电工学--正弦交流电1

i2
ϕ2 ϕ1
i1 i1
i2
ϕ1 = ϕ2 t i 与 i 同相位 2 1
∆ϕ = ϕ1 −ϕ2 > 0
相位差为0 相位差为
相 位 超 前 相 位 滞 后
ϕ1 ϕ2
ϕ1
t i1 超前于 i2
i2
i1
∆ϕ = ϕ1 −ϕ2 < 0
ϕ2
t
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i1 滞后于 i2
例:
ω i1 = Im1 sin( t + 90° ) ω i2 = Im2 sin( t −90°)
U I
效值
当 i = I m sin
(ω t +ϕ )时， 可得
Im I = 2
瞬时值i可写为： 瞬时值 可写为： 可写为
i = 2I sin (ω t + ϕ )
可得
同理: 同理
u = Um sin (ω t + ϕ )
U = m U 2
瞬时值u可写为： 瞬时值 可写为： 可写为
u = 2U sin (ω t +ϕ )
I m = 1A
1 I= = 0.707A 2
频率： 频率：
ω = 1000 rad/s ω 1000 f = = = 159 Hz 2π 2π
初相位： 初相位：
ϕ = 30°
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u1 = u2 =
2 U 1 sin (ω t + ϕ 1 ) 2U
2
sin (ω t + ϕ 2 )
u = u1 + u2
0
_
0
t
t
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图中： 表示电流(或电压 为正值， 图中：“+”表示电流 或电压 为正值，称为正半 表示电流 或电压)为正值 电流(或电压 或电压)的 周，电流 或电压 的实际方向与参考方向一致 ； “–”表示电流 或电压)为负值，称为负半 表示电流(或电压 为负值， 表示电流 或电压 为负值 电流(或电压 实际方向与参考方向相反。 或电压)的 周，电流 或电压 的实际方向与参考方向相反。
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三、相位、初相位、相位差(表示变化进程) 相位、初相位、相位差(表示变化进程)
时的相位，称为初相位角 初相位角或 ： ϕ t = 0 时的相位，称为初相位角或初相位。 i
i = 2 I sin (ω t + ϕ ) ：正弦量的相位角或相位 （ωt + ϕ） 正弦量的相位角或相位
ωt
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有向线段的复数表示
1. 代数形式（直角坐标形式） 代数形式（直角坐标形式）
j
b
r ϕ
A = a + jb
2. 三角形式
j = −1
A
+1
Α = r cos ϕ + jr sin ϕ
a = r cos ϕ b = r sin ϕ
a
r=
a +b
2
2
b ϕ = arctan a
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由于在分析线性电路时， 由于在分析线性电路时，正弦激励和响应均为同频率 的正弦量，频率是已知的或特定的，可不必考虑， 的正弦量，频率是已知的或特定的，可不必考虑，只 要求出正弦量的幅值（或有效值）和初相位即可。 要求出正弦量的幅值（或有效值）和初相位即可。 按照各个正弦量的大小和相位关系，用初始位置的 按照各个正弦量的大小和相位关系， 有向线段画出的若干个相量的图形 称为相量图 画出的若干个相量的图形， 相量图。 有向线段画出的若干个相量的图形，称为相量图。
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3.指数形式
j
b
r ϕ
A
+1
欧 拉 公 式
a
e +e cosϕ = 2 jϕ − jϕ e −e sinϕ = 2j
e
jϕ
jϕ
− jϕ
= cos ϕ3; j sin ϕ ) = re jϕ
4.极坐标形式
A = r ∠ϕ
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j
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4.2 正弦量的相量表示法 i
♣ 波形图表示
ωt
i = sin (1000 t + 30 ° )
必须小写
I
♣
三角函数式表示
♣
相量图表示 相量式表示
30
o
& I = Ie
j 30 o
(复数式表示)
前两种不便于运算，本节重点介绍相量表示法。 相量表示法 前两种不便于运算，本节重点介绍相量表示法。
说明： 说明：
给出了观察正弦量的起点或参考点， ϕ给出了观察正弦量的起点或参考点， 常用于描述多个正弦量彼此之间的相位关系。 常用于描述多个正弦量彼此之间的相位关系。
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ϕ
两个同频率正弦量间的相位差( 即初相位之差) 两个同频率正弦量间的相位差( 即初相位之差) 同频率正弦量间的相位差
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相量的复数运算
1. 复数加 、减运算 复数加 设： U 1 = a 1 + jb 1
U 2 = a 2 + jb 2
则：
U = U1±U 2 = (a1±a2 ) + j (b1±b2 ) = Ue
jϕ
相量在进行加减运算 加减运算时 应采用代数式 代数式， 相量在进行加减运算时，应采用代数式，实部与 实部相加减，虚部与虚部相加减。 实部相加减，虚部与虚部相加减。
= 2U sin (ω t + ϕ )
结论: 结论:
= 2U1 sin (ω t + ϕ1 ) + 2U 2 sin (ω t + ϕ2 )
幅度、 幅度、相位变化 频率不变
因角频率（ 不变，所以以下讨论 讨论同频率正弦波 因角频率（ω）不变，所以以下讨论同频率正弦波 可不考虑，主要研究幅度与初相位的变化 幅度与初相位的变化。 时，ω 可不考虑，主要研究幅度与初相位的变化。
i1
ϕ2
i2
ωt
ϕ1
i2 = I m2 sin(ω t + ϕ
i1 与 i2 的相位差： 的相位差：
i1 = I m1 sin(ω t + ϕ 1 )
2
)
>0 =0 <0
∆ϕ = ( t +ϕ 1 )− ( t +ϕ 2 )= ϕ 1−ϕ2 ω ω
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两个同频率正弦量之间的相位关系
同 相 位
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如： 、 i 、 e u
有 效 值 概 念
交流
流i T 流I 直流 流I T I
R 热
热效应相当
热 相 效值 值 i
∫
T
0
i R dt = I RT
2
2
交流
直流
1 T 2 I= i dt ∫0 T
当 i = I m sin
（方均根值） 方均根值）
(ω t +ϕ )
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Im I = 2
第四章 正弦交流电路
当电路中的激励 电源 为正弦量时， 当电路中的激励(电源 为正弦量时，电路中各 激励 电源)为正弦量时 部分的响应 电压或电流)也为正弦量 响应(电压或电流 也为正弦量， 部分的 响应 电压或电流 也为正弦量， 这样的电 路就是正弦交流电路。 路就是正弦交流电路。 交流发电机所产生的电动势和正弦信号发生器 所输出信号电压都是随时间按正弦规律变化 随时间按正弦规律变化的 所输出信号电压都是随时间按正弦规律变化的。因 正弦交流电路是电工学中很重要的部分。 此，正弦交流电路是电工学中很重要的部分。
t
T
1. 周期 T： 变化一周所需的时间 ： 2. 频率 f： 每秒变化的次数 单位：赫兹(Hz) 单位：赫兹(Hz)
单位：秒（S） 单位：
1 f = T 3. 角频率 ω： 每秒变化的弧度 2π ω= = 2π f 单位：弧度/秒 单位：弧度 秒(rad/s) T “工频”：f=50Hz, =0.02s， = 314rad / s 工频” =50Hz, =0.02s， =50Hz,T=0.02s ω 工频
b
r ϕ
A
欧 拉 公 +1 式
A = a + jb = r (cosϕ + j sinϕ ) =r e
jϕ
a
e +e cosϕ = 2 jϕ − jϕ e −e sinϕ = 2j
代数式 三角形式 指数式 极坐标形式
jϕ
− jϕ
= r ∠ϕ
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前面回顾了有向线段的复数表示，有上述四种复数式。 前面回顾了有向线段的复数表示，有上述四种复数式。 如果用复数来表示正弦量的话， 如果用复数来表示正弦量的话，则复数的模即为正弦量 的幅值或有效值，复数的辐角即为正弦量的初相位 辐角即为正弦量的初相位。 的幅值或有效值，复数的辐角即为正弦量的初相位。 为了与一般的复数加以区别，我们把表示正弦量的复数 为了与一般的复数加以区别，我们把表示正弦量的复数 & 称为相量 并在大写字母上打“ 相量， 称为相量，并在大写字母上打“.” 如： U U &
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二、瞬时值、最大值、有效值(表示变化大小) 瞬时值、最大值、有效值(表示变化大小)
1. 瞬时值：正弦量在任一瞬间的值。用小写字母表示， 瞬时值：正弦量在任一瞬间的值。用小写字母表示，
i = I m sin (ω t + ϕ )
2. 最大值(幅值)：瞬时值中最大的数值。用大写字母 最大值(幅值) 瞬时值中最大的数值。 表示， 并带下标 m表示，如：Um、Im、Em 表示 3. 有效值： 有效值： 一般所讲的正弦电压或电流的大小，例如交流电压 一般所讲的正弦电压或电流的大小， 380V或220V,都是指它的有效值。一般交流电压表和电 都是指它的有效值。 流表的刻度也是根据有效值来定的。 流表的刻度也是根据有效值来定的。
哪一个滞后？ 哪一个滞后？ 滞后
U2 超前 U1
相量图能形象地表示出各个正弦 量的大小和相互间的相位关系。 量的大小和相互间的相位关系。
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注意 ：
1. 只有正弦量才能用相量表示，非正弦量不可以。 只有正弦量才能用相量表示，非正弦量不可以。 正弦量才能用相量表示 2. 只有同频率的正弦量才能画在一张相量图上。 只有同频率的正弦量才能画在一张相量图上。 同频率的正弦量才能画在一张相量图上 3. 表示正弦量的相量有两种形式：相量图和相量式 表示正弦量的相量有两种形式： 复数式） （复数式）
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问题与讨论
的电器， 若购得一台耐压为 300V 的电器，是否可用于 220V 的线路上? ~ 220V
电器 最高耐压
=300V
有效值 U = 220V 电源电压 最大值 Um =
2 ⋅ 220V = 311V
该电器最高耐压低于电源电压的最大值， 该电器最高耐压低于电源电压的最大值，所以 不能用。 不能用。
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正弦量的相量表示法
ω
u = U m sin(ω t + ϕ )
Um
ϕ
ωt
ϕ
矢量长度 =
Um
矢量与横轴夹角 = 初相位
ϕ
矢量以角速度ω 按逆时针方向旋转
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正弦量的相量表示法
ω
u = U m sin(ω t + ϕ )
Um
ϕ
ωt
ϕ
正弦量在某时刻的瞬时值可以由旋转有向线段在该瞬 时在纵轴上的投影值来表示。 时在纵轴上的投影值来表示。 正弦量可用旋转有向线段表示， 正弦量可用旋转有向线段表示，而有向线段可用 复数表示，所以正弦量可用复数表示。 复数表示，所以正弦量可用复数表示。
i, u +
0
i u
i
_
u t 正半周
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R
R
负半周
正弦量的三要素
三角函数式： 三角函数式：
i = I m sin(ω t + ϕ )
i
波形图： 波形图：
Im
ϕ
ωt
大小 初始值 初相位
特征 三要素
变化的快慢
频率（或周期） 频率（或周期） 幅值
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一、周期、频率、角频率(表示变化快慢) 周期、频率、角频率(表示变化快慢) i
m
例如 用复数表示正弦电压 u = U m sin(ω t + ψ )
幅值相量
& = U ∠ψ = U e jψ = U (cosψ + j sinψ ) Um m m m
或 有效值相量
实际应用中， 实际应用中，更多采用有效值相量
& = U ∠ψ = Ue jψ = U (cosψ + j sinψ ) U
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4.1 正弦电压与电流 （统称正弦量） 统称正弦量） • 前三章所讨论的都是 直流电路， 直流电路，其中的电 流和电压的大小和方 向都是不随时间变化 的。
I, U
正弦电压和电流都是 按正弦规律周期性随 时间变化的， 时间变化的， 其波形图可用正弦曲 线来表示： 线来表示： i, u +
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正弦量的相量图表示举例
例：将 u1、u2 用相量图表示
U2
u1 = u2 =
2U 1 sin ( ω t + ϕ 1 )
2U 2 sin ( ω t + ϕ 2 )
ϕ2
ϕ1
U1
幅度：相量大小 幅度： 设： 相位： 相位： ϕ 2
>ϕ1
U2 > U1 相位哪一个超前？ 相位哪一个超前？
i1
求相位差
∆ϕ = ϕ 1−ϕ2 =90° −（−90° ）= 180°
i2
t
如果相位差为+180 °或−180 °,称两者反相 两者反相 如果相位差为
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例
已知： 已知：
i = sin (1000 t + 30 ° )
A
求有效值、频率、初相位。 求有效值、频率、初相位。
有效值： 有效值：