广东省汕头市数学高三质检理数(5月二模)试卷

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汕头市2014二模考试考试理数试题

试卷类型：B2014年汕头市高三二模考试考试数学（理科） 2014.05本试卷共6页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损，监考教师分发的考生信息条形码是否正确；之后务必用0.5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．不按要求填涂的，答案无效．3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答．漏涂、错涂、多涂的答案无效 5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回．参考公式：① 体积公式：13V S h V S h =⋅=⋅柱体锥体，，其中,,V S h 分别是体积、底面积和高；② 平面上两点),(),,(2211y x B y x A 的距离公式:212212)()(||y y x x AB -+-=一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知函数lg y x =的定义域为A , {}01B x x =≤≤,则A B = ( )A ．()0,+∞B ．[]0,1C ．[)0,1D ．(]0,12. 如图是根据某班学生在一次数学考试中的成绩画出的频率分布直方图，若80分以上为优秀，根据图形信息可知：这次考试的优秀率为（） A ．25% B ．30% C ．35% D ．40%3. 已知向量(3,1)=a ，(,2)x =-b ，(0,2)=c ，若()⊥-a b c ，则实数x 的值为 ( )A ．43 B ．34 C ．34- D ．43- 4．将函数y ＝2cos2x 的图象向右平移2π个单位长度，再将所得图象的所有点的横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），得到的函数解析式为( ) A ．y ＝cos2xB ．y ＝－2cos xC ．y ＝－2sin4xD ．y ＝－2cos4x5. 已知圆C ：222)()(r b y a x =-+-的圆心为抛物线x y 42=的焦点，直线3x ＋4y ＋2＝0与圆C 相切，则该圆的方程为 ( )A ．2564)1(22=+-y xB ．2564)1(22=-+y x C ．1)1(22=+-y xD ．1)1(22=-+y x6.如图，在由x ＝0，y ＝0，x ＝2π及y ＝x cos 围成区域内任取一点，则该点落在x ＝0，y ＝sinx 及y ＝cosx围成的区域内（阴影部分）的概率为( )A 、1－2 B 1 C 、12D 、3－7．把边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，形成的三棱锥A BCD -的正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为( )A B C D8．已知在平面直角坐标系中有一个点列：()12220,1,(,)P P x y，……()*(,)n n nP x y n∈N．若点(,)n n nP x y到点()111,n n nP x y+++的变化关系为：⎩⎨⎧+=-=++nnnnnnxyyxyx11()*n∈N，则||20142013PP等于( )A.10042B．10052C．10062D．10072二、填空题：本题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分(一)必做题(9～13题)9.若Cx∈,则关于x的一元二次方程012=+-xx的根为 .10.命题“2,11x x∀∈+≥R”的否定是 .11．若关于x、y的不等式组5002x yy ax-+≥⎧⎪≥⎨⎪≤≤⎩表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是 .12．执行如右图所示的程序框图,若输入n的值为常数)3,(≥∈*mNmm,则输出的s的值为(用m表示) .13.关于x的不等式),(1+∈>+Rbabax的解集为),1(+∞,那么ba11+的取值范围是 .（二）选做题（14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分）14. （坐标系与参数方程选做题）已知直线L:1()42x tt Ry t=+⎧∈⎨=-⎩与圆M:2cos2([0,2]2sinxyθθπθ=+⎧∈⎨=⎩相交于AB，则以AB为直径的圆的面积为。

广东省2024届高三二模数学试题(解析版)

2023年普通高等学校招生全国统一考试模拟测试（二）数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}2Z |30A x x =∈-≤，{}1,2B =，则A B ⋃=（）A.{}0,1,2 B.{}2,1,0,1,2-- C.{}2,1,1,2-- D.{}1,0,1,2-【答案】D 【解析】【分析】根据题意列举法表示集合A ，再根据并集的运算求解即可.【详解】解：由题，{}{}2Z |301,0,1A x x =∈-≤=-，{}1,2B =，则A B ⋃={}1,0,1,2-.故选：D.2.已知复数isin z θθ=+（R θ∈，i 为虚数单位），则z 的最大值为（）A.2 B.C.3D.【答案】D 【解析】【分析】利用复数模的公式以及同角三角函数关系得z =，利用三角函数值域即可得到答案.【详解】由题意得z ==当cos 1θ=±时，等号成立，故max z =故选：D.3.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为233，则双曲线的两条渐近线的夹角为（）A.π6B.π4C.π3D.5π12【答案】C【解析】【分析】利用双曲线的性质，求出3b a =，求出双曲线的渐近线方程，进而得解.【详解】设双曲线22221x y a b -=的半焦距为c ，因为双曲线22221x y a b -=的离心率为3，所以3c e a ==，解得3c a =，由222+=a b c ，得22222223133b c a a a a ⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭，所以33b a =，所以渐近线方程为333a b y x x xa a =±=±=±，所以两条渐近线的倾斜角分别为π6和5π6，因为5ππ2π663-=，所以，两条渐近线所夹的锐角为2πππ33-=；即双曲线的两条渐近线的夹角为π3.故选：C.4.已知某摩天轮的半径为60m ，其中心到地面的距离为70m ，摩天轮启动后按逆时针方向匀速转动，每30分钟转动一圈．已知当游客距离地面超过100m 时进入最佳观景时间段，则游客在摩天轮转动一圈的过程中最佳观景时长约有（）A.5分钟B.10分钟C.15分钟D.20分钟【答案】B 【解析】【分析】求出游客到地面的距离为m y 关于转动时间t （单位：分钟）的函数关系式，然后解不等式100y >，可得出结果.【详解】设游客到地面的距离为m y ，设y 关于转动时间t （单位：分钟）的函数关系式为()()sin 0,0y A t b A ωϕω=++>>，则60A =，10A b -+=，可得70b =，函数()sin y A t b ωϕ=++的最小正周期为30T =，则2ππ15T ω==，当0=t 时，游客位于最低点，可取π2ϕ=-，所以，πππ60sin 7060cos 7015215tty ⎛⎫=-+=-+⎪⎝⎭，由100y >，即π60cos 7010015t -+>，可得π1cos 152t <-，所以，()2ππ4π2π2π3153t k k n +<<+∈N ，解得()30103020k t k k +<<+∈N ，因此，游客在摩天轮转动一圈的过程中最佳观景时长约有10分钟.故选：B.5.现有一个轴截面是边长为4的等边三角形的倒置圆锥（顶点在下方，底面在上方），将半径为32的小球放入圆锥，使得小球与圆锥的侧面相切，过所有切点所在平面将圆锥分割成两个部分，则分割得到的圆台的侧面积为（）A.27π8B.33π8 C.45π8D.55π8【答案】D 【解析】【分析】作轴截面图，求出圆台的母线长，底面半径长，结合侧面积公式可得其解.【详解】作轴截面图如下：ABC 为圆锥的轴截面，点O 为与侧面相切球的球心，点,E F 为切点，由已知，可得4AB BC AC ===，2OE OF ==，60ACB ∠= ，OE AC ⊥，在OEC △中，32OE =，90OEC ∠= ，30OCE ∠= ，所以32OC CE ==，又4AC =，所以52AE =，所以圆台的母线长为52，因为CE CF =，60ECF ∠=o ，所以ECF △为等边三角形，所以32EF =，所以圆台的侧面积3555ππ2428S ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭.故选：D.6.已知△ABC 是单位圆O 的内接三角形，若π4A =，则AB OC ⋅ 的最大值为（） A.12B.22C.1D.【答案】C 【解析】【分析】由题设易知OB OC ⊥且AB OB OA =- 、AB OC OA OC ⋅=-⋅ ，进而判断AB OC⋅最大时,OA OC的关系即可得答案.【详解】由圆O 是△ABC 的外接圆，且π4A =，故OB OC ⊥，所以AB OB OA =- ，则AB OC OB OC OA OC ⋅=⋅-⋅ ，所以cos ,AB OC OA OC OA OC ⋅=-⋅=- ，故,OA OC 反向共线时AB OC ⋅ 最大，所以max ()1AB OC ⋅=.故选：C7.已知()20232202301220231x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，则122023111a a a ++⋅⋅⋅+=（）A.1-B.0C.1D.20231012【答案】A 【解析】【分析】根据二项式系数的性质可得出()20231100,1,2,,2023k k k a a -+== ，结合此性质可求得122023111a a a ++⋅⋅⋅+的值.【详解】()20231x -的展开式通项为()()()120232023C C 10,1,2,,2023kkk kk k T x x k +=⋅-=⋅-= ，所以，()()2023C 10,1,2,,2023kk k a k =⋅-= ，所以，()()()()2023202322023202320232023202320232023C 1C 11C C 10kkk k k kk k k k a a -----⎡⎤+=⋅-+⋅-=-⋅+⋅-=⎣⎦，所以，()20231100,1,2,,2023k k k a a -+== ，且01a =，所以，122023012202311111111a a a a a a a a ⎛⎫++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+- ⎪⎝⎭020231202210111012011111111a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ .故选：A.8.已知ln 22a =，ln 3e b =，c =，则（参考数据：ln 20.7≈）（）A.a b c>> B.b a c>> C.b c a>> D.c a b>>【答案】B 【解析】【分析】由ln 22ln 2ln 4244a ===，c =考虑构造函数()ln x f x x =，利用导数研究函数的单调性，利用单调性比较大小即可.【详解】因为ln 22ln 2ln 4244a ===，c =，考虑构造函数()ln x f x x =，则()21ln xf x x-'=，当0e x <<时，()0f x ¢>，函数()f x 在()0,e 上单调递增，当e x >时，()0f x '<，函数()f x 在()e,+∞上单调递减，因为ln 20.7≈，所以0.7e 2≈，即()20.7e4≈，所以所以ln3ln434>>，即ln3ln232>>，又ln3ln33e<，所以ln3ln2e 2>>，故b a c >>，故选：B.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于将被比较的数化为结构相似的形式，考虑构造函数利用函数的单调性比较大小.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知直线m 与平面α有公共点，则下列结论一定正确的是（）A.平面α内存在直线l 与直线m 平行B.平面α内存在直线l 与直线m 垂直C.存在平面γ与直线m 和平面α都平行D.存在过直线m 的平面β与平面α垂直【答案】BD 【解析】【分析】利用反证法可判断A 选项；对直线m 与α的位置关系进行分类讨论，结合图形可判断B 选项；利用图形可判断C 选项；利用面满垂直的判定定理可判断D 选项.【详解】对于A 选项，若直线m 与α相交，且平面α内存在直线l 与直线m 平行，由于m α⊄，则//m α，这与直线m 与α相交矛盾，假设不成立，A 错；对于B 选项，若m α⊂，则在平面α内必存在l 与直线m 垂直，。

广东省揭阳市揭东区2024届高三5月调研测试(二)数学试题

广东省揭阳市揭东区2024届高三5月调研测试（二）数学试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积（）A ．623+B ．622+C ．442+D ．443+2．若复数12biz i-=+（b R,i ∈为虚数单位）的实部与虚部相等，则b 的值为( ) A ．3B ．3±C ．3-D ．33．已知a b ，满足23a =，3b =，6a b ⋅=-,则a 在b 上的投影为（） A ．2-B ．1-C ．3-D ．24．已知12,F F 是双曲线222:1(0)x C y a a-=>的两个焦点，过点1F 且垂直于x 轴的直线与C 相交于,A B 两点，若2AB =2ABF ∆的内切圆半径为（）A ．23B ．33C ．323D ．2335．已知33a b ==，且(2)(4)a b a b -⊥+，则2a b -在a 方向上的投影为（） A ．73B ．14C ．203D ．76．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线经过圆22:240E x y x y ++-=的圆心，则双曲线C 的离心率为（） A 5 B 5C 2D ．27．已知复数z 满足(3)1i z i +=+，则z 的虚部为（） A ．i -B ．iC ．–1D ．18．已知三棱锥D ABC -的体积为2，ABC 是边长为2的等边三角形，且三棱锥D ABC -的外接球的球心O 恰好是CD 中点，则球O 的表面积为（） A ．523πB ．403πC ．253πD ．24π9．已知函数()3sin cos f x x m x =+，其图象关于直线3x π=对称，为了得到函数2()3cos2g x m x =+的图象，只需将函数()f x 的图象上的所有点（） A ．先向左平移6π个单位长度，再把所得各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变 B ．先向右平移6π个单位长度，再把所得各点横坐标缩短为原来的12，纵坐标保持不变 C ．先向右平移3π个单位长度，再把所得各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变 D ．先向左平移3π个单位长度，再把所得各点横坐标缩短为原来的12，纵坐标保持不变 10．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的表面积为（）A ．8B ．83C ．82+D ．842+11．若函数()f x 的图象如图所示，则()f x 的解析式可能是（）A ．()x e xf x x +=B ．()21x f x x -=C ．()x e xf x x-=D ．()21x f x x +=12．函数()()()sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的图象如图所示，为了得到()cos g x x ω=的图象，可将()f x 的图象（）A ．向右平移6π个单位 B ．向右平移12π个单位C ．向左平移12π个单位D ．向左平移6π个单位二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

广东省2023年高考数学模拟(二模)试题按题型难易度分层分类汇编(12套)-03解答题(较难题)

广东省2023年各地区高考数学模拟（二模）试题按题型难易度分层分类汇编（12套）-03解答题（较难题）一．数列的求和（共1小题）1．（2023•汕头二模）已知各项均为正数的数列{a n}满足：a1＝3，且a n a n+12﹣2（a n2﹣1）a n+1﹣a n＝0，n∈N*．（1）设b n＝a n﹣，求数列{b n}的通项公式；（2）设S n＝a12+a22+…+a n2，T n＝++…+，求S n+T n，并确定最小正整数n，使S n+T n为整数．二．利用导数研究函数的单调性（共1小题）2．（2023•梅州二模）已知函数f（x）＝e x﹣1﹣alnx，其中a∈R．（1）当a＝1时，讨论f（x）的单调性；（2）当x∈[0，π]时，2f（x+1）﹣cos x≥1恒成立，求实数a的取值范围．三．利用导数研究函数的最值（共6小题）3．（2023•高州市二模）设定义在R上的函数f（x）＝e x﹣ax（a∈R）．（1）若存在x0∈[1，+∞），使得f（x0）＜e﹣a成立，求实数a的取值范围；（2）定义：如果实数s，t，r满足|s﹣r|≤|t﹣r|，那么称s比t更接近r．对于（1）中的a 及x≥1，问：和e x﹣1+a哪个更接近lnx？并说明理由．4．（2023•汕头二模）已知函数f（x）＝﹣lnx，，a∈R．（1）若函数g（x）存在极值点x0，且g（x1）＝g（x0），其中x1≠x0，求证：x1+2x0＝0；（2）用min{m，n}表示m，n中的最小值，记函数h（x）＝min{f（x），g（x）}（x＞0），若函数h（x）有且仅有三个不同的零点，求实数a的取值范围．5．（2023•潮州二模）已知函数（e是自然对数的底数）有两个零点．（1）求实数a的取值范围；（2）若f（x）的两个零点分别为x1，x2，证明：．6．（2023•广东二模）已知f（x）＝x2﹣ae x，存在x1＜x2＜x3，使得f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝0．（1）求实数a的取值范围；（2）试探究x1+x2+x3与3的大小关系，并证明你的结论．7．（2023•湛江二模）已知函数．（1）求曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程．（2）若存在x1≠x2使得f（x1）＝f（x2），证明：（i）m＞0；（ii）2m＞e（lnx1+lnx2）．8．（2023•佛山二模）已知函数，其中a≠0．（1）若f（x）有两个零点，求a的取值范围；（2）若f（x）≥a（1﹣2sin x），求a的取值范围．四．直线与椭圆的综合（共1小题）9．（2023•潮州二模）已知椭圆过点和点A（x0，y0）（x0y0≠0），T的上顶点到直线的距离为2，如图过点A的直线l与x，y轴的交点分别为M，N，且，点A，C关于原点对称，点B，D关于原点对称，且．（1）求|MN|的长度；（2）求四边形ABCD面积的最大值．五．直线与抛物线的综合（共1小题）10．（2023•广东二模）已知A，B是抛物线E：y＝x2上不同的两点，点P在x轴下方，PA 与抛物线E交于点C，PB与抛物线E交于点D，且满足，其中λ是常数，且λ≠1．（1）设AB，CD的中点分别为点M，N，证明：MN垂直于x轴；（2）若点P为半圆x2+y2＝1（y＜0）上的动点，且λ＝2，求四边形ABDC面积的最大值．六．直线与双曲线的综合（共1小题）11．（2023•茂名二模）已知F1，F2分别为双曲线E：＝1（{a＞0，b＞0}）的左、右焦点，P为渐近线上一点，且|PF1|＝|PF2|，cos∠F1PF2＝．（1）求双曲线的离心率；（2）若双曲线E实轴长为2，过点F2且斜率为k的直线l交双曲线C的右支不同的A，B两点，Q为x轴上一点且满足|QA|＝|QB|，试探究是否为定值，若是，则求出该定值；若不是，请说明理由．七．直线与圆锥曲线的综合（共3小题）12．（2023•高州市二模）在一张纸上有一个圆C：＝4，定点，折叠纸片使圆C上某一点S1好与点S重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕PQ，设折痕PQ与直线S1C的交点为T．（1）求证：||TC|﹣|TS||为定值，并求出点T的轨迹C′方程；（2）设A（﹣1，0），M为曲线C′上一点，N为圆x2+y2＝1上一点（M，N均不在x轴上）．直线AM，AN的斜率分别记为k1，k2，且k2＝﹣，求证：直线MN过定点，并求出此定点的坐标．13．（2023•汕头二模）如图，F1（﹣c，0）、F2（c，0）为双曲线的左、右焦点，抛物线C2的顶点为坐标原点，焦点为F2，设C1与C2在第一象限的交点为P（m，n），且|PF1|＝7，|PF2|＝5，∠PF2F1为钝角．（1）求双曲线C1与抛物线C2的方程；（2）过F2作不垂直于x轴的直线l，依次交C1的右支、C2于A、B、C、D四点，设M 为AD中点，N为BC中点，试探究是否为定值．若是，求此定值；若不是，请说明理由．14．（2023•广州二模）已知点F（1，0），P为平面内一动点，以PF为直径的圆与y轴相切，点P的轨迹记为C．（1）求C的方程；（2）过点F的直线l与C交于A，B两点，过点A且垂直于l的直线交x轴于点M，过点B且垂直于的直线交x轴于点N．当四边形MANB的面积最小时，求l的方程．八．离散型随机变量的期望与方差（共2小题）15．（2023•高州市二模）春节过后，文化和旅游业逐渐复苏，有意跨省游、出境游的旅客逐渐增多．某旅游景区为吸引更多游客，计划在社交媒体平台和短视频平台同时投放宣传广告并进行线上售票，通过近些年的广告数据分析知，一轮广告后，在短视频平台宣传推广后，目标用户购买门票的概率为，在社交媒体平台宣传推广后，目标用户购买门票的概率为q；二轮广告精准投放后，目标用户在短视频平台进行复购的概率为p，在社交媒体平台复购的概率为．（1）记在短视频平台购票的4人中，复购的人数为X，若，试求X的分布列和期望；（2）记在社交媒体平台的3名目标用户中，恰有1名用户购票并复购的概率为P，当P 取得最大值时，q为何值？（3）为优化成本，该景区决定综合渠道投放效果的优劣，进行广告投放战略的调整．已知景区门票100元/人，在短视频平台和社交媒体平台的目标用户分别在90万人和17万人左右，短视频平台和社交媒体平台上的广告投放费用分别为4元/100人和5元/100人，不计宣传成本的景区门票利润率分别是2%和5%，在第（2）问所得q值的基础上，试分析第一次广告投放后，景区在两个平台上的目标用户身上可获得的净利润总额．16．（2023•茂名二模）马尔可夫链是因俄国数学家安德烈•马尔可夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第n+1次状态的概率分布只跟第n次的状态有关，与第n﹣1，n﹣2，n﹣3，…次状态是“没有任何关系的”．现有甲、乙两个盒子，盒子中都有大小、形状、质地相同的2个红球和1个黑球．从两个盒子中各任取一个球交换，重复进行n（n∈N*）次操作后，记甲盒子中黑球个数为X n，甲盒中恰有1个黑球的概率为a n，恰有2个黑球的概率为b n．（1）求X1的分布列；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）求X n的期望．广东省2023年各地区高考数学模拟（二模）试题按题型难易度分层分类汇编（12套）-03解答题（较难题）参考答案与试题解析一．数列的求和（共1小题）1．（2023•汕头二模）已知各项均为正数的数列{a n}满足：a1＝3，且a n a n+12﹣2（a n2﹣1）a n+1﹣a n＝0，n∈N*．（1）设b n＝a n﹣，求数列{b n}的通项公式；（2）设S n＝a12+a22+…+a n2，T n＝++…+，求S n+T n，并确定最小正整数n，使S n+T n为整数．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）由题意知，b n+1＝a n+1﹣＝＝＝＝2b n，，∴数列{b n}是公比为2，首项为的等比数列，其通项公式为．（2）由（1）有+…++2n＝（）2+（）2+…（）2+2n＝，n∈N*，为使S n+T n＝，n∈N*，当且仅当为整数．当n＝1，2时，S n+T n不为整数，当n≥3时，4n﹣1＝（1+3）n﹣1＝，∴只需为整数，∵3n﹣1与3互质，∴为9的整数倍，当n＝9时，为整数，故n的最小值为9．二．利用导数研究函数的单调性（共1小题）2．（2023•梅州二模）已知函数f（x）＝e x﹣1﹣alnx，其中a∈R．（1）当a＝1时，讨论f（x）的单调性；（2）当x∈[0，π]时，2f（x+1）﹣cos x≥1恒成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）递增区间为（1，+∞），递减区间为（0，1）；（2）（﹣∞，1]．【解答】解：（1）a＝1，f（x）＝e x﹣1﹣lnx，x＞0，则在（0，+∞）上单调递增且f′（1）＝0，所以当0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，故f（x）的单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（0，1）；（2）令g（x）＝2f（x+1）﹣cos x＝2e x﹣2aln（x+1）﹣cos x，x∈[0，π]，所以g′（x）＝+sin x，当a≤0时，g′（x）＞0，则g（x）在[0，π]上单调递增，g（x）≥g（0）＝1，符合题意；当a＞0时，令h（x）＝g′（x），则h′（x）＝＞0，故h（x）即g′（x）在[0，π]上单调递增，又g′（0）＝2﹣2a，（i）当0＜a≤1时，g′（x）≥g′（0）＝2﹣2a≥0，g（x）在[0，π]上单调递增，g （x）≥g（0）＝1，符合题意；（ii）当g'（π）＝2eπ﹣+sinπ≤0，即a≥（π+1）eπ时，对任意的x∈[0，π]，g′（x）≤0，所以g（x）在（0，π）上单调递减，此时g（x）＜g（0）＝2e0﹣2aln1﹣cos0＝1，不合题意．（iii）当1＜a＜（π+1）eπ时，因为g′（x）在[0，π]上单调递增，且g′（0）g′（π）＝（2﹣2a）（2eπ﹣）＜0，所以∃x0∈[0，π]，使g'（x0）＝0，且当x∈（0，x'）时，g'（x）单调递减．此时g（x）＜g（0）＝2e0﹣2aln1﹣cos0＝1，不合题意．综上，实数a的取值范围为（﹣∞，1]．三．利用导数研究函数的最值（共6小题）3．（2023•高州市二模）设定义在R上的函数f（x）＝e x﹣ax（a∈R）．（1）若存在x0∈[1，+∞），使得f（x0）＜e﹣a成立，求实数a的取值范围；（2）定义：如果实数s，t，r满足|s﹣r|≤|t﹣r|，那么称s比t更接近r．对于（1）中的a 及x≥1，问：和e x﹣1+a哪个更接近lnx？并说明理由．【答案】（1）（e，+∞）．（2）比e x﹣1+a更接近lnx，理由见解析．【解答】解：（1）因为存在x0∈[1，+∞），使得f（x0）＜e﹣a成立，即f（x）min＜e﹣a，由题设知，f'（x）＝e x﹣a，①当a≤0时，f'（x）＞0恒成立，f（x）在R上单调递增；即f（x）在[1，+∞）单调递增，f（x）min＝f（1）＝e﹣a，不满足f（x）min＜e﹣a，所以a≤0舍去．②当a＞0时，令f'（x）＝0，得x＝lna，当x∈（﹣∞，lna）时f'（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（lna，+∞）时f'（x）＞0，f （x）单调递增；当a≤e时，f（x）在[1，+∞）单调递增，f（x）min＝f（1）＝e﹣a，不满足f（x）min＜e﹣a，所以a≤e，舍去．当a＞e时，lna＞1，f（x）在（1，lna）单调递减，在（lna，+∞）单调递增，所以f （x）min＝f（lna）＜f（1）＝e﹣a成立，故当a＞e时成立．综上：a＞e，即实数a的取值范围是（e，+∞）．（2）令，x≥1，p（x）在[1，+∞）单调递减．因为p（e）＝0，故当1≤x≤e时，p（x）≥p（e）＝0；当x＞e时，p（x）＜0；令q（x）＝e x﹣1+a﹣lnx，x≥1，令，，h（x）在[1，+∞）单调递增，故h（x）≥h（1）＝0，所以q'（x）＝h（x）＞0，则q（x）在[1，+∞）单调递增，所以q（x）≥q（1）＝a+1，由（1）知a＞e，q（x）≥q（1）＝a+1＞0；①当1≤x≤e时，p（x）≥0，q（x）＞0，令，所以，故m（x）在[1，e]单调递减，所以m（x）≤m（1）＝e﹣1﹣a，由（1）知a＞e，所以m（x）≤m（1）＝e﹣1﹣a＜0，即m（x）＝|p（x）|﹣|q（x）|＜0，故|p（x）|＜|q（x）|，所以比e x﹣1+a更接近lnx；②当x＞e时，p（x）＜0，q（x）＞0，令＝，，令，，p（x）在（e，+∞）上单调递减，所以，n'（x）＝p（x）＜0，n（x）在（e，+∞）单调递减，所以n（x）≤n（e）＝1﹣e e﹣1﹣a，由（1）知a＞e，所以n（x）＜n（e）＝1﹣e e﹣1﹣a＜0，即n（x）＝|p（x）|﹣|q（x）|＜0，故|p（x）|＜|q（x）|，所以比e x﹣1+a更接近lnx；综上：当a＞e及x≥1，比e x﹣1+a更接近lnx．4．（2023•汕头二模）已知函数f（x）＝﹣lnx，，a∈R．（1）若函数g（x）存在极值点x0，且g（x1）＝g（x0），其中x1≠x0，求证：x1+2x0＝0；（2）用min{m，n}表示m，n中的最小值，记函数h（x）＝min{f（x），g（x）}（x＞0），若函数h（x）有且仅有三个不同的零点，求实数a的取值范围．【答案】（1）证明见解析；（2）（）．【解答】（1）证明：由题意，，g'（x）＝3x2﹣a，当a≤0时，g'（x）≥0恒成立，没有极值．当a＞0时，令g'（x）＝0，即3x2﹣a＝0，解之得，，当x∈（﹣∞，x1′）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增；当x∈（x1′，x2′）时，g'（x）＜0，g（x）单调递减；当x∈（x2′，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增．∴g（x）的极大值为，极小值为，当时，要证x1+2x0＝0，即证，代入计算有，，，则有g（x0）＝g（x1）符合题意，即x1+2x0＝0得证；当时，要证x1+2x0＝0，即证，代入计算有，，，则有g（x0）＝g（x1）符合题意，即x1+2x0＝0得证．综上，当x0为极大值点和极小值点时，x1+2x0＝0均成立．（2）解：①当x∈（1，+∞）时，f（x）＝﹣lnx＜0，∴h（x）＝min{f（x），g（x）}≤f （x）＜0，故函数h（x）在x∈（1，+∞）时无零点；②当x＝1时，f（1）＝0，，若，则g（1）≥0，h（x）＝f（1）＝0，故x＝1是函数h（x）的一个零点；若，则g（1）＜0，∴h（x）＝g（x）＜0，故x＝1时函数h（x）无零点．③当x∈（0，1）时，f（x）＝﹣lnx＞0，因此只需要考虑g（x），由题意，，g'（x）＝3x2﹣a，（一）当a≤0时，g'（x）≥0恒成立，∴g（x）在（0，1）上单调递增，，∴g（x）＞0在x∈（0，1）恒成立，即g（x）在（0，1）内无零点，也即h（x）在（0，1）内无零点；（二）当a≥3时，x∈（0，1），g'（x）＜0恒成立，∴g（x）在（0，1）上单调递减，即g（x）在（0，1）内有1个零点，也即h（x）在（0，1）内有1个零点；（三）a∈（0，3）时，函数g（x）在上单调递减，∴，若，即时，g（x）在（0，1）内无零点，也即h（x）在（0，1）内无零点；若，即时，g（x）在（0，1）内有唯一的一个零点，也即h（x）在（0，1）内有唯一的零点；若，即时，由，，∴时，g（x）在（0，1）内有两个零点．综上所述，当a∈（）时，函数有3个零点．5．（2023•潮州二模）已知函数（e是自然对数的底数）有两个零点．（1）求实数a的取值范围；（2）若f（x）的两个零点分别为x1，x2，证明：．【答案】（1）（e，+∞）；（2）证明见解析．【解答】解：（1）有两个零点，等价于h（x）＝xe x﹣a（lnx+x）＝xe x﹣aln（xe x）（x＞0）有两个零点，令t＝xe x，则t′＝（x+1）e x＞0，在x＞0时恒成立，所以t＝xe x在x＞0时单调递增，所以h（x）＝xe x﹣aln（xe x）有两个零点，等价于g（t）＝t﹣alnt有两个零点，，①当a≤0时，g′（t）＞0，g（t）单调递增，不可能有两个零点；②当a＞0时，令g′（t）＞0，得t＞a，g（t）单调递增，令g′（t）＜0，得0＜t＜a，g（t）单调递减，所以g（t）min＝g（a）＝a﹣alna，若g（a）＞0，得0＜a＜e，此时g（t）＞0恒成立，没有零点；若g（a）＝0，得a＝e，此时g（t）有一个零点；若g（a）＜0，得a＞e，因为g（1）＝1＞0，g（e）＝e﹣a＜0，g（e a）＝e a﹣a2＞0，所以g（t）在（1，e），（e，e a）上各存在一个零点，符合题意，综上，a的取值范围为（e，+∞）．（2）证明：要证只需证，即证，由（1）知，，所以只需证lnt1+lnt2＞2，因为alnt1＝t1，alnt2＝t2，所以a（lnt2﹣lnt1）＝t2﹣t1，a（lnt2+lnt1）＝t2+t1，所以，只需证，设0＜t1＜t2，令，则t＞1，所以只需证即证，令，t＞1，则，h（t）＞h（1）＝0，即当t＞1时，成立，所以lnt1+lnt2＞2，即，即．6．（2023•广东二模）已知f（x）＝x2﹣ae x，存在x1＜x2＜x3，使得f（x1）＝f（x2）＝f （x3）＝0．（1）求实数a的取值范围；（2）试探究x1+x2+x3与3的大小关系，并证明你的结论．【答案】（1）（0，）；（2）x1+x2+x3＞3，证明见解析．【解答】解：（1）由题意得f（x）＝x2﹣ae x有三个零点，所以方程x2﹣ae x＝0有三个根，即方程有三个根，所以函数y＝a与函数的图象有三个公共点，设，则，令g′（x）＞0，解得0＜x＜2；令g′（x）＜0，解得x＜0或x＞2，所以g（x）在（0，2）上单调递增，在（﹣∞，0）和（2，+∞）上单调递减，因为当x→﹣∞时，g（x）→+∞，当x→+∞时，g（x）→0，且g（0）＝0，，所以g（0）＜a＜g（2），所以，即实数a的取值范围为（0，）．（2）x1+x2+x3＞3，证明如下：因为x1＜x2＜x3，由（1）得x1＜0＜x2＜2＜x3，由，得2lnx2﹣x2＝2lnx3﹣x3，设h（x）＝2lnx﹣x，则h（x2）＝h（x3），求导得，令h′（x）＞0，解得0＜x＜2，令h'（x）＜0，解得x＞2，所以h（x）在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减，设m（x）＝h（4﹣x）﹣h（x），0＜x＜2，则m（x）＝2ln（4﹣x）﹣4+x﹣2lnx+x＝2ln（4﹣x）﹣2lnx+2x﹣4，0＜x＜2，求导得恒成立，所以m（x）在（0，2）上单调递减，所以m（x）＞m（2）＝0，即h（4﹣x）＞h（x），因为0＜x2＜2，所以h（4﹣x2）＞h（x2）＝h（x3），又因为x3＞2，4﹣x2＞2，h（x）在（2，+∞）上单调递减，所以4﹣x2＜x3，即x2+x3＞4，设且x0＜0，则，因为g（x）在（﹣∞，0）上单调递减，所以x1＞x0，因为e3＞4，所以，所以，因为g（x）在（﹣∞，0）上单调递减，所以x0＞﹣1，所以x1＞x0＞﹣1，所以x1+x2+x3＞4﹣1＝3．7．（2023•湛江二模）已知函数．（1）求曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程．（2）若存在x1≠x2使得f（x1）＝f（x2），证明：（i）m＞0；（ii）2m＞e（lnx1+lnx2）．【答案】（1）y＝（1﹣m）x+m+；（2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析．【解答】（1）解：因为f'（x）＝e x﹣1﹣x+1﹣，所以f'（1）＝1﹣m，又f（1）＝，所以曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程为y﹣＝（1﹣m）（x﹣1），即y＝（1﹣m）x+m+；（2）证明：（i）依题意可知f'（x）有零点，即m＝x（e x﹣1﹣x+1）有正数解，令φ（x）＝e x﹣1﹣x+1，则φ'（x）＝e x﹣1﹣1．当x∈（0，1）时，φ'（x）＜0，φ（x）单调递减；当x∈（1，+∞）时，φ'（x）＞0，φ（x）单调递增，所以φ（x）≥φ（1）＝1＞0，所以m＞0．（ii）不妨设x1＞x2＞0．由f（x1）＝f（x2）可得m＝，因为x1＞x2，所以lnx1＞lnx2，要证2m＞e（lnx1+lnx2），只要证﹣+x1﹣（lnx1）2＞﹣+x2﹣（lnx2）2，令g（x）＝e x﹣1﹣x2+x﹣（lnx）2，即只要证g（x1）＞g（x2），即只要证y＝g（x）在（0，+∞）上单调递增，即只要证g'（x）＝e x﹣1﹣x+1﹣e•≥0在（0，+∞）上恒成立，即只要证e x﹣1﹣x+1≥e•在（0，+∞）上恒成立．令h（x）＝，则h'（x）＝，当x∈（0，e）时，h'（x）＞0，h（x）单调递增：当x∈（e，+∞）时，h'（x）＜0，h （x）单调递减，所以h（x）≤h（e）＝l．由（i）知，φ（x）＝e x﹣1﹣x+1≥1在（0，+∞）上恒成立，所以e x﹣1﹣x+1≥1≥在（0，+∞）上恒成立，故2m＞e（lnx1+lnx2）．8．（2023•佛山二模）已知函数，其中a≠0．（1）若f（x）有两个零点，求a的取值范围；（2）若f（x）≥a（1﹣2sin x），求a的取值范围．【答案】（1）（，+∞）；（2）（0，1]．【解答】解：（1）∵有两个零点，∴＝有两个根，设g（x）＝，则g′（x）＝＝，当x＜1时，则g′（x）＞0，g（x）单调递增，当x＞1时，则g′（x）＜0，g（x）单调递减，∴当x＝1时，g（x）max＝，当x→+∞时，g（x）→0，当x→﹣∞时，g（x）→﹣∞，∴0＜＜，∴a＞，∴a的取值范围为（，+∞）；（2）设h（x）＝e x﹣3x﹣a（1﹣2sin x），由h（0）≥0，h（）≥0，则0＜a≤1，下面证明：当0＜a≤1时，e x﹣3x﹣a（1﹣2sin x）≥0，即证e x﹣x+2sin x﹣1≥0，设＝b（b≥1），即证b2e x﹣3bx+2sin x﹣1≥0，令t（b）＝b2e x﹣3bx+2sin x﹣1（b≥1），则二次函数的开口向上，对称轴为b＝，由①得，≤＜1，∴t（b）在[1，+∞）单调递增，∴t（b）≥t（1）＝e x﹣3x+2sin x﹣1，下面再证明：e x﹣3x+2sin x﹣1≥0，即证：﹣1≤0，设F（X）＝﹣1，则F′（X）＝，设m（x）＝2﹣3x+2sin x﹣2cos x，则m′（x）＝﹣3+2sin x﹣2cos x＝2sin（x﹣）﹣3＜0，∴m（x）单调递减，且m（0）＝0，则当x＞0时，F′（X）＜0，F（X）单调递减，当x＜0时，F′（X）＞0，F（X）单调递增，∴F（X）≤F（0）＝1﹣1＝0，即﹣1≤0，则e x﹣3x﹣a（1﹣2sin x）≥0，综上，a的取值范围为（0，1]．四．直线与椭圆的综合（共1小题）9．（2023•潮州二模）已知椭圆过点和点A（x0，y0）（x0y0≠0），T的上顶点到直线的距离为2，如图过点A的直线l与x，y轴的交点分别为M，N，且，点A，C关于原点对称，点B，D关于原点对称，且．（1）求|MN|的长度；（2）求四边形ABCD面积的最大值．【答案】（1）3；（2）4．【解答】解：（1）T的上顶点（0，b）到直线的距离，解得b＝1，又椭圆过点，则，解得a2＝4，所以椭圆方程为，因为点A（x0，y0）（x0y0≠0）在椭圆上，所以，由题意直线l的斜率存在，设过点A的直线l方程为y﹣y0＝k（x﹣x0），令x＝0，则y＝y0﹣kx0，令y＝0，则，即，由，得，所以，所以，所以＝；（2）由（1）得直线MN的斜率，因为，所以，所以直线BD的方程为，即2y0x+yx0＝0，联立，解得，所以|x|＝，所以，点A到直线BD的距离，又因，所以，由椭圆的对称性可得四边形S△ABD＝S△CBD，所以四边形ABCD面积，，当且仅当，即时取等号，则，，所以，即四边形ABCD面积的最大值为4．五．直线与抛物线的综合（共1小题）10．（2023•广东二模）已知A，B是抛物线E：y＝x2上不同的两点，点P在x轴下方，PA 与抛物线E交于点C，PB与抛物线E交于点D，且满足，其中λ是常数，且λ≠1．（1）设AB，CD的中点分别为点M，N，证明：MN垂直于x轴；（2）若点P为半圆x2+y2＝1（y＜0）上的动点，且λ＝2，求四边形ABDC面积的最大值．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解答】（1）证明：因为，且P，A，C共线，P，B，D共线，所以AB ∥CD，所以直线AB和直线CD的斜率相等，即k AB＝k CD，设，，，，则点M的横坐标，点N的横坐标，由k AB＝k CD，得，因式分解得，约分得x2+x1＝x4+x3，所以，即x M＝x N，所以MN垂直于x轴．（2）解：设P（x0，y0），则，且﹣1≤y0＜0，当λ＝2时，C为PA中点，则，，因为C在抛物线上，所以，整理得，当λ＝2时，D为PB中点，同理得，所以x1，x2是方程的两个根，因为，由韦达定理得x1+x2＝2x0，，所以，所以PM也垂直于x轴，所以，因为，所以＝＝＝，﹣1≤y0＜0，当时，取得最大值，所以，所以四边形ABDC面积的最大值为．六．直线与双曲线的综合（共1小题）11．（2023•茂名二模）已知F1，F2分别为双曲线E：＝1（{a＞0，b＞0}）的左、右焦点，P为渐近线上一点，且|PF1|＝|PF2|，cos∠F1PF2＝．（1）求双曲线的离心率；（2）若双曲线E实轴长为2，过点F2且斜率为k的直线l交双曲线C的右支不同的A，B两点，Q为x轴上一点且满足|QA|＝|QB|，试探究是否为定值，若是，则求出该定值；若不是，请说明理由．【答案】（1）e＝2．（2）证明见解析．【解答】解：（1）由|PF1|＝|PF2|，可设|PF1|＝x，|PF2|＝x，在△PF1F2中cos∠F1PF2＝，∴|F1F2|2＝7x2+3x2﹣2x•x＝4x2，即|F1F2|＝2x，∴|PF1|2＝|PF2|2+|F1F2|2，∴△PF1F2为直角三角形，∴在△OPR2中，PF2⊥OF2，|PF2|＝x，|OF2|＝x，＝，则双曲线的离心率为e＝＝＝＝2．（2）在双曲线中＝，且实轴长为2，所以a＝1，b＝，所以双曲线E方程为．由F2（2，0），故设斜率为k的直线l为y＝k（x﹣2），y＝k（x﹣2）代入．可得（3﹣k2）x2+4k2x﹣4k2﹣3＝0，∵直线l与双曲线右支交于不同两点，∴，解得k2≥3，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝，x1x2＝，则＝，＝k（﹣2）＝，即A，B的中点坐标为（，），因为Q为x轴上一点，满足|QA|＝|QB|，故Q为AB的垂直平分线与x轴的交点，AB的垂直平分线的方程为：y﹣＝﹣（x﹣﹣），令y＝0，则得x＝，即Q（，0），∴|QF2|＝|﹣﹣2|＝，又|AB|＝＝•＝，又因为A，B在双曲线的右支上，故|AF1|﹣|AF2|＝2a＝2，|BF1|﹣|BF2|＝2，故|AF1|+|BF1|﹣|AF2|﹣|BF2|＝4，即|AF1|+|BF1|﹣4＝|AB|，故＝＝＝2，即为定值．七．直线与圆锥曲线的综合（共3小题）12．（2023•高州市二模）在一张纸上有一个圆C：＝4，定点，折叠纸片使圆C上某一点S1好与点S重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕PQ，设折痕PQ与直线S1C的交点为T．（1）求证：||TC|﹣|TS||为定值，并求出点T的轨迹C′方程；（2）设A（﹣1，0），M为曲线C′上一点，N为圆x2+y2＝1上一点（M，N均不在x轴上）．直线AM，AN的斜率分别记为k1，k2，且k2＝﹣，求证：直线MN过定点，并求出此定点的坐标．【答案】（1）||TC|﹣|TS||＝2，点T的轨迹C′的方程：；（2）直线MN过定点T（1，0），证明见解析．【解答】解：（1）证明：由题意得|TS|＝|TS1|，所以，即T的轨迹是以C，S为焦点，实轴长为2的双曲线，即点T的轨迹C′的方程：；（2）证明：由已知得直线AM的方程：y＝k1（x+1），直线AN的方程：y＝k2（x+1），联立直线方程与双曲线方程，消去y，整理可得，由韦达定理得，所以，即，所以，联立直线方程与圆方程，消去y，整理得，由韦达定理得，所以，即，因为，即，所以，若直线MN所过定点，则由对称性得定点在x轴上，设定点T（t，0），由三点共线得k MT＝k NT，即，，解得t＝1，所以直线MN过定点T（1，0）．13．（2023•汕头二模）如图，F1（﹣c，0）、F2（c，0）为双曲线的左、右焦点，抛物线C2的顶点为坐标原点，焦点为F2，设C1与C2在第一象限的交点为P（m，n），且|PF1|＝7，|PF2|＝5，∠PF2F1为钝角．（1）求双曲线C1与抛物线C2的方程；（2）过F2作不垂直于x轴的直线l，依次交C1的右支、C2于A、B、C、D四点，设M 为AD中点，N为BC中点，试探究是否为定值．若是，求此定值；若不是，请说明理由．【答案】（1）；（2）是定值．【解答】解：（1）由双曲线的定义可知：|PF1|﹣|PF2|＝7﹣5＝2a⇒a＝1，设抛物线方程为：y2＝2px，则由题意可得，即y2＝4cx；由抛物线定义可得：，代入抛物线方程得：，代入双曲线方程得：，故双曲线方程为：；抛物线方程为：y2＝8x；（2）由题意可设l：x＝ky+2，点A、B、C、D的纵坐标依次为y1、y2、y3、y4，分别联立直线l与双曲线、抛物线方程可得：，化简整理可得，（3k2﹣1）y2+12ky+9＝0、y2﹣8ky﹣16＝0，由双曲线性质可得：，故有，因为M、N分别为AD、BC的中点，故其纵坐标依次为：，所以＝是定值．14．（2023•广州二模）已知点F（1，0），P为平面内一动点，以PF为直径的圆与y轴相切，点P的轨迹记为C．（1）求C的方程；（2）过点F的直线l与C交于A，B两点，过点A且垂直于l的直线交x轴于点M，过点B且垂直于的直线交x轴于点N．当四边形MANB的面积最小时，求l的方程．【答案】（1）y2＝4x．（2）x±y﹣＝0．【解答】解：（1）设点P（x，y），以PF为直径的圆的圆心为M，⊙M的半径为r，设⊙M与y轴相切于点N，过点P作PQ⊥y轴，垂足为Q，则r＝|MN|＝＝，|PF|＝2r＝x+1，∴点P到点F的距离等于点P到直线x＝﹣1的距离，∴点P的轨迹为以点F为焦点，直线x＝﹣1为准线的抛物线，∴C的方程为y2＝4x．（2）由题意直线l的斜率存在，设直线l的方程为：y＝k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），联立，化为k2x2﹣2（k2+2）x+k2＝0，则x1+x2＝，x1x2＝1，设直线l的倾斜角为θ，则|AM|＝|AF||tanθ|，|BN|＝|BF||tanθ|，∴|AM|+|BN|＝|AF||tanθ|+|BF||tanθ|＝|AB||tanθ|＝k|AB|，又|AB|＝|AF|+|BF|＝x1+1+x2+1＝．∴梯形MANB的面积S＝＝＝＝，令t＝|k|∈（0，+∞），则S（t）＝8（t++），S′（t）＝8（1﹣﹣）＝，∴t∈（0，）时，S′（t）＜0，此时函数S（t）单调递减；t∈（，+∞）时，S′（t）＞0，此时函数S（t）单调递增．∴t＝|k|＝时，即k＝±时，四边形MANB的面积S取得极小值即最小值，此时直线l的方程为：y＝±（x﹣1），即x±y﹣＝0．八．离散型随机变量的期望与方差（共2小题）15．（2023•高州市二模）春节过后，文化和旅游业逐渐复苏，有意跨省游、出境游的旅客逐渐增多．某旅游景区为吸引更多游客，计划在社交媒体平台和短视频平台同时投放宣传广告并进行线上售票，通过近些年的广告数据分析知，一轮广告后，在短视频平台宣传推广后，目标用户购买门票的概率为，在社交媒体平台宣传推广后，目标用户购买门票的概率为q；二轮广告精准投放后，目标用户在短视频平台进行复购的概率为p，在社交媒体平台复购的概率为．（1）记在短视频平台购票的4人中，复购的人数为X，若，试求X的分布列和期望；（2）记在社交媒体平台的3名目标用户中，恰有1名用户购票并复购的概率为P，当P 取得最大值时，q为何值？（3）为优化成本，该景区决定综合渠道投放效果的优劣，进行广告投放战略的调整．已知景区门票100元/人，在短视频平台和社交媒体平台的目标用户分别在90万人和17万人左右，短视频平台和社交媒体平台上的广告投放费用分别为4元/100人和5元/100人，不计宣传成本的景区门票利润率分别是2%和5%，在第（2）问所得q值的基础上，试分析第一次广告投放后，景区在两个平台上的目标用户身上可获得的净利润总额．【答案】（1）分布列见解析；当时，期望为1；当时，期望为3；（2）；（3）805500元．【解答】解：（1）由题意得，在短视频平台购票的人中，复购概率为p，复购的人数X 满足二项分布，即X～B（4，p），故，故或．又知X的所有可能取值为0，1，2，3，4，①当时，，，P（X＝2）＝，，P（X＝4）＝＝，所以X得分布列为：X01234P此时数学期望E（X）＝＝1．②p＝时，P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2}＝＝，P（X＝3）＝＝，P（X＝4）＝＝，所以X得分布列为：X01234P此时数学期望E（X）＝4×＝3．（2）设在社交媒体平台的目标用户购票并复购的概率为q1，由题得，．，，令P′＝0，得或1，所以时，P′＞0，函数P单调递增，当时，P′＜0，函数P单调递减．故当取得最大值．由可得，．（3）短视频平台：（元），社交媒体平台：（元），净利润总额：364000+441500＝805500（元）．故景区在两个平台上的目标用户身上可获得的净利润总额为805500元．16．（2023•茂名二模）马尔可夫链是因俄国数学家安德烈•马尔可夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第n+1次状态的概率分布只跟第n次的状态有关，与第n﹣1，n﹣2，n﹣3，…次状态是“没有任何关系的”．现有甲、乙两个盒子，盒子中都有大小、形状、质地相同的2个红球和1个黑球．从两个盒子中各任取一个球交换，重复进行n（n∈N*）次操作后，记甲盒子中黑球个数为X n，甲盒中恰有1个黑球的概率为a n，恰有2个黑球的概率为b n．（1）求X1的分布列；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）求X n的期望．【答案】（1）X1的分布列如下表：X1012P（2）a n＝+；（3）1．【解答】解：（1）由题可知，X1的可能取值为0，1，2，由相互独立事件概率乘法公式可知：P（X1＝0）＝，P（X1＝1）＝，P（X1＝2）＝＝，故X1的分布列如下表：X1012P（2）由全概率公式可知：P（X n+1＝1）＝P（X n＝1）P（X n+1＝1|X n＝1）+P（X n＝2）P（X n+1＝1|X n＝2）+P（X n＝0）P（X n+1＝1|X n＝0）＝（）P（X n＝1）+（）P（X n＝2）+（1×）P（X n＝0）＝P（X n＝1）+P（X n＝2）+P（X n＝0），即：a n+1＝，所以a n+1＝，所以a n+1﹣＝（），又a1＝P（X1＝1）＝，所以，数列{}是以为首项，以为公比的等比数列，所以＝，即：a n＝+．（3）由全概率公式可得：P（X n+1＝2）＝P（X n＝1）P（X n+1＝2|X n＝1）+P（X n＝2）P （X n+1＝2|X n＝2）+P（X n＝0）P（X n+1＝2|X n＝0）＝（）P（X n＝1）+（）P（X n＝2）+0×P（X n＝0），即：b n+1＝+，又a n＝+，所以b n+1＝+，所以b n+1﹣+＝，又b1＝P（X1＝2）＝，所以＝＝0，所以b n﹣+＝0，所以，所以E（X n）＝a n+2b n+0×（1﹣a n﹣b n）＝a n+2b n＝1．。

广东省汕头市2024届高三二模物理含答案解析

2024年汕头市普通高考第二次模拟考试物理注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。

请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

写在本试卷上无效。

3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共7小题，每小题4分，共28分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1.扑克牌可以用来“搭房子”，如图1所示。

每一张纸牌的质量为m，在图2的示意图中，下列说法正确的是（）A.a纸牌受到其它纸牌的作用力大小为mg，方向竖直向上B.b纸牌受到其它纸牌的作用力大小为mg，方向竖直向上C.纸牌对地面的压力大小为6mgD.每一张纸牌的合外力都不相同2.扫描隧道显微镜让人类对原子有了直观的感受，下列关于原子结构的说法正确的是（）A.玻尔的原子结构假说认为核外电子可在任意轨道上运动B.α粒子散射实验中，绝大多数α粒子发生了大角度散射C.原子光谱是线状谱，不同原子的光谱可能相同D.氢原子在激发态自发跃迁时，氢原子能量减少3.风力和空气阻力会影响雨滴下落的轨迹，如图为从某时刻开始计时的雨滴在水平x方向和竖直y方向的运动图像，下列说法不正确的是（）A.雨滴做匀变速曲线运动B.雨滴的初速度是8m sC.02s 内，雨滴重力的瞬时功率一直增大D.02s 内，重力和风力对雨滴做的功大于雨滴克服空气阻力做的功4.神舟十七号载人飞船与距离地面约390km 的天宫空间站成功对接。

变轨过程可简化为如图：飞船先从圆形轨道Ⅰ的A 位置变轨到椭圆轨道Ⅱ，再从B 位置变轨进入空间站所在的圆形轨道Ⅲ。

假设空间站轨道半径为r ，地球半径为R ，地球表面的重力加速度为g 。

汕头市2024年高三下学期期末六校联考数学试题

汕头市2024年高三下学期期末六校联考数学试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知平面α和直线a ，b ，则下列命题正确的是（） A ．若a ∥b ，b ∥α，则a ∥α B ．若a b ⊥，b α⊥，则a ∥α C ．若a ∥b ，b α⊥，则a α⊥ D ．若a b ⊥，b ∥α，则a α⊥2．下列与函数1y x=定义域和单调性都相同的函数是（） A ．2log 2xy =B ．21log 2xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．21log y x= D ．14y x =3．已知(1)nx λ+展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等，2012(1)n n n x a a x a x a x λ+=++++，若12242n a a a ++⋅⋅⋅=，则012(1)nn a a a a -+-⋅⋅⋅+-的值为( )A ．1B ．－1C ．8lD ．－814．设双曲线221x y a b+=的一条渐近线为2y x =-，且一个焦点与抛物线24x y =的焦点相同，则此双曲线的方程为（） A ．225514x y -= B ．225514y x -= C ．225514y x -= D ．225514x y -= 5．已知P 是双曲线22221x y a b-=渐近线上一点，1F ，2F 是双曲线的左、右焦点，122F PF π∠=，记1PF ，PO ，2PF 的斜率为1k ，k ，2k ，若1k ，-2k ，2k 成等差数列，则此双曲线的离心率为（） A ．2B ．62C ．3D ．66．已知集合M ＝{y ｜y ＝，x ＞0}，N ＝{x ｜y ＝lg （2x －）}，则M∩N 为（） A ．（1，＋∞）B ．（1，2）C ．[2，＋∞）D ．[1，＋∞）7．若实数,x y 满足不等式组2,36,0,x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≥⎩则3x y +的最小值等于（）A ．4B ．5C ．6D ．78．若函数()ln f x x x h =-++，在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上任取三个实数a ，b ，c 均存在以()f a ，f b ，()f c 为边长的三角形，则实数h 的取值范围是（） A ．11,1e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．11,3e e ⎛⎫--⎪⎝⎭C ．11,e ⎛⎫-+∞⎪⎝⎭D ．()3,e -+∞9．曲线24x y =在点()2,t 处的切线方程为（） A ．1y x =-B ．23y x =-C ．3y x =-+D ．25y x =-+10．马林●梅森是17世纪法国著名的数学家和修道士，也是当时欧洲科学界一位独特的中心人物，梅森在欧几里得、费马等人研究的基础上对2p ﹣1作了大量的计算、验证工作，人们为了纪念梅森在数论方面的这一贡献，将形如2P ﹣1（其中p 是素数）的素数，称为梅森素数.若执行如图所示的程序框图，则输出的梅森素数的个数是（）A ．3B ．4C ．5D ．611．若复数()12()()z m m i m R =+-∈+是纯虚数，则63iz+=( ) A ．3 B ．5C 5D ．3512．设12F F ，是双曲线()2222100x y a b a b-=>>，的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使()220OP OF F P +⋅=（O 为坐标原点），且123PF PF =，则双曲线的离心率为（） A ．212B 21C 31+ D 31二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

广东省2022届高三二模数学试题-解析版

广东省2022届高三二模数学试题本试卷满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，并将条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上．3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合(){}{}|20,|10M x x x N x x =-<=-<，则M N =（）A ．(),2-∞B ．(),1-∞C ．()0,1D ．()1,22．定义在[]22-,上的下列函数中，既是奇函数，又是增函数的是（） A ．sin y x =B ．2y x =-C ．e x y =D ．32y x =3．已知随机变量()2~,X N μσ，若()10.2P X μμ+=≤≤，则()1P X μ-=≥（） A ．0.7B ．0.4C ．0.3D ．0.24．某校安排高一年级（1）～（5）班共5个班去A ，B ，C ，D 四个劳动教育基地进行社会实践，每个班去一个基地，每个基地至少安排一个班，则高一（1）班被安排到A 基地的排法总数为（） A ．24B ．36C ．60D ．2405．若函数y x ω=与y x ω=图象的任意连续三个交点构成边长为4的等边三角形，则正实数ω=（） A ．12B ．1C ．2π D ．π6．赵爽弦图（如图1）中的大正方形是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形拼接而成的，若直角三角形的两条直角边长为a ，b ，斜边长为c ，由大正方形面积等于4个直角三角形的面积与中间小正方形的面积之和可得勾股定理222+=a b c ．仿照赵爽弦图构造如图2所示的菱形，它是由两对全等的直角三角形和中间的矩形拼接而成的，设直角三角形的斜边都为1，其中一对直角三角形含有锐角α，另一对直角三角形含有锐角β（位置如图2所示）．借鉴勾股定理的推导思路可以得到结论（）A ．()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-B ．()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+C ．()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+D ．()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-7．已知抛物线E ：24y x =，圆F ：()2214x y -+=，直线l ：y t =（t 为实数）与抛物线E 交于点A ，与圆F 交于B ，C 两点，且点B 位于点C 的右侧，则△F AB 的周长可能为（） A ．4B ．5C ．6D ．78．存在函数()f x 使得对于x R ∀∈都有()()f g x x =，则函数()g x 可能为（） A ．()sin g x x = B ．()22g x x x =+C ．()3g x x x=-D ．()()x x g x e e -=+二、多选题9．已知复数z 的共轭复数是z ，()1i 1i z -=+，i 是虚数单位，则下列结论正确的是（） A ．20224z = B ．z z ⋅的虚部是0C ．2z z z ⋅+=D ．2z z z ⋅+在复平面内对应的点在第四象限10．吹气球时，记气球的半径r 与体积V 之间的函数关系为r （V ），()r V '为r （V ）的导函数．已知r （V ）在03V ≤≤上的图象如图所示，若1203V V <≤≤，则下列结论正确的是（）A ．()()()()10211021r r r r --<-- B ．()()'1'2r r >C ．()()121222r V r V V V r ++⎛⎫< ⎪⎝⎭D ．存在()012,V V V ∈，使得()()()21021r V r V r V V V --'=11．在所有棱长都相等的正三棱柱中，点A 是三棱柱的顶点，M ，N 、Q 是所在棱的中点，则下列选项中直线AQ 与直线MN 垂直的是（）A ．B ．C ．D ．12．如图，已知扇形OAB 的半径为1，2AOB π∠=，点C 、D 分别为线段OA 、OB 上的动点，且1CD =，点E 为AB 上的任意一点，则下列结论正确的是（）A ．OE AB ⋅的最小值为0 B ．EA EB ⋅的最小值为1C ．⋅EC ED 的最大值为1 D ．⋅EC ED 的最小值为0三、填空题13．已知双曲线2222x y a b-＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝，则它的离心率为________．14．若直线y x a =+和直线y x b =+将圆()()22111x y -+-=的周长四等分，则a b -=__________．15．若函数()()sin cos f x x x ϕ=⋅+的最大值为1，则常数ϕ的一个取值为_____． 16．十字贯穿体（如图1）是美术素描学习中一种常见的教具．如图2，该十字贯穿体由两个全等的正四棱柱组合而成，且两个四棱柱的侧棱互相垂直，若底面正方形边长为2，则这两个正四棱柱公共部分所构成的几何体的内切球的体积为__________．四、解答题17．已知递增等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2134a a a =，314S =． (1)求数列{}n a 的通项公式．(2)若数列{}n b 满足()()*,3,313k n a n k b k N k k n k=⎧=∈⎨-<<⎩，求数列{}n b 的前15项和．18．小李下班后驾车回家的路线有两条．路线1经过三个红绿灯路口，每个路口遇到红灯的概率都是13；路线2经过两个红绿灯路口，第一个路口遇到红灯的概率是12，第二个路口遇到红灯的概率是23．假设两条路线全程绿灯时的驾车回家时长相同，且每个红绿灯路口是否遇到红灯相互独立．(1)若小李下班后选择路线1驾车回家，求至少遇到一个红灯的概率．(2)假设每遇到一个红灯驾车回家时长就会增加1min ，为使小李下班后驾车回家时长的累计增加时间（单位：min ）的期望最小，小李应选择哪条路线？请说明理由． 19．如图，已知△ABC 内有一点P ，满足PAB PBC PCA α∠=∠=∠=．(1)证明：sin sin PB ABC AB α=． (2)若90ABC ∠=，1AB BC ==，求PC ．20．如图1，在△ABC 中，90ACB ∠=︒，DE 是△ABC 的中位线，沿DE 将△ADE 进行翻折，使得△ACE 是等边三角形（如图2），记AB 的中点为F ．(1)证明：DF ⊥平面ABC ．(2)若2AE =，二面角D -AC -E 为6π，求直线AB 与平面ACD 所成角的正弦值． 21．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>，点()1,0F 为椭圆的右焦点，过点F 且斜率不为0的直线1l 交椭圆于M ，N 两点，当1l 与x 轴垂直时，3MN =． (1)求椭圆C 的标准方程．(2)1A ，2A 分别为椭圆的左、右顶点，直线1A M ，2A N 分别与直线2l ：1x =交于P ，Q 两点，证明：四边形2OPA Q 为菱形．22．已知函数()e nxf x x nx =-（*n N ∈且2n ≥）的图象与x 轴交于P ，Q 两点，且点P 在点Q 的左侧．(1)求点P 处的切线方程()y g x =，并证明：0x ≥时，()()f x g x ≥． (2)若关于x 的方程()f x t =（t 为实数）有两个正实根12,x x ，证明：122ln ln t nx x n n n-<+．参考答案：1．C 【解析】【分析】分别求出集合M 和集合N ，然后取交集即可. 【详解】集合(){}{}|20|02M x x x x x =-<=<<，{}|1N x x =<，则MN ={}()|010,1x x <<=，故选：C 2．D 【解析】【分析】由正弦函数，指数函数和幂函数的性质对各个选项进行分析判断即可得到答案. 【详解】 A. 22π>,由正弦函数的性质可知sin y x =在[]22-,上不为增函数，故排除； B.2y x =-在[]22-,上单调递减，故排除； C. e e x x y -==，故函数在[]22-,上为偶函数，故排除； D. 32y x =，()3322x x -=-，故函数在[]22-,上为奇函数，且由幂函数的性质知3y x =在[]22-,上单调递增，则32y x =在[]22-,上单调递增，满足题意；故选：D 3．A 【解析】【分析】由正态分布的对称性求概率．【详解】由已知(1)(1)0.2P X P X μμμμ-≤≤=≤≤+=，所以()(1)()0.20.0715.P X P P X X μμμμ--≤=+=≤+≥=≥，故选：A ． 4．C 【解析】【分析】按两种情况分类计算，一种是只有高一（1）班被安排到A 基地。

广东省汕头市金山中学2022-2023学年高三上学期摸底考试数学试题含答案

汕头市金山中学2023届高三第一学期摸底考试数学一、单选题（1～8题）1．已知集合}4,3,2,1{=A ，}N log {2∈=x x B ，则B A =( ) A ．}2,1{B ．}4,2{C ．}4,2,1{D ．}3{2．设复数z 满足i z i +=-2)1(，则||z =( )A ．210 B ．25 C ．10 D ．5 3．已知平面向量e b a ,,满足1||=e ，1=⋅e a ，2=⋅e b ，则||b a +的最小值为( )A ．1B ．23C ．2D ．34．等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若63=S ，216=S ，则9S =( )A ．27B ．45C ．18D ．365．若圆122=+y x 上总存在两个点到点)1,(a 的距离为2，则实数a 的取值范围是( ) A ．)22,0()0,22(⋃- B ．)22,22(- C ．)1,0()0,1( -D ．)1,1(-6．已知3cos 1sin =-θθ，则θtan =( )A ．33B ．33- C ．3 D ．3-7．已知三棱锥ABC D -的顶点都在球O 的球面上，底面ABC ∆为等边三角形，且其所在圆1O 的面积为.6π 若三棱锥ABC D -的体积的最大值为39，则球O 的体积为( )A ．π3256B ．π6343C ．π256D ．π23438．设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-+>=0),4sin(0,ln )(x x x xxx f ππω有4个不同零点，则正实数ω的范围为( )A ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡413,49B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛413,49C ．⎥⎦⎤ ⎝⎛413,49 D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡413,49（9-12多选题）9．已知不等式02<++c bx ax 的解集为1{-<x x 或}3>x ，则下列结论正确的是( ) A ．0<a B ．0>++c b aC ．0>cD ．02<+-a bx cx 的解集为31|{-<x x 或}1>x10．函数)0(cos sin )(=/+=a x a x x f 在一个周期内的图象可以是( )11．下列判断，正确的选项有( )A ．若)(x f 的图象关于点)0,(a 对称)(kx a f -是奇函数)0(=/kB ．曲线)21()22(x f x f y -+-=的图象关于直线21=x 对称；C ．函数)(x f 定义在R 上的可导函数，其导函数)('x f 为奇函数，则)(x f 为偶函数．D ．函数)(x f 定义在R 上的可导函数，导函数)('x f ，且)23('+x f 是偶函数，则)(x f 的图象关于点))2(,2(f 对称．12．如图，正方形ABCD 中，a CD =，EC DE 3=，将ADE ∆沿AE翻折到AEP ∆位置，点∉P 平面ABCD 内，记二面角C AB P --大小为θ，在折叠过程中，满足下列什么关系( )A ．四棱锥ABCE P V -最大值为83aB ．角θ可能为61°C ．1615tan ≤θD ．773tan ≤θ二、填空题13．已知向量)3,1(=a ，),6(m b -=，且()b a a +//，则m = . 14．如图，发电厂的冷却塔外形是由双曲线的一部分绕其虚轴所在的直线旋转所得到的曲面，该冷却塔总高度为70米，水平方向上塔身最窄处的半径为20米，最高处塔口半径25米，塔底部塔口半径为220米，则该双曲线的离心率为 ____．15．已知b a x a x x f ++-+=3)2()(2，若存在常数a ，使0)(≥x f 恒成立，则b 的取值范围是 .16．直线l 过抛物线)0(22>=p px y 的焦点)0,1(F 且与抛物线交于B A 、两点，则||2||BF AF -的最小值为 .三、解答题（17题10分，其余每题各12分）17．记n S 为数列}{n a 的前n 项和，已知n n na S n n +-=21)证明：}{n a 是等差数列；2)若641,,a a a 成等比数列，求nS n 9+的最小值．18．设ABC ∆的三个内角C B A ,,所对的边分别为,,,c b a 且ABC S B ac c ∆+⋅=2cos 332. 1)求角A 的大小；2)若2=a ，求c b +的取值范围．19．全国中学生生物学竞赛隆重举行．为做好考试的评价工作，将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了50名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40至100之间，将数据按照[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图．(1)求频率分布直方图中m 的值，并估计这50名学生成绩的中位数；(2)在这50名学生中用分层抽样的方法从成绩在[70，80)，[80，90)，[90，100]的三组中抽取了11人，再从这11人中随机抽取3人，记ξ为3人中成绩在[80，90)的人数，求ξ的分布列和数学期望；20．如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 正方形，平面⊥PAB 底面ABCD ，平面⊥PAD 底面ABCD ，AD PA 2=，H F E ,,分别是AB PD PA ,,的中点，G 为DF 的中点．1)证明：//GH 平面BEF ；2)求PC 与平面BEF 所成角的正弦值．21．已知1F 为椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左焦点，直线b y 22=与C 交于B A ,两点，且1ABF ∆的周长和面积分别是244+和2． 1)求椭圆C 的方程；2)如图，若)1,2(P 关于原点的对称点为Q ，不经过P 且斜率为21的直线l 与C 交于点,,E D 直线PD 与QE 交于点M ，证明点M 在定直线上．22．已知函数2)(--=x ae x f x，和2)]2(ln[)(++-=x a x x g ,1)若)(x f 与)(x g 有相同的最小值，求a 的值；2)设2ln 2)()()(-++=a x g x f x F 有两个零点，求a 的取值范围．数学参考答案单选1～8题 C A D B A C B A（9～12多选题）9．ABC 10．AC 11．ACD 12．AD -18，5， 15-≥b 222-17．1)由已知n n na S n n +-=2① )2(1)1()1(211≥-+---=∴--n n n a n S n n ② 由①-②，得)1(2)1(1----=-n a n na a n n n 即)1(2)1()1(1-=----n a n a n n n21=-∴-n n a a ，2≥n 且*N n ∈ {}n a ∴是以2为公差的等差数列． ………………5分(2)由(1)可得614+=a a ，1016+=a a 641,,a a a 成等比数列，6124a a a =∴即)10()6(1121+=+a a a ，解得181-=an n n n n S n 1922)1(182-=⨯-+-=∴ 13199219991992-=-⋅≥-+=+-=+∴nn n n n n n n S n当且仅当n n 9=，即3=n 时，nS n 9+的最小值为-13 ……………………………10分18．解：1）在ABC ∆中，A bc S ABC sin 21=∆. ……………………………1分 A bc B ac S B ac c ABCsin cos 32cos 332+⋅=+⋅=∴∆，0=/c ，A b B a c sin cos 33+=∴ ……………………………2分由正弦定理A B B A C sin sin cos sin 3sin 3+=∴ ……………………………3分 )sin(sin B A C += A B B A sin sin sin cos 3=∴0sin =/B ，A A sin cos 3=∴ 3tan =∴A ，…………………………4分π<<A 0 ，3π=∴A ……………………………5分2）342322sin sin sin =====R C c B b A a ，…………………………7分 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=+=+∴)32sin(sin 34)sin (sin 34B B C B c b π )6sin(4π+=B ……………………………10分320π<<B 6566πππ<+<∴B ， ………………………11分 4)6sin(42≤+<∴πB ，当3π=B 取得最大值∴所求的.42≤+<c b ………………………12分19．1)由频率分布直方图的性质可得，110)004.0028.003.0022.0004.0(=⨯+++++m ，设中位数为a ，5.03.0)60(10022.010004.0=⨯-+⨯+⨯∴a 解得68=a ．………4分 2)]100,90[),90,80[),80,70[ 的三组频率之比为0.28：0.12：0.04=7：3：1∴从]100,90[),90,80[),80,70[中分别抽取7人，3人，1人，………………………6分ξ所有可能取值为0，1，2，3，……………………7分16556)0(31138===C C P ξ，5528)1(3111328===C C C P ξ，558)2(3112318===C C C P ξ，1651)3(31133===C C P ξ 故ξ的分布列为：ξ 0 1 2 3P16556 5528 558 1651 ……………………10分故.11916513558255281165560)(=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ………………………12分20．1)如图，取AE 中点M ，连接F E MH MG ,,, 分别是PD PA ,的中点，AD EF //∴，又M G ,分别是AE DF ,的中点，AD EF MG ////∴，⊂/MG 平面⊂EF BEF ,平面BEF ，//MG ∴平面BEF ，同理，H M ,分别是AB AE ,的中点，⊂/∴MH EB MH ,//平面BEF ，⊂EB 平面//,MH BEF ∴平面BEF ，又M MH MG =⋂ ，⊂MG 平面⊂MH MHG ,平面∴,MHG 平面//MHG 平面⊂GH BEF ,平面MHG ，//GH ∴平面BEF ，……………………………………6分2）先证⊥PA 平面ABCD ………………………………7分如图，以A 为坐标原点，AP AD AB ,,的方向分别为z y x ,,轴的正方向建立空间直角坐标系xyz A -，设2=AB ，则)2,1,0(),2,0,0(),4,0,0(),0,2,2(),0,0,2(F E P C B ，可得)2,0,2(-=BE ，)2,1,2(-=BF ，)4,2,2(-=PC …………………………8分设平面BEF 的法向量为),,(z y x m =，可得⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0BF m BE m ，即⎩⎨⎧=++-=+-022022z y x z x ，令1=x ，得)1,0,1(=m ，………………………………10分故636222||||,cos -=⨯-=⋅⋅>=<PC m PC m PC m ，即PC 与平面BEF 所成角的正弦值为63．……………………12分21．(1)解：将b y 22=代入)0(1:2222>>=+b a by a x C 中，解得a x 22±=，则a AB 2||=，……………………1分所以1ABF ∆的面积为2222221==⨯⨯ab b a ，所以4=ab . ① ……………………2分设C 的右焦点为1F ，连接2AF ，由椭圆的对称性可知||||21AF BF =，所以1ABF ∆的周长为a AF AF AB BF AF AB )22(||||||||||||2111+=++=++，所以244)22(+=+a ，② 由①②解得2,22==b a ，……………………4分所以C 的标准方程为12822=+y x . …………………………5分 (2)解：设),(),,(2211y x E y x D ，直线l 的方程为m x y +=21，0=/m ，联立直线l 与椭圆C的方程，并消去y 得042222=-++m mx x ，则0)42(4422>--=∆m m ，得22<<-m 且0≠m ，且m x x 221-=+，…………7分22121212111111-+=--+=--=x m x m x x y k PD ，22121212122222++=+++=++=x m x m x x y k QE ，所以直线PD 的方程为)2(22111-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=-x x m y ，即2222111--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=x mx x m y ，直线QE 的方程为)2(22112+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+x x m y ，即2222122++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=x m x x m y ，……9分联立直线PD 与直线QE 的方程，得2222222121++-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--x mx m x x m x m ，得4)(22121--+-=x x x x x M ，2222111--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=x m x x m y M M ，所以)(2422221212111x x x x x m x m x y M M +--⋅-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+= ))(2(4221))(2()4()(2121112112121x x x x m x x x x x x x m +--⋅+=+---+++=.2122121-=++=x x m 所以M M x y 21-=，即点M 在定直线02=+y x 上. ……………………12分22．解：1）2)(--=x ae x f x ，01)('=-=xae x f当0≤a 时，)(,0)('x f x f <单调递减，无最值，0>∴a ，得ae x1=说单调…1ln )ln ()(min -=-=a a f x f …………………………………2分说单调…a g x g ln 1)1()(min -=-= …………………………3分依题a a ln 11ln -=- e a =∴ ……………………………4分2）)2(2ln )2ln()(->-++-=x a x ae x F x21)('+-=x ae x F x ，令0)('=x F ，2100+=x ae x，……………………………6分),2ln(2)2(212ln )2ln()()(00000min 0+-+-+=-++-==x x x a x ae x F x F x12,0)(00>+∴<x x F …………………………8分又1)2ln(22ln 00>+++=+-x x a 1ln <∴a ，得.0e a << ………………………9分0)(0<x F ，0)2(,0)10(ln2>->eaF a F)(x F ∴在),2(0x x -∈与),(0∞+∈x x 各有一个零点．……………………………11分 ∴所以所求的.0e a << ……………………………12分。

广东汕头市2025届高三一诊考试数学试卷含解析

广东汕头市2025届高三一诊考试数学试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知数列满足：.若正整数使得成立，则( ) A ．16B ．17C ．18D ．192．椭圆22192x y +=的焦点为12,F F ，点P 在椭圆上，若2||2PF =，则12F PF ∠的大小为（）A ．150︒B ．135︒C ．120︒D ．90︒3．若a R ∈，则“3a =”是“()51x ax +的展开式中3x 项的系数为90”的（） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4．若复数z 满足2(13)(1)i z i +=+，则||z =（）A ．54B ．55C ．102D ．1055．随着人民生活水平的提高，对城市空气质量的关注度也逐步增大，下图是某城市1月至8月的空气质量检测情况，图中一、二、三、四级是空气质量等级，一级空气质量最好，一级和二级都是质量合格天气，下面叙述不正确的是（）A ．1月至8月空气合格天数超过20天的月份有5个B ．第二季度与第一季度相比，空气达标天数的比重下降了C ．8月是空气质量最好的一个月D ．6月份的空气质量最差.6．如下的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为176，320，则输出的a 为（）A ．16B ．18C ．20D ．157．已知集合{}|26Mx x =-<<，{}2|3log 35N x x =-<<，则MN =（）A ．{}2|2log 35x x -<>的左、右焦点，过2F 的直线交椭圆于A ，B 两点，且120AF AF ⋅=，222AF F B =，则椭圆E 的离心率为( )A ．23B ．34C 5D 7 9．已知,a b 为非零向量，“22a b b a =”为“a a b b =”的（） A ．充分不必要条件 B ．充分必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件10．《普通高中数学课程标准（2017版）》提出了数学学科的六大核心素养.为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图（如图，每项指标值满分为5分，分值高者为优），则下面叙述正确的是（）A ．甲的数据分析素养高于乙B ．甲的数学建模素养优于数学抽象素养C ．乙的六大素养中逻辑推理最差D ．乙的六大素养整体平均水平优于甲11．P 是正四面体ABCD 的面ABC 内一动点，E 为棱AD 中点，记DP 与平面BCE 成角为定值θ，若点P 的轨迹为一段抛物线，则tan θ=（） A ．2B ．22C ．24D ．2212．已知集合{}2{|23,},|1=-<<∈=>A x x x N B x x A ，则集合A B =（）A ．{2}B ．{1,0,1}-C ．{2,2}-D ．{1,0,1,2}-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

广东省汕头市2023-2024学年高二下学期期末普通高中教学质量监测数学试题(含答案)

试卷类型：A汕头市2023-2024学年高二下学期期末普通高中教学质量监测数学注意事项：1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试题卷和答题卡指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.第Ⅰ卷选择题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知32i -+是关于x 的实系数方程220x px q ++=的一个根，则q 的值为（）A.26B.-26C.13D.-132.若空间中四条不同的直线1l ，2l ，3l ，4l 满足12l l ⊥，23l l ⊥，34l l ⊥，则下面结论正确的是（）A.14l l ⊥B.14l l ∥C.1l ，4l 既不垂直也不平行 D.1l ，4l 的位置关系不确定3.已知1tan 3α=-，则sin 2α=（）A.35 B.35- C.35± D.45±4.已知{}n a 为等差数列，135105a a a ++=，24699a a a ++=，则20a =（）A.1B.33C.65D.-15.对于变量Y 和变量x 的成对样本观测数据，用一元线性回归模型()()20,Y bx a eE e D e σ=++⎧⎨==⎩得到经验回归模型ˆˆˆy bx a =+，对应的残差如图所示，则模型误差（）A.满足一元线性回归模型的所有假设B.不满足一元线性回归模型的()0E e =的假设C.不满足一元线性回归模型的()2D e σ=的假设D.不满足一元线性回归模型的()0E e =和()2D e σ=的假设6.通过随机询问某中学110名学生是否爱好跳绳，得到如下22⨯列联表.已知()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，()210.8280.001Pχ≥=，根据小概率值0.001α=的独立性检验，以下结论正确的是（）性别跳绳男女合计爱好402060不爱好203050合计6050110A.爱好跳绳与性别有关B.爱好跳绳与性别有关，这个结论犯错误的概率不超过0.001C.爱好跳绳与性别无关D.爱好跳绳与性别无关，这个结论犯错误的概率不超过0.0017.在ABC 中，π4B =，BC 边上的高等于13BC ，则cos A =（）C. D.8.某海湾拥有世界上最大的海潮，其高低水位之差可达到15m .在该海湾某一固定点，大海水深d （单位：m ）与午夜24：00后的时间t （单位：h ）的关系由函数()104cos d t t =+表示，则上午9：00潮水的涨落速度为（精确到0.01m /h ，参考数据：33sin 30.140.0027≈≈）（）A.3.00B.-1.64C.1.12D.-2.15二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知点O ､N ､P 在ABC 所在平面内，则（）A.若OA OB OC ==，则点O 是ABC 的外心B.若0NA NB NC ++=，则点N 是ABC 的重心C.若PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅，则点P 是ABC 的内心D.若0AB AC BC AB AC⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎝⎭，则ABC 是等腰三角形10.已知函数()ππsin sin cos 66f x x x x a ⎛⎫⎛⎫=++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为1，则（）A.1a =-B.()f x 的最小正周期为2πC.()f x 在π,π4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减D.()f x 的图象按向量π,16a ⎛⎫=-⎪⎝⎭平移，所得图象过原点11.已知点()2,3P --和以点Q 为圆心的圆()()22129x y -+-=，以PQ 为直径，点Q '为圆心的圆与圆Q 相交于A ､B 两点，则（）A.圆Q '的方程为()()()()12230x x y y -++-+=B.PA 与PB 两条直线中，有一条直线的斜率不存在C.直线AB 的方程为3560x y +-=D.线段AB第II 卷非选择题三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.写出()81x +的展开式中系数最大的项：__________.13.已知一正四面体状木块V ABC -的棱长为3，点P 为侧面VAC 的重心，过点P 将木块锯开，使截面平行于直线VB 和AC ，则截面周长为__________.14.设椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率为e ，双曲线22221x y a b -=e 的取值范围是__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且132n n a S +=+，*n ∈N .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）在n a 与1n a +之间插入n 个数，使这2n +个数组成一个公差为n d 的等差数列，在数列{}n d 中是否存在3项m d ､k d ､p d （其中m ､k ､p 成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由.16.（本小题满分15分）在长方体1111ABCD A B C D -中，点E ､F 分别在棱1BB ､1DD 上，且1AE A B ⊥，1AF A D ⊥.（1）求证：1AC ⊥平面AEF ；（2）当3AD =，4AB =，15AA =时，求平面AEF 与平面11D B BD 的夹角的余弦值.17.（本小题满分15分）已知函数()()e 211x x f x x -=-.（1）作出()y f x =的大致图象，并说明理由；（2）讨论函数()12e 1x a g x x =---的零点个数.18.（本小题满分17分）甲公司现有资金200万元，考虑一项投资计划，假定影响投资收益的唯一因素是投资期间的经济形势：若投资期间经济形势好，投资有25%的收益率；若投资期间经济形势不好，投资有10%的损益率.如果不执行该投资计划，损失为1万元.现有如下两个方案，方案一执行投资计划；方案二聘请投资咨询公司乙分析投资期间的经济形势，聘请费用为5000元，若投资咨询公司乙预测投资期间经济形势好，则执行投资计划；若投资咨询公司乙预测投资期间经济形势不好，则不执行该计划.以往的资料表明，投资咨询公司乙预测不一定正确.投资期间经济形势好，咨询公司乙预测经济形势好的概率是0.8；投资期间经济形势不好，咨询公司乙预测经济形势不好的概率是0.7.假设根据权威资料可以确定，投资期间经济形势好的概率是0.4，经济形势不好的概率是0.6.（1）求投资咨询公司乙预测投资期间经济形势好的概率；（2）根据获得利润的数学期望的大小，甲公司应该执行哪个方案？说明理由.19.（本小题满分17分）抛物线具有光学性质：由其焦点F 发出的光线经抛物线上的点M （不同于抛物线的顶点）反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴.由光路可逆知，反之也成立.（1）已知平行于x 轴的光线l 从点()(),20P m m >发出，经抛物线22y x =上的点A 反射后，再经该抛物线上另一点B ，最后沿BQ 方向射出，若射线BP 平分ABQ ∠，求实数m 的值；（2）光线被抛物线上某点反射，其实是被抛物线在该点处的切线反射.对于一般的抛物线()220y px p =>，请证明上述抛物线的光学性质.汕头市2023-2024学年高二下学期期末普通高中教学质量监测数学科参考答案与评分标准第I 卷题号1234567891011答案ADBACCDBABDABABD1.【解析】实系数一元二次方程的两根互为共轭复数，由韦达定理得2|32i |132q=-+=；2.【解析】利用长方体易得；3.【解析】2222sin cos 2tan 3sin2sin cos tan 15ααααααα===-++；4.【解析】1353353a a a a ++==，同理433a =，故公差2d =-，所以204161a a d =+=；5.【解析】由残差图的点没有均匀分布在水平带状区域内可知：不满足()2e D σ=的假设；6.【解析】计算得20.0017.810.828χα≈<=，说明没有充分证据作此推断；7.【解析】作AD BC ⊥于D ，设BC a =，则2,,33a a AD BD CD AB AC =====，故由余弦定理可求得Cos A ；8.【解析】由导数的意义知，上午9:00潮水的涨落速度为()()()()()2294sin94sin 634sin6Cos3Cos6sin342sin31sin 312sin 3sin3d ⎡⎤=-=-+=-+=--+-⎣⎦'()344sin 33sin3=-()440.002730.14 1.64;=⨯⨯-⨯≈-9.【解析】由外心定义，A 正确；设D 是AB 中点，由0NA NB NC ++= 得2NC ND =-，B 正确；由PA PB PB PC ⋅=⋅ 得()0PB PC PA PB AC ⋅-=⋅=，即PB AC ⊥，同理，PC AB ⊥，故点P 是ABC 的垂心，C 错误；设AB ACAF AB AC=+，则AF 为BAC ∠的平分线，又AF BC ⊥，故D 正确；10.【解析】化简得()π2sin 6f x x a ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，故21a +=，A 正确；显然，B 正确；π6u x =+在π,π4⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，且5π7π,126u ⎛⎫∈⎪⎝⎭，而sin u 在5π7π,126⎛⎫⎪⎝⎭上没有单调性，故C 错误；设()f x 的图象按向量π,16a ⎛⎫=-⎪⎝⎭平移，得到函数()g x 的图象，则()π2sin 3g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，D 错误；11.【解析】设点(),M x y 为圆Q '上任一点，由0MP MQ ⋅=知，A 正确；显然，PA 与PB 为圆Q 的切线，若有一条的斜率不存在，则其方程必为2x =-，它到圆心Q 的距离为3，与圆Q 半径相等，符合题意，故B 正确；圆Q 与圆Q '的方程相减得直线AB 的方程为3540x y +-=，故C 错误；圆心Q 到直线AB，所以AB ==，故D 正确；第II 卷12.【解析】8(1)x +的展开式中系数最大的项也即是二项式系数最大的项，即4458T C x =；13.【解析】由线面平行的性质定理知，截面的两组对边分别与AC 和VB 平行，与AC 平行的边长为2，与VB 平行的边长为1，故周长为6；14.【解析】依题意，0b a <<，故e ⎫=⎪⎪⎭；15.【答案】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，则当1n =时：1132a q a =+，①当2n =时：()211132a q a a q =++，②由①②解得：12,4a q ==，所以数列{}n a 的通项公式121242n n n a --=⨯=；（2）设数列{}n d 中存在3项m k p d d d ､､成等比数列，则2k m p d d d =⋅，因为2113211n n n n a a d n n -+-⨯==++，所以2212121323232111k m p k m p ---⎛⎫⨯⨯⨯=⋅ ⎪+++⎝⎭，即()()()22242223232(1)11m p k k m p +--⨯⨯=+++；又因为m k p ､､成等差数列，所以2k m p =+，所以()()2(1)11k m p +=++，化简得22k k mp m p +=++，所以2k mp =，又m k p ､､各不相等，所以222()4m p k mp k +=<=，矛盾.从而假设不成立，故在数列{}n d 中不存在3项,,m k p d d d 成等比数列.16.【答案】（1）证明：因为()()110AC AE A B BC AE BC AE BC AB BE ⋅=+⋅=⋅=⋅+=，所以1AC AE ⊥，因为()()110AC AF A D DC AF DC AF DC AD DF ⋅=+⋅=⋅=⋅+= ，所以1AC AF ⊥，又AE AF A ⋂=，故1AC ⊥平面AEF ；（2）以点D 为原点，分别以直线1DA DC DD ､､为x y z ､､轴，建立空间直角坐标系，则()()13,4,0,0,0,5DB DD ==设平面11DBB D 的法向量为(),,n x y z =，则150340n DD z n BD x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取()4,3,0n =- ，由（1）知：()13,4,5A C =--是平面AEF 的一个法向量所以，111cos ,n A C n A C n A C⋅==⋅，设平面AEF 和平面11D B BD 的夹角为θ，则1cos cos ,n A C θ==.17.【答案】（1）()f x 的定义域为{}1xx ≠∣，且()()2e 23(1)x x x f x x -=-'，由()0f x '=得：0x =或32x =，列表得：x(),0∞-0()0,131,2⎛⎫ ⎪⎝⎭323,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭()f x '+--+()f x极大值极小值所以，()f x 的递增区间为(),0∞-与3,2∞⎛⎫+⎪⎝⎭，递减区间为()0,1与31,2⎛⎫⎪⎝⎭，()f x 的极大值为()01f =，极小值为3234e 2f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，当x ∞→-时，()0f x →，且0x <时，()0f x >，当x 从1的左侧无限趋近1时，()f x ∞→-，当x 从1的右侧无限趋近1时，()f x ∞→+又10,2f ⎛⎫=⎪⎝⎭所以函数()y f x =的大致图象如图所示：（2）令()120e 1x a g x x =--=-得：()()e 211x x a f x x -==-，由（1）知，当()32,01,4e a ∞⎧⎫∈-⋃⎨⎬⎩⎭时，()y g x =恰有1个零点；当()320,14e ,a ∞⎛⎫∈⋃+ ⎪⎝⎭时，()y g x =恰有2个零点；当321,4e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()y g x =没有零点.18.【答案】（1）记B =“投资期间经济形势好”，A =“投资咨询公司预测投资期间经济形势好”，则()()0.4,0.6P B P B ==，()0.8P A B =∣，()()110.70.3,P A B P A B =-=-=∣∣由全概率公式得：()()()()()P A P B P A B P B P A B =+∣∣0.40.80.60.30.5;=⨯+⨯=（2）设采取方案一获得利润X 万元，则X 的分布列是X50-20P 0.40.6设采取方案二获得利润Y 万元，则Y 的所有可能取值为20.5, 1.5,49.5--，(20.5)()((0.18P Y P BA P B P A B =-===∣，( 1.5)(1()10.50.5P Y P A P A =-==-=-=，()()()()49.50.32P Y P BA P B P A B ====∣，Y ∴的分布列为：Y -20.5-1.549.5P0.180.50.32()()500.4200.68,20.50.18 1.50.549.50.3211.4E X E Y ∴=⨯-⨯==-⨯-⨯+⨯=，()(),E X E Y <∴ 甲公司应该选择方案二.19.【答案】（1）依题意可知，直线l 的方程为2y =，由222y y x =⎧⎨=⎩得：()2,2A ，又1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以43AB k =，故直线AB 的方程为4132y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由()2413222y x y x x ⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=≠⎩得：11,82B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则2081BP k m =-，设直线BP 的倾斜角为θ，由2222tan 4tan21tan 13BP AB BP k k k θθθ====--得12BP k =或-2（舍去）所以201812m =-，故418m =；（2）设直线()0y kx b k =+≠与拋物线22(0)y px p =>相切于点M ，由22y kx b y px=+⎧⎨=⎩得：()222220k x kb p x b +-+=，故222Δ(22)40kb p k b =--=，整理得2kb p =，从而(),2,,0b M b F kb k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，进而()21,2b MF k b k ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，取直线MF 的一个方向向量()211,2n k k =-- ，直线()0y kx b k =+≠的一个方向向量为()1,m k =，焦点F 发出的光线经点M 反射，设反射光线斜率为k '，取其一个方向向量为()21,n k '= ，故12cos ,cos ,0m n m n += ，即：=整理得：()2120k k k k ⎡⎤-+⎣'=⎦'，因为1n 与2n 不共线，所以()2120k k k '-+≠，从而0k '=，所以由抛物线焦点F 发出的光线经拋物线反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴.。

广东省汕头市潮阳区2024届学业水平考试数学试题模拟卷二

广东省汕头市潮阳区2024届学业水平考试数学试题模拟卷二请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知定义在R 上的奇函数()f x ，其导函数为()f x '，当0x ≥时，恒有())03(xf f x x '+>．则不等式33()(12)(12)0x f x x f x -++<的解集为（）．A ．{|31}x x -<<-B ．1{|1}3x x -<<- C ．{|3x x <-或1}x >-D ．{|1x x <-或1}3x >-2．若202031i iz i+=+，则z 的虚部是（）A ．iB ．2iC ．1-D ．13．设集合{|0}A x x =>，{}2|log (31)2B x x =-<，则（）． A ．50,3AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．10,3AB ⎛⎤= ⎥⎝⎦C ．1,3A B ⎛⎫⋃=+∞ ⎪⎝⎭D ．(0,)A B =+∞4． “十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为A BC ．D ．5．执行如图所示的程序框图若输入12n =，则输出的n 的值为（）A ．32B ．2C ．52D ．36．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“乐”不排在第一节，“射”和“御”两门课程不相邻，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有（）种. A ．408B ．120C ．156D ．2407．如果0b a <<，那么下列不等式成立的是（） A ．22log log b a D ．2ab b <8．某四棱锥的三视图如图所示，该几何体的体积是（）A ．8B ．83C ．4D ．439．已知实数x ，y 满足约束条件2202202x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则22x y +的取值范围是（）A ．25,225⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．4,85⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．2,85⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[]1,810．函数()y f x =()x R ∈在(]1∞-，上单调递减，且(1)f x +是偶函数，若(22)(2)f x f -> ，则x 的取值范围是（） A ．（2，+∞） B ．（﹣∞，1）∪（2，+∞） C ．（1，2） D ．（﹣∞，1）11．函数24y x =-的定义域为A ，集合(){}2log 11B x x =+>，则A B =（）A ．{}12x x <≤B ．{}22x x -≤≤C ．{}23x x -<<D ．{}13x x <<12．已知集合A={x|y=lg （4﹣x 2）}，B={y|y=3x ，x ＞0}时，A∩B=（） A ．{x|x ＞﹣2} B ．{x|1＜x ＜2} C ．{x|1≤x≤2} D ．∅ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

广东省13市2025届高三第二次模拟考试数学试卷含解析

广东省13市2025届高三第二次模拟考试数学试卷请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．《九章算术》“少广”算法中有这样一个数的序列：列出“全步”（整数部分）及诸分子分母，以最下面的分母遍乘各分子和“全步”，各自以分母去约其分子，将所得能通分之分数进行通分约简，又用最下面的分母去遍乘诸（未通者）分子和以通之数，逐个照此同样方法，直至全部为整数，例如：2n =及3n =时，如图：记n S 为每个序列中最后一列数之和，则6S 为（）A ．147B ．294C ．882D ．17642．如图，将两个全等等腰直角三角形拼成一个平行四边形ABCD ，将平行四边形ABCD 沿对角线BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，则直线AC 与BD 所成角余弦值为（）A 22B 6C 3D ．133．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是说：两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等.设A 、B 为两个同高的几何体，:p A 、B 的体积不相等，:q A 、B 在等高处的截面积不恒相等.根据祖暅原理可知，p 是q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知直线x y t +=与圆()2222x y t t t R +=-∈有公共点，则()4t t -的最大值为（）A ．4B ．289C ．329D ．327 5．如图，在矩形OABC 中的曲线分别是sin y x =，cos y x =的一部分，,02A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0,1C ，在矩形OABC 内随机取一点，若此点取自阴影部分的概率为1P ，取自非阴影部分的概率为2P ，则（）A ．12P P C ．12P P =D ．大小关系不能确定6．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（）A ．83B ．163C ．43D ．8 7．已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是（）A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离8．在关于x 的不等式2210ax x ++>中，“1a >”是“2210ax x ++>恒成立”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．已知变量x ，y 满足不等式组210x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则2x y -的最小值为（）A ．4-B ．2-C ．0D ．410．若点(2，k)到直线5x-12y+6=0的距离是4，则k 的值是( )A ．1B ．-3C ．1或53D ．-3或17311．曲线(2)x 在点(0,2)处的切线方程为2y x b =-+，则ab =（）A ．4-B ．8-C ．4D ．812．已知3sin 2cos 1,(,)2παααπ-=∈，则1tan 21tan 2αα-=+（） A ．12- B ．2- C ．12 D ．2 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

广东省汕头市2021届新高考第二次质量检测数学试题含解析

广东省汕头市2021届新高考第二次质量检测数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．函数()f x = ）A ．{2x x ≤或}3x ≥B ．{3x x ≤-或}2x ≥-C ．{}23x x ≤≤D ．{}32x x -≤≤- 【答案】A【解析】【分析】根据偶次根式被开方数非负可得出关于x 的不等式，即可解得函数()y f x =的定义域.【详解】由题意可得2560x x -+≥，解得2x ≤或3x ≥.因此，函数()y f x =的定义域为{2x x ≤或}3x ≥.故选：A.【点睛】本题考查具体函数定义域的求解，考查计算能力，属于基础题.2．复数21i z i =-（i 为虚数单位），则z 等于（）A ．3B ．C ．2D【答案】D【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简z ，从而求得z ，然后直接利用复数模的公式求解.【详解】 ()()()()21211111i i i z i i i i i i +===+=-+--+，所以1z i =--，z =，故选：D.【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的乘除运算，复数的共轭复数，复数的模，属于基础题目.3．下列选项中，说法正确的是（）A ．“20000x R x x ∃∈-≤，”的否定是“2000x R x x ∃∈->，”B ．若向量a b ，满足0a b ⋅< ，则a 与b 的夹角为钝角C ．若22am bm ≤，则a b ≤D ．“()x AB ∈”是“()x A B ∈”的必要条件【答案】D【解析】【分析】对于A 根据命题的否定可得：“∃x 0∈R ，x 02-x 0≤0”的否定是“∀x ∈R ，x 2-x ＞0”，即可判断出；对于B 若向量a b ，满足0a b ⋅<，则a 与b 的夹角为钝角或平角；对于C 当m=0时，满足am 2≤bm 2，但是a≤b 不一定成立；对于D 根据元素与集合的关系即可做出判断．【详解】选项A 根据命题的否定可得：“∃x 0∈R ，x 02-x 0≤0”的否定是“∀x ∈R ，x 2-x ＞0”，因此A 不正确；选项B 若向量a b ，满足0a b ⋅<，则a 与b 的夹角为钝角或平角，因此不正确.选项C 当m=0时,满足am 2≤bm 2，但是a≤b 不一定成立，因此不正确；选项D 若“()x AB ∈”，则x A ∈且x B ∈，所以一定可以推出“()x A B ∈”，因此“()x A B ∈”是“()x AB ∈”的必要条件，故正确. 故选：D.【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，涉及知识点有含有量词的命题的否定、不等式性质、向量夹角与性质、集合性质等，属于简单题.4．由曲线y ＝x 2与曲线y 2＝x 所围成的平面图形的面积为( )A ．1B ．13C ．23D ．43【答案】B【解析】【分析】首先求得两曲线的交点坐标，据此可确定积分区间，然后利用定积分的几何意义求解面积值即可.【详解】联立方程：22y x y x⎧=⎨=⎩可得：1100x y =⎧⎨=⎩，2211x y =⎧⎨=⎩，结合定积分的几何意义可知曲线y ＝x 2与曲线y 2＝x 所围成的平面图形的面积为： ()31231200211|333S x x dx x x ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭⎰. 本题选择B 选项.【点睛】本题主要考查定积分的概念与计算，属于中等题.5．某几何体的三视图如图所示，其俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，则此几何体的体积是（）A ．203πB ．6πC ．103πD ．163π 【答案】C【解析】由三视图可知，该几何体是下部是半径为2，高为1的圆柱的一半，上部为底面半径为2，高为2的圆锥的一半，所以，半圆柱的体积为2112122V ππ=⨯⨯⨯=，上部半圆锥的体积为2211422233V ππ=⨯⨯⨯=，所以该几何体的体积为12410233V V V πππ=+=+=，故应选C ． 6．在四面体P ABC -中，ABC 为正三角形，边长为6，6PA =，8PB =，10PC =，则四面体P ABC -的体积为（）A ．811B ．10C ．24D ．163【答案】A【解析】【分析】推导出PB BC ⊥，分别取BC PC ，的中点,D E ,连结,,AD AE DE ，则,,AD BC AE PC DE BC ⊥⊥⊥，推导出AE DE ⊥，从而⊥平面AE PBC ，进而四面体P ABC -的体积为13P ABC A PBC PBC V V S AE --==⋅⋅，由此能求出结果.解：在四面体P ABC -中，ABC 为等边三角形，边长为6，6PA =，8PB =，10PC =，222PB BC PC ∴+=，PB BC ∴⊥，分别取BC PC ，的中点,D E ，连结,,AD AE DE ，则,,AD BC AE PC DE BC ⊥⊥⊥，且AD 4DE AE ===，，222AE DE AD ∴+=，AE DE ∴⊥，PC DE E PC =⊂，平面PBC ，DE ⊂平面PBC ，∴⊥平面AE PBC ，∴四面体P ABC -的体积为：13P ABC A PBC PBC V V S AE --==⋅⋅ 1111=863232PB BC AE ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=.故答案为：【点睛】本题考查四面体体积的求法，考查空间中线线，线面，面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力. 7．设x 、y 、z 是空间中不同的直线或平面，对下列四种情形：①x 、y 、z 均为直线；②x 、y 是直线，z 是平面；③z 是直线，x 、y 是平面；④x 、y 、z 均为平面.其中使“x z ⊥且y z x y ⊥⇒∥”为真命题的是（） A ．③④B ．①③C ．②③D ．①②【答案】C【解析】【分析】①举反例，如直线x 、y 、z 位于正方体的三条共点棱时②用垂直于同一平面的两直线平行判断.③用垂直于同一直线的两平面平行判断.④举例，如x 、y 、z 位于正方体的三个共点侧面时.【详解】①当直线x 、y 、z 位于正方体的三条共点棱时,不正确；②因为垂直于同一平面的两直线平行,正确；③因为垂直于同一直线的两平面平行,正确；④如x 、y 、z 位于正方体的三个共点侧面时, 不正确.【点睛】此题考查立体几何中线面关系，选择题一般可通过特殊值法进行排除，属于简单题目.8．已知函数2log (1),1()3,1x x x f x x -->⎧=⎨≤⎩，则[](2)f f -=（） A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】C【解析】【分析】结合分段函数的解析式,先求出(2)f -,进而可求出[](2)f f -.【详解】由题意可得2(2)39f -==，则[]2(9)log (913(2))f f f =-==-. 故选:C.【点睛】本题考查了求函数的值,考查了分段函数的性质,考查运算求解能力,属于基础题.9．用数学归纳法证明，则当时，左端应在的基础上加上（） A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】首先分析题目求用数学归纳法证明1+1+3+…+n 1=时，当n=k+1时左端应在n=k 的基础上加上的式子，可以分别使得n=k ，和n=k+1代入等式，然后把n=k+1时等式的左端减去n=k 时等式的左端，即可得到答案．【详解】当n=k 时，等式左端=1+1+…+k 1，当n=k+1时，等式左端=1+1+…+k 1+k 1+1+k 1+1+…+（k+1）1，增加了项（k 1+1）+（k 1+1）+（k 1+3）+…+（k+1）1．故选：C ．本题主要考查数学归纳法，属于中档题./10．设不等式组2000x x y x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪-≥⎩，表示的平面区域为Ω，在区域Ω内任取一点(),P x y ，则P 点的坐标满足不等式222x y +≤的概率为A ．π8B ．π4C ．12π+ D ．2π+ 【答案】A【解析】【分析】画出不等式组表示的区域Ω，求出其面积，再得到222x y +≤在区域Ω内的面积，根据几何概型的公式，得到答案.【详解】画出2000x x y x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪-≥⎩所表示的区域Ω，易知()()2,2,2,2A B -，所以AOB 的面积为4，满足不等式222x y +≤的点，在区域Ω内是一个以原点为圆心，2为半径的14圆面，其面积为2π，由几何概型的公式可得其概率为2==48P ππ，故选A 项.【点睛】本题考查由约束条件画可行域，求几何概型，属于简单题.11．若直线2y x =-的倾斜角为α，则sin 2α的值为（）A ．45B ．45-C ．45±D ．35【答案】B【解析】【分析】根据题意可得：tan 2α，所求式子利用二倍角的正弦函数公式化简，再利用同角三角函数间的基本关系弦化切后，将tan 2α代入计算即可求出值．【详解】由于直线2y x =-的倾斜角为α，所以tan 2α，则22222sin cos 2tan 224sin 22sin cos sin cos tan 1(2)15ααααααααα-⨯=====-++-+ 故答案选B【点睛】本题考查二倍角的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及直线倾斜角与斜率之间的关系，熟练掌握公式是解本题的关键． 12．设12,F F 分别是双线2221(0)x y a a-=>的左、右焦点，O 为坐标原点，以12F F 为直径的圆与该双曲线的两条渐近线分别交于,A B 两点（,A B 位于y 轴右侧），且四边形2OAF B 为菱形，则该双曲线的渐近线方程为（）A ．0x y ±=B ．0y ±=C ．0x ±=D ．30x y ±=【答案】B【解析】【分析】由于四边形2OAF B 为菱形，且2OF OA =，所以2AOF ∆为等边三角形，从而可得渐近线的倾斜角，求出其斜率.【详解】如图，因为四边形2OAF B 为菱形，2OF OA OB ==，所以2AOF △为等边三角形，260AOF ︒∠=，和.故选：B【点睛】此题考查的是求双曲线的渐近线方程，利用了数形结合的思想，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2019年广东省汕头市高考数学一模试卷(理科)(a卷)

R （（2019 年广东省汕头市高考数学一模试卷（理科）（A 卷）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5 分）已知集合 A ＝{x|log 2x ＞0}，B ＝{x|x ≤2}，则 A ∩B ＝（）A ．{x|x ≤2}B ．{x|0＜x ≤2}C ．{x|0≤x ≤2}D ．{x|1＜x ≤2}2．（5 分）已知 a ∈ ，i 是虚数单位，复数A ．0B ．23．（5 分）已知离散型随机变量 X 的分布列为，若C ．﹣2，则 a ＝（）D ．1XP 0 1 2m3则 X 的数学期望 E （X ）＝（）A ．B ．1C ．D ．24． 5 分）已知向量与向量的夹角为（）A ．B ．，若C ．D ．，则向量5．（5 分）动圆的圆心在抛物线 y 2＝8x 上，且动圆恒与直线 x +2＝0 相切，则动圆必经过定点（）A ．（4，0）B ．（2，0）C ．（0，2）D ．（0，﹣2）6． 5 分）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数 y ＝g （x ）的图象，则 g （x ）在A ．﹣1B ．﹣ 上的最小值为（）C ．D ．07．（5 分）将含有甲、乙、丙的 6 人平均分成两组参加“文明交通”志愿者活动，其中一组指挥交通，一组分发宜传资料，则甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的概率为（）A ．B ．C ．D ．8．（5 分）在正方体 ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1 中，点 O 是四边形 ABCD 的中心，关于直线 A 1O ，（下列说法正确的是（）A ．A 1O ∥D 1CC ．A 1O ∥平面 B 1CD 1B ．A 1O ⊥BCD ．A 1O ⊥平面 AB 1D 19．（5 分）若函数 f （x ）＝e x （cosx ﹣a ）在区间值范围是（）上单调递减，则实数 a 的取A ．B ．（1，+∞）C ．[1，+∞）D ．10．（5 分）过双曲线﹣＝1（a ＞0，b ＞0）的右焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A ，B 两点，与双曲线的渐进线交于 C ，D 两点，若|AB|≥|CD|，则双曲线离心率的取值范围为（）A ．[ ，+∞）B ．[ ，+∞）C ．（1， ]D ．（1， ]11．（5 分）三棱锥 P ﹣ABC 中，P A ⊥平面 ABC ，∠ABC ＝△30°，APC 的面积为 2，则三棱锥 P ﹣ABC 的外接球体积的最小值为（） A ．B ．C ．64πD ．4π12． 5分）定义在上的函数 f （x ），满足f （x ）＝lnx ，若函数g （x ）＝f （x ）﹣ax 在是（）A ．B ．[﹣πln π，0]C ．，且当时，上有零点，则实数 a 的取值范围D ．二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．13．（5 分）设 x ，y 满足约束条件，则 z ＝4x +y 的最大值为．14．（5 分）已知，则 cos2α＝．15．（5 分）在（1﹣ax +x 2）5 的展开式中，x 3 的系数为 30，则实数 a 的值为．16．（5 分）在锐角三角形 ABC 中，角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，a ＝1，且（bc ﹣2）cosA +accosB ＝1﹣b 2，则△ABC 面积的最大值为．三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必考（题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．一）必考题：共60分．17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且2S n＝na n+2a n﹣1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列的前n项和为T n，证明：T n＜4．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥菱形ABCD所在的平面，∠ABC＝60°，E 是BC中点，F是PC上的点．（1）求证：平面AEF⊥平面P AD；（2）若M是PD的中点，当AB＝AP时，是否存在点F，使直线EM与平面AEF的所成角的正弦值为？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由．19．（12分）我市南澳县是广东唯一的海岛县，海区面积广阔，发展太平洋牡蛎养殖业具有得天独厚的优势，所产的“南澳牡蛎”是中国国家地理标志产品，产量高、肉质肥、营养好，素有“海洋牛奶精品”的美誉．根据养殖规模与以往的养殖经验，产自某南澳牡蛎养殖基地的单个“南澳牡蛎”质量（克）在正常环境下服从正态分布N（32，16）．（1）购买10只该基地的“南澳牡蛎”，会买到质量小于20g的牡蛎的可能性有多大？（2）2019年该基地考虑增加人工投入，现有以往的人工投入增量x（人）与年收益增量y（万元）的数据如下：人工投入增量x（人）年收益增量y（万元）21332243164285010561358该基地为了预测人工投入增量为16人时的年收益增量，建立了y与x的两个回归模型：模型①：由最小二乘公式可求得y与x的线性回归方程：；模型②：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线：的附近，对人工投入增量x做变换，令，则y＝b•t+a，且有．（i）根据所给的统计量，求模型②中y关于x的回归方程（精确到0.1）；（ii）根据下列表格中的数据，比较两种模型的相关指数R2，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测人工投入增量为16人时的年收益增量．模型①模型②回归模型回归方程182.479.2附：若随机变量Z～N（，σ2），则P（﹣3σ＜Z＜+3σ）＝0.9974，0.998710≈0.9871；样本（t i，y i）（i＝1，2，…，n）的最小二乘估计公式为：，另，刻画回归效果的相关指数20．12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，离心率为，（（ a点 A 在椭圆 C 上，|AF 1|＝2，∠F 1AF 2＝60°，过 F 2 与坐标轴不垂直的直线 l 与椭圆 C交于 P ，Q 两点．（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；（Ⅱ）若 P ，Q 的中点为 N ，在线段 OF 2 上是否存在点 M （m ，0），使得 MN ⊥PQ ？若存在，求实数 m 的取值范围；若不存在，说明理由．21．（12 分）已知 f （x ）＝﹣（a ＞0）．（1）讨论 f （x ）的单调性；（2）若 f （x ）存在 3 个零点，求实数 a 的取值范围．（二）选考题：共（10 分）．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所作的第一题计分．[选修 4-4：坐标系与参数方程]22． 10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为（α 为参数，＞0）．以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为．（1）设 P 是曲线 C 上的一个动点，若点 P 到直线 l 的距离的最大值为值；（2）若曲线 C 上任意一点（x ，y ）都满足 y ≥|x|+2，求 a 的取值范围．[选修 4-5：不等式选讲]23．已知函数 f （x ）＝|2x +k|+|x ﹣2|（k ∈R ）．（1）若 k ＝4，求不等式 f （x ）≥x 2﹣2x ﹣4 的解集；（2）设 k ＜﹣4，当 x ∈[﹣1，2]时都有 f （x ）≥x 2﹣2x +4，求 k 的取值范围．，求 a 的R2019 年广东省汕头市高考数学一模试卷（理科）（A 卷）参考答案与试题解析一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5 分）已知集合 A ＝{x|log 2x ＞0}，B ＝{x|x ≤2}，则 A ∩B ＝（）A ．{x|x ≤2}B ．{x|0＜x ≤2}C ．{x|0≤x ≤2}D ．{x|1＜x ≤2}【分析】可解出集合 A ，然后进行交集的运算即可．【解答】解：A ＝{x|x ＞1}，B ＝{x|x ≤2}；∴A ∩B ＝{x|1＜x ≤2}．故选：D ．【点评】考查描述法的定义，对数函数的单调性，以及交集的运算．2．（5 分）已知 a ∈ ，i 是虚数单位，复数A ．0B ．2 ，若C ．﹣2，则 a ＝（）D ．1【分析】利用商的模等于模的商列式求解 a 的值．【解答】解：∵复数，且，∴，即，则 a ＝0．故选：A ．【点评】本题考查复数模的求法，是基础的计算题．3．（5 分）已知离散型随机变量 X 的分布列为XP 0 1 2m3则 X 的数学期望 E （X ）＝（）A ．B ．1C ．D ．2【分析】利用分布列求出 m ，然后求解期望即可．【解答】解：由题意可得：可得 m ＝．+ +m+ ＝1．（ E （X ）＝＝1．故选：B ．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查转化思想以及计算能力．4． 5 分）已知向量，若，则向量与向量的夹角为（） A ．B ．C ．D ．【分析】由向量共线的坐标运算得：（2，﹣2），，所以 3＝3（3﹣k ），即 k ＝2，即＝由向量的数量积得：（与向量的夹角为【解答】解：由• ＝2×4+（﹣2）×4＝0，即（，得解，得： ⊥ ，故向量＝（3﹣k ，3），又，所以 3＝3（3﹣k ），即 k ＝2，即＝（2，﹣2），又所以（所以（故向量＝（4，4），• ＝2×4+（﹣2）×4＝0，⊥ ，与向量的夹角为，故选：D ．【点评】本题考查了向量共线的坐标运算及向量的数量积及其夹角，属简单题5．（5 分）动圆的圆心在抛物线 y 2＝8x 上，且动圆恒与直线 x +2＝0 相切，则动圆必经过定点（）A ．（4，0）B ．（2，0）C ．（0，2）D ．（0，﹣2）【分析】由抛物线的解析式确定出焦点坐标与准线方程，根据动圆恒与直线 x +2＝0 相切，（而 x +2＝0 为准线方程，利用抛物线的定义可得出动圆一定过抛物线的焦点．【解答】解：由抛物线 y 2＝8x ，得到准线方程为 x +2＝0，焦点坐标为（2，0），∵动圆的圆心在抛物线 y 2＝8x 上，且动圆恒与直线 x +2＝0 相切，∴动圆必经过定点（2，0）．故选：B ．【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，以及抛物线的简单性质，熟练掌握抛物线的简单性质是解本题的关键．6． 5分）将函数的图象，则 g （x ）在A ．﹣1B ．﹣ 的图象向右平移个单位长度，得到函数 y ＝g （x ）上的最小值为（）C ．D ．0【分析】利用函数 y ＝Asin （ωx +φ）的图象变换规律得到 g （x ）的解析式，再根据正弦函数的定义域和值域，求得 g （x ）在上的最小值．【解答】解：将函数得到函数 y ＝g （x ）＝sin （2x ﹣+的图象向右平移）＝sin （2x ﹣ 个单位长度，）的图象，在上，2x ﹣ ∈[﹣， ]，故当 2x ﹣＝﹣ 时，函数取得最小值为﹣1，故选：A ．【点评】本题主要考查函数 y ＝Asin （ωx +φ）的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．7．（5 分）将含有甲、乙、丙的 6 人平均分成两组参加“文明交通”志愿者活动，其中一组指挥交通，一组分发宜传资料，则甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的概率为（）A ．B ．C ．D ．【分析】推导出基本事件总数 n ＝＝20，甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组包含的基本事件个数：m ＝少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的概率．＝9，由此能求出甲、乙至【解答】解：将含有甲、乙、丙的6人平均分成两组参加“文明交通”志愿者活动，其中一组指挥交通，一组分发宜传资料，基本事件总数n＝＝20，甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组包含的基本事件个数：m＝＝9，则甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的概率为p＝．故选：C．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O是四边形ABCD的中心，关于直线A1O，下列说法正确的是（）A．A1O∥D1C C．A1O∥平面B1CD1B．A1O⊥BCD．A1O⊥平面AB1D1【分析】推导出A1D∥B1C，OD∥B1D1，从而平面A1DO∥平面B1CD1，由此能得到A1O ∥平面B1CD1．【解答】解：∵在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O是四边形ABCD的中心，∴A1D∥B1C，OD∥B1D1，∵A1D∩DO＝D，B1D1∩B1C＝B1，∴平面A1DO∥平面B1CD1，∵A1O平面A1DO，∴A1O∥平面B1CD1．故选：C．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．9．（5分）若函数f（x）＝e x（cosx﹣a）在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（）A．B．（1，+∞）C．[1，+∞）D．【分析】求出函数的导数，问题转化为a≥cosx﹣sinx，x∈，令h（x）＝cosx ﹣sinx＝sin（﹣x），x∈，根据三角函数的性质求出a的范围即可．【解答】解：f′（x）＝e x（cosx﹣sinx﹣a），若f（x）在区间则cosx﹣sinx﹣a≤0区间即a≥cosx﹣sinx，x∈上单调递减，上恒成立，，令h（x）＝cosx﹣sinx＝故﹣x∈（﹣，sin（），﹣x），x∈，故sin（﹣x）的最大值是1，此时﹣x＝，即x＝﹣，故h（x）的最大值是，故a≥，故选：D．【点评】本题考查了三角函数的性质，考查函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道中档题．10．（5分）过双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，与双曲线的渐进线交于C，D两点，若|AB|≥|CD|，则双曲线离心率的取值范围为（）A．[，+∞）B．[，+∞）C．（1，]D．（1，]【分析】将x＝c代入﹣＝1和y＝±x，求出A，B，C，D的坐标，由两点之间的距离公式求得|AB|，|CD|，由|AB|≥|CD|，求得a和c的关系，根据离心率公式，即可求得离心率的取值范围．【解答】解：当x＝c时代入﹣＝1得y＝±，则A（c，），B（c，﹣），则AB＝，，则C（c，），D（c，﹣），将x＝c代入y＝±x得y＝±则|CD|＝，∵|AB|≥|CD|∴≥×，即b≥c，则b2≥c2＝c2﹣a2，即c2≥a2，则e2＝，则e≥，故选：B．【点评】本题主要考查双曲线离心率的计算，根据方程求出交点坐标，结合距离公式进行求解是解决本题的关键，属于中档题．11．（5分）三棱锥P﹣ABC中，P A⊥平面ABC，∠ABC＝△30°，APC的面积为2，则三棱锥P﹣ABC的外接球体积的最小值为（）A．B．C．64πD．4π【分析】由题意画出图形，设AC＝△x，由APC的面积为2，得P A＝，再由∠ABC＝30°，得三角形ABC外接圆的半径r＝x，求出球心到平面ABC的距离，再由勾股定理可得外接球的半径，利用基本不等式求得最小值，代入球的体积公式求解．【解答】解：如图，设AC＝△x，由APC的面积为2，得P A＝，ABC＝30°，∴三角形ABC外接圆的半径r＝x，∵PA⊥平面ABC，P A＝，（ ∴O 到平面 ABC 的距离为 d ＝ P A ＝，设球 O 的半径为 R ，则 R ＝，当且仅当时“＝”成立．∴三棱锥 P ﹣ABC 的外接球体积的最小值为故选：A ．．【点评】本题考查了棱锥与球的位置关系，考查正弦定理的应用，属于中档题．12． 5分）定义在上的函数 f （x ），满足，且当时，f （x ）＝lnx ，若函数g （x ）＝f （x ）﹣ax 在是（）A ．B ．[﹣πln π，0]C ．上有零点，则实数 a 的取值范围D ．【分析】由题意，找出 x ∈（1，π]的解析式，画出 f （x ）定义在利用直线 y ＝ax 与 f （x ）的交点个数得到 a 的范围．上的图形，【解答】解：因为当所以 x ∈（1，π]时，＝﹣lnx ，x ∈（1，π]．时，f （x ）＝lnx ，，所以 f （）＝﹣lnx ，此时，故 f （x ）所以 f （x ）在上的图象如图，要使函数 g （x ）＝f （x ）﹣ax 在有零点，只要直线 y ＝ax 与 f （x ）的图象有交点，由图象可得，k OA ≤a ≤0，其中，上g f 然所以使函数（x ）＝（x ）﹣ax 在0]．故选：B ．上有零点，则实数 a 的取值范围是[﹣πln π，【点评】本题考查通过将定义域转变到已知函数的定义域上求函数解析式的方法，数形结合解题的方法，关键是将零点个数转化为函数图象的交点个数解答．二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．13．（5 分）设 x ，y 满足约束条件，则 z ＝4x +y 的最大值为 19 ．【分析】利用线性规划的内容作出不等式组对应的平面区域，后由 z ＝4x +y 得 y ＝﹣4x +z ，根据平移直线确定目标函数的最大值．【解答】解：作出 x ，y 满足约束条件对应的平面区域如图：由 z ＝4x +y 得 y ＝﹣4x +z ，平移直线 y ＝﹣4x +z ，由图象可知当直线 y ＝﹣4x +z 经过点 B 时，直线 y ＝﹣4x +z 的截距最大，此时 z 最大，由，解得 A （5，﹣1），此时 z ＝4×5﹣1＝19，故答案为：19．【点评】本题主要考查二元一次不等式组表示平面区域的知识，以及线性规划的基本应用，利用数形结合是解决此类问题的关键．14．（5分）已知，则cos2α＝．【分析】利用两角差的正切公式求得tanα的值，再利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，求得要求式子的值．【解答】解：∵已知＝，∴tanα＝，则cos2α＝＝＝，故答案为：．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正切公式、二倍角公式的应用，属于基础题．15．（5分）在（1﹣ax+x2）5的展开式中，x3的系数为30，则实数a的值为﹣1．【分析】利用通项公式即可得出．【解答】解：在（1﹣ax+x2）5的展开式中，通项公式T r+1＝（x2﹣ax）r，（x2﹣ax）r的通项公式T k+1＝（x2）r﹣k（﹣ax）k＝（﹣a）k x2r﹣k，令2r﹣k＝3．则r＝2时，k＝1；r＝3时，k＝3．∴x3的系数为30＝+，解得a＝﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16．（5分）在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝1，且（bc﹣2）cosA+accosB＝1﹣b2，则△ABC面积的最大值为．【分析】根据余弦定理，结合三角形的面积公式以及基本不等式的性质进行转化求解即可．【解答】解：∵a＝1，且（bc﹣2）cosA+accosB＝1﹣b2，∴（bc﹣2）•+ac•＝1﹣b2，即﹣+＝1﹣b2，即﹣即﹣﹣+c2＝1﹣b2，+c2+b2﹣1＝0，+c2+b2﹣a2＝0，即（c2+b2﹣a2）（1﹣）＝0，∵△ABC是锐角三角形形，∴cosA＝则1﹣＞0，即c2+b2﹣a2＞0，＝0，即bc＝1，由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bccosA≥2bc﹣2bccosA，即1≥2﹣2cosA，得2cosA≥1，得cosA≥，即0°＜a≤60°，则三角形的面积S＝bcsinA≤×＝，即三角形面积的最大值为，故答案为：【点评】本题主要考查解三角形的应用，结合余弦定理，三角形的面积公式以及基本不等式的性质是解决本题的关键．（【解答】解：1）当 n ＝1 时，2S 1＝a 1+2a 1﹣1，即 a 1＝1，………………………………………a a 三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23 题为选考题，考生根据要求作答．一）必考题：共 60 分．17．（12 分）已知数列{a n }的前 n 项和为 S n ，且 2S n ＝na n +2a n ﹣1．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若数列的前 n 项和为 T n ，证明：T n ＜4．【分析】（ 1 ）利用数列的递推关系式推出数列．（2）由（1）得，所以为常数列，然后求解，然后求解数列的和，推出结果即可．（（1 分）当 n ≥2 时，2S n ＝na n +2a n ﹣1①，2S n ﹣1＝（n ﹣1）a n ﹣1+2a n ﹣1﹣1②………………（2 分） ①﹣②，得 2a n ＝na n ﹣（n ﹣1）n ﹣1+2a n ﹣2a n ﹣1，即 na n ＝（n +1）n﹣1，……………………… （3 分）所以，且，……………………………………………………………………（4 分）所以数列为常数列，………………………………………………………………………（5 分），即．………………………………………………………（6 分）（2）由（1）得，所以，…………………（8 分）所以（（，………………………………………………………………（9分）分）……………………………（10分）＝（11分）＝，…………（没写也不扣………………………………………．……………………………………………………………………………………（12分）【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，放缩法的应用，考查转化思想以及计算能力．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥菱形ABCD所在的平面，∠ABC＝60°，E 是BC中点，F是PC上的点．（1）求证：平面AEF⊥平面P AD；（2）若M是PD的中点，当AB＝AP时，是否存在点F，使直线EM与平面AEF的所成角的正弦值为？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由．【分析】1）连接AC，证明AE⊥BC，AE⊥AD，推出PA⊥AE，即可证明AE⊥平面P AD，然后说明平面AEF⊥平面P AD．（2）以A为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，不妨设AB＝AP＝2，则，求出相关点的坐标，求出平面AEF的一个法向量，设直线EM与平面AEF所成角为θ，由，利用空间向量的数量积求解λ，然后推出结果．【解答】1）证明：连接A C，因为底面ABCD为菱形，∠ABC＝△60°，所以ABC是正三角形，∵E是BC的中点，∴AE⊥BC，…………………………………（1分）又AD∥BC，∴AE⊥AD，………………………………………（2分）∵PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，∴PA⊥AE，…………（3分）又PA∩AD＝A，∴AE⊥平面P AD，…………………（4分）又AE⊂平面AEF，所以平面AEF⊥平面P AD．……………………（5分）（2）解：以A为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，不妨设AB＝AP＝2，则，则，………………………（6分）设，则，……（7分）又，设是平面AEF的一个法向量，则，取z＝λ，得，……………………（9分）设直线EM与平面AEF所成角为θ，由，得：．…………………（10分）化简得：10λ2﹣13λ+4＝0，解得或，故存在点F满足题意，此时为或．……………………………（12分）【点评】本题考查平面与平面垂直的判断定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．19．（12分）我市南澳县是广东唯一的海岛县，海区面积广阔，发展太平洋牡蛎养殖业具有得天独厚的优势，所产的“南澳牡蛎”是中国国家地理标志产品，产量高、肉质肥、营养好，素有“海洋牛奶精品”的美誉．根据养殖规模与以往的养殖经验，产自某南澳牡蛎养殖基地的单个“南澳牡蛎”质量（克）在正常环境下服从正态分布N（32，16）．（1）购买10只该基地的“南澳牡蛎”，会买到质量小于20g的牡蛎的可能性有多大？（2）2019年该基地考虑增加人工投入，现有以往的人工投入增量x（人）与年收益增量y（万元）的数据如下：人工投入增量x（人）年收益增量y（万元）21332243164285010561358该基地为了预测人工投入增量为16人时的年收益增量，建立了y与x的两个回归模型：模型①：由最小二乘公式可求得y与x的线性回归方程：；模型②：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线：的附近，对人工投入增量x做变换，令，则y＝b•t+a，且有．（（ N（i ）根据所给的统计量，求模型②中 y 关于 x 的回归方程（精确到 0.1）；（ii ）根据下列表格中的数据，比较两种模型的相关指数 R 2，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测人工投入增量为 16 人时的年收益增量．回归模型回归方程模型① 模型②182.4 79.2附：若随机变量 Z ～N （，σ2），则 P （ ﹣3σ＜Z ＜ +3σ）＝0.9974，0.998710≈0.9871；样本（ t i ， y i ）（ i ＝ 1 ， 2 ， … ， n ）的最小二乘估计公式为：，另，刻画回归效果的相关指数【分析】 1）结合 ξ～N （32，16）及正态分布的性质可求得＝32，σ＝4，由正态分布的对称性可求 P （ξ＜20），再结合二项分布的性质即可求解（2）（i ）由已知结合回归系数的计算公式可求 a ，b ，进而可求回归方程（ii ）由表格中的数据，结合相关指数的性质即可判断【解答】解： 1）由已知，单个“南澳牡蛎”质量 ξ～（32，16），则＝32，σ＝4，…………（（1 分）由正态分布的对称性可知，，设购买 10 只该基地的“南澳牡蛎”，其中质量小于 20g 的牡蛎为 X 只，故 X ～B （10，0，0013），故 P （X ≥1）＝1﹣P （X ＝0）＝1﹣（1﹣0.0013）10＝1﹣0.9871＝0.0129，所以这 10 只“南澳牡蛎”中，会买到质量小于 20g 的牡蛎的可能性仅为 1.29%．……………（5 分）（2）i ）由有………（6 分）且（7 分），，………………………………………………，……………………………………………………所以，模型②中 y 关于 x 的回归方程为 …………………………………（8 分）（ii ）由表格中的数据，有 182.4 ＞ 79.2 ，即………………………（9 分）模型 ① 的 R 2 小于模型 ② ，说明回归模型 ② 刻画的拟合效果更好．………………………………（10 分）当x ＝ 16 时，模型 ② 的收益增量的预测值为20． 12分）已知椭圆 C ：（a ＞b ＞0）的左右焦点分别为 F 1，F 2，离心率为，k（元），…………………………………………（11 分）这个结果比模型 ① 的预测精度更高、更万可靠．……………………………………………………（12 分）【点评】本题主要考查了回归模型的应用及分布列的应用及相关指数在拟合模型的选择中的应用．（点 A 在椭圆 C 上，|AF 1|＝2，∠F 1AF 2＝60°，过 F 2 与坐标轴不垂直的直线 l 与椭圆 C交于 P ，Q 两点．（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；（Ⅱ）若 P ，Q 的中点为 N ，在线段 OF 2 上是否存在点 M （m ，0），使得 MN ⊥PQ ？若存在，求实数 m 的取值范围；若不存在，说明理由．【分析】（Ⅰ）利用离心率以及椭圆的定义，结合余弦定理，求解椭圆 C 的方程．（Ⅱ）存在这样的点 M 符合题意．设 P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），N （x 0，y 0），设直线 PQ的方程为 y ＝（x ﹣1），邻里中心与椭圆方程，利用韦达定理求出通过点 N 在直线 PQ 上，求出 N 的坐标，利用 MN ⊥PQ ，转化求解 m 的范围．，【解答】解：（Ⅰ）由得 a ＝2c ，|AF 1|＝2，|AF 2|＝2a ﹣2，由余弦定理得，解得 c ＝1，a ＝2，b 2＝a 2﹣c 2＝3，所以椭圆 C 的方程为．（Ⅱ）存在这样的点 M 符合题意．设 P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），N （x 0，y 0），由 F 2（1，0），设直线 PQ 的方程为 y ＝k （x ﹣1），由得（4k 2+3）x 2﹣8k 2x +4k 2﹣12＝0，，（（ f + e （' 1 f' （f1 + f' f由韦达定理得，故，又点 N 在直线 PQ 上，，所以．因为 MN ⊥PQ ，所以，整理得，所以存在实数 m ，且 m 的取值范围为．【点评】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．21．（12 分）已知 f （x ）＝﹣（a ＞0）．（1）讨论 f （x ）的单调性；（2）若 f （x ）存在 3 个零点，求实数 a 的取值范围．【分析】 1）求出函数的导数，通过讨论 a 的范围，求出函数的单调区间即可；（2）求出函数的导数，问题转化为有 2 个实数根，分离参数 a ，令，根据函数的单调性求出 a 的范围即可．【解答】解： 1）（x ）＝﹣ax +a +e x （x ﹣2） x ＝（x ﹣1） e x﹣a ）……………………………（1 分）因为 a ＞0，由 f'（x ）＝0，得 x 1＝1 或 x 2＝lna ．……………………………………………（2 分）（i ）当 0＜a ＜e 时，1＞lna ，在（﹣∞，lna ）和（1，+∞）上，f'（x ）＞0，f （x ）单调递增；在（lna ，）上，（x ）＜0， x ）单调递减，………………………………………………………… （3 分）（ii ）当 a ＝e 时，＝lna ，在（﹣∞， ∞）上，（x ）≥0，（x ）单调递增，…………………… （4 分）（iii ）当 a ＞e 时，lna ＞1，在（﹣∞，1）和（lna ，+∞）上，f'（x ）＞0，f （x ）单调递增；f' （f f在（1，lna ）上，（x ）＜0， x ）单调递减，…………………………………………………………（5 分）（2）f （x ）＝﹣ ax 2+ax +（x ﹣2）e x ＝（x ﹣2）（﹣ ax +e x ），所以（x ）有一个零点 x ＝2．……………………………………………………………………（6 分）要使得 f （x ）有 3 个零点，即方程有 2 个实数根，又方程，令，…………（7 分）即函数 y ＝a 与 y ＝h （x ）图象有两个交点，令，得 x ＝1……………………………………………………（8 分），h （x ）的单调性如表：xh '（x ）h （x ）（﹣∞，0）﹣↘ （0，1）﹣↘ 1极小值（1，2）+↗ （2，+∞）+↗当 x ＜0 时，h （x ）＜0，又 h （2）＝e 2，h （x ）的大致图象如图：………………（11 分）………………………………………………………………………………………………………………（9 分）所以，要使得 f （x ）有 3 个零点，则实数 a 的取值范围为（2e ，e 2）∪（e 2，+∞）……………………………（12 分）（ a （【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查函数恒成立问题，是一道综合题．（二）选考题：共（10 分）．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所作的第一题计分．[选修 4-4：坐标系与参数方程]22． 10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为（α 为参数，＞0）．以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为．（1）设 P 是曲线 C 上的一个动点，若点 P 到直线 l 的距离的最大值为，求 a 的值；（2）若曲线 C 上任意一点（x ，y ）都满足 y ≥|x|+2，求 a 的取值范围．【分析】 1）圆 C 上动点 P 到直线 l 的距离的最大值为圆心（0，a ）到直线的距离加上半径；（2）利用圆心（0，a ）到直线 y ＝x +2 的距离大于等于圆 C 的半径 2，解不等式可得．【解答】解：（1）依题意得曲线 C 的普通方程为：x 2+（y ﹣a ）2＝4，因为 ρsin （θ﹣）＝2 ，所以 ρsin θ﹣ρcos θ＝4，因为 x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以直线 l 的直角坐标方程为：x ﹣y ﹣4＝0，所以圆心 C （0，a ）到直线的距离为依题意得+2＝2 +2，，（因为 a ＞0，解得 a ＝8．（2）因为曲线 C 上任意一点（x ，y ）都满足 y ≥|x|+2，所以≥2，所以|a ﹣2|，解得 a ≤2﹣2 或 a ≥2+2 ，又 a ＞0，所以 a 的取值范围为[2+2，+∞）【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．[选修 4-5：不等式选讲]23．已知函数 f （x ）＝|2x +k|+|x ﹣2|（k ∈R ）．（1）若 k ＝4，求不等式 f （x ）≥x 2﹣2x ﹣4 的解集；（2）设 k ＜﹣4，当 x ∈[﹣1，2]时都有 f （x ）≥x 2﹣2x +4，求 k 的取值范围．【分析】 1）k ＝4 时，函数 f （x ）＝|2x +4|+|x ﹣2|，分类讨论去掉绝对值，求不等式 f （x ）≥x 2﹣2x ﹣4 的解集；（2）由 k ＜﹣4，x ∈[﹣1，2]，化简 f （x ），把不等式 f （x ）≥x 2﹣2x +4 转化为关于 k 的不等式恒成立问题，从而求出 k 的取值范围．【解答】解：（1）k ＝4 时，函数 f （x ）＝|2x +4|+|x ﹣2|，所以 f （x ）＝，当 x ＜﹣2 时，由 f （x ）≥x 2﹣2x ﹣4 化为﹣3x ﹣2≥x 2﹣2x ﹣4，解得﹣1≤x ≤2，所以此时不等式无解；当﹣2≤x ≤2 时，由 f （x ）≥x 2﹣2x ﹣4 化为 x +6≥x 2﹣2x ﹣4，解得﹣2≤x≤5，所以是﹣2≤x≤2；当x＞2时，由f（x）≥x2﹣2x﹣4化为3x+2≥x2﹣2x﹣4，解得﹣1≤x≤6，所以是2＜x≤6；综上所述，不等式f（x）≥x2﹣2x﹣4的解集为{x|﹣2≤x≤6}；（2）设k＜﹣4，则﹣＞2，当x∈[﹣1，2]时，f（x）＝﹣3x+2﹣k，不等式f（x）≥x2﹣2x+4化为﹣3x+2﹣k≥x2﹣2x+4，即x2+x+k+2≤0；设g（x）＝x2+x+k+2，则g（x）≤0在x∈[﹣1，2]恒成立，即g（2）＝4+2+k+2≤0，解得k≤﹣8，∴k的取值范围是（﹣∞，﹣8]．【点评】本题考查了不等式恒成立问题，也考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题，是中档题．。

广东省百所高中2025届高三第二次联考数学试卷含解析

广东省百所高中2025届高三第二次联考数学试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数2()e (2)e xx f x t t x =+--（0t ≥），若函数()f x 在x ∈R 上有唯一零点，则t 的值为（）A ．1B ．12或0 C ．1或0D ．2或02．如图，在中，点M 是边的中点，将沿着AM 翻折成，且点不在平面内，点是线段上一点.若二面角与二面角的平面角相等，则直线经过的（）A ．重心B ．垂心C ．内心D ．外心3．对于任意x ∈R ，函数()f x 满足(2)()f x f x -=-，且当1x 时，函数()1f x x =-.若111,,223⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭a fb fc f ，则,,a b c 大小关系是（）A ．b c a <时，()log (0a f x x a =>且1a ≠).若函数()f x 的图象上关于原点对称的点恰好有3对，则a 的取值范围是（）A ．(625,)+∞B ．(4,64)C ．(9,625)D ．(9,64)7．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若25a =-，416S =-，则6a =（）8．抛掷一枚质地均匀的硬币，每次正反面出现的概率相同，连续抛掷5次，至少连续出现3次正面朝上的概率是（） A ．14B ．13C ．532D ．3169．已知l 为抛物线24x y =的准线，抛物线上的点M 到l 的距离为d ，点P 的坐标为()4,1，则MP d +的最小值是（） A ．17B ．4C ．2D ．117+10．如图是甲、乙两位同学在六次数学小测试（满分100分）中得分情况的茎叶图，则下列说法错误．．的是（）A ．甲得分的平均数比乙大B ．甲得分的极差比乙大C ．甲得分的方差比乙小D ．甲得分的中位数和乙相等11．函数()cos 22x xxf x -=+的部分图像大致为（）A ．B ．C ．D ．12．一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）A ．18B ．17C ．16D ．1513．已知数列{}n a 的前n 项满足()3*1232232n n a a a na C n N +++++=∈，则n a =______.14．设x ∈R ，则“38x >”是“2x >”的__________条件.15．已知集合{}221,(1),33A m m m m =+--+，若1A ∈，则2020m =__________． 16．某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的表面积是______，体积是_____.三、解答题：共70分。

广东省海珠区等四区2025届高三二诊模拟考试数学试卷含解析

广东省海珠区等四区2025届高三二诊模拟考试数学试卷注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知二次函数2()f x x bx a =-+的部分图象如图所示，则函数()'()xg x e f x =+的零点所在区间为（）A ．(1,0)-B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(2,3)2．已知集合{}10,1,0,12x A x B x -⎧⎫=<=-⎨⎬+⎩⎭，则A B 等于（）A ．{}11x x -<>的左右焦点分别为12,F F ，点()()0,0E t t >.已知动点P 在双曲线C 的右支上，且点2,,P E F 不共线.若2PEF ∆的周长的最小值为4b ，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是（）A ．23⎫+∞⎪⎪⎝⎭ B ．23⎛ ⎝⎦C ．)3,⎡+∞⎣D ．(34．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升(注：一斗为十升).问，米几何？”下图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的S =15(单位：升)，则输入的k 的值为（） A ．45B ．60C ．75D ．1005．若23455012345(21)(21)(21)(21)(21)a a x a x a x a x a x x +-+-+-+-+-=，则2a 的值为（）A ．54B ．58C ．516D ．5326．已知平行于x 轴的直线分别交曲线2ln 21,21(0)y x y x y =+=-≥于,A B 两点，则4AB 的最小值为（）A ．5ln 2+B ．5ln 2-C ．3ln 2+D ．3ln 2-7．2020年是脱贫攻坚决战决胜之年，某市为早日实现目标，现将甲、乙、丙、丁4名干部派遺到A 、B 、C 三个贫困县扶贫，要求每个贫困县至少分到一人，则甲被派遣到A 县的分法有（） A ．6种B ．12种C ．24种D ．36种8．某几何体的三视图如图所示，图中圆的半径为1，等腰三角形的腰长为3，则该几何体表面积为（）A ．7πB ．6πC ．5πD ．4π9．已知函数有三个不同的零点（其中），则的值为( )A ．B ．C ．D ．10．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，平面α与此正方体相交.对于实数(03d d <<，如果正方体1111ABCD A B C D -的八个顶点中恰好有m 个点到平面α的距离等于d ，那么下列结论中，一定正确的是A ．6m ≠B ．5m ≠C ．4m ≠D ．3m ≠11．设1tan 2α=，4cos()((0,))5πββπ+=-∈，则tan 2()αβ-的值为（）A ．724-B ．524-C ．524D ．72412．下列说法正确的是（）A ．“若1a >，则21a >”的否命题是“若1a >，则21a ≤”B ．“若22am bm <，则a b <”的逆命题为真命题C ．0(0,)x ∃∈+∞，使0034x x >成立D ．“若1sin 2α≠，则6πα≠”是真命题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

广东省汕头市2023届高三二模化学试题

试卷类型：A 2023年汕头市普通高考第二次模拟考试试题化学注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目.2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.可能用到的相对原子质量：H-1B-11C-12N-14O-16Fe-56第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共16小题，共44分.（1-10题每小题2分，共20分；11-16题每小题4分，共24分.每小题只有一个选项符合要求.）1.2023年1月23日，汕头迎春大型焰火晚会点亮了汕头湾，为汕头发展注入强心剂.下列焰火颜色与钾元素相关的是（）A.黄色B.紫色C.绿色D.洋红色2.广东作为中国南大门，保存着不少国宝级文物.下列国宝级文物主要由陶瓷制成的是（）选项A B C D文物元青花人物图玉壶春瓶南宋鎏金腰带清象牙雕空雕八仙福寿提梁盒北宋木雕罗汉像3..A.《天工开物》“凡火药，硫为纯阳，硝为纯阴”，“硝”指硝酸钾B.《劝学》“冰，水为之，而寒于水”，说明冰的能量更低，转化为水属于吸热反应C.《己亥杂诗》“落红不是无情物，化作春泥更护花”，蕴含着自然界中的碳、氮循环D.《杨柳歌》“独忆飞絮鹅毛下，非复青丝马尾垂”，“飞絮”与“马尾”的化学成分均为蛋白质4.掌握化学用语，能让我们更快速的理解化学知识.下列化学用语表述正确的是（）A.基态砷原子的价电子轨道表示式：B.反-2-丁烯的键线式：C.乙烯分子中的π键：D.4NH Cl的电子式：5.家庭的厨卫管道内常因留有油脂、毛发、菜渣等而造成堵塞，此时可用一种固体疏通剂疏通.疏通剂主要成分有生物酶、铝粉和NaOH固体.下列有关说法错误的是（）A.大多数生物酶的主要成分为蛋白质B.疏通剂使用时会产生大量可燃性气体，应避免接触明火C.疏通剂可用于疏通陶瓷、铁制、铝制、塑料管道D.使用过程中产生的热量和碱性环境可以加速油脂的水解6.“无人机”在军工、民用等领域发挥着积极作用.下列有关“无人机”说法正确的是（）A.其控制芯片主要材料为2SiOB.机翼主体——碳纳米材料，属于有机高分子材料C.起落架用到的航空铝材合金，比纯铝的熔点高，硬度大D.机身所用的玻璃纤维增强聚酯树脂，属于复合材料7.化学创造美好生活.下列选项中生产活动和化学原理没有关联的是（）选项生产活动化学原理A 葡萄酒中添加少量2SO 2SO 可杀菌且防止营养物质被氧化B 用聚乙烯塑料制作食品保鲜膜聚乙烯燃烧生成2CO 和2H OC 利用氧化银冶炼金属Ag 氧化银在一定条件下发生分解反应D用地沟油为原料制作肥皂地沟油发生皂化反应8.某实验小组模拟并改进侯氏制碱法制备3，下列有关连接方式正确的是（）A.a →d →e →b →c →f →gB.a →b →c →d →e →f →gC.a →c →b →d →e →g →fD.a →f →g →c →b →d →e9.某金属有机多孔材料（MOFA ）对2CO 具有超高吸附能力，并能催化2CO 与环氧丙烷反应，其工作原理如图所示.下列说法错误的是（）A.b 分子中碳原子采用2sp 和3sp 杂化B.物质a 为醚类有机物，与环氧乙烷互为同系物C.1molb 最多可与2molNaOH 反应D.a 转化为b 发生取代反应，并有非极性共价键的形成10.为探究氨及铵盐性质，将4NH Cl 晶体装入如图所示T 形三通管两端进行微型实验（无水2CaCl 可吸附3NH ，形成23CaCl 8NH ⋅）.下列说法错误的是（）A.装置气密性检查：轻轻挤压乳胶头，观察到蒸馏水中有气泡冒出，松开后观察到形成一段水柱B.同时点燃两个酒精灯后，两端湿润的pH 试纸均有颜色变化C.实验过程中只能观察到蒸馏水液面上升，未见白烟产生D.停止加热后可以交替挤压两边乳胶头，使气体更充分吸收，减少污染 11.铁及其化合物在生活中应用广泛，下列有关离子方程式书写正确的是（） A.将铁片投入到稀硝酸中：+2+2Fe+2HFe +H ↑B.向3FeCl 溶液中通入少量2H S ：3+2++22Fe +H S2Fe +2H +S ↓C.用铁氰化钾溶液检验2+Fe ：()()2++366Fe +K Fe CN =KFe Fe CN +2K ⎡⎤⎡⎤↓⎣⎦⎣⎦ D.往()243Fe SO 溶液中加入过量Zn 粉：3+2+2+2Fe +Zn2Fe +Zn12.工业上制备硫酸的流程：25224V OO 98%H SO22324400-500FeS SO SO H SO 燃烧℃吸收−−−→−−−−→−−−−→，设A N 为阿伏伽德罗常数，下列有关说法正确的是（） A.2FeS 中2+Fe 的未成对电子数目为6B.2SO 的中心原子孤对电子数为1，其空间构型为V 型C.标准状况下，22.4L 3SO 中含有氧原子数目为A 3ND.25V O 作催化剂，能降低该反应的活化能，提高2SO 的平衡转化率13.已知W 、X 、Y 、Z 均为短周期元素，常温下，它们的最高价氧化物对应的水化物溶液（浓度均为-10.01mol L ⋅）的pH 和原子半径、原子序数的关系如图所示.下列说法正确的是（）A.化合物22X Y 为含有非极性共价键的离子化合物B.简单离子半径：Z>Y>W>XC.X 、Z 和O 形成的盐溶液XZO 呈酸性D.Y 单质与Z 的简单氢化物能发生置换反应14.下列各组实验，所选实验玻璃仪器和试剂（不考虑存放试剂的容器）均符合题意的是（）选项实验目的实验玻璃仪器选择试剂A 检验某涂改液中是否存在含氯有机化合物胶头滴管、试管涂改液、浓硝酸、3AgNO 溶液B 检验某补铁口服液中铁元素的价态胶头滴管、试管某补铁口服液、KSCN 溶液 C 测定盐酸浓度碱式滴定管、锥形瓶、烧杯、胶头滴管标准NaOH 标准溶液、待测盐酸溶液、酚酞试剂 D检验乙酰水杨酸粉末中是否含有水杨酸试管、胶头滴管乙酰水杨酸粉末、蒸馏水、3FeCl 溶液H 有关说法错误的是（）A.电极b 接电源正极，电解过程中附近溶液的pH 增大B.电极a 的电极反应式为：--+2-32422HSO +2e +2H S O +2H OC.电解过程中右侧24Na SO 的浓度增大D.电解过程中有+4molH 通过质子膜时，可处理60gNO 16.实验小组为探究反应：()()2242NO g N O g ,ΔH<0进行如下操作：在T ℃（各物质均为气态）时，将一定量的2NO 充入注射器中后封口，图乙是在拉伸或压缩注射器的过程中气体透光率随时间的变化（气体颜色越深，透光率越小）.下列有关说法错误的是（）图甲图乙A.d 点处：v <v 正逆B.由图乙可知注射器的移动轨迹为N →P →MC.若注射器隔热导致反应温度发生变化，则b 、c 两点的平衡常数b c K >KD.平衡时维持体积不变，再充入一定量2NO ，则2NO 的物质的量分数比原来小第Ⅱ卷二、非选择题：本题共4道大题，每道大题14分，共56分.请考生根据要求认真做答.17.（14分）络氨铜()344Cu NH SO 受热易分解产生氨气，络氨铜在乙醇—水混合溶剂中溶解度变化曲线如图所示，溶于水产生的()2+34Cu NH 存在平衡：()2+2+-14334Cu NH Cu +4NH K=4.810⨯Ⅰ.制备少量()3424Cu NH SO H O ⎡⎤⋅⎣⎦晶体，设计实验方案如下：（1）仪器A 的名称为____________，对比铜和浓硫酸加热制备硫酸铜，该方案的优点是________________（答一条即可）.（2）悬浊液B 为()242Cu OH SO ，补全下列离子方程式：()2+2-42422Cu +_________+SO Cu OH SO +_________↓（3）某同学认为上述方案中的溶液C 中一定含()344Cu NH SO ，设计如下方案证明其存在：加热深蓝色溶液并检验逸出气体为氨气.你认为此方案____________（填“可行”或“不可行”），理由是___________________________________________________.（4）取溶液C 于试管中，加入____________（填试剂），并用玻璃棒摩擦试管壁，即可得到产物晶体. Ⅱ.探究浓氨水和4CuSO 溶液反应（5）某同学阅读教材中浓氨水和4CuSO 溶液反应实验步骤：“取2mL0.1mol/L 的4CuSO 溶液于试管中，滴加几滴1mol/L 的氨水，立即产生浅蓝色沉淀，继续滴加氨水并振荡试管，沉淀溶解，得到深蓝色透明溶液”，设计如下方案探究浓氨水和4CuSO 溶液反应产物的影响因素.①利用平衡移动原理对实验b 的现象进行解释________________________.②某同学测得0.1mol/L 4CuSO 溶液的pH=3.2，于是设计实验c 的试剂为()2-4c SO =0.1mol/L ，pH=3.2硫酸和硫酸钠混合液，其目的是________________________.18.（14分）红矾钠（重铬酸钠：2272Na Cr O 2H O ⋅）是重要的基本化工原料，在印染工业、电镀工业和皮革工业中作助剂，在化学工业和制药工业中也用作氧化剂，应用领域十分广泛. 实验室中红矾钠可用铬铁矿（主要成分：23FeO Cr O ⋅）利用以下过程来制取.（1）基态Cr 原子的价电子排布式是_______________，这样排布使整个体系能量最低，原因是______________________________________________.（2）步骤Ⅱ中所得溶液显碱性，其中除含有24Na CrO 外，还含有铝、硅元素的化合物．．．，它们的化学式可能是___________、___________.（3）步骤Ⅳ中发生反应的离子方程式为___________________________________；反应完成的标志是_____________________________________________.（4）利用下面的复分解反应，将红矾钠与KCl 固体按物质的量比1:2混合溶于水后经适当操作可得到227K Cr O 晶体：227227Na Cr O +2KCl K Cr O +2NaCl （已知：温度对NaCl 的溶解度影响很小，对227K Cr O 的溶解度影响较大）.获得227K Cr O 晶体的基本实验步骤为：①溶解、②________、③________、④冷却结晶，最后过滤.（5）3+Cr 也有一定毒性，会污染水体，常温下要除去废液中多余的3+Cr ，调节pH 至少为__________，才能使铬离子沉淀完全.（已知溶液中离子浓度小于-5110mol/L ⨯，则认为离子完全沉淀；()3Cr OH 的溶度积常数为-321.010⨯）.（6）227Na Cr O 可用于测定废水的化学耗氧量（即COD ，指每升水样．．．．中还原性物质被氧化所需要2O 的质量）.现有某水样100.00mL ，酸化后加入1c mol/L 的227Na Cr O 溶液1V mL ，使水中的还原性物质完全被氧化（2-27Cr O 还原为3+Cr ）；再用2c mol/L 的4FeSO 溶液滴定剩余的2-27Cr O ，结果消耗4FeSO 溶液2V mL .该水样的COD 为_____________mg/L.19.（14分）氨和氨的金属配合物在许多方面有重要应用.回答下列问题：（1）哈伯·博施（Haber —Bosch ）法合成氨反应的能量变化如图所示，则合成氨的热化学方程式为：__________________________________________.（2）合成氨反应的速率方程为：()()()αβ-1223v=k cN c H c NH ⋅⋅⋅，在合成氨过程中，需要不断分离出氨，可能的原因有_______________________________.反应在不同条件下达到平衡，设体系中氨气的物质的量分数为()3x NH ，在T=450℃下的()3x NH 与p 的关系、在7p=510Pa ⨯下的()3x NH 与T 的关系如图所示，则____________（填“曲线a ”或“曲线b ”）表示的是T=450℃下的()3x NH 与p 的关系图像.（3）银氨溶液可以显著提高镀银液的稳定性.测得常温下，向20mL0.125mol/L 3AgNO 溶液中逐滴加入一定浓度的氨水，先出现沉淀，继续滴加氨水至沉淀溶解.测得该过程溶液的酸度值（()()+-c H lg c OH）与加入氨水的体积V （氨水）关系如图所示.已知e 点对应的溶液迅速由浑浊变得澄清，且此时溶液中的()+c Ag 与()3c NH 均约为310mol/L -.则b 点对应溶液中：()()()()++-332c Ag+c Ag NH ________c NO ⎡⎤⎣⎦（选填“＞”“＝”或“＜”）；常温下，若忽略+Ag 的水解，由e 点可计算出()++332Ag NH Ag +2NH ⎡⎤⎣⎦的平衡常数K=__________（计算结果保留一位有效数字）.（4）氨硼烷化合物成储氢材料新星.33H NBH （氨硼烷）中H-N-H 的键角__________3NH 中H-N-H 的键角（选填“＞”“＝”或“＜”）.某储氢材料晶胞如图，八面体中心为金属离子2+Fe，顶点均为配体3NH ；四面体中心为硼原子，顶点均为氢原子.该晶体属立方晶系，晶胞棱边夹角均为90︒，棱长为anm.则晶体的密度为_____________-3g cm ⋅（只列出计算式，A N 为阿伏加德罗常数的值）.20.（14分）2023年3月1日新版国家医保药品目录正式实施，药品总数达到2967种，一定程度上减轻了患者看病的负担，目录中的免疫调节剂泊马度胺Ⅰ的合成路线如下：已知：①2Boc O2NH -−−−→22HCl2CH Cl NH 溶液−−−−→-，-Boc 代表②252P O ,-H O−−−→△③Fe/HCl−−−→回答下列问题：（1）E 的名称为________________；A 中含氧官能团的名称为________________.（2）化合物A 能溶于水，其原因是________________________________________________.（3）H →I 的反应类型为______________；若想测定泊马度胺Ⅰ分子的空间结构，则需下列哪种分析手段：______________. A.X 射线衍射B.质谱法C.元素分析仪D.红外光谱（4）写出等物质的量D+G H →的化学方程式：________________________________________. （5）E 的芳香族同分异构体中既能发生银镜反应又能与3NaHCO 反应生成气体的有________种；其中核磁共振氢谱中4个峰的分子结构简式为________________________________________.（6）参考题中信息和所学知识，写出由化合物M （）为原料合成化合物N （）的路线图（其他试剂任选）.。

广东省汕头市(新版)2024高考数学人教版考试(综合卷)完整试卷

广东省汕头市（新版）2024高考数学人教版考试(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题在中，角的对边分别为成等差数列，当的外接圆半径时，周长的最大值为（）A．B．C．D．第(2)题若，则复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限第(3)题已知向量，若，则（）A．B．C．D．40第(4)题已知△ABC中，，动点P自点C出发沿线段CB运动，到达点B时停止，动点Q自点B出发沿线段BC运动，到达点C时停止，且动点Q的速度是动点P的2倍．若二者同时出发，且一个点停止运动时，另一个点也停止，则该过程中的最大值是（）A．B．C．4D．23第(5)题已知均为非负实数，且，则的取值范围为A．B．C．D．第(6)题设全集，集合，集合，则M∩（）=（）A．B．C．D．第(7)题过双曲线的右顶点作斜率为的直线，与的两条渐近线分别交于点，若，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．第(8)题已知，则（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题定义在上的函数满足，则（）A．是周期函数B．C．的图象关于直线对称D．第(2)题如图，直角梯形中，为中点，以为折痕把折起，使点A到达点的位置，且．则下列说法正确的有（）A．平面B．四棱锥外接球的体积为C．二面角的大小为D．与平面所成角的正切值为第(3)题四棱锥的底面为正方形，PA与底面垂直，，，动点M在线段PC上，则（）A．不存在点M，使得B．的最小值为C．四棱锥的外接球表面积为5πD．点M到直线AB的距离的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知实数满足，则的最小值是_______．第(2)题无穷等比数列满足首项，记，若对任意正整数集合是闭区间，则的取值范围是______．第(3)题已知平面直角坐标系xoy上的区域Ｄ由不等式组给定，若为Ｄ上的动点，Ａ的坐标为（－1,1），则的取值范围是_____________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知函数（1）若存在正数，使恒成立，求实数的最大值；（2）设，若没有零点，求实数的取值范围.第(2)题数列满足，称为数列的指数和.(1)若，求所有可能的取值；(2)求证：数列的指数和的充分必要条件是.第(3)题已知椭圆：过点，短轴长为．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点的直线（直线不与轴垂直）与椭圆交于不同的两点，，且为坐标原点．求的面积的最大值．第(4)题已知和是无穷的非常数数列．给出两个性质：①对于中任意两项，在中都存在一项，使得；②对于中任意一项，在中都存在两项，使得．(1)若，证明：数列满足性质①②；(2)若是单调数列，且满足性质①②，判断是否为等差数列，并说明理由；(3)若数列和满足（2）的条件，记（表示x，y，z，…中的最大者），证明：下列两个结论必有一个成立．（ⅰ）对任意的正数M，存在正整数m，当时，；（ⅱ）存在正整数m，使得，，，…是等差数列．第(5)题九江市正在创建第七届全国文明城市，某中学为了增强学生对九江创文的了解和重视，组织全校高三学生进行了“创文知多少”知识竞赛（满分100），现从中随机抽取了文科生、理科生各100名同学，统计他们的知识竞赛成绩分布如下：文科生116234416理科生92427328合计1040507624(1)在得分小于80分的学生样本中，按文理科类分层抽样抽取5名学生．①求抽取的5名学生中文科生、理科生各多少人；②从这5名学生中随机抽取2名学生，求抽取的2名学生中至少有一名文科生的概率．(2)如果得分大于等于80分可获“创文竞赛优秀奖”，能否有99.9%的把握认为获“创文竞赛优秀奖”与文理科类有关？参考数据：0.100.050.010.0050.0012.7063.841 6.6357.87910.828，其中．。

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广东省汕头市数学高三质检理数（5 月二模)试卷
姓名:________
班级:________
成绩:________
一、单选题 (共 12 题；共 24 分)
1. （2 分）不等式
的解集是
，则 a+b 的值为（）
A . 14
B . -14
C . 10
D . -10
2. （2 分） (2020 高三上·静安期末) 若展开（）
，则展开式中的系数等于
A.在
中所有任取两个不同的数的乘积之和
B.在
中所有任取三个不同的数的乘积之和
C.在
中所有任取四个不同的数的乘积之和
D . 以上结论都不对
3. （2 分） (2018 高三上·汕头月考) 已知平面向量
，
，则向量的模是
A.
B.
C.
D.5
4. （2 分）下列能与 sin20°的值相等的是（）
A . cos20°
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B . sin（﹣20°） C . sin70° D . sin160°
5. （2 分）在等比数列中，已知 A.5 B.4 C.3 D.2
，则 m 等于（）.
6. （ 2 分） (2018 高一上 · 寻乌期末 ) 定义在
上的奇函数
，当
时，
，则关于的函数 A. B. C. D.
的所有零点之和为（）
7. （2 分） (2019 高一上·汤原月考) 设函数
A.
的最小正周期为
，则下列结论错误的是（）
B.
的图象关于直线
对称
C.
的图象关于点
对称
D.
在
上单调递减
8. （2 分） (2017·襄阳模拟) 榫卯（sǔn mǎo）是古代中国建筑、家具及其它器械的主要结构方式，是在两
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个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式，凸出部分叫做“榫头”．某“榫头”的三视图及其部分尺寸如图所示，则该“榫头”体积等于（）
A . 12 B . 13 C . 14 D . 15 9. （2 分）某时段内共有 100 辆汽车经过某一雷达地区，时速频率分布直方图如图所示，则时速超过 60km/h 的汽车数量为（）
A . 38 辆 B . 28 辆 C . 10 辆 D . 5辆
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10. （2 分）以椭圆
的焦点为顶点、顶点为焦点的的双曲线方程是（）
A.
B.
C.
D.
11. （2 分） (2018 高一下·张家界期末) 某海轮以每小时 30 海里的速度航行，在点测得海面上油井在
南偏东，海轮向北航行 40 分钟后到达点，测得油井在南偏东，海轮改为北偏东的航向再行
驶 80 分钟到达点，则
两点的距离为（）(单位：海里)
A.
B. C.
D. 12. （2 分） (2019 高三上·深州月考) 已知正三棱锥棱锥外接球的表面积是（） A. B. C. D.
二、填空题 (共 4 题；共 4 分)
的侧棱长为
，底面边长为 6，则该正三
13. （1 分） (2017·嘉兴模拟) 若复数
，其中是虚数单位，则
________；
________．
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14. （1 分） (2017·大同模拟) 已知抛物线 C：y2=ax（a＞0）的焦点为 F，过焦点 F 和点 P（0，1）的射线 FP 与抛物线相交于点 M，与其准线相交于点 N，若|FM|：|MN|=1：3，则 a=________．
15. （1 分） (2017 高二上·常熟期中) 已知点 A（1，2），B（﹣3，﹣1），若圆 x2+y2=r2（r＞0）上恰有两点 M，N，使得△MAB 和△NAB 的面积均为 5，则 r 的取值范围是________．
16. （1 分）设 μ∈R，函数 f（x）=ex+ 的导函数是 f′（x），且 f′（x）是奇函数，若曲线 y=f（x）的一条切线的斜率是，则该切点的横坐标是________．
三、解答题 (共 7 题；共 70 分)
17. （10 分） (2016 高二上·福州期中) 数列{an}满足 a1=1，nan+1=（n+1）an+n（n+1），n∈N* ．
（1）证明：数列{ }是等差数列；
（2）设 bn=3n•
，求数列{bn}的前 n 项和 Sn．
18. （10 分） (2017 高二上·莆田期末) 在如图所示的多面体
中，
平面
，
平
面
，
为中点，是的中点.
（1）证明：
平面
（2）求点到平面
的距离.
19. （10 分）已知直线 l：x﹣y+3=0 和圆 C：（x﹣1）2+y2=1，P 为直线 l 上一动点，过 P 作直线 m 与圆 C 切于点 A，B．
（Ⅰ）求|PA|的最小值；
（Ⅱ）当|PA|最小时，求直线 AB 的方程．
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20. （10 分） (2017·山东模拟) 双十一期间某电商准备矩形促销市场调查，该电商决定活动，市场调查，该电商决定从 2 种服装商品，2 种家电商品，3 种日用商品中，选出 3 种商品进行促销活动．
（1）试求选出的 3 种商品中至多有一种是家电商品的概率；
（2）电商对选出的某商品采用促销方案是有奖销售，顾客购买该商品，一共有 3 次抽奖的机会，若中奖，则
每次都活动数额为 40 元的奖券，假设顾客每次抽奖时中奖的概率都是奖金额为随机变量 ξ，求 ξ 的分布列和期望．
，且每次中奖互不影响，设一位顾客中
21. （10 分） (2018 高一下·北京期中) 已知集合
，对于
…，，B＝（
…，
…，，定义 A 与 B 的差为
…，
…
，A 与 B 之间的距离为
.
（Ⅰ）若
，求
；
（Ⅱ）证明：对任意
，有
（i）
，且 | | a i − c i | − | b i − c i |
；
（ii）
三个数中至少有一个是偶数；
（Ⅲ）对于
…
满足的性质（不需证明）.
…
，再定义一种 A 与 B 之间的运算，并写出两条该运算
22. （10 分） (2020·内江模拟) 在平面直角坐标系
中，圆的参数方程
（为参
数），在极坐标系（与平面直角坐标系
取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴的非负半轴为极轴）
中，直线的方程为
.
（Ⅰ）求圆的普通方程及直线的直角坐标方程；
（Ⅱ）若圆心到直线的距离等于 2，求的值.
23. （10 分）解不等式
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（1）（x﹣2）（a﹣x）＞0
（2）
．
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一、单选题 (共 12 题；共 24 分)
1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11、答案：略 12-1、
二、填空题 (共 4 题；共 4 分)
参考答案
13-1、 14-1、 15-1、
第 8 页共 12 页

16-1、
三、解答题 (共 7 题；共 70 分)
17-1、
17-2、
18-1、
第 9 页共 12 页

18-2、
19-1、
20-1、
20-2
、
第 10 页共 12 页

21-1、22-1、
23-1、23-2、。