初中数学向量的线性运算专项训练答案(1)

初中数学向量的线性运算专项训练答案(1)
一、选择题
1．如果||＝2，＝-，那么下列说法正确的是（）
A．||＝2|| B．是与方向相同的单位向量
C．2-＝D．∥
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平面向量的模和向量平行的定义解答．
【详解】
A、由＝-得到||＝||＝1，故本选项说法错误．
B、由＝-得到是与的方向相反，故本选项说法错误．
C、由＝-得到2+＝，故本选项说法错误．
D、由＝-得到∥，故本选项说法正确．
故选D．
【点睛】
考查了平面向量，需要掌握平面向量的模的定义，向量的方向与大小以及向量平行的定义等知识点，难度不大．
2．在四边形ABCD中，，，，其中与不共线，则四边形ABCD是( )
A．平行四边形B．矩形C．梯形D．菱形
【答案】C
【解析】
【分析】
利用向量的运算法则求出，利用向量共线的充要条件判断出，得到边AD∥BC，AD=2BC，据梯形的定义得到选项.
【详解】
解：∵
，
∴，
∴AD∥BC，AD=2BC.
∴四边形ABCD为梯形.
【点睛】
本题考查向量的运算法则向量共线的充要条件、利用向量共线得到直线的关系、梯形的定义.
3．下列各式中错误的是( )
A ．()0a a r r
+-=
B ．|AB BA |0+=u u u r u u u r
C ．()
-=+-r r r r
a b a b
D ．()()++=++r r r r r r
a b c a b c
【答案】A 【解析】 【分析】
根据向量的运算法则和运算律判断即可. 【详解】
解：A. ()0a a v
v v
+-=，故本选项错误，B ，C ，D ，均正确， 故选：A. 【点睛】
本题考查了向量的运算，熟练掌握运算法则和运算律是解题关键.
4．已知233m a b =-r r r ，1124
n b a =+r r r ，那么4m n -r r
等于（ ）
A ．823a b -r r
B ．443a b r r -
C ．423
a b -r r
D ．843
a b -r r
【答案】A 【解析】
根据向量的混合运算法则求解即可求得答案，注意解题需细心．
解：∵233m a b =-r r r ，1124
n b a =+r r r
，
∴4m n -r r =2112834()32232433
a b b a a b b a a b --+=---=-r
r r r r r r r r r ．
故选A ．
5．已知a 、b 为非零向量，下列说法中，不正确的是( ) A ．()
a a
b b --= B ．0a 0=
C ．如果1
a b 2
=，那么a //b D ．如果a 2b =，那么a 2b =或a 2b =-
【答案】C 【解析】 【分析】
根据非零向量的性质，一一判断即可； 【详解】
解：A 、()
a a
b b --=r
r r r ，正确；
B 、0a 0⋅=r r ，正确；
C 、如果1
a b 2
=，那么a //b ，错误，可能共线； D 、如果a 2b =，那么a 2b =或a 2b =-r
，正确；
故选C ． 【点睛】
本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
6．若向量a r
与b r
均为单位向量，则下列结论中正确的是（ ）．
A ．a b =r r
B ．1a =r
C ．1b =r
D ．a b =r r
【答案】D 【解析】 【分析】
由向量a r 与b r 均为单位向量，可得向量a r 与b r
的模相等，但方向不确定．
【详解】
解：∵向量a r
与b r
均为单位向量， ∴向量a r
与b r
的模相等，
∴a b =r r
.
故答案是：D.
【点睛】
此题考查了单位向量的定义．注意单位向量的模等于1，但方向不确定．
7．以下等式正确的是（ ）． A ．0a a -=r r
B ．00a ⋅=r
C ．()
a b b a -=--r
r r r
D ．km k m =r r
【答案】C 【解析】 【分析】
根据平面向量的运算法则进行判断． 【详解】
解：A. 0a a -=r
r r
，故本选项错误； B. 00a ⋅=r
r
，故本选项错误；
C.
()
a b b a -=--r
r r r ，故本选项正确；
D. km k m =⋅r r
，故本选项错误. 故选：C. 【点睛】
考查了平面向量的有关运算，掌握平面向量的性质和相关运算法则是关键．
8．点C 在线段AB 上，且35
AC AB =u u u r u u u r ，若AC mBC =u u u r u u u r
，则m 的值等于（ ）．
A ．
23
B ．
32
C ．23
-
D ．32
-
【答案】D 【解析】 【分析】
根据已知条件即可得：25AC AB CB AB ==-u u u r u u u r u u u r u u u r ，从而得出：52
AB BC =-u u u r u u u
r ，再代入
35AC AB =u u u r u u u r
中，即可求出m 的值.
【详解】
解：∵点C 在线段AB 上，且35
AC AB =u u u r u u u r
∴25
AC AB CB AB ==-u u u r u u u r u u u r u u u r
∴5522CB AB BC ==-u u u r u u u r u u u r
∴55322335BC B C A C A B ⎛⎫=- ⎝==-⎪⎭
u u u r u u u r u u u r u u u r
故选D.
【点睛】
此题考查的是向量的运算，掌握共线向量的加法、减法和数乘法则是解决此题的关键.
9．D 、E 、F 分别是△ABC 三边AB 、BC 、CA 的中点，则下列等式不成立的是( ) A ．+ ＝
B ．++＝0
C ．
+
＝
D ．
+
＝
【答案】C 【解析】 【分析】
由加法的三角形法则化简求解即可． 【详解】
由加法的三角形法则可得， + ＝, ++＝ , +＝,
+
＝
故选：B. 【点睛】
此题考查向量的加法及其几何意义，解题关键在于掌握平面向量的加法法则.
10．已知在ABC ∆中，AB AC =，AD 是角平分线，点D 在边BC 上，设BC a =u u u r r
，AD b =u u u r r ，那么向量AC u u u r 用向量a r 、b r
表示为（ ） A ．12a b +r r B ．12a b r r - C ．12a b -+r r D ．12a b --r r
【答案】A 【解析】
试题分析：因为AB ＝AC ，AD 为角平分线，所以，D 为BC 中点，
＝12
a b +r
r ．故选A ．
考点：平面向量，等腰三角形的三线合一．
11．如果a b c +=r r r ，3a b c -=r r r
，且0c ≠r r ，下列结论正确的是
A ．=a b r r
B ．20a b +=r r
C ．a r
与b r
方向相同 D ．a r
与b r
方向相反
【答案】D 【解析】
【分析】
根据向量的性质进行计算判断即可. 【详解】
解：将a b c +=r r r 代入3a b c -=r r r ， 计算得：-2a b =r r
（方向相反）.
故选：D 【点睛】
本题考查了向量的性质，熟悉向量的性质是解题的关键.
12．规定：在平面直角坐标系中，如果点P 的坐标为(),m n ，向量OP u r
可以用点P 的坐标
表示为：(),OP m n =u r ．已知()11,OA x y =u r ，()22,OB x y =u r
，如果12120x x y y ⋅+⋅=，那么OA u r 与OB u r
互相垂直．在下列四组向量中，互相垂直的是（ ） A ．()()
01
3,2019,3,1OC OD -==-u r u r B
．
))
1,1,1,1OE OF =u r u r C
．(
()
21,,82OG OH ⎛
⎫= ⎪
⎝
⎭u r u r D
．
,OM +⎭
u r
【答案】A 【解析】 【分析】
根据题意中向量垂直的性质对各项进行求解即可． 【详解】 A.(
)1
332019
10-⨯-+⨯=，正确；
B.
))
11112⨯
+⨯=，错误；
C.(
2
1
842
+⨯=，错误；
D.
)
)
2222
⨯+=，错误； 故答案为：A ． 【点睛】
本题考查了向量垂直的问题，掌握向量互相垂直的性质以及判定是解题的关键．
13．若2a b c +=r r ，3a b c -=r r ，而且c r ≠0，a r 与r b 是（ ）
A ．a r 与r b 是相等向量
B ．a r 与r b 是平行向量
C ．a r 与r b 方向相同，长度不等
D ．a r 与r b 方向相反，长度相等
【答案】B 【解析】 【分析】
根据已知条件求得52a c =r r ，1b 2
c =-r r
，由此确定a r 与b r 位置和数量关系．
【详解】
解：由2a b c +=r r ，3a b c -=r r ，而且c r ≠0，得到：52a c =r r ，1b 2
c =-r r ，
所以a r 与b r 方向相反，且|a r
|＝5|b r |．
观察选项，只有选项B 符合题意． 故选：B ． 【点睛】
本题考查了平面向量的知识，属于基础题，注意对平面向量这一基础概念的熟练掌握．
14．下列判断错误的是（ ） A ．0•=0a v
v
B ．如果a r +b r =2c r ，a r -b r =3c r ，其中0c ≠r r ，那么a r ∥b r
C ．设e r 为单位向量，那么|e r |=1
D ．如果|a r |=2|b r |，那么a r =2b r 或a r =-2b r
【答案】D 【解析】 【分析】
根据平面向量的定义、向量的模以及平行向量的定义解答． 【详解】
A 、0•=0a v v ，故本选项不符合题意．
B 、由a v +b v
=2c v
，a v -b v
=3c v 得到：a v
＝52
c v ，b v ＝﹣12c v ，故两向量方向相反，a v ∥b v
，
故本选项不符合题意．
C 、e v 为单位向量，那么|e v
|=1，故本选项不符合题意． D 、由|a v
|=2|b v |只能得到两向量模间的数量关系，不能判断其方向，判断错误，故本选项
符合题意． 故选D ． 【点睛】
考查了平面向量，需要掌握平面向量的定义，向量的模以及共线向量的定义，难度不大．
15．下列说法不正确的是( ) A ．设e r
为单位向量，那么||1e =r
B ．已知a r 、b r 、c r 都是非零向量，如果2a c =r r ，4b c =-r r ，那么//a b r r
C ．四边形ABC
D 中， 如果满足//AB CD ，||||AD BC =u u u r u u u r
，那么这个四边形一定是平行四
边形
D ．平面内任意一个非零向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解 【答案】C 【解析】 【分析】
根据单位向量的定义、平行向量的定义以及平行四边形的判定进行解答即可． 【详解】
解：A. 设e r
为单位向量，那么||1e =r
，此选项说法正确；
B. 已知a r 、b r 、c r 都是非零向量，如果2a c =r r ，4b c =-r r ，那么//a b r r ，此选项说法正
确；
C. 四边形ABCD 中， 如果满足//AB CD ，||||AD BC =u u u r u u u r
，即AD=BC ，不能判定这个四边
形一定是平行四边形，此选项说法不正确；
D. 平面内任意一个非零向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解，此选项说法正确． 故选：C ． 【点睛】
本题考查的知识点是平面向量，掌握单位向量的定义、平行向量的定义以及平行四边形的判定方法是解此题的关键．
16．下列有关向量的等式中，不一定成立的是（ ）
A ．A
B BA =-u u u r u u u r
B ．AB BA =uu u r uu r
C ．AB BC AC +=u u u r u u u r u u u r
D ．AB BC AB BC +=+u u u r u u u r u u u r u u u r
【答案】D 【解析】 【分析】
根据向量的性质，逐一判定即可得解. 【详解】
A 选项，A
B BA =-u u u r u u u r
，成立；
B 选项，AB BA =uu u r uu r
，成立；
C 选项，AB BC AC +=u u u r u u u r u u u r
，成立；
D 选项，AB BC AB BC +=+u u u r u u u r u u u r u u u r
不一定成立；
故答案为D. 【点睛】
此题主要考查向量的运算,熟练掌握,即可解题.
17．在下列关于向量的等式中，正确的是（ ）
A ．A
B B
C CA =+u u u r u u u r u u u r
B ．AB B
C AC =-u u u r u u u r u u u r C ．AB CA BC =-u u u r u u u r u u u r
D ．0AB BC CA ++=u u u r u u u r u u u r r
【答案】D 【解析】 【分析】
根据平面向量的线性运算逐项判断即可. 【详解】
AB AC CB =+u u u r u u u r u u u r
，故A 选项错误； AB AC BC =-u u u r u u u r u u u r
，故B 、C 选项错误； 0AB BC CA ++=u u u r u u u r u u u r r
，故D 选正确. 故选：D. 【点睛】
本题考查向量的线性运算，熟练掌握运算法则是关键.
18．如图,在平行四边形ABCD 中，设AB a =r
r
,AD b =r r ，那么向量OC r
可以表示为. ( )
A ．1122a b +r r
B ．1122r r a b -
C ．1122a b -+r
r
D ．1122
a b --r
r
【答案】A 【解析】 【分析】
利用平行四边形的性质以及平面向量的加法与减法运算法则解题即可.
【详解】 由题意可得
()()
1111122222OC AC AD AB a b a b ==+=+=+r r
r r r r r r
【点睛】
本题主要考察平面向量的加法与减法运算，掌握平行四边形法则是解题的关键.
19．已知a r =3，b r =5，且b r 与a r 的方向相反，用a r
表示b r 向量为（ ） A ．35
b a =r r
B ．53
b a =r r
C ．35
b a =-r r
D ．53
b a =-r r
【答案】D 【解析】 【分析】
根据a r =3，b r =5，且b r 与a r 的方向相反，即可用a r
表示b r 向量.
【详解】
a r
=3，b r =5，
b r =53a r ,
b r 与a r
的方向相反, ∴5.3
b a =-r r
故选：D. 【点睛】
考查了平面向量的知识，注意平面向量的正负表示的是方向.
20．给出下列3个命题，其中真命题的个数是（ ）．
①单位向量都相等；②单位向量都平行；③平行的单位向量必相等． A ．1个 B ．2个
C ．3个
D ．0个
【答案】D 【解析】 【分析】
根据单位向量的定义、相等向量的定义和平行向量的定义逐一判断即可. 【详解】
解：①单位向量的方向不一定相同，故①错误；
②单位向量不一定平行，例如向上的单位向量和向右的单位向量，故②错误； ③平行的单位向量可能方向相反，所以平行的单位向量不一定相等，故③错误. 故选D. 【点睛】
此题考查的是平面向量的基本概念，掌握单位向量的定义、相等向量的定义和平行向量的定义是解决此题的关键.。