甘肃省天水市秦安县第二中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

甘肃省天水市秦安县第二中学2024-2025学年高二上学期期中
考试数学试题
一、单选题
1．直线10x y -+=的倾斜角为（）
A ．
π4
B ．
π2
C ．
3π4
D ．
π4
或3π42．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若158a a +=，3424a a =，则6S =（）
A ．10
B ．20
C ．30
D ．403．若22420x y x y m ++--=表示圆的方程，则m 的取值范围是（）
A ．()
5,+∞B ．()
,5-∞C ．()
,5-∞-D ．()
5,-+∞4．已知直线的倾斜角为π
6
，则直线的一个方向向量为（）
A ．(1,
B ．
C ．(1,
D ．(
5．在正项等比数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，若55S =，1015S =，则15S 的值为（）
A ．30
B ．35
C ．40
D ．75
6．已知两条直线1:3210l x y -+=和2:210l ax y ++=相互垂直，则a =（）A ．2
B ．3
C ．
43
D ．43
-
7．设椭圆()22
22:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 是C 上的点212PF F F ⊥，
1230PF F ∠=︒，则C 的离心率为（
）
A B ．
13C ．
12
D 8．已知实数,x y 满足方程2220x y x +-=，则1
1
y x ++的最大值是（）A ．
34
B ．
43
C ．0
D ．
12
二、多选题
9．已知数列{}n a 是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是（
）
A ．1n a ⎧⎫⎨⎬
⎩⎭
B ．{}
1n n a a +C ．()
{}
2
lg n a D ．{}
1n n a a ++10．已知直线:210l kx y k -++=和圆22:8O x y +=，则（）
A ．存在k 使得直线l 与直线0:20l x y -=垂直
B ．直线l 恒过定点(2,1)
C ．直线l 与圆O 相切
D ．直线l 被圆O 截得的最短弦长为
11．在数列{}n a 中，如果{}n a 的每一项与它的后一项的积等于同一个非零常数，则称数列{}n a 为“等积数列”，非零常数为数列{}n a 的公积.已知数列{}n a 是等积数列，且11a =，公积为2，设12,n n n S a a a T =+++= 12n a a a ，则（
）A ．2n n a a +=B ．20231
a =C ．20233069
S =D ．1012
20242
T =三、填空题
12．直线210x y --=与210x y -+=之间的距离是
.
13．已知圆1O ：221x y +=，圆2O ：()()2
2
316x y a ++-=，如果这两个圆有公共点，则实数a 取值范围是
.
14．已知椭圆()22
109x y m m
+=>的离心率为13，则m 的值为
.
四、解答题
15．已知直线1:240l x y -+=与直线2:50l x y -+=的交点为M .(1)求点M 的坐标；
(2)求经过点M 且与直线210x y --=平行的直线3l 的方程；(3)求经过点M 且与直线310x y ++=垂直的直线4l 的方程.16．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列53314,9a a S +==.
(1)求数列{}n a 的通项公式；
(2)设·3n
n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T .
17．已知圆C 经过点()()1,1,2,2A B -，且圆心在直线10x y ++=上．(1)求圆C 的标准方程；
(2)若直线260x y +-=与圆C 的交点为,M N ，求MN ．18．已知圆C ：()()2
2
344x y -+-=，点()5,1P ，点()1,2Q --．
(1)过点P 作圆C 的切线l ，求出l 的方程；
(2)设A 为圆C 上的动点，G 为三角形APQ 的重心，求动点G 的轨迹方程．19．已知椭圆G
2
2+
22
=1>>0的左、右顶点分别为A ，B ，点31,2⎛⎫
⎪⎝⎭
在该椭圆上，且
该椭圆的右焦点F 的坐标为1,0．
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)如图，过点F 且斜率为k 的直线l 与椭圆交于M ，N 两点，记直线AM 的斜率为1k ，直线
BN 的斜率为2k ，求证：121
3
k k =．。