2008年高考数学(文)试题及答案(浙江卷)

2008年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）
文科数学试卷
第Ⅰ卷 (共50分)
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合{}{},21|,0|≤≤-=>=x x B x x A 则B A = (A){}1|-≥x x (B) {}2|≤x x
(C) {}20|≤<x x
(D) {}21|≤≤-x x
(2)函数1)cos (sin 2
++=x x y 的最小正周期是
（A ）
2
π （B ）π
(C)
2
3π (D) 2π
(3)已知a ,b 都是实数，那么“a 2
>b 2
”是“a >b ”的
（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 （4）已知{a n }是等比数列，a 1=2,a 4=4
1
,则公比q=
(A)2
1-
(B)-2
(C)2
(D)
2
1 (5)已知则且,2,0,0=+≥≥b a b a
(A)2
1≤
ab (B) 2
1≥
ab (C)22
2≥+b a
(D) 32
2≤+b a
(6)在(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)的展开式中，含x 4
的项的系数是
（A ）-15 （B ）85 （C ）-120 （D ）274 （7）在同一平面直角坐标系中，函数}[)2,0)(232cos(ππ∈+=x x y 的图象和直线2
1=y 的交点个数是 （A ）0
（B ）1 （C ）2
（D ）4
（8）若双曲线122
22=-b
y a x 的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2，则双曲线的离心率
是
（A ）3
（B ）5
（C ）3
（D ）5
（9）对两条不相交的空间直线a 与b ,必存在平面α,使得
（A ）αα⊂⊂b a ,
（B ）b a ,α⊂∥α
（C ）αα⊥⊥b a ,
(D)αα⊥⊂b a ,
(10)若,0,0≥≥b a 且当⎪⎩
⎪
⎨⎧≤+≥≥1,0,0y x y x 时,恒有1≤+by ax ,则以a,b 为坐标的点P(a,b)所形成
的平面区域的面积是
(A)
2
1 (B)
4
π (C)1 (D)
2
π 第Ⅱ卷(共100分)
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。

（11）已知函数=-+=)1(|,2|)(2
f x x x f 则 . (12)若==+θθπ
2cos ,5
3
)2sin(
则 . (13)已知F 1、F 2为椭圆
19
252
2=+y x 的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点
若|F 2A |+|F 2B |=12，则|AB |= 。

（14）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c 。

若,cos cos )3(C a A c b =-则cos A = .
(15)如图，已知球O 的面上四点A 、B 、C 、D ，DA ⊥平面ABC 。

AB ⊥BC ，DA=AB=BC=3，则球O 的体积等于 。

（16）已知a 是平面内的单位向量，若向量b 满足b ·(a -b )=0, 则|b |的取值范围是
（17）用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是 （用数字作答）。

三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

（18）（本题14分）已知数列{x n }的首项x 1=3,通项x n =2n p-np(n ∈N *
，p ，p 为常数)，且x 1,x 4，x 5成等差数列，求：
（Ⅰ）p ,q 的值；
(Ⅱ)数列{x n }前n 项和S n 的公式。

（19）（本题14分）一个袋中装有大小相同的黑球、白球和红球，已知袋中共有10个球，从中任意摸出1个球，得到黑球的概率是
5
2
;从中任意摸出2个球，至少得到1
个白球的概
率是9
7
.求：
（Ⅰ）从中任意摸出2个球，得到的都是黑球的概率； （Ⅱ）袋中白球的个数。

（20）（本题14分）如图，矩形ABCD 和梯形BEFC 所在平面互相垂直，BE ∥CF ∠BCF =∠CEF =90°,AD =.2,3=EF （Ⅰ）求证：AE ∥平面DCF ；
（Ⅱ）当AB 的长为何值时，二面角A-EF-C 的大小为60°？
（21）（本题15分）已知a 是实数，函数f (x )=x 2
(x -a ).
（Ⅰ）若f 1
(1)=3,求a 的值及曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程； （Ⅱ）求)(x f 在区间[0，2]上的最大值。

（22）（本题15分）已知曲线C 是到点)8
3
,21(-P 和到直线
8
5
-=y 距离相等的点的轨迹，l 是过点Q （-1，0）的直线，
M 是C 上（不在l 上）的动点；A 、B 在l 上，x
MB l MA ⊥⊥,轴（如图）。

（Ⅰ）求曲线C 的方程；
（Ⅱ）求出直线l 的方程，使得|
|||2
QA QB 为常数。

数学（文科）试题参考答案
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。

每小题5分，满分50分。

（1）A （2）B （3）D （4）D （5）C （6）A （7）C （8）D （9）B （10）C 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。

每小题4分，满分28分。

（11）2
（12）25
7-
（13）8 （14）
3
3 （15）
2
9π
（16）[0,1] （17）40
三、解答题
（18）本题主要考查等差数列和等比数列的基本知识，考查运算及推理能力。

满分14分。

（Ⅰ）解：由得,31=x
45451545
5
23,
24,25,2,32528,p q x p q x p q x x x p q p q +==+=++=++=+又且得解得
p =1,q =1
(Ⅱ)解：
.
2
)1(22
)21()222(1
2++-=+++++++=+n n n S n n n
（19）本题主要考查排列组合、概率等基础知识，同时考查逻辑思维能力和数学应用能力。

满分14分。

（Ⅰ）解：由题意知，袋中黑球的个数为.45
2
10=⨯
记“从袋中任意摸出两个球，得到的都是黑球”为事件A ，则
.15
2
)(21024==C C A P
（Ⅱ）解：记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件B 。

设袋中白球的个数为x ，则
,971)(1)(2
21
=-=-=-n
n C C B P B P 得到 x =5
(20)本题主要考查空间线面关系、空间向量的概念与运算等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力。

满分14分。

方法一：
（Ⅰ）证明：过点E 作EG ⊥CF 并CF 于G ，连结DG ，可得四边形BCGE 为矩形。

又ABCD
为矩形，
所以AD ⊥∥EG ,从而四边形ADGE 为平行四边形，故AE ∥DG 。

因为AE ⊄平面DCF ，DG ⊂平面DCF ，所以AE ∥平面DCF 。

（Ⅱ）解：过点B 作BH ⊥EF 交FE 的延长线于H ，连结AH 。

由平面ABCD ⊥平面BEFG ，AB ⊥BC ，得 AB ⊥平面BEFC ， 从而 AH ⊥EF ，
所以∠AHB 为二面角A-EF-C 的平面角。

在Rt △EFG 中，因为
EG =AD =.1,60,2,3==∠=FG CFE EF 所以
又因为CE ⊥EF ，所以CF =4， 从而 BE =CG =3。

于是BH =BE ·sin ∠BEH =
.2
3
3 因为AB =BH ·tan ∠AHB , 所以当AB 为
2
9
时，二面角A-EF-G 的大小为60°. 方法二：
如图，以点C 为坐标原点，以CB 、CF 和CD 分别 作为x 轴、y 轴和z 轴，建立空间直角坐标系C-xyz . 设AB=a,BE=b,CF=c ,
则C （0，0，0），A （),0,0,3(),,0,3B a
).0,,0(),0,,3(c F b E
（Ⅰ）证明：),0,,0(),0,0,3(),,,0(b BE CB a b AE ==-= 所以,,,0,0BE CB AE CB BE CB AE CB ⊥⊥=∙=∙从而 所以CB ⊥平面ABE 。

因为GB ⊥平面DCF ，所以平面ABE ∥平面DCF 故AE ∥平面DCF
（II
）解：因为(0)0)EF c b CE b ==
-，，，， 所以0.2EF CE EF ⋅==
，从而
3()0,2.
b c b -+-=⎧⎪
= 解得b ＝3，c ＝4．
所以(0,4,0)E F .． 设(1,,)n y z =与平面AEF 垂直，
则 n 0,n 0AE EF ⋅=⋅=
，
解得
)n a
=． 又因为BA ⊥平面BEFC ，(0,0,)BA a =
，
所以1
cos ,2
BA n n BA BA n ⋅<>===⋅
， 得到 92a =
． 所以当AB 为9
2
时，二面角A －EFC 的大小为60°．
（21）本题主要考查基本性质、导数的应用等基础知识，以及综合运用所学知识分析问题和
解决问题的能力。

满分15分。

（I ）解：2
'()32f x x ax =-． 因为'(I)323f a =-=， 所以 0a =．
又当0a =时，(I)1,'(I)3f f ==，
所以曲线()(1,(I))y f x f =在处的切线方程为 3x y --2=0． （II ）解：令'()0f x =，解得1220,3
a x x ==． 当
203
a
≤，即a ≤0时，()f x 在[0，2]上单调递增，从而 max (2)84f f a ==-．
当
223
a
≥时，即a ≥3时，()f x 在[0，2]上单调递减，从而 max (0)0f f ==．
当2023a <
<，即03a <<，()f x 在20,3a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在2,23a ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递增，
从而 max
84,0 2.
0,2 3.a a f a -<≤⎧⎪=⎨
<<⎪⎩ 综上所述，max
84, 2.
0, 2.
a a f a -≤⎧⎪=⎨
>⎪⎩ （22）本题主要考查求曲线轨迹方程，两条直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基
本思想方法和综合解题能力。

满分15分。

（I ）解：设(,)N x y 为C 上的点，则
N 到直线58y =-的距离为5
8
y +
．
58
y =+． 化简，得曲线C 的方程为2
1()2
y x x =+． （II ）解法一：
设2(,)2x x
M x +，直线l ：y kx k =+，则(,)B x kx k +，从而
1QB =+．
在Rt △QMA 中，因为
2
2
(1)(1)4
x QM x =++，
22
2
(1)()21x
x k MA +k
+-=． 所以 22
2
2
2
2
(1)(2)4(1)
x QA QM AM kx k +=-=++
QA =
当k ＝2时，
2
QB
QA
=
从而所求直线l 方程为220x y -+
= 解法二：
设2(,)2x π
M x +，直线直线l ：y kx k =+，则(,)B x kx k +，从而 1QB =+
过(1,0)-垂直于l 的直线l 1：(1)1
y=x k
-+，
因为
QA MH =，所以
QA =
2
22(11
2QB
k x QA k x+k
++=， 当k ＝
2时，
2
QB
QA
=，
从而所求直线l 方程为220x y -+=
高考试题来源：/zyk/gkst/。