2020版高考数学一轮复习第6章不等式第2讲课后作业理含解析

第6章 不等式 第2讲
A 组 基础关
1．不等式组⎩⎨⎧
x ＋y ≥2，
2x －y ≤4，
x －y ≥0
所围成的平面区域的面积为( )
A ．3 2
B ．6 2
C ．6
D ．3
答案 D
解析 如图，不等式组所围成的平面区域为△ABC ，其中A (2,0)，B (4，4)，C (1,1)，所求平面区域的面积为S △ABO －S △ACO ＝1
2
×(2×4－2×1)＝
3.
2．(2018·天津高考)设变量，y 满足约束条件⎩⎨⎧
x ＋y ≤5，
2x －y ≤4，
－x ＋y ≤1，
y ≥0，
则目标函数＝3＋5y 的最大值为( ) A ．6 B ．19 C ．21 D ．45 答案 C
解析 在平面直角坐标系中画出可行域ABCD 以及直线l ：3＋5y ＝0，平移直线l ，可知当直线l 过点C (2,3)时，取得最大值为3×2＋5×3＝21.
3．若，y 满足⎩⎨⎧
x －2y ＋7≥0，
2x ＋y ≥3，
3x －y ＋1≤0，
则2＋y 2的最大值为( )
A ．5
B ．11.6
C ．17
D ．25
答案 C
解析 作出目标函数的可行域如图所示，则2＋y 2的最大值在点B (1,4)处取得，故2
＋y 2的最大值为17.
4．(2018·琼海模拟)若实数，y 满足⎩⎨⎧
x ＋y ≤2，
y －x ≤1，
y ≥0，
则＝2·8y 的最大值是( )
A ．4
B ．8
C ．16
D ．32 答案 D
解析
先根据实数，y 满足⎩⎨⎧
x ＋y ≤2，
y －x ≤1，
y ≥0
画出可行域，
由⎩
⎨⎧
x ＋y ＝2，y －x ＝1，解得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，
当直线u ＝＋3y 过点A 时，u 取得最大值是12＋3×3
2
＝5，则＝2·8y ＝2＋3y 的最大值为
25＝32.
5．已知O 为坐标原点，A (2,0)，若点P (，y )满足⎩⎨⎧
x －4y ＋3≤0，
3x ＋5y ≤25，
x －1≥0，
则向量OP →在OA →
方
向上投影的最大值是( )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6 答案 C
解析
由约束条件⎩⎨⎧
x －4y ＋3≤0，
3x ＋5y ≤25，
x －1≥0，
作出可行域如图，
联立⎩
⎨⎧
x －4y ＋3＝0，3x ＋5y ＝25，解得B (5,2)，
∵A (2,0)，∴OA →
＝(2,0)，
由B (5,2)，得OB ＝29，∴cos ∠AOB ＝
529.
由图可知，当P 与B 重合时，向量OP →
在OA →
方向上投影有最大值，等于|OB →
|cos ∠
AOB ＝5.
6．某生产厂家根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周(按5天计算)
生产A ，B ，C 三种产品共15吨(同一时间段内只能生产一种产品)，已知生产这些产品每吨所需天数和每吨产值如表：
则每周最高产值是( ) A ．30万元 B ．40万元 C ．47.5万元 D ．52.5万元
答案 D
解析 设每周生产A 产品吨，B 产品y 吨，则生产C 产品15－－y 吨，产值为万元． 目标函数为＝4＋72y ＋2(15－－y )＝2＋3
2y ＋30，包含的约束条件为：
⎩⎪⎨⎪⎧
12x ＋13y ＋1
4
15－x －y 5，
0≤15－x －y ≤15，0≤x ≤15，0≤y ≤15，
即⎩⎨⎧
3x ＋y －15≤0，
0≤x ＋y ≤15，
0≤x ≤15，0≤y ≤15，
可行域如图所示：
化目标函数＝2＋32y ＋30为y ＝－43＋2z
3
－20.
由图可知，当直线y ＝－43＋2z
3－20过B (0,15)时，直线在y 轴上的截距最大，有最大
值为＝3
2
×15＋30＝52.5.
7．(2018·浙江高考)若，y
满足约束条件⎩⎨⎧
x －y ≥0，
2x ＋y ≤6，
x ＋y ≥2.
则＝＋3y 的最小值是
________，最大值是________．
答案 －2 8
解析 由线性约束条件得可行域如图所示，
求得A 点坐标为(4，－2)，B 点坐标为(2,2)， 所以min ＝4＋3×(－2)＝－2，ma ＝2＋3×2＝8.
8．(2018·河南安阳模拟)已知向量a ＝(2,3)，b ＝(，y )，且变量，y 满足⎩⎨⎧
y ≥0，
y ≤x ，
x ＋y －3≤0，
则＝a ·b 的最大值为________．
答案
152
解析 a ·b ＝2＋3y ，作出题中可行域，如图△OAB 内部(含边界)，
作直线l ：2＋3y ＝0，向上平移直线l .
当直线过点A ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
32，32时，＝2＋3y ＝152为最大值．
9．若实数，y 满足约束条件⎩⎨⎧
2x ＋y －4≤0，
x －2y －2≤0，
x －1≥0，
则
y －1
x
的最小值为________． 答案 －3
2
解析 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，因为y －1
x
表示平面区域
内的点与定点P (0,1)连线的斜率．由图知，点P 与点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12连线的斜率最小，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫y －1x min ＝PA
＝－1
2－11－0＝－3
2
.
B 组 能力关
1．(2019·石家庄质检)在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎨⎧
x ＋y ≤0，x －y ≤0，
x 2
＋y 2
≤r
2
(r 为常数)表示
的平面区域的面积为π，若，y 满足上述约束条件，则＝x ＋y ＋1
x ＋3
的最小值为( )
A ．－1
B ．－52＋17
C.13 D ．－75
答案 D
解析 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由题意，知1
4πr 2＝π，
解得r ＝2.＝
x ＋y ＋1x ＋3＝1＋y －2
x ＋3
，表示可行域内的点与点P (－3,2)连线的斜率加上1，由图知当可行域内的点与点P 的连线与圆相切时斜率最小．设切线方程为y －2＝(＋3)，即－y ＋3＋2＝0，则有|3k ＋2|k 2＋1
＝2，解得＝－125或＝0(舍去)，所以min ＝1－125＝－7
5.故选D.
2．设实数，y 满足⎩⎨⎧
y ≥x ＋1，
2y －4x －1≤0，
2y ＋x －11≤0，
则y 2
x
的取值范围为( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤163，818 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤92，818 C.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤4，818 D.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤4，92 答案 C
解析 令y 2
x
＝a ，其中a >0，则y 2＝a ，当a 越大，抛物线的开口就越大；结合图形可
知，当曲线y 2＝a (>0)，即y ＝ax (>0)与直线y ＝＋1相切时，设切点坐标是(0, ax 0)，于
是有
⎩
⎨⎧
a ·12·1x 0
＝1，ax 0＝x 0＋1，
由此解得0＝1，即切点坐标是(1,2)，且注意到点(1,2)是该平面
区域内的点，此时相应的抛物线开口达到最小，此时y 2x ＝a 取得最小值，最小值是y 2
x
＝a
＝221＝4；当抛物线经过该平面区域内的点A ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
2，92时，相应的抛物线开口达到最大，此时y 2x ＝a 取得最大值，最大值是818.因此，y 2x 的取值范围是⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
4，818.故选C. 3．(2018·辽宁五校协作体模拟)已知实数，y 满足⎩⎨⎧
x －y ＋6≥0，x ＋y ≥0，
x ≤3，
若目标函数＝a
＋y 的最大值为3a ＋9，最小值为3a －3，则实数a 的取值范围是( )
A ．{a |－1≤a ≤1}
B ．{a |a ≤－1}
C ．{a |a ≤－1或a ≥1}
D ．{a |a ≥1}
答案 A
解析
不等式组⎩⎨⎧
x －y ＋6≥0，
x ＋y ≥0，
x ≤3
表示的平面区域如图中阴影部分所示，因为目标函数＝a ＋y 的最大值为3a ＋9，最小值为3a －3，所以目标函数＝a ＋y 的图象经过点A (3,9)时，取得最大值，经过点B (3，－3)时，取得最小值，由图象得，－1≤－a ≤1，所以－1≤a ≤1.故选A.
4．(2018·山西五校3月联考)不等式组⎩⎨⎧
y －1≥0，
x －y ＋2≥0，
x ＋4y －8≤0
表示的平面区域为Ω，直线
＝a (a ＞1)将平面区域Ω分成面积之比为1∶4的两部分，则目标函数＝a ＋y 的最大值为
________．
答案 9
解析 如图，平面区域Ω为△ABC 及其内部，作直线＝a (1<a <4)交BC ，AC 分别于点E ，F .由题意可知S △EFC ＝15S △ABC ，则12(4－a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫－14a ＋2－1＝15×1
2×5×1＝12，可得a ＝2，
所以目标函数＝a ＋y 即为＝2＋y ，易知＝2＋y 在点C (4,1)处取得最大值，则ma ＝9.。