2020-2021初中数学方程与不等式之二元二次方程组难题汇编含解析(1)

2020-2021初中数学方程与不等式之二元二次方程组难题汇编含解析(1)
一、选择题
1．解方程组：22x y 2{x xy 2y 0
-=---=． 【答案】 11x 1y 1=-⎧⎨
=⎩，22x 4y 2=-⎧⎨=-⎩ 【解析】
【分析】
注意到22x xy 2y --可分解为
，从而将原高次方程组转换为两个二元一次
方程组求解.
【详解】
解：由22x xy 2y 0--=得()()x y x 2y 0+-=，即x y 0+=或x 2y 0-=， ∴原方程组可化为x y 2x y 0-=-⎧⎨+=⎩或x y 2x 2y 0
-=-⎧⎨-=⎩. 解x y 2x y 0-=-⎧⎨+=⎩得x 1y 1=-⎧⎨=⎩；解x y 2x 2y 0-=-⎧⎨-=⎩得x 4y 2=-⎧⎨=-⎩
. ∴原方程组的解为11x 1y 1=-⎧⎨=⎩，22
x 4y 2=-⎧⎨=-⎩.
2．已知A ，B 两地公路长300km ，甲、乙两车同时从A 地出发沿同一公路驶往B 地，2小时后，甲车接到电话需返回这条公路上与A 地相距105km 的C 处取回货物，于是甲车立即原路返回C 地，取了货物又立即赶往B 地（取货物的时间忽略不计），结果两下车同时到达B 地，两车的速度始终保持不变，设两车山发x 小时后，甲、乙两车距离A 地的路程分别为y1(km)和y2(km)．它们的函数图象分别是折线OPQR 和线段OR ．
（1）求乙车从A 地到B 地所用的时问；
（2）求图中线段PQ 的解析式（不要求写自变量的取值范围）；
（3）在甲车返回到C 地取货的过程中，当x=
，两车相距25千米的路程.
【答案】（1）5h （2）90360y x =-+（3）67h 30或77h 30
【解析】（1）由图可知，求甲车2小时行驶了180千米的速度，甲车行驶的总路程，再
求甲车从A 地到B 地所花时间；即可求出乙车从A 地到B 地所用的时间；（2）由题意可知，求出线段PQ 的解析式；（3）由路程，速度，时间的关系求出x 的值.
（1）解：由图知，甲车2小时行驶了180千米，其速度为180290÷=（km/h ） 甲车行驶的总路程为： ()2180105300450⨯-+=（km)
甲车从A 地到B 地所花时间为： 450905÷=（h ）
又∵两车同时到达B 地，
∴乙车从A 地到B 地所用用的时间为5h.
（2）由题意可知，甲返回的路程为18010575-=（km)，所需时间为575906÷=（h ），517266+=.∴Q 点的坐标为（105， 176
）.设线段PQ 的解析式为： y kx b =+， 把（2，180）和（105， 176）代入得： 1802{171086
k b k b =+=+，解得90360k b =-=，， ∴线段PQ 的解析式为90360y x =-+.
（3）6730 h 或7730
“点睛”本题考查了一次函数的应用，解题关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数型结合的思想解答问题．
3．解方程组：222321x y x xy y +=⎧⎨-+=⎩
【答案】114313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，222353x y ⎧=⎪
⎪⎨⎪=⎪⎩ 【解析】
【分析】
由②得：2()1x y -=，即得1x y -=或1x y -=-，再同①联立方程组求解即可.
【详解】
222321x y x xy y +=⎧⎨-+=⎩
①② 由②得：2()1x y -=，
∴1x y -=或1x y -=-
把上式同①联立方程组得：
231x y x y +=⎧⎨-=⎩，231x y x y +=⎧⎨-=-⎩
解得：114313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，222353x y ⎧=⎪
⎪⎨⎪=⎪⎩ ∴原方程组的解为114313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，222353x y ⎧=⎪
⎪⎨⎪=⎪⎩．
4．解方程组：222023
x xy y x y ⎧--=⎨+=⎩． 【答案】原方程组的解为1233x y =⎧⎨=-⎩，22653
5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
． 【解析】
分析：由①得出（x+y ）（x-2y ）=0，即可转化成两个二元一次方程组，求出方程组的解即可．
详解：222023x xy y x y ⎧--⎨+⎩＝①＝②
由①得：（x+y ）（x-2y ）=0，
x+y=0，x-2y=0，
即原方程组化为023x y x y +⎧⎨+⎩＝＝，2023x y x y -⎧⎨+⎩
＝＝， 解得：1233x y =⎧⎨=-⎩，226535x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
， 即原方程组的解为1233x y =⎧⎨=-⎩，226535x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
． 点睛：本题考查了解高次方程组，运用因式分解法把高次方程组转化成二次一次方程组是解此题的关键．
5．解方程组：226,320.x y x xy y +=⎧⎨-+=⎩
【答案】114,2;
x y =⎧⎨=⎩22
3,3.x y =⎧⎨=⎩ 【解析】
【分析】 先对x 2-3xy+2y 2=0分解因式转化为两个一元一次方程，然后联立①，组成两个二元一次方程组，解之即可．
【详解】
将方程22
320x xy y -+= 的左边因式分解，得20x y -=或0x y -=． 原方程组可以化为6,20x y x y +=⎧⎨-=⎩或6,0.x y x y +=⎧⎨-=⎩
解这两个方程组得114,2;x y =⎧⎨=⎩ 223,3.
x y =⎧⎨=⎩ 所以原方程组的解是114,2;x y =⎧⎨
=⎩ 223,3.
x y =⎧⎨=⎩ 【点睛】
本题考查了高次方程组，将高次方程化为一次方程是解题的关键．
6．解方程组：2223,44 1.x y x xy y +=⎧⎨-+=⎩
【答案】111,1;x y =⎧⎨=⎩221,57.5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
【解析】
分析：对②中的式子进行变形，把原来的二元二次方程转化为两个二元一次方程组，解方程即可.
详解：2223441x y x xy y ①②+=⎧
⎨-+=⎩ 由②得：()221x y -=
即：21x y -=或21x y -=-
所以原方程组可化为两个二元一次方程组：
23,21;x y x y +=⎧⎨-=⎩ 23,21;
x y x y +=⎧⎨-=-⎩
分别解这两个方程组，得原方程组的解是111,1;x y =⎧⎨=⎩ 221,57.5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
. 点睛：考查二元二次方程，对②中的式子进行变形，把原来的二元二次方程转化为两个二元一次方程组是解题的关键，需要学生掌握加减消元法.
7．解方程组：226021x xy y x y ⎧+-=⎨+=⎩
【答案】2515x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或3515x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
. 【解析】
【分析】
先将原方程组化为两个二元一次方程组，然后求解即可．
【详解】
原方程组变形为
(3)(2)021
x y x y x y +-=⎧⎨+=⎩， ∴3021x y x y +=⎧⎨+=⎩或2021
x y x y -=⎧⎨+=⎩ ∴原方程组的解为2515x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或3515x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
【点睛】
本题考查了二次方程组的解，将二次方程组化为一次方程组是解题的关键．
8．解下列方程组：
（1）222220560x y x xy y ⎧+=⎨-+=⎩
（2）217,11 1.x y x y x y x y
⎧-=⎪+-⎪⎨⎪+=-⎪+-⎩
【答案】（1
）31241
23444,,22x x x x y y y y ⎧⎧⎧⎧===-=-⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨==-==⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩2）112512x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
【解析】
【分析】
（1）把原方程组化为：222020x y x y ⎧+=⎨-=⎩或222030x y x y ⎧+=⎨-=⎩
再分别解这两个方程组可得答案． （2）把两个方程相加得12x y +=，再代入求得13
x y -=-，联立求解并检验可得答案． 【详解】
解：（1）因为222220560
x y x xy y ⎧+=⎨-+=⎩ 把22560x xy y -+=化为：(2)(3)0x y x y --=，
即20x y -=或30x y -=
原方程组化为：222020x y x y ⎧+=⎨-=⎩或222030x y x y ⎧+=⎨-=⎩
因为222020x y x y ⎧+=⎨-=⎩
把20x y -=化为2x y =，把2x y =代入22
20x y +=中，
得24y =，所以2y =± ， 所以方程组的解是42x y =⎧⎨=⎩
或42x y =-⎧⎨=-⎩ 同理解222030x y x y ⎧+=⎨-=⎩
得方程组的解是x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩
或x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩
所以原方程组的解是：31241
23444,,22x x x x y y y y ⎧⎧⎧⎧===-=-⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨==-==⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩（2）因为217,111.x y x y x y x y ⎧-=⎪+-⎪⎨⎪+=-⎪+-⎩
①② 所以①＋②得：36x y
=+，所以12x y +=，把12x y +=代入② 得：13
x y -=-，
所以1213x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，解得：112512x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 经检验112512x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩是原方程组的解，所以原方程的解是112512x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
【点睛】
本题考查的是二元二次方程组与分式方程组，掌握降次与消元是解题关键，分式方程检验是必须步骤．
9．某商场计划销售一批运动衣,能获得利润12000元.经过市场调查后,进行促销活动,由于降低售价,每套运动衣少获利润10元,但可多销售400套,结果总利润比计划多4000元.求实际销售运动衣多少套?每套运动衣实际利润是多少元?
【答案】实际销售运动衣800套,实际每套运动衣的利润是20元
【解析】
【分析】
根据计划销售的套数×计划每套运动衣的利润=计划获利12000元；实际销售的套数×实际每套运动衣的利润=实际获利12000+4000元；那么可列出方程组求解．
【详解】
解：设实际销售运动衣x 套,实际每套运动衣的利润是y 元.
根据题意 ，可列方程组
()()4001012000
120004000x y xy ⎧-+=⎨=+⎩
解得：1212
800800,2020x x y y ==-⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩(舍去)， 答：实际销售运动衣800套，每套运动衣的实际利润20元．
【点睛】
本题考查了二元二次方程组的应用，关键是根据题意列出方程组求解后要判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．
10．有一批机器零件共400个，若甲先单独做1天，然后甲、乙两人再合做2天，则还有60个未完成；若甲、乙两人合做3天，则可超产20个. 问甲、乙两人每天各做多少个零件？
【答案】甲每天做60个零件，乙每天做80个零件.
【解析】
试题分析：根据题意，设甲每天做x 个零件，乙每天做y 个零件，然后根据根据题目中的
两种工作方式列出方程组，解答即可.
试题解析：设甲每天做x个零件，乙每天做y个零件. 根据题意，得
解这个方程组，得
答：甲每天做60个零件，乙每天做80个零件.
11．解方程组：
2
22
449 x xy
x xy y
⎧+=
⎪
⎨
++=⎪⎩
【答案】
12
34
34 12
00
33
,,,
33
33 22
x x
x x
y y
y y
==
⎧⎧=-=
⎧⎧
⎪⎪
⎨⎨⎨⎨
==-=-=⎩
⎩
⎪⎪
⎩⎩
【解析】
【分析】
由第一个等式可得x（x+y）=0，从而讨论可①x=0，②x≠0，（x+y）=0，这两种情况下结合第二个等式（x+2y）2=9可得出x和y的值．
【详解】
∵x(x+y)=0，
①当x=0时,(x+2y)2 =9，
解得：y
1=
3
2
,y2=−
3
2
；
②当x≠0，x+y=0时，∵x+2y=±3，
解得：
3
3
x
y
=-
=
⎧
⎨
⎩
或
3
3
x
y
=
=-
⎧
⎨
⎩
.
综上可得,原方程组的解是
12
34
34 12
00
33
,,,
33
33 22
x x
x x
y y
y y
==
⎧⎧=-=
⎧⎧
⎪⎪
⎨⎨⎨⎨
==-=-=⎩
⎩
⎪⎪
⎩⎩
.
【点睛】
此题考查二元二次方程组，解题关键在于掌握运算法则.
12．解方程组：
2
314
37
xy y
y x
⎧-=
⎨
-=
⎩
①
②
【答案】
3
2 x
y
=-⎧
⎨
=-⎩
.
【解析】
【分析】
由②得出y=7+3x③，把③代入①得出3x(7+3x)-(7+3x)2=14，求出x，把x=-3代入③求出
y 即可．
【详解】
解：由②得：y=7+3x(3)，
把③代入①得：3x(7+3x)-(7+3x)2=14，
解得：x=-3，
把x=-3代入③得：y=-2，
所以原方程组的解为32x y =-⎧⎨=-⎩
． 【点睛】
本题考查了解高次方程组，能把高次方程组转化成一元二次方程或一元一次方程是解此题的关键．
13．解方程组222221690x xy y x y ⎧-+=⎨=-⎩
． 【答案】1131x y =⎧⎨=-⎩，2262x y =⎧⎨=⎩，33
31x y =-⎧⎨=⎩，4462x y =-⎧⎨=-⎩． 【解析】
【分析】
由于组中的两个高次方程都能分解为两个一次方程，所以先分解组中的两个二元二次方程，得到四个二元一次方程，重新组合成四个二元一次方程组，求出的四个二元一次方程组的解就是原方程组的解．
【详解】
解：222221690x xy y x y ⎧-+=⎨-=⎩①②
由①，得(x ﹣y )2＝16，
所以x ﹣y ＝4或x ﹣y ＝﹣4．
由②，得(x +3y )(x ﹣3y )＝0，
即x +3y ＝0或x ﹣3y ＝0
所以原方程组可化为：
430x y x y -=⎧⎨+=⎩，430x y x y -=⎧⎨-=⎩，430x y x y -=-⎧⎨+=⎩，430x y x y -=-⎧⎨-=⎩
解这些方程组，得
1131x y =⎧⎨=-⎩，2262x y =⎧⎨=⎩，33
31x y =-⎧⎨=⎩，4462x y =-⎧⎨=-⎩． 所以原方程组的解为：1131x y =⎧⎨=-⎩，2262x y =⎧⎨=⎩，33
31x y =-⎧⎨=⎩，4462x y =-⎧⎨=-⎩． 【点睛】
本题考查了二元二次方程组的解法，利用分解因式法将二元二次方程组转化为四个二元一次方程组是解题的关键.
14．解二元二次方程组210210x y x y x +-=⎧⎨---=⎩
【答案】121
221,12x x y y ⎧==-⎧⎪⎨
⎨=-=⎪⎩⎩ 【解析】
【分析】
把方程①变形为y=1-x ，利用代入法消去y ，得到关于x 的一元二次方程，解方程求出x ，然后就可以求出y ，从而求解．
【详解】 解：210210x y x y x +-=⎧⎨---=⎩
①② ， 把①变形y ＝1﹣x ，代入②得x 2﹣（1﹣x ）﹣2x ﹣1＝0，
化简整理得x 2﹣x ﹣2＝0，
∴x 1＝2，x 2＝﹣1，
把x ＝2代入①得y ＝﹣1，
把x ＝﹣1代入①得y ＝2，
所以原方程组的解为：121
221,12x x y y ⎧==-⎧⎪⎨⎨=-=⎪⎩⎩． 【点睛】
本题考查二元二次方程组的解法，一般用代入法比较简单，先消去一个未知数再解关于另一个未知数的一元二次方程，把求得结果代入一个较简单的方程中即可．
15．21238438xy x y yz z y zx z x =+-⎧⎪=+-⎨⎪=+-⎩
【答案】231x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩或3521
x y z =⎧⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩ 【解析】
【分析】
将x 和z 分别都用y 表示出来，代入第三个方程，解出y ，然后就可以解出x 、z ．
【详解】
解：21238438xy x y yz z y zx z x =+-⎧⎪=+-⎨⎪=+-⎩
①②③ 由①得：12y x y -=
-④ 由②得：382
y z y -=-⑤ 将④⑤代入③得：
1384(38)3(1)82222y y y y y y y y ----=+-----g ， 去分母整理得：2422300y y -+=，
∴2(3)(25)0y y --=，
3y ∴=或52
=， 将3y =分别代入④⑤得：2x =，1z =； 将52
y =分别代入④⑤得：3x =，1z =-； 综上所述，方程组的解为：231x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩或3521
x y z =⎧⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩． 【点睛】
本题考查了三元二次方程组的解法，解方程的基本思想是消元，任意选择两个方程将两个未知数用第三个未知数表示，即可代入第三个方程，解出一个未知数之后，剩下两未知数就可直接算出．
16．21220y x x xy -=⎧⎨--=⎩
【答案】10x y =-⎧⎨
=⎩或23x y =⎧⎨=⎩ 【解析】
【分析】
本题考查二元二次方程组的解法，在解题时观察本题的特点，可用代入法先消去未知数y ，求出未知数x 的值后，进而求得这个方程组的解．
【详解】
解：由①得：1y x =+③
把③代入②，得22(1)20x x x -+-=,
整理得：220x x --=，
解得11x =-，22x =．
当11x =-时，1110y =-+=
当22x =时，2213y =+=
∴原方程组的解为1110x y =-⎧⎨
=⎩，2223
x y =⎧⎨=⎩． 【点睛】 本题考查了二元二次方程组的解法，二元二次方程组求解的基本思想是“转化”，即通过“降次”、“消元”，将方程组转化为一元二次方程或二元一次方程组．
17．解方程组：2
2+2-0
110x y x y ⎧=⎨-+=⎩ 【答案】：2112113,023
x x y y ⎧
=-⎪=-⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩
【解析】
【分析】
把(2)変形后代入(1)便可解得答案
【详解】
22+2-1010x y x y ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩①
②
由②得:x=y-1
代入①得:120
23
y y =⎧⎪⎨=⎪⎩ ,
分别代入②得:121
13
x x =-⎧⎪⎨=-⎪⎩ ，
故原方程组的解为：21121
1
3
,02
3
x x y y ⎧=-
⎪=-⎧⎪⎨⎨=
⎩⎪=⎪⎩ 【点睛】
此题考查高次方程，解题关键在于掌握运算法则
18．解方程：
【答案】
【解析】 解：原方程组即为
···································· （2分）
由方程（1）代人（2）并整理得： ······························································· （2分） 解得，
························································ （2分） 代人得
19．解方程组：222220,21,
x xy y x xy y ⎧--=⎨++=⎩ 【答案】1123;13x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩222313x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
【解析】
【分析】
先对方程①②分解因式转化为两个一元一次方程，然后联立，组成4个二元一次方程组，解之即可．
【详解】
2222x 2y 0x 2y 1xy xy ⎧--=⎨++=⎩
①②， 由①得 （x+y ）（x-2y ）=0，
∴x+y=0或x-2y=0，
由②得 （x+y ）2=1，
∴x+y=1或x+y=-1，
所以原方程组化为01x y x y +=⎧⎨+=⎩或01x y x y +=⎧⎨+=-⎩或201x y x y -=⎧⎨+=⎩或201x y x y -=⎧⎨+=-⎩
，
所以原方程组的解为121222x x 3311y y 33⎧⎧==-⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪==-⎪⎪⎩⎩
． 【点睛】
本题考查了高次方程组，将高次方程化为一次方程是解题的关键．
20．解方程组：22560{21x xy y x y +-=-=①②
【答案】11613
{1
13x y =
=-
,221{1
x y ==. 【解析】
【分析】 先将方程①变形为（x+6y ）（x ﹣y ）=0得x+6y=0或x ﹣y=0，分别与方程②组成二元一次方程组，从而求出方程的解.
【详解】
解：方程①可变形为（x+6y ）（x ﹣y ）=0
得x+6y=0或x ﹣y=0
将它们与方程②分别组成方程组，得（Ⅰ）6021x y x y +=⎧⎨-=⎩或（Ⅱ）021x y x y -=⎧⎨-=⎩
解方程组（Ⅰ）613113x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
，解方程组（Ⅱ）11x y =⎧⎨=⎩， 所以原方程组的解是11613113x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
,2211x y =⎧⎨=⎩． 故答案为11613113x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
,2211x y =⎧⎨=⎩. 【点睛】
此题是解高次方程，解题思路与解一元一次方程组差不多，都是先消元再代入来求解，只是计算麻烦点.。