浅谈恒成立不等式中的参数问题
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‘ ． ‘
２ － ２ ＋ ２ ＝ ＋ １ １ ２ ＋ １ ＞ ０
・
分析： 此题 中含有 三个变 量 ｔ ， 皿首先 利
．
．
原不等式可化为 ：
ｌ ｏ ｇ ２ （ ａ ＋ １ ） ／ ２ ａ ＞ （ － ３ ｘ ￣ ） ／ ［ （ ｘ － １ ） ２ ＋ １ ］ 要使原不等式恒成立 ． 当且仅 当 ｌ ｏ ｇ ２ （ ａ ＋ １ ） ／
的例子来讨论 这类参数 问题 的处理方法
范围问题， 可以根据 ａ 摊 ） 恒成立等价于 ａ ＞ ｆ ） ， ｏ ≮ ） 恒成立等价于 ａ ＜ ｆ （ ｘ ） ， 因而利用
分离参数 的方法容易奏效 例３ ． 已知不 等式 ／ ／ ／ ９ １ ７ ２ — ２ ｘ — ｍ ＋ ｌ ＜ ０ ． 设 不等 式 对于满足Ｉ ａ ｔ ｌ ＜ ｙ ２的一切 ｍ的值都成立 ． 求
２ ａ ＞ ０
用单调性去掉一个变量 ． 再分析剩余的两个变 量， 谁为变量 ， 谁为参数 。 解： 由已知条件和奇 函数 的性 质可知 ： １ ）
＝
１ ． 且ｆ ｌ ｘ ） ． ￣ ＝ ｌ１ ｆ ） ＝ １ ．
若 函数 ｔ ２ － ２ ａ ｔ ＋ １ 对所 有的 ∈卜１ ， １ 】
・
◆ 创 新 课 堂 ◆
７ ４ ３ ０ １ １ ）
简洁 明快 ． 使 问题更 能巧妙迅 速地得到解 决 。 般地 。 知道谁的范 围， 谁就是变量 ； 求谁的范 围． 谁就是参数。 例４ ． 设奇函数 ） 在【 一 ｌ ， １ 】 上是增函数 一 １ ） 一１ ， 若 函数 ≤ ｚ ＿ ２ ＋ ｌ 对所有的 ∈ ［ － １ ， １ １ 都成立 ， 求当Ⅱ ∈ ［ 一 １ ， １ 】 时， ａ 的取值范围。
２ ｔ — ｔ ≤０
（ ２ ）
解析 ： （ 利用判别式法）当 。 一 ２ ： ０ ，即 ０ ＝ ２ 时． 不等式为： 一 ４ ＜ ０ 显然恒成立 ．
・ ． ．
解（ １ ） 得： ｔ ≤一 ２或 ｔ ≥０
可以换 一个角度 ．把它看成关 于 ｍ 的一 元一 次不等式 ， 并且 已知它的解集 为卜２ ， ２ ］ ， 求 参数
设： ＝２ ａ ｔ — ｔ ２ ＜Ｏ恒成 立 ． ￣ 只需要 ：
一
１ ） ≤Ｏ且 １ ） ≤０
（ １ １
即： ２ ｘ （ 一 １ ） ｔ — ｔ ＜ － ０
Ｃ ． （ － ２ ， ２ 】
Ｄ ． （ 一 ｏ 。 ， － ２ ）
体几何 、 解析 几何 、 复数 以及应 用型问题结合
起来 ． 题 型形式 灵活多变 ． 而且 语言也 比较抽
解得 ： ０ ＜ ａ ＜ １
评述 ：涉及恒成立不 等式 中变量 的取值
都成立 ． 只需要 ：
象。 那 么哪些数学思想能解决此类 问题 呢？ 笔 者下面就结合 自己的教学经验 ．举 一些具体
解得 ： 一 ２ ＜ ａ ＜ ２
・ ． ．
解： 设／ （ ｌ ｍ ） ＝ 一 １ ） ｍ ＋ （ １ — ２ ｘ ） ， 则其 为一 个 以 ｍ为 自变量 的一 次函数 ． 其 图像是一 条线 ．
由题意可知该直线 当一 ２ ≤ｍ≤２ 时线段在 ｘ 轴
下方 。
．
说明： 当恒成立 不等式 中有 三个 变量 时 ， 利用其 中一个 函数 的性质 ． 消去 一个变量 ． 然
ａ的取值范围为 ： 一 ２ ＜ ０ ≤２， 故选 Ｃ 。
说明 ： 对 于有关一元二 次不等式 ａ ｘ ２ ＋ ｂ ＋ ｃ ＜ ０ （ 或＞ ０ ） 的问题 ， 可 以设 二次 函数 ） ＝ ａ ｘ ２ ＋
的难点之一 它涉及 的知识面 比较广 ． 并且综 合性也比较 强。它往往与函数 、 数列 、 方程、 立
ｘ ２ １ ３ ＋ ｌ ｏ ｇ ２ （ ａ ＋ １ ） ／ ２ ａ ］ － ２ ｘ ｌ ｏ ｇ ２ （ ａ ＋ １ ） ／ ２ ａ ＋ ２ １ ｏ ｇ ２ （ ａ ＋ １ ） ／ ２ ａ ＞ ０ 即： （ ｘ ２ － ２ ｘ ＋ ２ ） ＊ ｌ ｏ ｇ ￣ （ ａ ＋ １ ） ／ ２ ａ ＋ ３ ｘ ２ ＞ Ｏ
的范围
解ｆ ２ ） 得： ｆ ≤Ｏ或 ｔ ≥２
・
ｏ ＝ ２ 符合条件
．
．
￡ ≤一 ２或 ｔ ＝ Ｏ 或 ≥２
当ａ － ２ ＃０ ， 即０ ≠２ 时， 则ａ 应 满足 ：
因此． 口 的 取值 范 围是 ： ｔ ≤一 ２ 或ｔ ＝ ０或
ｔ ≥２
ａ － ２ ＜ ０且 Ａ＝ ［ ２ （ ａ － ２ ） １ ２ － ４ （ ａ － ２ ） （ ＿ ４ ） ＜ ０
一
．
．
（ 叶１ ） ／ ２ ａ ＞ ｌ ， 解得 ： Ｏ ＜ ａ ＜ １
解法二 ： （ 分离参数 ． 利用最值法） 原不等式可 以化为 ：
关键词 ： 不等式 恒成立 参数 恒 成 立不 等 式 中的参 数 的 取值 范 围 问 题． 是近 年来 高考的热点之一 ． 也是学生学 习
学 羁 ２ ０ １ ３ 年 第 ７ 期
浅谈恒 成立不等 式中的参 数 问题
马 文渊 （ 甘 肃省定 西 市安 定 区 内官 营 中学
摘要 ： 关于恒成立不等式的 问题既含变量 又含有参数 ． 又有许 多知识的 交汇 ． 因此 与其
相关 的命题 综合性 比较 强． 题 型也 多种 多样 ． 这就 需要我 们在平 时学 习时 用好 转化 思 想． 多， Ｉ ｓ 纳． 多总结， 多体会 。
的取值 范围 分析 ： （ 利用转 换思想 ， 变换主元法 ） 从形 式 上看 ．这是一个关于 的一元二 次不等式 ．
Ｆ － ２ ａ ｔ ＋ ｌ １ ） ＝ １
‘ ． ．
２ ａ ｔ — ｔ ≤０
例１ ． 若不 等式 一 ２ ） ｘ ２ ＋ ２ （ ０ — ２ ） ｘ 一 ４ ＜ ０对一 切 ∈ Ｒ恒成立 ． 则ａ 的取值范 围是 （ ） Ａ ． （ 一 。 。 ， ２ 】 Ｂ ． 【 － ２ ， ２ 】
２ － ２ ＋ ２ ＝ ＋ １ １ ２ ＋ １ ＞ ０
・
分析： 此题 中含有 三个变 量 ｔ ， 皿首先 利
．
．
原不等式可化为 ：
ｌ ｏ ｇ ２ （ ａ ＋ １ ） ／ ２ ａ ＞ （ － ３ ｘ ￣ ） ／ ［ （ ｘ － １ ） ２ ＋ １ ］ 要使原不等式恒成立 ． 当且仅 当 ｌ ｏ ｇ ２ （ ａ ＋ １ ） ／
的例子来讨论 这类参数 问题 的处理方法
范围问题， 可以根据 ａ 摊 ） 恒成立等价于 ａ ＞ ｆ ） ， ｏ ≮ ） 恒成立等价于 ａ ＜ ｆ （ ｘ ） ， 因而利用
分离参数 的方法容易奏效 例３ ． 已知不 等式 ／ ／ ／ ９ １ ７ ２ — ２ ｘ — ｍ ＋ ｌ ＜ ０ ． 设 不等 式 对于满足Ｉ ａ ｔ ｌ ＜ ｙ ２的一切 ｍ的值都成立 ． 求
２ ａ ＞ ０
用单调性去掉一个变量 ． 再分析剩余的两个变 量， 谁为变量 ， 谁为参数 。 解： 由已知条件和奇 函数 的性 质可知 ： １ ）
＝
１ ． 且ｆ ｌ ｘ ） ． ￣ ＝ ｌ１ ｆ ） ＝ １ ．
若 函数 ｔ ２ － ２ ａ ｔ ＋ １ 对所 有的 ∈卜１ ， １ 】
・
◆ 创 新 课 堂 ◆
７ ４ ３ ０ １ １ ）
简洁 明快 ． 使 问题更 能巧妙迅 速地得到解 决 。 般地 。 知道谁的范 围， 谁就是变量 ； 求谁的范 围． 谁就是参数。 例４ ． 设奇函数 ） 在【 一 ｌ ， １ 】 上是增函数 一 １ ） 一１ ， 若 函数 ≤ ｚ ＿ ２ ＋ ｌ 对所有的 ∈ ［ － １ ， １ １ 都成立 ， 求当Ⅱ ∈ ［ 一 １ ， １ 】 时， ａ 的取值范围。
２ ｔ — ｔ ≤０
（ ２ ）
解析 ： （ 利用判别式法）当 。 一 ２ ： ０ ，即 ０ ＝ ２ 时． 不等式为： 一 ４ ＜ ０ 显然恒成立 ．
・ ． ．
解（ １ ） 得： ｔ ≤一 ２或 ｔ ≥０
可以换 一个角度 ．把它看成关 于 ｍ 的一 元一 次不等式 ， 并且 已知它的解集 为卜２ ， ２ ］ ， 求 参数
设： ＝２ ａ ｔ — ｔ ２ ＜Ｏ恒成 立 ． ￣ 只需要 ：
一
１ ） ≤Ｏ且 １ ） ≤０
（ １ １
即： ２ ｘ （ 一 １ ） ｔ — ｔ ＜ － ０
Ｃ ． （ － ２ ， ２ 】
Ｄ ． （ 一 ｏ 。 ， － ２ ）
体几何 、 解析 几何 、 复数 以及应 用型问题结合
起来 ． 题 型形式 灵活多变 ． 而且 语言也 比较抽
解得 ： ０ ＜ ａ ＜ １
评述 ：涉及恒成立不 等式 中变量 的取值
都成立 ． 只需要 ：
象。 那 么哪些数学思想能解决此类 问题 呢？ 笔 者下面就结合 自己的教学经验 ．举 一些具体
解得 ： 一 ２ ＜ ａ ＜ ２
・ ． ．
解： 设／ （ ｌ ｍ ） ＝ 一 １ ） ｍ ＋ （ １ — ２ ｘ ） ， 则其 为一 个 以 ｍ为 自变量 的一 次函数 ． 其 图像是一 条线 ．
由题意可知该直线 当一 ２ ≤ｍ≤２ 时线段在 ｘ 轴
下方 。
．
说明： 当恒成立 不等式 中有 三个 变量 时 ， 利用其 中一个 函数 的性质 ． 消去 一个变量 ． 然
ａ的取值范围为 ： 一 ２ ＜ ０ ≤２， 故选 Ｃ 。
说明 ： 对 于有关一元二 次不等式 ａ ｘ ２ ＋ ｂ ＋ ｃ ＜ ０ （ 或＞ ０ ） 的问题 ， 可 以设 二次 函数 ） ＝ ａ ｘ ２ ＋
的难点之一 它涉及 的知识面 比较广 ． 并且综 合性也比较 强。它往往与函数 、 数列 、 方程、 立
ｘ ２ １ ３ ＋ ｌ ｏ ｇ ２ （ ａ ＋ １ ） ／ ２ ａ ］ － ２ ｘ ｌ ｏ ｇ ２ （ ａ ＋ １ ） ／ ２ ａ ＋ ２ １ ｏ ｇ ２ （ ａ ＋ １ ） ／ ２ ａ ＞ ０ 即： （ ｘ ２ － ２ ｘ ＋ ２ ） ＊ ｌ ｏ ｇ ￣ （ ａ ＋ １ ） ／ ２ ａ ＋ ３ ｘ ２ ＞ Ｏ
的范围
解ｆ ２ ） 得： ｆ ≤Ｏ或 ｔ ≥２
・
ｏ ＝ ２ 符合条件
．
．
￡ ≤一 ２或 ｔ ＝ Ｏ 或 ≥２
当ａ － ２ ＃０ ， 即０ ≠２ 时， 则ａ 应 满足 ：
因此． 口 的 取值 范 围是 ： ｔ ≤一 ２ 或ｔ ＝ ０或
ｔ ≥２
ａ － ２ ＜ ０且 Ａ＝ ［ ２ （ ａ － ２ ） １ ２ － ４ （ ａ － ２ ） （ ＿ ４ ） ＜ ０
一
．
．
（ 叶１ ） ／ ２ ａ ＞ ｌ ， 解得 ： Ｏ ＜ ａ ＜ １
解法二 ： （ 分离参数 ． 利用最值法） 原不等式可 以化为 ：
关键词 ： 不等式 恒成立 参数 恒 成 立不 等 式 中的参 数 的 取值 范 围 问 题． 是近 年来 高考的热点之一 ． 也是学生学 习
学 羁 ２ ０ １ ３ 年 第 ７ 期
浅谈恒 成立不等 式中的参 数 问题
马 文渊 （ 甘 肃省定 西 市安 定 区 内官 营 中学
摘要 ： 关于恒成立不等式的 问题既含变量 又含有参数 ． 又有许 多知识的 交汇 ． 因此 与其
相关 的命题 综合性 比较 强． 题 型也 多种 多样 ． 这就 需要我 们在平 时学 习时 用好 转化 思 想． 多， Ｉ ｓ 纳． 多总结， 多体会 。
的取值 范围 分析 ： （ 利用转 换思想 ， 变换主元法 ） 从形 式 上看 ．这是一个关于 的一元二 次不等式 ．
Ｆ － ２ ａ ｔ ＋ ｌ １ ） ＝ １
‘ ． ．
２ ａ ｔ — ｔ ≤０
例１ ． 若不 等式 一 ２ ） ｘ ２ ＋ ２ （ ０ — ２ ） ｘ 一 ４ ＜ ０对一 切 ∈ Ｒ恒成立 ． 则ａ 的取值范 围是 （ ） Ａ ． （ 一 。 。 ， ２ 】 Ｂ ． 【 － ２ ， ２ 】