... 1 分
n
28 ∑ i =1
7
( y - y )
2
i
∑ n (t - t ) ( y - y )2
2 i i =1
∑ i n
i =1
∑ n
(t - t )2
⨯
( y - y )2
i i =1
∑ i n
i =1
28 ⨯ 0.55
∑ i =1
7
(t - t )
2
i 7
7 7
7
由附注中参考数据得
∑(t
i
- t )( y i - y ) ＝ ∑t i y i － t ∑ y i ＝40.17－4×9.32＝2.89
i =1
i =1
i =1
………………………………………………………………………2 分
＝ ＝........................................................................................................ 3 分
＝0.55… ...................................................................4 分
∑(t
i
- t )( y i - y )
2.89
2.89
r ＝
=1
＝
＝
≈0.99
………………………………………………………………………5 分
∵y 与 t 的相关关系 r 近似为 0.99，说明 y 与 t 的线性相关程度相当高 ∴可以用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系 ....................................... 6 分 ∑ y
i
（Ⅱ）y ＝ i =1
＝
9.32≈1.331 ....................................................................... 7 分
7
7
n
∑(t i - t )(
y i - y ) b ＝
i =1
n
2.89
＝ 28 ≈0.103................................................... 8 分
∑(t
i
i =1
- t )2
a ＝y －bt ≈1.331－0.103×4≈0.92 ................................................... 9 分
∴y 关于 t 的回归方程为y ＝0.92＋0.103t ....................................... 10 分 2016 年对应的 t ＝9… ....................................................................... 11 分 把 t ＝9 代入回归方程得y ＝0.92＋0.103×9＝1.82 ∴预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量将约 1.82 亿吨 ........... 12 分
4．（2015 全国Ⅰ卷，文 19，12 分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 x (单位：千元)对年销售量 y (单位：t )和年利润 z (单位：千元)的影响．对近 8 年的年宣传费 x i 和年销售量 y i (i ＝1，2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．
x
y
w
8
8
8 8
∑ (x i －x )2
∑ (w i －w )2
∑ (x i －x )(y i －y ) ∑ (w i －w )(y i －y )
i ＝1
i ＝1
i ＝1
i ＝1
n (t 1 - 4) + (t - 4) + (t - 4) + (t - 4) + (t - 4) + (t - 4) + (t - 4) 2 2 2 2 2 2 2
2 3 4 4 6 7
x 8 ∑ ( i
x w 1 表中 w i ＝ i ， ＝ ∑ w i ．
i ＝1
（Ⅰ）根据散点图判断，y ＝a ＋bx 与 y ＝c ＋d x 哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立 y 关于 x 的回归方程；
（Ⅲ）已知这种产品的年利润 z 与 x ，y 的关系为 z ＝0.2y －x ．根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：
（ⅰ）年宣传费 x ＝49 时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ⅱ）年宣传费 x 为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据(u 1，v 1)，(u 2，v 2)，…，(u n ，v n )，其回归直线 v ＝α＋βu 的斜率和截距的
n
∑ (u i －u )(v i －v )
i ＝1 最小二乘估计分别为β＝
n
u －u )2
i ＝1 ，α＝v －βu ．
解：（Ⅰ）y ＝c ＋d x 适宜作为 y 关于 x 的回归方程类型
………………………………………………………………………………………2 分 （Ⅱ）令 w ＝ x ，先建立 y 关于 w 的回归方程
8
^
∑ (w i －w)(y i －y)
108.8
由于d ＝
i ＝1 ＝ ＝68… ....................... 3 分
8 － 2
1.6 ∑ (w
i w) i ＝1
^
^
c ＝y －dw ＝563－68×6.8＝100.6… ....................... 4 分
^
∴y 关于 w 的回归方程为y ＝100.6＋68w ........................... 5 分
^
∴y 关于 x 的回归方程为y ＝100.6＋68 （Ⅲ）（ⅰ）由（Ⅱ）知，当 x ＝49 时
^
x
........................... 6 分 y 的预报值y ＝100.6＋68 49＝576.6… ....................... 7 分
^
z 的预报值z ＝576.6×0.2－49＝66.32… ....................... 9 分
（ⅱ）根据（Ⅱ）的结果知
^
z 的预报值z ＝0．2(100.6＋68 13.6
x )－x ＝－x ＋13.6 ^
x ＋20.12……10 分 ∴当 ＝ 2 ＝6.8，即 x ＝46.24 时，z 取得最大值 ........................... 11 分 ∴年宣传费为 46.24 千元时，年利润的预报值最大 ........................... 12 分
5．（2015 全国Ⅱ卷，文 18，12 分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从 A ，B 两地区分别
随机调查了 40 个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到 A 地区用户满意度评分的频率分布直方图和 B 地区用户满意度评分的频数分布表．
^
^ ^
（Ⅰ）作出B 地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；
满意度评分低于70 分70 分到89 分不低于90 分
满意度等级不满意满意非常满意
由．解：（Ⅰ）
…………4 分
B 地区的平均值高于A 地区的平均值............... 5 分
B 地区比较集中，而A 地区比较分散............... 6 分
（Ⅱ）A 地区不满意的概率大 ............... 7分
记C A表示事件：“A 地区用户的满意度等级为不满意”
C B表示事件：“B 地区用户的满意度等级为不满意” ................... 9分
由直方图得P(C A)＝(0.01＋0.02＋0.03)×10＝0.6…........... 10 分
P(C B)＝(0.005＋0.02)×10＝0.25…........... 11 分
∴A 地区不满意的概率大 ............... 12 分
6．（2014 全国Ⅰ卷，文18，12 分）从某企业生产的某种产品中抽取100 件，测量这些产品的一
质量指标值分组[75，85) [85，95) [95，105) [105，115) [115，125)
频数 6 26 38 22 8
（Ⅱ）估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代
100 方差为 S 2 2 2 2 表)；
（Ⅲ）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于 95
的产品至少要占全部产品 80%”的规定？
解：（Ⅰ）
…………4 分
（Ⅱ）平均数为x ＝80×0.06＋90×0.26＋100×0.38＋110×0.22＋120×0.08＝100
1
＝ [6×(80－100) ＋26×
(90－100) ＋38×(100－100) ＋22×(110－100)2＋8×(120－100)2] ＝104
∴平均数为 100，方差为 104… ........... 8 分 （Ⅲ）质量指标值不低于 95 的比例为 0.38＋0.22＋0.08＝0.68… ........... 10 分
∵0.68＜0.8… ........... 11 分
∴不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于 95 的产品至少要占全部产品的 80%”的规定 ............... 12 分
7．（2014 全国Ⅱ卷，文 19，12 分）某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了 50 位市
（Ⅱ）分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于 90 的概率； （Ⅲ）根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评
价． 解：（Ⅰ）甲的评分由小到大排序，排在第 25，26 位的是 75，75
75＋75
∴样本中位数为 2 ＝75 ∴甲的中位数是 75
乙的评分由小到大排序，排在第 25，26 位的是 66，68
66＋68 ∴样本中位数为 2 ＝67 ∴乙的中位数是 67 （Ⅱ）甲的评分高于 90
5 0.1 的概率为 ＝
50
20
20
10
10
乙的评分高于9080.16
的概率为＝
50
∴甲、乙的评分高于90 的概率分别为0.1，0.16
（Ⅲ）甲的中位数高于对乙的中位数
甲的标准差要小于对乙的标准差
甲的评价较高、评价较为一致，对乙的评价较低、评价差异较大
8．（2013 全国Ⅰ卷，文18，12 分）为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A 药，B 药)的疗效，随机地选取20 位患者服用A 药，20 位患者服用B 药，这40 位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)．试验的观测结果如下：
服用A 药的20 位患者日平均增加的睡眠时间：
0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5
2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9
3.0 3.1 2.3 2.4
服用B 药的20 位患者日平均增加的睡眠时间：
3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4
1.6 0.5 1.8 0.6
2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5
（Ⅰ）分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？
（Ⅱ）根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？
解：（Ⅰ）设A 的平均数为x，B 的平均数为y
1
x＝(0.6＋1.2＋1.2＋1.5＋1.5＋1.8＋2.2＋2.3＋2.3＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋2.7＋2.8＋29.
＋3.0＋3.1＋3.2＋3.5)＝2.3
1
y＝(0.5＋0.5＋0.6＋0.8＋0.9＋1.1＋1.2＋1.2＋1.3＋1.4＋1.6＋1.7＋1.8＋1.9＋2.1＋24.
＋2.5＋2.6＋2.7＋3.)＝1.6
∴x＞y
∴A 药的疗效更好
（Ⅱ）茎叶图如下：
从茎叶图可以看出
7
A 的结果有的叶集中在茎2，3 上
7
B 的结果有的叶集中在茎0，1 上
∴A 药的疗效更好
9．（2013 全国Ⅱ卷，文19，12 分）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t 该产品获利润500 元，未售出的产品，每1t 亏损300 元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130t 该农产品，以X(单位：t，100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．
（Ⅰ）将T 表示为X 的函数；
（Ⅱ）根据直方图估计利润T 不少于57 000 元的概率．
∴T ＝{
85，n ≥ 17 100(55×10 85，n ≥ 17 100(55×10
解：（Ⅰ）当 X ∈[100，130)时，T ＝500X －300(130－X )＝800X －39000
当 X ∈[130，150]时，T ＝500×130＝65000
800X －39000，100 ≤ X ＜130 65000，130 ≤ X ≤ 150
（Ⅱ）由（Ⅰ）知利润 T 不少于 57000 元，当且仅当 120≤X ≤150
由直方图知需求量 X ∈[120，150]的频率为 0.7
∴下一个销售季度内的利润 T 不少于 57000 元的概率的估计值为 0.7
10．（2012 全国卷，文 18，12 分）某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然
后以每枝 10 元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理． （Ⅰ）若花店一天购进17 枝玫瑰花，求当天的利润y (单位：元)关于当天需求量n (单位：枝，n ∈N )
的函数解析式；
（Ⅱ
（ⅰ(单位：元)
的平均数；
（ⅱ）若花店一天购进 17 枝玫瑰花，以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发
生的概率，求当天的利润不少于 75 元的概率．
解：（Ⅰ）当日需求量 n ≥17 时，利润 y ＝85
当日需求量 n ＜17 时，利润 y ＝10n －85
所以 y 关于 n 的函数解析式为 y ＝{
10n －85，n ＜17
(n ∈N ) （Ⅱ）（ⅰ）解法一：
由表格可得
有 10 天的日利润为 5×14－5×3＝55 元有 20 天的日利润为 5×15－5×2＝65 元有 16 天的日利润为 5×16－5×1＝75 元
有 16＋15＋13＋10＝54 天的日利润为 85 元
∴这 100 天的日利润的平均数为 1
＋65×20＋75×16＋85×54)＝76.4 （ⅰ）解法二：
由（Ⅰ）y ＝{
10n －85，n ＜17
(n ∈N )得
当 n ＝14 时，10 天的日利润为 10n －85＝10×14－85＝55 元当 n ＝15 时，20 天的日利润为 10n －85＝
10×15－85＝65 元当 n ＝16 时，16 天的日利润为 10n －85＝10×16－85＝75 元当 n ≥17 时，54 天的日利润为 85 元
∴这 100 天的日利润的平均数为 1
＋65×20＋75×16＋85×54)＝76.4 （ⅱ）利润不低于 75 元，当且仅当日需求量不少于 16 枝
∴当天的利润不少于 75 元的概率为 P ＝0.16＋0.16＋0.15＋0.13＋0.1＝0.7
11．（2011 全国卷，文 19，12 分）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明
{
100
质量越好，且质量指标值大于或等于 102 的产品为优质品．现用两种新配方(分别称为 A 配方和 B 配方)做试验，各生产了 100 件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：
（Ⅱ）已知用 B 配方生产的一件产品的利润 y (单位：元)与其质量指标值 t 的关系式为
－2，t ＜94
y ＝ 2，94 ≤ t ＜102，估计用 B 配方生产的一件产品的利润大于 0 的概率，并求用 B 配
4，t ≥ 102
方生产的上述 100 件产品平均一件的利润．
解：（Ⅰ）A 22＋8
配方的优质品的频率为 100 ＝0.3
∴A 配方的优质品率为 0.3
32＋10
B 配方的优质品的频率为 100 ＝0.42 ∴B 配方的优质品率为 0.42
（Ⅱ）用 B 配方的利润大于 0，当且仅当 t ≥94
∵t ≥94 的频率为 0.96
∴B 配方的利润大于 0 的概率为 0.96
1
B 配方的利润为 ×[4×(－2)＋54×2＋42×4]＝2.68(元)。