届高三临界生辅导材料(十九)讲解学习

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2014届高三临界生辅导材料（十九）
1. (本小题满分12分)
已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ， 11a =，且1S ，22S ，33S 成等差数列. （1）求数列{}n a 通项公式；
（2）设n n b a n =+，求数列{}n b 前n 项和n T ． 1．(本题满分14分)
解：（1）设数列{}n a 的公比为q ，……………1分
若1q =，则111S a ==，21244S a ==，31399S a ==，故13231022S S S +=≠⨯，与已知矛盾，故1q ≠，………………………………………………2分
从而得1(1)111n n
n a q q S q q
--==--，………………………………………………4分
由1S ，22S ，33S 成等差数列，得132322S S S +=⨯，
即321113411q q q q
--+⨯=⨯--， 解得1
3
q =
……………………………………………5分 所以1
1
113n n n a a q
--⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭
.………………………………………………6分
（2）由（１）得，1
1()
3
n n n b a n n -=+=+，………………………………7分 所以12(1)(2)()n n T a a a n =++++++L
1(1)(1)(12)12
n n b q n n
S n q -+=++++=+-L ………………………………10分
2111()(1)333.12213
n
n n n n n --+++-=+=-……………………………12分 2．(本小题满分14分)
如图5(1)中矩形ABCD 中，已知2AB =
，AD =MN 分别为AD 和BC 的中点，对角线BD 与MN 交于O 点，沿MN 把矩形ABNM 折起，使平面ABNM 与平面MNCD
所成角为60o ，如图5(2). O
A B
D C M A
D
C
M N
O
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（1）求证：BO DO
⊥；
（2）求AO与平面BOD所成角的正弦值.
2(本题满分14分)
解：（1）由题设，M，N是矩形的边AD和BC的中点，所以AM⊥MN, BC⊥MN, 折叠垂直关系不变，所以∠AMD 是平面ABNM与平面MNCD的平面角，依题意，所以∠AMD=60o，………………………………………………………………………………………………………２分
由AM=DM，可知△MAD是正三角形，所以AD=2，在矩形ABCD中，AB=2,AD=所以，，由题可知BOD是直角三角形，所以BO⊥DO ……………………………………………………………………………………… 5分
解（２）设E，F是BD，CD的中点，则EF⊥CD, OF⊥CD, 所以，CD⊥面OEF, OE CD
⊥
又BO=OD，所以OE⊥BD, OE⊥面ABCD, OE⊂面BOD, 平面BOD⊥平面ABCD
过A作AH⊥BD，由面面垂直的性质定理,可得AH⊥平面BOD，连结OH ，…………………… 8分所以OH是AO在平面BOD的投影，所以∠AOH为所求的角,即AO与平面BOD所成角。

……………………11分
AH是RT△ABD斜边上的高，所以AH=
3
，
所以sin∠AOH=
2
3
（14分）
方法二：空间向量：取MD，NC中点P，Q，如图建系，…
Q（0，0，0），B（
2
0，0），D（0，
2
，2），O（0，
2
-，1）
所以BO=
u u u r
（
2
-，
2
-，1），DO=
u u u r
（0，，1)
-
所以BO⋅
u u u r
DO=
u u u r
0，即BO⊥DO（5分）
O
A
B
D
C
M
N
A
B
D
C
M
N
O
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图6
B
A
（2）设平面BOD 的法向量是(,,)n x y z =r
，可得2x
-2y -+z
=0 z -=0
，令y =
可得2x z ==-
所以(2)n =-r
又AO =u u u r
（2-
，2
-，1)-，
设AO 与平面BOD 所成角为θ
sin cos ,AO n θ=<>u u u r u u u r =2
3
（14分）
3．(本小题满分14分)
有一个3×4×5的长方体, 它的六个面上均涂上颜色. 现将这个长方体锯成60个1×1×1的小正方体，从这些小正方体中随机地任取1个，设小正方体涂上颜色的面数为ξ. （１）求0ξ=的概率； （２）求ξ的分布列和数学期望.
3．(本题满分12分)
（１）60个1×1×1的小正方体中，没有涂上颜色的有6个，
61
(0)6010
P ξ==
= … （3分） （２）由（1）可知
1(0)10P ξ==
；11(1)30P ξ==；2(2)5P ξ==；2
(3)15P ξ== … （7分）
分布列
10分）
E ξ=0×110+1×1130
+2×25+3×215=4730
…（12分）
4．(本小题满分12分)
在ABC ∆中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其中2c =， 且cos cos A b B a == (1)求证：ABC ∆是直角三角形；
(2)如图6，设圆O 过,,A B C 三点，点P 位于劣弧AC ︿
上，求PAC ∆面积最大值.
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4．(本题满分14分) (1)证明：由正弦定理得
cos sin cos sin A B
B A
=
，…………………………………2分 整理为sin cos sin cos A A B B =，即sin 2sin 2A B = ………………………3分 又因为02,22A B π<<
∴22A B =或22A B π+=，即A B =或2
A B π+=
……………6分
∵
3b a =， ∴A B =舍去，故2
A B π+= 由2
A B π+=
可知2
C π
=
，∴ABC ∆是直角三角形……………6分
(2)由(1)及2c =，得1a =，3b =， ……………7分
设(
)6
2
PAB π
π
θθ∠=<<
，则6
PAC π
θ∠=-
， ……………8分
在Rt PAB ∆中，cos 2cos PA AB θθ=⋅= 所以
11sin()2cos 3sin()2626
PAC S PA AC ππ
θθθ∆=
⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅- 3cos sin()6
π
θθ=⋅⋅- ……………10分
313cos (sin cos )22θθθ=⋅
-⋅233cos sin cos 22
θθθ=- 331cos 2sin 2422θ
θ+=-⨯ 3313(sin 2cos 2)2θθ=
-- 3sin(2)6πθ=
-3- ………………………12分 因为
6
2
π
π
θ<<
所以
526
6
6
π
π
π
θ<-
<
， 当26
2
π
π
θ-=
，即3
π
θ=
时，PAC S ∆最大值等于
3
.…………………………………14分。