贵州贵阳市八年级数学上册第十二章《全等三角形》知识点(培优练)

一、选择题
1．如图O 是ABC 内的一点，且O 到三边AB 、BC 、CA 的距离==OF OD OE ．若70A ∠=︒，则BOC ∠（ ）．
A ．125°
B ．135°
C ．105°
D ．100°A 解析：A
【分析】
根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断出点O 是三角形三条角平分线的交点，再根据三角形的内角和定理求出∠ABC+∠ACB ，然后求出∠OBC+∠OCB ，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．
【详解】
解：∵O 到三边AB 、BC 、CA 的距离OF=OD=OE ，
∴点O 是三角形三条角平分线的交点，
∵∠BAC=70°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-70°=110°，
∴∠OBC+∠OCB= 12（∠ABC+∠ACB ）= 12
×110°=55°， 在△OBC 中，∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB ）=180°-55°=125°．
故选：A ．
【点睛】
本题考查了角平分线判定定理，三角形的内角和定理，要注意整体思想的利用． 2．如图，在ABC 中，B C ∠=∠，BD CE =，BF CD =，则EDF ∠等于（ ）
A ．90A ︒-∠
B ．1802A ︒-∠
C ．1902A ︒-∠
D ．11802
A ︒-∠ C 解析：C
【分析】
根据∠B=∠C ，BD=CE ，BF=CD ，可证出△BFD ≌△CDE ，继而得出∠BFD=∠EDC ，再根据三角形内角和定理及平角等于180︒，即可得出∠B=∠EDF ，进而得到答案．
【详解】
解：∵∠B=∠C ，BD=CE ，BF=CD ，
∴△BFD ≌△CDE ，
∴∠BFD=∠EDC ，
∴∠B+∠BFD+∠BDF=∠BDF+∠EDF+∠EDC ，
∴∠B=∠EDF ，
又∵∠B=∠C=18019022
A A ︒-∠=︒-∠， ∴∠EDF=1902A ︒-
∠， 故选：C ．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，根据全等三角形的性质找出∠BFD=∠EDC 是解题的关键．
3．如图所示，已知AB ∥CD ，BAC ∠与ACD ∠的平分线交于点O ，OE AC ⊥于点E ，且3OE cm =，则点O 到AB ，CD 的距离之和是（ ）
A ．3cm
B ．6cm
C ．9cm
D ．12cm B
解析：B
【分析】 过点O 作MN ，MN ⊥AB 于M ，证明MN ⊥CD ，则MN 的长度是AB 和CD 之间的距离；然后根据角平分线的性质，分别求出OM 、ON 的长度，再把它们求和即可．
【详解】
如图，过点O 作MN ，MN ⊥AB 于M ，交CD 于N ，
∵AB∥CD，
∴MN⊥CD，
∵AO是∠BAC的平分线，OM⊥AB，OE⊥AC，OE＝3cm，
∴OM＝OE＝3cm，
∵CO是∠ACD的平分线，OE⊥AC，ON⊥CD，
∴ON＝OE＝3cm，
∴MN＝OM＋ON＝6cm，
即AB与CD之间的距离是6cm，
故选B
【点睛】
此题主要考查角平分线的性质和平行线之间的距离，解答此题的关键是要明确：①角的平分线上的点到角的两边的距离相等，②从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离，③平行线间的距离处处相等．
4．工人师傅常用直角尺平分一个角，做法如下：如图所示，在∠AOB的边OA，OB上分别取OM＝ON，移动直角尺，使直角尺两边相同的刻度分别与M，N重合（即CM＝CN）．此时过直角尺顶点C的射线OC即是∠AOB的平分线．这种做法的道理是（）
A．HL B．SAS C．SSS D．ASA C
解析：C
【分析】
根据题中的已知条件确定有三组边对应相等，由此证明△OMC≌△ONC(SSS)，即可得到结论.
【详解】
在△OMC和△ONC中，
OM ON CM CN OC OC =⎧⎪=⎨⎪=⎩
, ∴△OMC ≌△ONC(SSS)，
∴∠MOC=∠NOC ，
∴射线OC 即是∠AOB 的平分线，
故选：C.
【点睛】
此题考查了全等三角形的判定及性质，比较简单，注意利用了三边对应相等，熟记三角形全等的判定定理并解决问题是解题的关键.
5．在以下图形中，根据尺规作图痕迹，能判定射线AD 平分∠BAC 的是（ ）
A ．图2
B ．图1与图2
C ．图1与图3
D ．图2与图3C
解析：C
【分析】 利用基本作图对三个图形的作法进行判断即可．
【详解】
解：在图1中，利用基本作图可判断AD 平分∠BAC ；
在图2中，利用基本作图得到D 点为BC 的中点，则AD 为BC 边上的中线；
在图3中，利用作法得AE=AF ，AM=AN ，则可判断△AMF ≌△ANE ，所以∠AMD=∠AND ， 再根据ME=AM-AE=AN-AF=FN ，∠MDE=∠NDF 可判断△MDE ≌△NDF ，根据三角形面积公式则可判定D 点到AM 和AN 的距离相等，则可判断AD 平分∠BAC ．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了作图-基本作图，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握角平分线的作法．
6．如图，AB BC ⊥，CD BC ⊥，AC BD =，则能证明ABC DCB ≅的判定法是( )
A ．SAS
B ．AAS
C ．SSS
D ．HL D
解析：D
【分析】 直接证明全等三角形，即可确定判断方法.
【详解】
解：∵AB BC ⊥，CD BC ⊥，
∴ABC 与△DCB 均为直角三角形，
又AC DB =，BC CB =， ∴()ABC DCB HL ≅,
故选：D.
【点睛】
本题考查全等三角形的判定定理，属于基础题.
7．根据下列已知条件，能画出唯一的△ABC 的是（ ）
A ．A
B ＝3，B
C ＝4，∠C ＝40°
B ．∠A ＝60°，∠B ＝45°，AB ＝4
C ．∠C ＝90°，AB ＝6
D ．AB ＝4，BC ＝3，∠A ＝30°B 解析：B
【分析】
根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．
【详解】
解：A 、根据AB ＝3，BC ＝4，∠C ＝40°，不能画出唯一三角形，故本选项不合题意； B 、∠A ＝60°，AB ＝4，∠B ＝45°，能画出唯一△ABC ，故此选项符合题意；
C 、∠C ＝90°，AB ＝6，不能画出唯一三角形，故本选项不合题意；
D 、AB ＝4，BC ＝3，∠A ＝30°，不能画出唯一三角形，故本选项不合题意；
故选：B ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
8．如图，AD 是ABC 的高，AD BD 8==，E 是AD 上的一点，BE AC 10==，AE 2=，BE 的延长线交AC 于点F ，则EF 的长为（ ）
A ．1.2
B ．1.5
C ．2.5
D ．3A 解析：A
【分析】
先证明Rt ACD ≌()Rt BED HL ，得CD ED AD AE 6==-=，
CAD EBD ∠∠=，再证BE AC ⊥，然后由三角形面积关系求出BF 11.2=，则EF BF BE 1.2=-=．
【详解】
解：AD 是ABC 的高，
AD BC ∴⊥，
ADC BDE 90∠∠∴==︒，
在Rt ACD 和Rt BED 中，
AC BE AD BD =⎧⎨=⎩
， Rt ACD ∴≌()Rt BED HL ，
CD ED AD AE 826∴==-=-=，CAD EBD ∠∠=，
C CA
D 90∠∠+=︒，
C EB
D 90∠∠∴+=︒，
BFC 90∠∴=︒，
BE AC ∴⊥， ABC 的面积ABD =的面积ACD +的面积，
111AC BF AD BD CD AD 222
∴⨯=⨯+⨯， AC BF AD BD CD AD ∴⨯=⨯+⨯，
即10BF 8886112=⨯+⨯=，
BF 11.2∴=，
EF BF BE 11.210 1.2∴=-=-=，
故选：A ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质以及三角形面积等知识；证明三角形全等是解题的关键．
9．下列命题，真命题是（ ）
A ．全等三角形的面积相等
B ．面积相等的两个三角形全等
C ．两个角对应相等的两个三角形全等
D ．两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等A
解析：A
【分析】
根据全等三角形的性质、全等三角形的判定定理判断即可．
【详解】
解：A 、全等三角形的面积相等，本选项说法是真命题；
B 、面积相等的两个三角形不一定全等，本选项说法是假命题；
C 、两个角对应相等的两个三角形相似，但不一定全等，本选项说法是假命题；
D 、两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，本选项说法是假命题； 故选：A ．
【点睛】
本题考查全等三角形的应用，熟练掌握三角形全等的定义、性质及判定是解题关键． 10．如图，在四边形ABCD 中，//,AB CD AE 是BAC ∠的平分线，且AE CE ⊥．若,AC a BD b ==，则四边形ABDC 的周长为（ ）
A ．1.5()a b +
B ．2a b +
C ．3a b -
D ．2+a b B
解析：B
【分析】 在线段AC 上作AF=AB ，证明△AEF ≌△AEB 可得∠AFE=∠B ，∠AEF=∠AEB ，再证明△CEF ≌△CED 可得CD=CF ，即可求得四边形ABDC 的周长．
【详解】
解：在线段AC 上作AF=AB ，
∵AE 是BAC ∠的平分线，
∴∠CAE=∠BAE ，
又∵AE=AE ，
∴△AEF ≌△AEB （SAS ），
∴∠AFE=∠B ，∠AEF=∠AEB ，
∵AB ∥CD ，
∴∠D+∠B=180°，
∵∠AFE+∠CFE=180°，
∴∠D=∠CFE ，
∵AE CE ⊥，
∴∠AEF+∠CEF=90°，∠AEB+∠CED=90°，
∴∠CEF=∠CED ，
在△CEF 和△CED 中
∵D CFE CEF CED CE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
, ∴△CEF ≌△CED （AAS ）
∴CE=CF ，
∴四边形ABDC 的周长=AC+AB+BD+CD=AC+AF+CF+BD=2AC+BD=2a b +，
故选：B ．
【点睛】
本题考查全等三角形的性质和判断．能正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键．
二、填空题
11．如图，点C 在AOB ∠的平分线上，CD OA ⊥于点D ，且2CD =，如果E 是射线OB 上一点，那么CE 长度的最小值是___________．
2【分析】根据垂线段最短及角平分线的性
质定理求解【详解】解：如图由垂线段最短定理可知：当CE ⊥OB 时CE 的长度最小∵点C 在∠AOB 的平分线上CD ⊥OA ∴CE=CD=2故答案为2【点睛】本题是基础题目
解析：2
【分析】
根据垂线段最短及角平分线的性质定理求解 ．
【详解】
解：如图，
由垂线段最短定理可知：当CE ⊥OB 时，CE 的长度最小，
∵点C 在 ∠AOB 的平分线上，CD ⊥OA ，
∴CE=CD=2，
故答案为2 ．
【点睛】
本题是基础题目，熟练掌握垂线段最短及角平分线的性质定理是解题关键．
12．如图，ABC 中，D 是AB 上的一点，DF 交AC 于点E ，AE CE =，//CF AB ，若四边形DBCF 的面积是26cm ，则ABC 的面积为______2cm ．
6【分析】根据CF ∥AB 得到∠DAE=∠FCE 结合
AE=CE ∠AED=∠FEC 可得△AED ≌△CEF 根据即可得出结果【详解】解：∵CF ∥AB ∴∠DAE=∠FCE 又∵AE=CE ∠AED=∠FEC ∴△A
解析：6
【分析】
根据CF ∥AB ，得到∠DAE=∠FCE ，结合AE=CE ，∠AED=∠FEC ，可得△AED ≌△CEF ，AED CEF S S =，根据 ABC AED CEF DBCE DBCE DBCF S S S S S S =+=+=四边形四边形四边形，即可得出结果．
【详解】
解：∵CF ∥AB ，
∴∠DAE=∠FCE ，
又∵AE=CE ，∠AED=∠FEC ，
∴△AED ≌△CEF ，
∴AED CEF S
S =， ∴26ABC AED CEF DBCE DBCE DBCF S S S S S S cm =+=+==四边形四边形四边形，
故答案为：6．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是证得△AED ≌△CEF ．
13．如图，已知ABC 的周长是8，OB ，OC 分别平分ABC ∠和ACB ∠，OD BC 于D ，且3OD =，ABC 的面积是______．
12【分析】连接OA 过O 作OE ⊥AB 于EOF ⊥AC 于F 根据角
平分线的性质求出OE=OF=OD=3再根据三角形的面积公式求出即可【详解】解：连接OA 过O 作OE ⊥AB 于EOF ⊥AC 于F ∵OBOC 分别平分
解析：12
【分析】
连接OA ，过O 作OE ⊥AB 于E ，OF ⊥AC 于F ，根据角平分线的性质求出OE=OF=OD=3，再根据三角形的面积公式求出即可．
【详解】
解：连接OA ，过O 作OE ⊥AB 于E ，OF ⊥AC 于F ，
∵OB ， OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，OD ⊥BC ，OD=3，
∴OE=OD=3，OF=OD=3，
∵△ABC 的周长是8，
∴AB+BC+AC=8，
∴△ABC 的面积S=S △ABO +S △BCO +S △ACO =
12×AB×OE+12×BC×OD+12×AC×OF =12×AB×3+12×BC×3+12×AC×3
=1
2
×3×（AB+BC+AC）
=1
2
×3×8
=12，
故答案为：12．
【点睛】
本题考查了三角形的面积和角平分线的性质，能根据角平分线的性质求出OE=OD=OF=3是解此题的关键．
14．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与外角∠ACE的平分线交于点D，若∠D＝20°，则∠A＝_____．
40°【分析】利用角平分线的性质可知∠ABC＝
2∠DBC∠ACE＝2∠DCE再根据三角形外角的性质可得出∠D＝∠DCE﹣
∠DBE∠A＝∠ACE﹣∠ABC即得出∠A＝2∠D即得出答案【详解】∵∠ABC
解析：40°
【分析】
利用角平分线的性质可知∠ABC＝2∠DBC，∠ACE＝2∠DCE．再根据三角形外角的性质可得出∠D＝∠DCE﹣∠DBE，∠A＝∠ACE﹣∠ABC．即得出∠A＝2∠D，即得出答案．
【详解】
∵∠ABC的平分线交∠ACE的外角平分线∠ACE的平分线于点D，
∴∠ABC＝2∠DBC，∠ACE＝2∠DCE，
∵∠DCE是△BCD的外角，
∴∠D＝∠DCE﹣∠DBE，
∵∠ACE是△ABC的外角，
∠A＝∠ACE﹣∠ABC＝2∠DCE﹣2∠DBE＝2（∠DCE﹣∠DBE），
∴∠A＝2∠D＝40°．
故答案为：40°．
【点睛】
本题考查角平分线和三角形外角的性质，熟练利用角平分线和三角形外角的性质来判断题中角之间的关系是解答本题的关键．
15．如图，ABC ADE
≅，延长BC，分别交AD，ED于点F，G，若
120
EAB
∠=︒，30
B
∠=︒，10
CAD
∠=︒，则CFD
∠=________︒．
95【分析】根据全等三角形的
性质得∠BAC=∠DAE 结合三角形外角的性质和三角形内角和定理即可求解【详解】解：∵∴∴∴∴故答案为：【点睛】本题主要考查全等三角形的性质三角形外角的性质和三角形内角和定
解析：95
【分析】
根据全等三角形的性质，得∠BAC=∠DAE ，结合三角形外角的性质和三角形内角和定理，即可求解．
【详解】
解：∵ABC ADE ≅，
∴()12010255BAC DAE ∠=∠=-÷=，
∴85ACF BAC B ∠=∠+∠=，
∴18085CFA ACF CAD ∠=-∠-∠=，
∴1808595CFD ∠=-=．
故答案为：95．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的性质，三角形外角的性质和三角形内角和定理，熟练掌握上述定理和性质，是解题的关键．
16．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠，交BC 边于点D ，若12AB =，4CD =，则ABD △ 的面积为__________．
24【分析】过D 作DE ⊥AB 垂足为E 根据角平分线定理
可得DE=CD=4然后根据三角形的面积公式计算即可【详解】解：如图：过D 作DE ⊥AB 垂足为E ∵AD 平分交BC 边于点D ∴DE=CD=4∴的面积为AB
解析：24
【分析】
过D 作DE ⊥AB 垂足为E ，根据角平分线定理可得DE=CD=4,然后根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】
解：如图：过D 作DE ⊥AB 垂足为E ，
∵90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠，交BC 边于点D ，
∴DE=CD=4，
∴ABD △ 的面积为12AB·DE=12
×12×4=24． 故答案为：24．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的性质定理，正确作出辅助线、构造角平分线定理所需条件成为解答本题的关键．
17．如图，△ABC 中，∠C=90°，AC=40cm ，BD 平分∠ABC ，DE ⊥AB 于E ，AD ：DC=5：3，则D 到AB 的距离为__________cm ． 15【分析】根据角平分线的性质可得DE=DC 然后求出
DC 即得答案【详解】解：∵AC=40cmAD ：DC=5：3∴DC=15cm ∵BD 平分∠ABCDE ⊥AB ∠C=90°∴DE=DC=15cm 即D 到AB
解析：15
【分析】
根据角平分线的性质可得DE=DC ，然后求出DC 即得答案．
【详解】
解：∵AC=40cm ，AD ：DC=5：3，
∴DC=15cm ，
∵BD 平分∠ABC ，DE ⊥AB ，∠C=90°，
∴DE=DC=15cm ，即D 到AB 的距离为15cm ．
故答案为：15．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质，属于基础题目，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键． 18．ABC 中，4AB =，6AC =， 则第三边BC 边上的中线m 的取值范围是______．【分析】如图延长AD 至点E 使得DE=AD 可证△ABD ≌△CDE 可得AB=CEAD=DE 在△ACE 中根据三角形三边关系即可求得AE 的取值范围即可解题
【详解】解：延长AD 至点E 使得DE=AD ∵点D 是BC
解析：15a <<
【分析】
如图延长AD 至点E ，使得DE=AD ，可证△ABD ≌△CDE ，可得AB=CE ，AD=DE ，在△ACE 中，根据三角形三边关系即可求得AE 的取值范围，即可解题．
【详解】
解：延长AD 至点E ，使得DE=AD ，
∵点D 是BC 的中点，
∴BD=CD
在△ABD 和△CDE 中，
AD DE ADB CDE BD CD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝，
∴△ABD ≌△CDE （SAS ），
∴AB=CE ，
∵△ACE 中，AC-CE ＜AE ＜AC+CE ，即：AC-AB ＜AE ＜AC+AB ，
∴2＜AE ＜10，
∴1＜AD ＜5．
故答案为：1＜AD ＜5．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△ABD ≌△CDE 是解题的关键．
19．如图，ABC ∆中，90,6,8ACB AC cm BC cm ∠=︒==，点P 从点A 出发沿A C -路径向终点C 运动.点Q 从B 点出发沿B C A --路径向终点A 运动．点P 和Q 分别以每秒1cm 和3cm 的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动，在某时刻，分别过P 和Q 作PE l ⊥于,E QF l ⊥于F ．则点P 运动时间为_______________时，PEC ∆与QFC ∆全等．
或【分析】对点P和点Q是否重合进行分类讨论
通过证明全等即可得到结果；【详解】如图1所示：与全等解得:；如图2所示：点与点重合与全等解得:；故答案为:或【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质准确
解析：1或7 2
【分析】
对点P和点Q是否重合进行分类讨论，通过证明全等即可得到结果；【详解】
如图1所示：
PEC
∆与QFC
∆全等，
PC QC，
683
∴-=-
t t，
解得:1
t=；
如图2所示：
点P与点Q重合，
PEC与QFC
∆全等，
638
∴-=-
t t，
解得:
7
2
t=；
故答案为:1或72
． 【点睛】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，准确分析计算是解题的关键．
20．如图，在△ABC 中，∠C =90°，∠A 的平分线交BC 于D ，若20ABD S ∆=cm 2，AB =10cm ，则CD 为__________cm ．
4【分析】由角平分线的性质可知D 到AB 的距离等于DC 可得
出答案【详解】解：作DE ⊥AB 于E ∵AD 平分∠CAB 且
DC ⊥ACDE ⊥AB ∴DE=DC ∵S △ABD=20cm2AB=10cm ∴•AB•DE=2
解析：4
【分析】
由角平分线的性质可知D 到AB 的距离等于DC ，可得出答案．
【详解】
解：作DE ⊥AB 于E ．
∵AD 平分∠CAB ，且DC ⊥AC ，DE ⊥AB ，
∴DE=DC ，
∵S △ABD =20cm 2，AB=10cm ，
∴12
•AB•DE=20， ∴DE=4cm ，
∴DC=DE=4cm
故答案为：4．
【点睛】
本题主要考查角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．
三、解答题
21．如图，已知A ABC ∠=∠，D CBD ∠=∠，ABD CBD ∠=∠，点E 在BC 的延长线上．
求证：CD 平分ACE ∠．
解析：见解析
【分析】
根据题意，先证明//AB CD ，然后由平行线的性质以及等量代换，得到
ACD DCE ∠=∠，即可得到结论成立．
【详解】
证明：D CBD ∠=∠，ABD CBD ∠=∠，
D ABD ∴∠=∠，
//AB CD ∴
ABC DCE ∴∠=∠，A ACD ∠=∠
又A ABC ∠=∠，
ACD DCE ∴∠=∠，
CD ∴平分ACE ∠．
【点睛】
本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的判定，解题的关键是掌握所学的知识，正确得到//AB CD ．
22．如图，在平面直角坐标系中，AC CD =，已知()3,0A ，()0,3B ，()0,5C ，点D 在第一象限内，90DCA ∠=︒，AB 的延长线与DC 的延长线交于点M ，AC 与BD 交于点N ．
（1）OBA ∠的度数为________．
（2）求点D 的坐标．
（3）求证：AM DN =．
解析：（1）45°；（2）()5,8D ；（3）见解析.
【分析】
(1)根据点A,点B 的坐标,得OA=OB,从而得到等腰直角三角形OAB 依此计算即可；
(2) 过点D 作DE y ⊥轴，垂足为E ，证明DEC COA △△≌即可；
(3)通过证明CDB CAB ∠=∠，实现DCN ACM △△≌的目标，问题得证.
【详解】
（1）∵()3,0A ，()0,3B ，
∴OA=OB ，
∴△AOB 是等腰直角三角形，
∴∠OBA=45°，
故填45°．
（2）∵()0,5C ，∴5OC =．
如图，过点D 作DE y ⊥轴，垂足为E ，
∴90DEC AOC ∠=∠=︒．
∵90DCA ∠=︒，AC CD =，
∴90ECD BCA ECD EDC ∠+∠=∠+∠=︒，
∴BCA EDC ∠=∠，
∴()AAS DEC COA ≌
△△， ∴5DE OC ==，3EC OA ==，
∴8OE OC EC =+=，
∴()5,8D ．
（3）证明：∵835BE OE OB =-=-=，
∴BE DE =，
∴DBE 是等腰直角三角形，
∴45DBE ∠=︒． ∵45OBA ∠=︒，
∴90DBA ∠=︒，
∴90BAN ANB ∠+∠=︒．
∵90DCA ∠=︒，
∴90CDN DNC ∠+∠=︒．
∵DNC ANB ∠=∠，
∴CDB CAB ∠=∠．
∵90DCA ∠=︒，
∴90ACM DCN ∠=∠=︒．
∵AC CD =，
∴()ASA DCN ACM ≌
△△， ∴AM DN =．
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，一线三直角全等模型，坐标与线段的关系，三角形的全等，解答时，能准确找到合适的全等三角形是解题的关键.
23．如图，在Rt ABC △和Rt DEF △中，90C F ∠=∠=︒，点A 、E 、B 、D 在同一直线上，BC 、EF 交于点M ，AC DF =，AB DE =．
求证：（1）CBA FED ∠=∠；
（2）AM DM =．
解析：（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）根据HL 定理可得Rt △ABC ≌ Rt △DEF ，从而得到∠CBA=∠FED ；
（2）由（1）所得结论和已知条件可以证得△AEM ≌△DBM ，从而可得AM=DM ．
【详解】
证明：（1）在Rt ABC △和Rt DEF △中，90C F ∠=∠=︒
AC DF AB DE =⎧⎨=⎩
∴()Rt Rt HL ABC DEF ≌△△
∴CBA FED ∠=∠．
（2）∵CBA FED ∠=∠
∴ME MB =，且AEM
DBM ∠=∠ 又∵AB DE =
∴AB EB DE EB -=-
即AE DB =
在AEM △和DBM △中
AE DB AEM DBM ME MB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴()AEM DBM SAS △≌△
∴AM DM =．
【点睛】
本题考查三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定定理HL 、SAS 及三角形全等的性质是解题关键．
24．在正方形网格中，网格线的交点叫做格点，三个顶点均在格点上的三角形叫做格点三角形．
（1）在图1中计算格点三角形ABC 的面积是__________；（每个小正方形的边长为1） （2）ABC 是格点三角形．
①在图2中画出一个与ABC 全等且有一条公共边BC 的格点三角形；
②在图3中画出一个与ABC 全等且有一个公共点A 的格点三角形．
解析：（1）6；（2）①见解析；②见解析
【分析】
（1）用割补法求解即可；
（2）根据“SSS”画图即可；
（3）根据“SSS”画图即可；
【详解】
解：（1）5×3-12×3×3-12×2×2-12
×5×1=6， 故答案为：6；
（2）①如图，'A BC 即为所求，
②如图，''AB C 即为所求，
【点睛】
本题考查了“格点三角形的定义”以及全等三角形的判定方法，熟练掌握“SSS”是解答本题的关键．
25．如图，点C 在BE 上，AB ⊥BE ，DE ⊥BE ，且AB ＝CE ，AC ＝CD ．判断AC 和CD 的关系并说明理由．
解析：AC ⊥CD ，理由见解析
【分析】
根据条件证明△ABC ≌△CED 就得出∠ACD=90°，则可以得出AC ⊥CD ．
【详解】
解：AC ⊥CD ．
理由：∵AB ⊥BE ，DE ⊥BE ，
∴∠B ＝∠E ＝90°．
在Rt △ABC 和Rt △CED 中，
AB CE AC CD =⎧⎨=⎩
， ∴Rt △ABC ≌Rt △CED （HL ），
∴∠A ＝∠DCE ，∠ACB ＝∠D ．
∵∠A+∠ACB ＝90°，
∴∠DCE+∠ACB ＝90°．
∵∠DCE+∠ACB+∠ACD ＝180°，
∴∠ACD ＝90°，
∴AC ⊥CD ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，垂直的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
26．（教材呈现）数学课上，赵老师用无刻度的直尺和圆规按照华师版教材八年级上册87页完成角平分线的作法，方法如下：
试一试
如图，AOB ∠为已知角，试按下列步骤用直尺和圆规准确地作出AOB ∠的平分线.
第一步：在射线OA 、OB 上，分别截取OD 、OE ，使0;OD E =
第二步：分别以点D 和点E 为圆心，适当长(大于线段DE 长的一半)为半径作圆弧，在AOB ∠内，两弧交于点C ；
第三步：作射线OC .射线OC 就是所要求作的AOB ∠的平分线
（问题1）赵老师用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是
__________________．
（问题2）小明发现只利用直角三角板也可以作AOB ∠的角平分线，方法如下： 步骤：①利用三角板上的刻度，在OA 、OB 上分别截取OM 、ON ，使OM ON =． ②分别过点M 、N 作OM 、ON 的垂线，交于点P ．
③作射线OP ，则OP 为AOB ∠的平分线．
请根据小明的作法，求证OP 为AOB ∠的平分线．
解析：【问题1】边边边（或SSS ）；【问题2】见解析
【分析】
问题1：根据三角形全等的SSS 定理解答；
问题2：证明Rt △ONP ≌Rt △OMP ，根据全等三角形的性质证明即可．
【详解】
解：问题1：张老师用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是SSS ， 故答案为：SSS ；
问题2：由作图得：
OM ON =，PN OB ⊥，PM OA ⊥．
∴90PNO PMO ∠=∠=︒．
∴PNO 和PMO △是直角三角形．
∵OP OP =，
∴ONP OMP ≌．
∴AOP BOP ∠=∠．
∴OP 为AOB ∠的平分线．
【点睛】
本题考查了全等三角形的应用及基本作图的知识，同学们注意仔细审题，理解这些作角平分线的方法，按照题目意思解答．
27．如图，点E ，F 在BC 上，A D ∠=∠，AF DE =，AFC DEB ∠=∠．求证：BE CF =．
解析：见详解
【分析】
先证明∠AFB=∠DEC ，再根据ASA 证明∆AFB ≅
∆DEC ，进而即可得到结论． 【详解】
∵AFC DEB ∠=∠，
∴∠AFB=∠DEC ，
又∵A D ∠=∠，AF DE =，
∴∆AFB ≅∆DEC （ASA ），
∴BF=CE ，
∴BF-EF= CE-EF ，
∴BE CF =．
【点睛】
本题主要考查三角形全等的判定和性质定理，熟练掌握ASA 证明三角形全等，是解题的关键．
28．小敏在学习了几何知识后，对角的知识产生了兴趣，进行了如下探究：
（1）如图1，∠AOB ＝90°，在图中动手画图（不用写画法）．在∠AOB 内部任意画一条射线OC ；画∠AOC 的平分线OM ，画∠BOC 的平分线ON ；用量角器量得∠MON ＝______． （2）如图2，∠AOB ＝90°，将OC 向下旋转，使∠BOC ＝30°，仍然分别作∠AOC ，∠BOC
的平分线OM ，ON ，能否求出∠MON 的度数，若能，求出其值，若不能，试说明理由．
解析：（1）作图见解析，45；（2）能，45
【分析】
（1）以点O 为圆心，任意长为半径，画圆弧，并分别交OA 、OC 于点H 、点G ；再分别以
点H 、点G 为圆心，以大于12HG 的长度为半径画圆弧并相较于点P ，过点P 作射线OM 即为∠AOC 的平分线；同理得∠BOC 的平分线ON ；通过量角器测量即可得到∠MON ； （2）根据题意，得114522
COM AOC BOC ∠=
∠=+∠，12CON BOC ∠=∠，结合MON COM CON ∠=∠-∠，经计算即可得到答案．
【详解】
（1）作图如下
用量角器量得：∠MON ＝45
故答案为：45；
（2）∵∠AOC ，∠BOC 的平分线OM ，ON ，且∠AOB ＝90° ∴()11145222
COM AOC AOB BOC BOC ∠=∠=∠+∠=+∠ 12
CON BOC ∠=∠ ∴11454522
MON COM CON BOC BOC ∠=∠-∠=+
∠-∠=． 【点睛】
本题考查了角平分线、射线的知识；解题的关键是熟练掌握角平分线、角的运算的性质，
从而完成求解．。