【名师伴你行】(新课标)高考数学大一轮复习 第10章 第7节 离散型随机变量及其分布列课时作业 理

课时作业(六十七) 离散型随机变量及其分布列
一、选择题
1．(2015·郑州质检)已知随机变量X 的分布列为P (X ＝i )＝i
2a (i ＝1,2,3,4)，则P (2
＜X ≤4)等于( )
A.910
B ．710
C ．35
D ．12
答案：B
解析：由分布列的性质，12a ＋22a ＋32a ＋4
2a ＝1，则a ＝5.
∴P (2＜X ≤4)＝P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝310＋410＝7
10
.故选B.
2．(2015·长沙模拟)一只袋内装有m 个白球，n －m 个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了ξ个白球，下列概率等于
n －m
2
m
A 3
n
的是( )
A ．P (ξ＝3)
B ．P (ξ≥2)
C ．P (ξ≤3)
D ．P (ξ＝2)
答案：D
解析：由超几何分布知P (ξ＝2)＝
n －m
2
m
A 3
n
.故选D.
3．(2015·福州模拟)一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，其分布列为P (X )，则
P (X ＝4)的值为( )
A.1
220
B ．2755
C ．27220
D ．2125
答案：C
解析：由题意取出的3个球必为2个旧球1个新球，故P (X ＝4)＝C 23C 1
9C 312＝27
220
.故选C.
4．设随机变量ξ的分布列为P ⎝
⎛⎭⎪⎫ξ＝k
5＝ak (k ＝1,2,3,4,5)，则
P ⎝
⎛⎭
⎪⎫110＜ξ＜7
10等于( )
A.3
5
B ．45
C ．25
D ．15
答案：C
解析：由已知，分布列为
由分布列的性质可得解得a ＝1
15
.
∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫110＜ξ＜710＝P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ＝15＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ＝25＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ＝35 ＝115＋215＋315＝2
5
. 5．有10件产品，其中3件是次品，从这10件产品中任取两件，用ξ表示取到次品的件数，则E (ξ)等于( )
A.35 B ．815 C ．1415 D ．1
答案：A
解析：ξ服从超几何分布P (X ＝ξ)＝C x 3C 2－x
7
C 210(x ＝0,1,2)，
∴P (ξ＝0)＝C 2
7C 210＝2145＝7
15，
P (ξ＝1)＝C 17C 1
3C 210＝2145＝7
15，
P (ξ＝2)＝C 23C 210＝345＝1
15
，
∴E (ξ)＝0×715＋1×715＋2×115＝915＝3
5
.
6．(2015·枣庄模拟)从装有除颜色外完全相同的3个白球和m 个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取5次，设摸得白球数为X ，已知E (X )＝3，则D (X )＝( )
A.8
5 B ．65 C ．45 D ．25
答案：B
解析：由题意知，X ～B ⎝
⎛⎭
⎪⎫5，3m ＋3， 所以E (X )＝5×
3
m ＋3
＝3，解得m ＝2， 所以X ～B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫5，35， 所以D (X )＝5×35×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35＝6
5.
二、填空题
7．设随机变量ξ等可能取1,2,3，…，n ，若P (ξ＜4)＝0.3，则n ＝________. 答案：10
解析：因为1,2,3，…，n 每个值被取到的概率为1
n
，
故P (ξ＜4)＝P (ξ＝1)＋P (ξ＝2)＋P (ξ＝3)＝1n ＋1n ＋1n ＝3
n
＝0.3，
所以n ＝10.
8．(2015·东营模拟)甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题，比赛规定：对于每一个题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并回答正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分(即得－1分)；若X 是甲队在该轮比赛胜时的得分(分数高者胜)，则X 的所有可能取值是________．
答案：－1,0,1,2,3
解析：X ＝－1时，甲抢到一题但答错了．
X ＝0时，甲没抢到题或甲抢到2题，但答时一对一错． X ＝1时，甲抢到1题且答对或甲抢到3题，且一错两对． X ＝2时，甲抢到2题均答对． X ＝3时，甲抢到3题均答对．
9．(2015·衡水月考)由于电脑故障，使得随机变量X 的分布列中部分数据丢失(以“x ，
y ”代替)，其表如下：
答案：0.25,0.15
解析：根据分布列的性质有
⎩⎪⎨⎪
⎧
0.2＋0.1＋0.x 5＋0.10＋0.1y ＋0.20＝1，0.x 5≥0，0.1y ≥0，
∴x ＝2，y ＝5.
∴丢失的两个数据依次应为0.25,0.15.
10．(2015·沈阳模拟)设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X 去描述一次试验的成功次数，则P (X ＝0)的值为________．
答案：13
解析：设X 的分布列为
则“X ＝0”表示试验失败，“X ＝1”表示试验成功，则q ＋2q ＝1，得q ＝1
3.
三、解答题
11．(2015·滨州模拟)某同学在寒假期间进行社会实践活动，对[25,55]岁的人群随机抽取n 人进行了一次生活习惯是否符合环保观念的调查，生活习惯符合环保观念的称为“环保族”，否则称为“非环保族”，得到如下统计表和各年龄段人数的频率分布直方图：
(1)(2)从[35,45)岁年龄段的“环保族”中采用分层抽样法抽取16人参加户外环保体验活动，其中选取3人作为领队，记选取的3名领队中年龄在[35,40)岁的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望E (X )．
解：(1)第二组的频率为1－(0.04＋0.04＋0.03＋0.02＋0.01)×5＝0.3， 所以高为0.3
5
＝0.06，
频率分布直方图如下．
第一组的人数1200.6＝200，频率为0.04×5＝0.2，所以n ＝200
0.2＝1 000.
由题意可知，第二组的频率为0.3，所以第二组的人数为1 000×0.3＝300， 所以p ＝195
300
＝0.65.
第四组的频率为0.03×5＝0.15，所以第四组的人数为1 000×0.15＝150， 所以a ＝150×0.4＝60.
(2)因为[35,40)岁年龄段的“环保族”人数与[40,45)岁年龄段的“环保族”人数的比值为100∶60＝5∶3，所以采用分层抽样抽取16人，其中[35,40)岁中有10人，[40,45)岁中有6人．
由题意，随机变量X 的所有可能的取值为0,1,2,3， 得P (X ＝0)＝C 0
10C 3
6C 316＝1
28，
P (X ＝1)＝C 1
10C 26C 316＝15
56，
P (X ＝2)＝C 2
10C 16C 16＝27
56，
P (X ＝3)＝C 3
10C 06C 316＝1256＝3
14，
所以随机变量X 的分布列为
所以E (X )＝0×128＋1×56＋2×56＋3×14＝56＝8
.
12．(2014·天津)某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)．
(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；
(2)设X 为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望． 解：(1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A ，则 P (A )＝C 1
3·C 2
7＋C 0
3·C 3
7C 3
10＝4960
. 所以选出的3名同学是来自互不相同的学院的概率为49
60
. (2)随机变量X 的所有可能值为0,1,2,3. P (X ＝k )＝C k 4·C 3－k
6
C 3
10(k ＝0,1,2,3)． P (X ＝0)＝C 0
4·C 3
6C 310＝1
6，
P (X ＝1)＝C 1
4·C 2
6C 310＝1
2，
P (X ＝2)＝C 2
4·C 1
6C 310＝3
10，
P (X ＝3)＝C 3
4·C 0
6C 310＝1
30，
所以随机变量X 的分布列是
随机变量X 的数学期望E (X )＝0×6＋1×2＋2×10＋3×30＝6
5
.
13．(2015·烟台一模)PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，对人体健康和大气环境质量的影响很大，我国PM2.5标准采用世界卫生组织设定的最宽限值，即PM2.5日均在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35～75微克/立方米之间空气质量为二级：75微克/立方米以上空气质量为超标．
某市环保局从360天的市区PM2.5监测数据中，随机抽取15天的数据作为样本，监测值如茎图所示(十位为茎，个位为叶)．
(1)从这15天的数据中任取3天的数据，记ξ表示空气质量达到一级的天数，求ξ的分布列；
(2)以这15天的PM2.5日均值来估计这360天的空气质量情况，则其中大约有多少天的
空气质量达到一级．
解：(1)由茎叶图知，N ＝15，M ＝6，n ＝3，ξ的可能值为0,1,2,3， 则P (ξ＝k )＝C k 6·C 3－k
9
C 3
15(k ＝0,1,2,3)， P (ξ＝0)＝C 0
6·C 3
9C 315＝84
455，
P (ξ＝1)＝C 1
6·C 2
9C 315＝216
455，
P (ξ＝2)＝C 2
6·C 1
9C 315＝135
455，
P (ξ＝3)＝C 3
6·C 0
9C 15＝20
455.
其分布列为
(2)依题意可知，一年中平均每天空气质量能够达到一级的概率为P ＝615＝2
5.
设一年中空气质量达到一级的天数为η， 则η～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫360，25，∴E (η)＝360×25＝144， 即一年中空气质量达到一级的天数为144天．。