【创新设计】2015届高考数学(人教A版文科)一轮复习题组训练第九篇统计、统计案例、概率第5讲Word版含解析
【创新设计】2015届高考数学(人教A版文科)一轮复习题组训练第二篇函数、导数及其应用(二)Word版含解析
第2讲 函数的单调性与最值基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1．函数f (x )＝1－1x 在[3,4)上( )．A ．有最小值无最大值B ．有最大值无最小值C ．既有最大值又有最小值D ．最大值和最小值皆不存在解析 注意到函数f (x )在[3,4)上是增函数，又函数在区间[3,4)上左闭右开，故该函数有最小值无最大值，故选A. 答案 A2．已知函数f (x )＝2ax 2＋4(a －3)x ＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则a 的取值范围是( )．A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34 C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，34D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34解析 当a ＝0时，f (x )＝－12x ＋5在(－∞，3)上是减函数；当a ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，－4(a －3)4a ≥3，得0＜a ≤34.综上，a 的取值范围是0≤a ≤34. 答案 D3．(2013·泉州月考)已知函数f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x <f (1)的实数x的取值范围是 ( )．A ．(－1,1)B ．(0,1)C ．(－1,0)∪(0,1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析 由f (x )为R 上的减函数且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x <f (1)，得⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x >1，x ≠0，即⎩⎨⎧|x |<1，x ≠0. ∴－1<x <0或0<x <1. 答案 C4．(2014·广州模拟)已知函数y ＝f (x )的图象关于x ＝1对称，且在(1，＋∞)上单调递增，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为 ( )．A ．c ＜b ＜aB ．b ＜a ＜cC ．b ＜c ＜aD ．a ＜b ＜c解析 ∵函数图象关于x ＝1对称，∴a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，又y ＝f (x )在(1，＋∞)上单调递增，∴f (2)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＜f (3)，即b ＜a ＜c .答案 B5．用min{a ，b ，c }表示a ，b ，c 三个数中的最小值．设f (x )＝min{2x ，x ＋2,10－x }(x ≥0)，则f (x )的最大值为( )．A ．4B ．5C ．6D ．7解析 由f (x )＝min{2x ，x ＋2，10－x }(x ≥0)画出图象，最大值在A 处取到，联立⎩⎨⎧y ＝x ＋2，y ＝10－x ，得y ＝6.答案 C 二、填空题6．函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是________．解析 由2x ＋1>0，得x >－12，所以函数的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞，由复合函数的单调性知，函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞7．(2012·安徽卷)若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a ＝________.解析∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x ≥－a2，－2x －a ，x ＜－a2，∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－a 2上单调递减，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，＋∞上单调递增．∴－a2＝3，∴a ＝－6.答案 －68．设a >1，函数f (x )＝log a x 在区间[a,2a ]上的最大值与最小值之差为12，则a ＝________.解析 由a >1知函数f (x )在[a,2a ]上为单调增函数，则log a (2a )－log a a ＝12，解得a ＝4. 答案 4 三、解答题 9．试讨论函数f (x )＝axx 2－1，x ∈(－1,1)的单调性(其中a ≠0)． 解 任取－1＜x 1＜x 2＜1， 则f (x 1)－f (x 2)＝ax 1x 21－1－ax 2x 22－1＝a (x 2－x 1)(x 1x 2＋1)(x 21－1)(x 22－1)， ∵－1＜x 1＜x 2＜1，∴|x 1|＜1，|x 2|＜1，x 2－x 1＞0，x 21－1＜0，x 22－1＜0，|x 1x 2|＜1，即－1＜x 1x 2＜1， ∴x 1x 2＋1＞0， ∴(x 2－x 1)(x 1x 2＋1)(x 21－1)(x 22－1)＞0，因此，当a ＞0时，f (x 1)－f (x 2)＞0， 即f (x 1)＞f (x 2)，此时函数为减函数； 当a ＜0时，f (x 1)－f (x 2)＜0， 即f (x 1)＜f (x 2)，此时函数为增函数． 10．已知函数f (x )＝1a －1x (a ＞0，x ＞0)． (1)判断函数f (x )在(0，＋∞)上的单调性； (2)若f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，求a 的值．解 (1)任取x 1＞x 2＞0，则x 1－x 2＞0，x 1x 2＞0， ∵f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x 2＝1x 2－1x 1＝x 1－x 2x 1x 2＞0，∴f (x 1)＞f (x 2)，因此，函数f (x )是(0，＋∞)上的单调递增函数． (2)∵f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，又由(1)得f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上是单调增函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，f (2)＝2， 即1a －2＝12，1a －12＝2. 解得a ＝25.能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、选择题1．(2014·太原一模)下列函数中，在[－1,0]上单调递减的是 ( )．A ．y ＝cos xB ．y ＝－|x －1|C ．y ＝ln2＋x2－xD ．y ＝e x ＋e －x解析 对于A ，结合余弦函数的图象可知，y ＝cos x 在[－1,0]上是增函数；对于B ，注意到当x ＝－1,0时，相应的函数值分别是－2，－1，因此函数y ＝－|x －1|在[－1,0]上不是减函数；对于C ，注意到函数y ＝ln 2＋x2－x ＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫－1＋42－x 在[－1,0]上是增函数；对于D ，当x ∈[－1,0]时，y ′＝e x－e －x≤0，因此该函数在[－1,0]上是减函数，综上所述，选D.答案 D2．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g (x )＝f (x )x 在区间(1，＋∞)上一定( )．A ．有最小值B ．有最大值C ．是减函数D ．是增函数解析 由题意知a ＜1，又函数g (x )＝x ＋ax －2a 在[|a |，＋∞)上为增函数，故选D. 答案 D 二、填空题3．已知函数f (x )＝x 2＋ax (a ＞0)在(2，＋∞)上递增，则实数a 的取值范围是________．解析 法一 任取2＜x 1＜x 2，由已知条件f (x 1)－f (x 2)＝x 21＋a x 1－x 22＋ax 2＝(x 1－x 2)＋a (x 2－x 1)x 1x 2＝(x 1－x 2)(x 1x 2－a )x 1x 2＜0恒成立，即当2＜x 1＜x 2时，x 1x 2＞a 恒成立，又x 1x 2＞4，则0＜a ≤4.法二 f (x )＝x ＋a x ，f ′(x )＝1－ax 2＞0得f (x )的递增区间是(－∞，－a )，(a ，＋∞)，由已知条件得a ≤2，解得0＜a ≤4. 答案 (0,4] 三、解答题4．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a >0)，F (x )＝⎩⎨⎧f (x )，x >0，－f (x )，x <0.若f (－1)＝0，且对任意实数x 均有f (x )≥0成立． (1)求F (x )的表达式；(2)当x ∈[－2,2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求k 的取值范围． 解 (1)∵f (－1)＝0，∴a －b ＋1＝0，∴b ＝a ＋1， ∴f (x )＝ax 2＋(a ＋1)x ＋1.∵对任意实数x 均有f (x )≥0恒成立， ∴⎩⎨⎧ a ＞0，Δ＝(a ＋1)2－4a ≤0，∴⎩⎨⎧a ＞0，(a －1)2≤0. ∴a ＝1，从而b ＝2，∴f (x )＝x 2＋2x ＋1，∴F (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x ＋1，x ＞0，－x 2－2x －1，x ＜0.(2)g (x )＝x 2＋2x ＋1－kx ＝x 2＋(2－k )x ＋1.∵g (x )在[－2,2]上是单调函数，∴k －22≤－2或k －22≥2，解得k ≤－2或k ≥6.故k 的取值范围是(－∞，－2]∪[6，＋∞)．。
2015届高考数学(文)一轮复习备选练习9-3《用样本估计总体》(人教A版)word版含详析
[B 组 因材施教·备选练习]1．已知一组数据：a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6，a 7构成公差为d 的等差数列，且这组数据的方差等于1，则公差d 等于( )A ．±14B ．±12C ．±128D ．无法求解解析：这组数据的平均数为a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 77＝7a 47＝a 4， 又因为这组数据的方差等于1，所以17[(a 1－a 4)2＋(a 2－a 4)2＋(a 3－a 4)2＋(a 4－a 4)2＋(a 5－a 4)2＋(a 6－a 4)2＋(a 7－a 4)2]＝(3d )2＋(2d )2＋(d )2＋0＋(d )2＋(2d )2＋(3d )27＝1， 即4d 2＝1，解得d ＝±12. 答案：B2．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，测试成绩(单位：分)如图所示，假设得分值的中位数为m e ，众数为m o ，平均值为x ，则( )A ．m e ＝m o ＝xB ．m e ＝m o <xC ．m e <m o <xD ．m o <m e <x解析：由图可知，30名学生的得分情况依次为得3分的有2人，得4分的有3人，得5分的有10人，得6分的有6人，得7分的有3人，得8分的有2人，得9分的有2人，得10分的有2人．中位数为第15、16个数(分别为5、6)的平均数，即m e ＝5.5,5出现的次数最多，故m o ＝5，x ＝2×3＋3×4＋10×5＋6×6＋3×7＋2×8＋2×9＋2×1030≈5.97.于是得m o <m e <x .故选D. 答案：D3．(2014年宜春模拟)某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩(均为整数)分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到如下图所示的部分频率分布直方图．在统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，观察图形的信息，据此估计本次考试的平均分为________．解析：由频率分布直方图中，所有小长方形的面积和为1，设[70,80)的小长方形面积为x ，则(0.01＋0.015×2＋0.025＋0.005)×10＋x ＝1，解得x＝0.3，即数学成绩落在[70,80)的频率为0.3，所以本次考试的平均分为45×0.1＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71.答案：71。
【高三复习】2015高考数学(北师大版)一轮训练：第9篇 第1讲 抽样方法
第九篇统计、统计案例、概率第1讲抽样方法基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．某中学进行了该学年度期末统一考试，该校为了了解高一年级1 000名学生的考试成绩，从中随机抽取了100名学生的成绩单，就这个问题来说，下面说法正确的是()．A．1 000名学生是总体B．每个学生是个体C．1 000名学生的成绩是一个个体D．样本的容量是100解析 1 000名学生的成绩是总体，其容量是1 000,100名学生的成绩组成样本，其容量是100.答案 D2．(2014·西安质检)现要完成下列3项抽样调查：①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查．②科技报告厅有32排，每排有40个座位，有一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，需要请32名听众进行座谈．③高新中学共有160名教职工，其中一般教师120名，行政人员16名，后勤人员24名，为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本．较为合理的抽样方法是()．A．①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样B．①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样C．①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样D．①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样解析对于①，个体没有差异且总数不多可用随机抽样法，是简单随机抽样；对于②，将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段，在第1段内采用简单随机抽样确定一个起始编号，在此编号的基础上加上分段间隔的整数倍即为抽样编号，是系统抽样；对于③，个体有明显的差异，所以选用分层抽样，故选A.答案 A3．(2014·东北三校联考)某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为3∶5∶7，现用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，其中甲种产品有18件，则样本容量n＝()．A．54 B．90C．45 D．126解析依题意有33＋5＋7×n＝18，由此解得n＝90，即样本容量为90.答案 B4．(2013·江西卷)总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为().A．08 B．07C．02 D．01解析由题意知前5个个体的编号为08,02,14,07,01.答案 D5．(2014·石家庄模拟)某学校高三年级一班共有60名学生，现采用系统抽样的方法从中抽取6名学生做“早餐与健康”的调查，为此将学生编号为1,2，…，60.选取的这6名学生的编号可能是()．A．1,2,3,4,5,6 B．6,16,26,36,46,56C．1,2,4,8,16,32 D．3,9,13,27,36,54解析系统抽样是等间隔抽样．答案 B二、填空题6．(2014·成都模拟)某课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应城市数分别为4,12,8.若用分层抽样抽取6个城市，则甲组中应抽取的城市数为________．解析甲组中应抽取的城市数为624×4＝1.答案 17．某校高级职称教师26人，中级职称教师104人，其他教师若干人．为了了解该校教师的工资收入情况，按分层抽样从该校的所有教师中抽取56人进行调查，已知从其他教师中共抽取了16人，则该校共有教师________人．解析设其他教师为x人，则5626＋104＋x＝16x，解得x＝52，∴x＋26＋104＝182(人)．答案1828．(2014·九江模拟)某班级有50名学生，现要采取系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名学生，将这50名学生随机编号1～50号，并分组，第一组1～5号，第二组6～10号，…，第十组46～50号，若在第三组中抽得号码为12的学生，则在第八组中抽得号码为________的学生．解析因为12＝5×2＋2，即第三组抽出的是第二个同学，所以每一组都相应抽出第二个同学，所以第8组中抽出的号码为5×7＋2＝37号．答案37三、解答题9．某初级中学共有学生2 000名，各年级男、女生人数如下表：0.19.(1)求x的值；(2)现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？解(1)∵x2 000＝0.19.∴x＝380.(2)初三年级人数为y＋z＝2 000－(373＋377＋380＋370)＝500，现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，应在初三年级抽取的人数为：482 000×500＝12名．10．某政府机关有在编人员100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人．上级机关为了了解政府机构改革意见，要从中抽取一个容量为20的样本，试确定用何种方法抽取，请具体实施抽取．解用分层抽样方法抽取．具体实施抽取如下：(1)∵20∶100＝1∶5，∴105＝2，705＝14，205＝4，∴从副处级以上干部中抽取2人，从一般干部中抽取14人，从工人中抽取4人．(2)因副处级以上干部与工人的人数较少，他们分别按1～10编号与1～20编号，然后采用抽签法分别抽取2人和4人；对一般干部70人采用00,01,02，…，69编号，然后用随机数表法抽取14人．(3)将2人，4人，14人的编号汇合在一起就取得了容量为20的样本．能力提升题组(建议用时：25分钟)一、选择题1．某工厂在12月份共生产了3 600双皮靴，在出厂前要检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽取，若从一、二、三车间抽取的产品数分别为a，b，c，且a，b，c构成等差数列，则第二车间生产的产品数为()．A．800 B．1 000C．1 200 D．1 500解析因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c，即第二车间抽取的产品数占抽样产品总数的三分之一，根据分层抽样的性质可知，第二车间生产的产品数占总数的三分之一，即为1 200双皮靴． 答案 C2．将参加夏令营的600名学生编号为：001,002，…，600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为 ( )．A ．26,16,8B ．25,17,8C ．25,16,9D ．24,17,9解析 由题意知间隔为60050＝12，故抽到的号码为12k ＋3(k ＝0,1，…，49)，列出不等式可解得：第Ⅰ营区抽25人，第Ⅱ营区抽17人，第Ⅲ营区抽8人． 答案 B 二、填空题3.200名职工年龄分布如图所示，从中随机抽40名职工作样本，采用系统抽样方法，按1～200编号为40组，分别为1～5,6～10，…，196～200，第5组抽取号码为22，第8组抽取号码为______．若采用分层抽样，40岁以下年龄段应抽取________人．解析 将1～200编号分为40组，则每组的间隔为5，其中第5组抽取号码为22，则第8组抽取的号码应为22＋3×5＝37；由已知条件200名职工中40岁以下的职工人数为200×50%＝100，设在40岁以下年龄段中抽取x 人，则40200＝x100，解得x ＝20. 答案 37 20 三、解答题4．某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如下表所示：(1)40岁的观众应该抽取几名？(2)在上述抽取的5名观众中任取2名，求恰有1名观众的年龄为20至40岁的概率．解(1)应抽取大于40岁的观众人数为2745×5＝35×5＝3(名)．(2)用分层抽样方法抽取的5名观众中，20至40岁有2名(记为Y1，Y2)，大于40岁有3名(记为A1，A2，A3).5名观众中任取2名，共有10种不同取法：Y1Y2，Y1A1，Y1A2，Y1A3，Y2A1，Y2A2，Y2A3，A1A2，A1A3，A2A3.设A表示随机事件“5名观众中任取2名，恰有1名观众年龄为20至40岁”，则A中的基本事件有6种：Y1A1，Y1A2，Y1A3，Y2A1，Y2A2，Y2A3，故所求概率为P(A)＝610＝35.。
2015高考数学(文)一轮复习质量检测 排列组合、二项式定理、统计、概率(北师大版)
2015高考数学（文）一轮复习质量检测 排列组合、二项式定理、统计、概率(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．某小区有125户高收入家庭、280户中等收入家庭、95户低收入家庭．现采用分层抽样的方法从中抽取100户，对这些家庭社会购买力的某项指标进行调查，则中等收入家庭中应抽选出的户数为( )A ．70户B ．17户C ．56户D ．25户解析：总体容量为125＋280＋95＝500，样本容量为100，则中等收入家庭中应抽选出的户数为280×100500＝56户．故选C.答案：C2．(2013年青岛质检)⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 6的展开式中x 2的系数为( )A ．－240B ．240C ．－60D ．60解析：由二项式定理通项公式，得T r ＋1＝C r 6(－1)r 26－r ·x 6－2r，所以r ＝2，系数为C 2624×(－1)2＝240.答案：B3．(2012年西安模拟)有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )A.13 B.12 C.23D.34解析：甲、乙参加兴趣小组各有3种选择，故共有C 13·C 13＝9种，而参加同一兴趣小组有3种选择，故概率为39＝13，选A.答案：A4．(2012年武汉调研)天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%.现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1,2,3,4表示下雨，用5,6,7,8,9,0表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况．经随机模拟试验产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为( )A ．0.35B ．0.25C ．0.20D ．0.15解析：三天中恰有两天下雨的情况有：191,271,932,812,393等5种，故这三天中恰有两天下雨的概率近似为P ＝520＝0.25.故选B.答案：B5．(2012年南昌模拟)某项测试成绩满分为10分，先随机抽取30名学生参加测试，得分如图所示，假设得分值的中位数为m e ，平均值为x ，众数为m 0，则( )A ．m e ＝m 0＝xB ．m e ＝m 0<xC ．m e <m 0<xD ．m 0<m e <x解析：依图形可知，m e ＝5＋62＝112，x ＝3×2＋4×3＋5×10＋6×6＋7×3＋8×2＋9×2＋10×230＝17930，m 0＝5，所以m 0<m e <x ，选D. 答案：D6．(2013年武汉调研测试)如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为( )A.14B.15C.16D.17解析：依题意，正方形的面积为S ＝1×1＝1， 阴影部分的面积，∴点P 恰好取自阴影部分的概率P ＝S 1S ＝161＝16，选C.答案：C7．(2013年黄冈质检)将5名支教志愿者分配到3所学校，每所学校至少分1人，至多分2人，且其中甲、乙2人不到同一所学校，则不同的分配方法共有( )A ．78种B ．36种C ．60种D ．72种解析：C 15C 24C 22A 22·A 33－C 22C 23A 33＝72.答案：D8．(2013年沈阳期末)袋中装有6个不同的红球和4个不同的白球，不放回地依次摸出2个球，在第1次摸出红球的条件下，第2次摸出的也是红球的概率为( )A.59B.49C.29D.23解析：事件A 表示第1次摸出红球，事件B 表示第2次也摸出红球，P (B |A )＝P (AB )P (A )＝1335＝59，即在第1次摸出红球的条件下，第2次摸出的也是红球的概率为59.答案：A9．(2013年广州质检)从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数字中任取3个不同的数字构成空间直角坐标系中的点的坐标(x ，y ，z )，若x ＋y ＋z 是3的倍数，则满足条件的点的个数为( )A ．252B ．216C ．72D ．42解析：先按从小到大的顺序选择3个不同的数字，再进行全排列A 33，所以四个选择答案可以变化为42,36,12,7.(1)首数选0，则后续两个数为(1,2)，(1,5)，(1,8)，(2,4)，(2,7)，(3,6)，(3,9)，(4,5)，(4,8)，(5,7)，(6,9)，(7,8)，有12种；(2)首数选1，则后续两个数为(2,3)，(2,6)，(2,9)，(3,5)，(3,8)，(4,7)，(5,6)，(5,9)，(6,8)，(8,9)，有10种；(3)首数选2，则后续两个数为(3,4)，(3,7)，(4,6)，(4,9)，(5,8)，(6,7)，(7,9)，有7种；(4)首数选3，则后续两个数为(4,5)，(4,8)，(5,7)，(6,9)，(7,8)，有5种； (5)首数选4，则后续两个数为(5,6)，(5,9)，(6,8)，(8,9)，有4种； (6)首数选5，则后续两个数为(6,7)，(7,9)，有2种； (7)首数选6，则后续两个数为(7,8)，有1种； (8)首数选7，则后续两个数为(8,9)，有1种． 综上可知，共有42种． 答案：A10．(2014·绍兴模拟)二项式(1＋x )n 展开式的二项式系数之和为64，则(1－x )n 展开式第四项的系数为( )A. 15B. 20C. －20D. －15解析：由2n ＝64，可解得n ＝6，所以二项式(1－x )6展开式的第四项为T 4＝C 36(－x )3，其系数为－C 36＝－20.答案：C11．(2012年长沙联考)某校在模拟考试中约有1 000人参加考试，其数学考试成绩ξ～N (90，a 2)(a >0，试卷满分150分)，统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的35，则此次数学考试成绩不低于110分的学生人数约为( )A ．200B ．300C ．400D ．600解析：由ξ～N (90，a 2)，得正态曲线关于直线x ＝90对称，所以P (ξ≥110)＝P (ξ≤70)＝12[1－P (70<ξ<110)]＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35＝15.所以此次数学考试成绩不低于110分的学生人数约为1 000×15＝200.答案：A12．(2012年武汉调研)如图，设D 是图中边长分别为1和2的矩形区域，E 是D 内位于函数y ＝1x (x >0)图象下方的区域(阴影部分)，从D 内随机取一个点M ，则点M 取自E 内的概率为( )A.ln22 B.1－ln22 C.1＋ln22D.2－ln22解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1x，y ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝2，故由几何概型得，点M 取自E 内的概率为.故选C.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13．(2014·辽宁五校联考)设二项式(x －ax)6的展开式中x 2项的系数为A ，常数项为B ，若B ＝4A ，则a ＝______.解析：T r ＋1＝C r 6x6－r ·(－ax)r ＝(－a )r C r 6x 6－2r ，令6－2r ＝2，得r ＝2，A ＝a 2C 26＝15a 2；令6－2r ＝0，得r ＝3，B ＝－a 3C 36＝－20a 3，代入B ＝4A 得a ＝－3.答案：－314．某工厂对一批元件进行了抽样检测，根据抽样检测后的元件长度(单位：mm)数据绘制了频率分布直方图(如下图)．若规定长度在[97,103)内的元件是合格品，则根据频率分布直方图估计这批产品的合格率是________．解析：依题意，可估计这批产品的合格率是1－(0.027 5×4＋0.045 0×2)＝0.8＝80%.答案：80%15．(2012年东北四校质检)在棱长为2的正方体内随机取一点，取到的点到正方体中心的距离大于1的概率为________．解析：该题属于几何概型．根据题意，到正方体中心的距离小于或等于1的点构成了以半径R ＝1的实心球，如图所示，其体积V 球＝43πR 3＝43π，则正方体内到正方体中心的距离大于1的点所构成图形的体积为V ′＝V 正方体－V 球＝8－43π，则随机取的点到正方体中心的距离大于1的概率为P (d >1)＝V ′V 正方体＝8－43π8＝1－π6.答案：1－π616．面对竞争日益激烈的消费市场，众多商家不断扩大自己的销售市场，降低生产成本．某白酒酿造企业市场部对该企业某段时间内的产品销量x (千箱)与单位成本y (元)的资料进行线性回归分析，结果如下：x ＝72，y ＝71，∑i ＝16x 2i ＝79，∑i ＝16x i y i＝1 481，b ^＝1 481－6×72×7179－6×⎝ ⎛⎭⎪⎫722≈－1.818 2，a ^＝71－(－1.818 2)×72≈77.36，则销量每增加1 000箱，单位成本约下降________元．解析：依据题意可得回归直线方程为y ^＝－1.818 2x ＋ 77．36，故销量每增加1千箱，单位成本约下降1.818 2元． 答案：1.818 2三、解答题(本大题共6小题，共70分，17题10分，18～22题，每题12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)17．(2012年浙江金华十校联考)某车间将10名技工平均分为甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个技工加工零件若干，其中合格零件的个数如下表：并由此分析两组技工的技术水平；(2)质检部门从该车间甲、乙两组中各随机抽取1名技工，对其加工的零件进行检测，若两人完成合格零件个数之和超过12件，则称该车间“质量合格”，求该车间“质量合格”的概率．解：(1)依题中的数据可得 x 甲＝15(4＋5＋7＋9＋10)＝7， x 乙＝15(5＋6＋7＋8＋9)＝7，s 2甲＝15[(4－7)2＋(5－7)2＋(7－7)2＋(9－7)2＋(10－7)2]＝265＝5.2， s 2乙＝15[(5－7)2＋(6－7)2＋(7－7)2＋(8－7)2＋(9－7)2]＝2. 因为x 甲＝x 乙，s 2甲>s 2乙，所以两组技工的总体水平相同，甲组中技工的技术水平差异比乙组大．(2)设事件A 表示该车间“质量合格”，则从甲、乙两组中各抽取1名技工完成合格零件个数的基本事件为(4,5)，(4,6)，(4,7)，(4,8)，(4,9)，(5,5)，(5,6)，(5,7)，(5,8)，(5,9)，(7,5)，(7,6)，(7,7)，(7,8)，(7,9)，(9,5)，(9,6)，(9,7)，(9,8)，(9,9)，(10,5)，(10,6)，(10,7)，(10,8)，(10,9)，共25种．事件A 包含的基本事件为(4,9)，(5,8)，(5,9)，(7,6)，(7,7)，(7,8)，(7,9)，(9,5)，(9,6)，(9,7)，(9,8)，(9,9)，(10,5)，(10,6)，(10,7)，(10,8)，(10,9)，共17种．所以P (A )＝1725.18．下图是某校从参加高三体育考试的学生中抽出的60名学生体育成绩(均为整数)的频率分布直方图，该直方图恰好缺少了成绩在区间[70,80)内的图形，根据图形的信息，回答下列问题：(1)求成绩在区间[70,80)内的频率，并补全这个频率分布直方图； (2)估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)和平均分；(3)假设成绩在[80,90)内的学生中有23的成绩在85分以下(不含85分)，从成绩在[80,90)内的学生中选两人，求恰有1人成绩在85分以上(含85分)的概率．解：(1)因为各组的频率和等于1，故成绩在[70,80)内的频率为f 4＝1－(0.01×2＋0.015＋0.020＋0.005)×10＝0.4.频率分布直方图如右图．(2)依题意，60分及以上的分数在第三、四、五、六段，故其频率和为(0.02＋0.04＋0.01＋0.005)×10＝0.75，所以抽样学生成绩的及格率是75%.45·f 1＋55·f 2＋65·f 3＋75·f 4＋85·f 5＋95·f 6＝45×0.1＋55×0.15＋65×0.2＋75×0.4＋85×0.1＋95×0．05＝69.所以估计这次考试的平均分是69分．(3)因为成绩在[80,90)内的人数＝0.01×10×60＝6，所以成绩在[80,85)和[85,90)内的人数分别为4人和2人．假设[80,85)段的学生的编号为1,2,3,4；[85,90)段的学生编号为5,6. 记第一次抽到的学生编号为x ，第二次抽到的学生编号为y ，用数对(x ，y )表示基本事件：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，其基本事件总数n ＝15.解法一：记恰有1人成绩在[85,90)内的事件为A .事件A 包含基本事件：(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，事件A 包含的基本事件数m ＝8.故所求概率为P (A )＝m n ＝815，故恰有1人成绩在85分以上(含85分)的概率是815.解法二：记恰有1人成绩在[85,90)内的事件为A ，则事件A －包含的基本事件：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，(5,6)，事件A －包含的基本事件数m ＝7，所以P (A )＝1－P (A －)＝1－715＝815，故恰有1人成绩在85分以上(含85分)的概率是815.19．(2012年石家庄质检)某工科院校对A ，B 两个专业的男女生人数进行调查，得到如下的列联表：(1)“专业”有关系呢？(2)从专业A 中随机抽取2名学生，记其中女生的人数为X ，求X 的分布列和数学期望．注：χ2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )解：χ2＝100×(12×46－4×38)216×84×50×50≈4.762，由于4.762>3.841，因此在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为工科院校中“性别”与“专业”有关系．(2)专业A 中女生12人，男生38人，P(X＝0)＝C238C250＝7031 225，P(X＝1)＝C138C112C250＝4561 225，P(X＝2)＝C212C250＝661 225.所以X的分布列为所以E(X)＝1×4561 225＋2×661 225＝5881 225＝1225.20．(2012年昆明模拟)从某学校高三年级的甲、乙两个班各抽取10名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如图所示．(1)分别计算甲、乙两班样本的平均数和方差，估计甲、乙两班同学的身高情况，并说明理由；(2)现从乙班这10名同学中随机抽取3名同学，设身高在(160,170)之间的同学被抽到的人数为X，求X的分布列和数学期望．解：(1)x甲＝170，x乙＝170，s2甲＝53，s2乙＝37.4，估计甲、乙两班的平均身高相同，且乙班同学的身高相对整齐些，而甲班同学的身高差距大些．(2)X＝0,1,2,3.P(X＝0)＝C37C310＝724，P(X＝1)＝C13C27C310＝2140，P(X＝2)＝C23C17C310＝740，P(X＝3)＝C33C310＝1120.所以X的分布列为所以E(X)＝0×427＋1×2140＋2×740＋3×1120＝910.21．“天宫一号”的顺利升空标志着我国火箭运载的技术日趋完善．据悉，担任“天宫一号”发射任务的是长征二号FT1火箭．为了确保发射万无一失，科学家对长征二号FT1运载火箭进行了170余项技术状态更改，增加了某项新技术．该项新技术要进入试用阶段前必须对其中三项不同指标甲、乙、丙进行量化检测．假设该项新技术的指标甲、乙、丙独立通过检测合格的概率分别为23，23，12，指标甲、乙、丙检测合格分别记4分、2分、4分，若某项指标不合格，则该项指标记0分，各项指标检测结果互不影响．(1)求该项技术量化得分不低于8分的概率；(2)记该项技术的三个指标中被检测合格的指标个数为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望．解：(1)记该项新技术的三个指标甲、乙、丙独立通过检测合格分别为事件A，B，C，则事件“得分不低于8分”表示为ABC＋A B C.因为ABC与A B C为互斥事件，且A，B，C为彼此独立，所以P(ABC＋A BC)＝P(ABC)＋P(A B C)＝P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＝23×23×12＋23×13×12＝13.(2)该项新技术的三个指标中被检测合格的指标个数ξ的取值为0,1,2,3.因为P(ξ＝0)＝P(A B C)＝13×13×12＝118，P(ξ＝1)＝P(A B C＋A B C＋A B C)＝23×13×12＋13×23×12＋13×13×12＝518，P(ξ＝2)＝P(AB C＋A B C＋A BC)＝23×23×12＋23×13×12＋13×23×12＝818，P(ξ＝3)＝P(ABC)＝23×23×12＝418，所以随机变量ξ的分布列为所以E (ξ)＝0×118＋1×518＋2×818＋3×418＝518＋1618＋1218＝116.22．某品牌专卖店准备在春节期间举行促销活动，根据市场调查，该店决定从2种型号的洗衣机，2种型号的电视机和3种型号的电脑中，选出3种型号的商品进行促销．(1)试求选出的3种型号的商品中至少有一种是电脑的概率；(2)该店对选出的商品采用的促销方案是有奖销售，即在该商品现价的基础上将价格提高150元，同时，若顾客购买该商品，则允许有3次抽奖的机会，若中奖，则每次中奖都获得m 元奖金．假设顾客每次抽奖时获奖与否的概率都是12，设顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额(单位：元)为随机变量X ，请写出X 的分布列，并求X 的数学期望；(3)在(2)的条件下，问该店若想采用此促销方案获利，则每次中奖奖金要低于多少元？解：(1)从2种型号的洗衣机，2种型号的电视机，3种型号的电脑中，选出3种型号的商品一共有C 37种选法．选出的3种型号的商品中没有电脑的选法有C 34种， 所以选出的3种型号的商品中至少有一种是电脑的概率为 P ＝1－C 34C 37＝3135.(2)X 的所有可能的取值为0，m,2m,3m . X ＝0时表示顾客在三次抽奖中都没有中奖，所以P (X ＝0)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫120·⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝18， 同理可得P (X ＝m )＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫121·⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝38， P (X ＝2m )＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫122·⎝ ⎛⎭⎪⎫121＝38， P (X ＝3m )＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫123·⎝ ⎛⎭⎪⎫120＝18， 所以，顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额X 的分布列为E(X)＝0×18＋m×38＋2m×38＋3m×18＝1.5m.(3)要使促销方案对商场有利，应使顾客获奖奖金总额的数学期望低于商场的提价数额，因此应有1.5m<150，所以m<100.故每次中奖奖金要低于100元，才能使促销方案对商场有利．。
高考必考知识点 (人教A版)文科数学 第九章 概率、统计与算法
第九章 概率、统计与算法（选修3、选修1-2）专题一：概率1、随机事件及其概率：⑴事件：试验的每一种可能的结果，用大写英文字母表示；⑵必然事件、不可能事件、随机事件的特点；⑶随机事件A 的概率：1)(0,)(≤≤=A P nm A P . 2、古典概型：⑴基本事件：一次试验中可能出现的每一个基本结果；⑵古典概型的特点：①所有的基本事件只有有限个；②每个基本事件都是等可能发生。
⑶古典概型概率计算公式：一次试验的等可能基本事件共有n 个，事件A 包含了其中的m 个基本事件，则事件A 发生的概率nm A P =)(. 3、几何概型：⑴几何概型的特点：①所有的基本事件是无限个；②每个基本事件都是等可能发生。
⑵几何概型概率计算公式：的测度的测度D d A P =)(；其中测度根据题目确定，一般为线段、角度、面积、体积等。
4、互斥事件：⑴不可能同时发生的两个事件称为互斥事件；⑵如果事件n A A A ,,,21 任意两个都是互斥事件，则称事件n A A A ,,,21 彼此互斥。
⑶如果事件A ，B 互斥，那么事件A+B 发生的概率，等于事件A ，B 发生的概率的和，即：)()()(B P A P B A P +=+⑷如果事件n A A A ,,,21 彼此互斥，则有：)()()()(2121n n A P A P A P A A A P +++=+++ ⑸对立事件：两个互斥事件中必有一个要发生，则称这两个事件为对立事件。
①事件A 的对立事件记作A ，则)(1)(,1)()(A P A P A P A P -==+②对立事件一定是互斥事件，互斥事件未必是对立事件。
专题二：统计1、抽样方法：①简单随机抽样（总体个数较少）②系统抽样（总体个数较多）③分层抽样（总体中差异明显）注意：在N 个个体的总体中抽取出n 个个体组成样本，每个个体被抽到的机会（概率）均为Nn 。
2、总体分布的估计：⑴一表二图：①频率分布表——数据详实②频率分布直方图——分布直观③频率分布折线图——便于观察总体分布趋势注：总体分布的密度曲线与横轴围成的面积为1。
【创新设计】2015届高考数学(人教A版文科)一轮复习题组训练第二篇函数、导数及其应用(十三)Word版含解
方法强化练——函数与基本初等函数(建议用时：75分钟)一、选择题1．(2014·珠海模拟)函数y ＝(x ＋1)02x ＋1的定义域为( )．A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－1∪(－1，＋∞) C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，－1∪(－1，＋∞) 解析 由⎩⎨⎧x ＋1≠0，2x ＋1＞0，得x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞.答案 A2．(2013·金华十校联考)下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是 ( )． A ．y ＝2|x | B ．y ＝lg(x ＋x 2＋1) C ．y ＝2x ＋2－xD ．y ＝lg1x ＋1解析 根据奇偶性的定义易知A 、C 为偶函数，B 为奇函数，D 的定义域为{x |x ＞－1}，不关于原点对称． 答案 D3．(2013·山东省实验中学诊断)已知幂函数f (x )的图象经过(9,3)，则f (2)－f (1)＝( )． A ．3 B ．1－2 C ．2－1D ．1解析 设幂函数为f (x )＝x α，则f (9)＝9α＝3，即32α＝3，所以2α＝1，α＝12，即f (x )＝x 12＝x ，所以f (2)－f (1)＝2－1，选C. 答案 C4．(2013·郑州模拟)函数f (x )＝ln(x ＋1)－2x 的零点所在的大致区间是 ( )．A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2，e)D ．(3,4)解析 因为f (1)＝ln 2－2＜0，f (2)＝ln 3－1＞0，所以函数的零点所在的大致区间是(1,2)，选B. 答案 B5．(2014·天水调研)函数f (x )＝(x ＋1)ln x 的零点有 ( )．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析 函数的定义域为{x |x ＞0}，由f (x )＝(x ＋1)ln x ＝0得，x ＋1＝0或ln x ＝0，即x ＝－1(舍去)或x ＝1，所以函数的零点只有一个，选B. 答案 B6．(2014·烟台月考)若a ＝log 20.9，b ＝3－13 ，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1312，则 ( )．A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．c ＜a ＜bD ．b ＜c ＜a解析 a ＝log 20.9＜0，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1313 ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫1312＝c ＞0.答案 B7．(2013·潍坊二模)函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x ＋1|的大致图象为( )．解析 因为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1，x ≥－1，2x ＋1，x ＜－1，所以图象为B.答案 B8．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝3x ＋m (m 为常数)，则 f (－log 35)的值为( )． A ．－4 B ．4 C ．－6D ．6解析 由题意f (0)＝0，即1＋m ＝0， 所以m ＝－1，f (－log 35)＝－f (log 35) ＝－(3－1)＝－4.答案 A9．(2014·衡水模拟)某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝5.06x －0.15x 2和L 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为 ( )．A ．45.606B ．45.6C ．45.56D ．45.51解析 设在甲地销售x 辆车，则在乙地销售15－x 辆车，获得的利润为 y ＝5.06x －0.15x 2＋2×(15－x )＝－0.15x 2＋3.06x ＋30， 当x ＝－3.062×(－0.15)＝10.2时，y 最大，但x ∈N ，所以当x ＝10时，y max ＝－15＋30.6＋30＝45.6. 答案 B10．(2013·陕西卷)设[x ]表示不大于x 的最大整数，则对任意实数x ，y ，有( )．A ．[－x ]＝－[x ]B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋12＝[x ]C ．[2x ]＝2[x ]D ．[x ]＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋12＝[2x ]解析 特值法 对A ，设x ＝－1.8，则[－x ]＝1，－[x ]＝2，所以A 选项为假；对B ，设x ＝1.8，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋12＝2，[x ]＝1，所以B 选项为假；对C ，设x ＝－1.4，[2x ]＝[－2.8]＝－3,2[x ]＝－4，所以C 选项为假．故D 选项为真，所以选D. 答案 D 二、填空题11．(2013·湖南卷)函数f (x )＝ln x 的图象与函数g (x )＝x 2－4x ＋4的图象的交点个数为________．解析 因为g (x )＝x 2－4x ＋4＝(x －2)2，所以作出函数f (x )＝ln x 与g (x )＝x 2－4x ＋4＝(x －2)2的图象，由图象可知两函数图象的交点个数有2个．答案 212．(2013·长沙期末考试)设f (x )＝⎩⎨⎧x 2，x ＜0，2x ，x ≥0，则f [f (－1)]＝________.解析 f (－1)＝(－1)2＝1，所以f [f (－1)]＝f (1)＝21＝2. 答案 213．(2014·郑州模拟)已知函数f (x )＝e |x －a |(a 为常数)．若f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________． 解析 g (x )＝|x －a |的增区间为[a ，＋∞)， ∴f (x )＝e |x －a |的增区间为[a ，＋∞)． ∵f (x )在[1，＋∞)上是增函数， ∴[1，＋∞)⊆[a ，＋∞)，∴a ≤1. 答案 (－∞，1]14．(2013·滨州一模)定义在R 上的偶函数f (x )，且对任意实数x 都有f (x ＋2)＝f (x )，当x ∈[0,1)时，f (x )＝x 2，若在区间[－1,3]内，函数g (x )＝f (x )－kx －k 有4个零点，则实数k 的取值范围是________．解析 由f (x ＋2)＝f (x )得函数的周期为2.由g (x )＝f (x )－kx －k ＝0，得f (x )＝kx ＋k ＝k (x ＋1)，分别作出函数y ＝f (x )，y ＝k (x ＋1)的图象，设A (3,1), B (－1,0)，要使函数有4个零点，则直线y ＝k (x ＋1)的斜率0＜k ≤k AB ，因为k AB ＝1－03－(－1)＝14，所以0＜k ≤14，即实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14.答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14 15．(2014·扬州质检)对于函数f (x )＝x |x |＋px ＋q ，现给出四个命题： ①q ＝0时，f (x )为奇函数； ②y ＝f (x )的图象关于(0，q )对称；③p ＝0，q ＞0时，方程f (x )＝0有且只有一个实数根； ④方程f (x )＝0至多有两个实数根． 其中正确命题的序号为________．解析 若q ＝0，则f (x )＝x |x |＋px ＝x (|x |＋p )为奇函数，所以①正确；由①知，当q ＝0时，f (x )为奇函数，图象关于原点对称，f (x )＝x |x |＋px ＋q 的图象由函数f (x )＝x |x |＋px 向上或向下平移|q |个单位，所以图象关于(0，q )对称，所以②正确；当p ＝0，q ＞0时，f (x )＝x |x |＋q ＝⎩⎨⎧x 2＋q ，x ≥0，－x 2＋q ，x ＜0，当f (x )＝0，得x ＝－q ，只有一解，所以③正确；取q ＝0，p ＝－1，f (x )＝x |x |－x ＝⎩⎨⎧x 2－x ，x ≥0， －x 2－x ，x ＜0，由f (x )＝0，可得x ＝0，x ＝±1有三个实根，所以④不正确．综上正确命题的序号为①②③. 答案 ①②③ 三、解答题16．(2013·贵阳诊断)函数f (x )＝m ＋log a x (a ＞0且a ≠1)的图象过点(8,2)和 (1，－1)．(1)求函数f (x )的解析式；(2)令g (x )＝2f (x )－f (x －1)，求g (x )的最小值及取得最小值时x 的值． 解 (1)由⎩⎨⎧ f (8)＝2，f (1)＝－1，得⎩⎨⎧m ＋log a 8＝2，m ＋log a 1＝－1，解得m ＝－1，a ＝2，故函数解析式为f (x )＝－1＋log 2x . (2)g (x )＝2f (x )－f (x －1)＝2(－1＋log 2x )－[－1＋log 2(x －1)] ＝log 2x 2x －1－1(x ＞1)．∵x 2x －1＝(x －1)2＋2(x －1)＋1x －1＝(x －1)＋1x －1＋2≥ 2(x －1)·1x －1＋2＝4.当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时，等号成立．而函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上单调递增，则log 2 x 2x －1－1≥log 24－1＝1，故当x ＝2时，函数g (x )取得最小值1.17．(2014·齐齐哈尔调研)对于函数f (x )，若存在x 0∈R ，使f (x 0)＝x 0成立，则称x 0为f (x )的不动点，已知函数f (x )＝ax 2＋(b ＋1)x ＋b －1(a ≠0)．(1)当a ＝1，b ＝－2时，求f (x )的不动点；(2)若对任意实数b ，函数f (x )恒有两个相异的不动点，求a 的取值范围． 解 (1)当a ＝1，b ＝－2时，f (x )＝x 2－x －3，由题意可知x ＝x 2－x －3，得x 1＝－1，x 2＝3.故当a ＝1，b ＝－2时，f (x )的不动点是－1,3.(2)∵f (x )＝ax 2＋(b ＋1)x ＋b －1(a ≠0)恒有两个不动点，∴x ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋b －1，即ax 2＋bx ＋b －1＝0恒有两相异实根， ∴Δ＝b 2－4ab ＋4a ＞0(b ∈R )恒成立．于是Δ′＝(4a )2－16a ＜0解得0＜a ＜1，故当b ∈R ，f (x )恒有两个相异的不动点时的a 的范围是(0,1)．18．(2014·湖州调研)某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本为C (x )，当年产量不足80千件时，C (x )＝13x 2＋10x (万元)；当年产量不小于80千件时，C (x )＝51x ＋10 000x －1 450(万元)．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完． (1)写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (千件)的函数解析式； (2)年产量为多少千件时，该厂在这种商品的生产中所获利润最大？ 解 (1)因为每件商品售价为0.05万元，则x 千件商品销售额为0.05×1 000x 万元，依题意得，当0＜x ＜80时，L (x )＝(0.05×1 000x )－13x 2－10x －250＝－13x 2＋40x －250.当x ≥80时，L (x )＝(0.05×1 000x )－51x －10 000x ＋1 450－250＝1 200－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋10 000x . 所以L (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－13x 2＋40x －250(0＜x ＜80)，1 200－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋10 000x (x ≥80).(2)当0＜x ＜80时，L (x )＝－13(x －60)2＋950.此时，当x ＝60时，L (x )取得最大值L (60)＝950万元． 当x ≥80时，L (x )＝1 200－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋10 000x ≤1 200－2x ·10 000x ＝1 200－200＝1 000.此时，当x ＝10 000x ，即x ＝100时，L (x )取得最大值1 000万元．因为950＜1 000，所以，当年产量为100千件时，该厂在这种商品的生产中所获利润最大，最大利润为1 000万元．。
【创新设计】2015届高考数学(人教A版文科)一轮复习题组训练第二篇函数、导数及其应用(十一)Word版含解
第11讲 导数的应用(一)基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1．函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是 ( )．A ．(－∞，2)B ．(0,3)C ．(1,4)D ．(2，＋∞)解析 f ′(x )＝e x (x －2)， 令f ′(x )＞0得x ＞2.∴f (x )的单调增区间是(2，＋∞)． 答案 D2．(2013·浙江卷)已知函数y ＝f (x )的图象是下列四个图象之一，且其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则该函数的图象是( )．解析 由y ＝f ′(x )的图象知，y ＝f (x )的图象为增函数，且在区间(－1,0)上增长速度越来越快，而在区间(0,1)上增长速度越来越慢． 答案 B3．(2014·韶关模拟)函数y ＝x e x 的最小值是 ( )． A ．－1 B ．－e C ．－1eD ．不存在解析 y ′＝e x ＋x e x ＝(1＋x )e x ，令y ′＝0，则x ＝－1，因为x ＜－1时，y ′＜0，x ＞－1时，y ′＞0，所以x ＝－1时，y min ＝－1e . 答案 C4．设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax ，x ∈R 有大于零的极值点，则 ( )．A ．a ＜－1B ．a ＞－1C．a＞－1e D．a＜－1e解析∵y＝e x＋ax，∴y′＝e x＋a.∵函数y＝e x＋ax有大于零的极值点，则方程y′＝e x＋a＝0有大于零的解，∵x＞0时，－e x＜－1，∴a＝－e x＜－1.答案 A5．(2013·福建卷)设函数f(x)的定义域为R，x0(x0≠0)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是()．A．∀x∈R，f(x)≤f(x0)B．－x0是f(－x)的极小值点C．－x0是－f(x)的极小值点D．－x0是－f(－x)的极小值点解析A错，因为极大值未必是最大值；B错，因为函数y＝f(x)与函数y＝f(－x)的图象关于y轴对称，－x0应是f(－x)的极大值点；C错，函数y＝f(x)与函数y＝－f(x)的图象关于x轴对称，x0应为－f(x)的极小值点；D正确，函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称，－x0应为y＝－f(－x)的极小值点．答案 D二、填空题6．(2013·威海期末考试)函数y＝ln x－x2的极值点为________．解析函数的定义域为(0，＋∞)，函数的导数为y′＝1x－2x＝1－2x2x，令y′＝1－2x2x＝0，解得x＝22，当x＞22时，y′＜0，当0＜x＜22时，y′＞0，所以当x＝22时，函数取得极大值，故函数的极值点为22.答案2 27．已知函数f(x)＝－12x2＋4x－3ln x在[t，t＋1]上不单调，则t的取值范围是________．解析 由题意知f ′(x )＝－x ＋4－3x ＝－(x －1)(x －3)x ，由f ′(x )＝0得函数f (x )的两个极值点为1和3，则只要这两个极值点有一个在区间(t ，t ＋1)内，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上就不单调，由t <1<t ＋1或t <3<t ＋1，得0<t <1或2<t <3. 答案 (0,1)∪(2,3)8．(2014·淄博模拟)已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2，在x ＝－1时有极值0，则a －b ＝________.解析 由题意得f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ，则⎩⎨⎧ a 2＋3a －b －1＝0，b －6a ＋3＝0，解得⎩⎨⎧ a ＝1，b ＝3或⎩⎨⎧a ＝2，b ＝9，经检验当a ＝1，b ＝3时，函数f (x )在x ＝－1处无法取得极值，而a ＝2，b ＝9满足题意，故a －b ＝－7. 答案 －7 三、解答题9．(2014·绍兴模拟)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点x ＝1处的切线为l ：3x －y ＋1＝0，若x ＝23时，y ＝f (x )有极值． (1)求a ，b ，c 的值；(2)求y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值和最小值．解 (1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b . 当x ＝1时，切线l 的斜率为3，可得2a ＋b ＝0.① 当x ＝23时，y ＝f (x )有极值， 则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝0，可得4a ＋3b ＋4＝0.②由①②，解得a ＝2，b ＝－4.由于切点的横坐标为x ＝1，所以f (1)＝4. 所以1＋a ＋b ＋c ＝4，所以c ＝5. (2)由(1)，可得f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5， 所以f ′(x )＝3x 2＋4x －4. 令f ′(x )＝0，解得x ＝－2或23.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表所示：所以y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值为13，最小值为9527.10．(2013·济南模拟)已知函数f (x )＝(ax 2＋x －1)e x ，其中e 是自然对数的底数，a ∈R .(1)若a ＝1，求曲线f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)若a ＜0，求f (x )的单调区间． 解 (1)当a ＝1时，f (x )＝(x 2＋x －1)e x ，所以f ′(x )＝(2x ＋1)e x ＋(x 2＋x －1)e x ＝(x 2＋3x )e x ，所以曲线f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为k ＝f ′(1)＝4e ，又因为f (1)＝e ，所以所求切线方程为y －e ＝4e(x －1)，即4e x －y －3e ＝0. (2)f ′(x )＝(2ax ＋1)e x ＋(ax 2＋x －1)e x ＝[ax 2＋(2a ＋1)x ]e x ，①若－12＜a ＜0，当x ＜0或x ＞－2a ＋1a 时，f ′(x )＜0； 当0＜x ＜－2a ＋1a 时，f ′(x )＞0.所以f (x )的单调递减区间为(－∞，0]，⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2a ＋1a ，＋∞；单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，－2a ＋1a .②若a ＝－12，f ′(x )＝－12x 2e x ≤0，所以f (x )的单调递减区间为(－∞，＋∞)． ③若a ＜－12，当x ＜－2a ＋1a 或x ＞0时，f ′(x )＜0； 当－2a ＋1a ＜x ＜0时，f ′(x )＞0.所以f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－2a ＋1a ，[0，＋∞)；单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2a ＋1a ，0. 能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、选择题1．函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g (x )＝f (x )x 在区间(1，＋∞)上一定( )．A ．有最小值B ．有最大值C ．是减函数D ．是增函数解析 由函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，可得a <1，又g (x )＝f (x )x ＝x ＋a x －2a ，则g ′(x )＝1－ax 2，易知在x ∈(1，＋∞)上g ′(x )>0，所以g (x )在(1，＋∞)上为增函数． 答案 D2．(2013·临沂模拟)若a ＞0，b ＞0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于( )．A ．2B ．3C ．6D ．9解析 ∵f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ， Δ＝4a 2＋96b ＞0，又x ＝1是极值点， ∴f ′(1)＝12－2a －2b ＝0，即a ＋b ＝6，∴ab ≤(a ＋b )24＝9，当且仅当a ＝b 时“＝”成立，所以ab 的最大值为9. 答案 D 二、填空题3．(2014·宁波调研)设函数f (x )＝ln x －12ax 2－bx ，若x ＝1是f (x )的极大值点，则a 的取值范围为________． 解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x－ax－b，由f′(1)＝0，得b＝1－a.∴f′(x)＝1x－ax＋a－1＝－(ax＋1)(x－1)x.①若a≥0，当0<x<1时，f′(x)>0，此时f(x)单调递增；当x>1时，f′(x)<0，此时f(x)单调递减；所以x＝1是f(x)的极大值点．②若a<0，由f′(x)＝0，得x＝1或－1 a.因为x＝1是f(x)的极大值点，所以－1a>1，解得－1<a<0.综合①②得a的取值范围是a>－1.答案(－1，＋∞)三、解答题4．(2014·黄冈模拟)已知函数f(x)＝13x3－ax＋1.(1)当x＝1时，f(x)取得极值，求a的值；(2)求f(x)在[0,1]上的最小值．解因为f′(x)＝x2－a，(1)当x＝1时，f(x)取得极值，所以f′(1)＝1－a＝0，a＝1，又当x∈(－1,1)时，f′(x)＜0；x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，所以f(x)在x＝1处取得极小值，即a＝1时符合题意．(2)①当a≤0时，f′(x)＞0对x∈(0,1)恒成立，所以f(x)在(0,1)上单调递增，f(x)在x＝0处取得最小值f(0)＝1.②当a＞0时，令f′(x)＝x2－a＝0，解得x＝－a或a.ⅰ.当0＜a＜1时，a＜1，当x∈(0，a)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x∈(a，1)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，所以f(x)在x＝a处取得最小值f(a)＝1－2a a 3.ⅱ.当a≥1时，a≥1.x∈(0,1)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，所以f(x)在x＝1处取得最小值f(1)＝43－a.综上所述，当a≤0时，f(x)在x＝0处取得最小值f(0)＝1，当0＜a＜1时，f(x)在x＝a处取得最小值f(a)＝1－2a a3，当a≥1时，f(x)在x＝1处取得最小值f(1)＝43－a.。
2015高考数学一轮题组训练：9-1直线的方程
第九篇 解析几何第1讲 直线的方程基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、填空题1．直线3x －y ＋a ＝0(a 为常数)的倾斜角为________．解析 直线的斜率为k ＝tan α＝3，又因为α∈[0，π)，所以α＝π3. 答案 π32．已知直线l 经过点P (－2,5)，且斜率为－34.则直线l 的方程为________． 解析 由点斜式，得y －5＝－34(x ＋2)， 即3x ＋4y －14＝0. 答案 3x ＋4y －14＝03．(2014·长春模拟)若点A (4,3)，B (5，a )，C (6,5)三点共线，则a 的值为________． 解析 ∵k AC ＝5－36－4＝1，k AB ＝a －35－4＝a －3.由于A ，B ，C 三点共线，所以a －3＝1，即a ＝4. 答案 44．(2014·泰州模拟)直线3x －4y ＋k ＝0在两坐标轴上的截距之和为2，则实数k ＝________.解析 令x ＝0，得y ＝k 4；令y ＝0，得x ＝－k3. 则有k 4－k3＝2，所以k ＝－24. 答案 －245．若直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y ＝4m －1在x 轴上的截距为1，则实数m ＝________.解析 由题意可知2m 2＋m －3≠0，即m ≠1且m ≠－32，在x 轴上截距为4m －12m 2＋m －3＝1，即2m 2－3m －2＝0，解得m ＝2或－12. 答案 2或－126．(2014·佛山调研)直线ax ＋by ＋c ＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a ，b ，c 应满足________．①ab >0，bc <0；②ab >0，bc >0；③ab <0，bc >0；④ab <0，bc <0.解析 由题意，令x ＝0，y ＝－c b >0；令y ＝0，x ＝－ca >0.即bc <0，ac <0，从而ab ＞0. 答案 ①7．(2014·淮阳模拟)直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是________．解析 设直线的斜率为k ，如图，过定点A 的直线经过点B 时，直线l 在x 轴上的截距为3，此时k ＝－1；过定点A 的直线经过点C 时，直线l 在x 轴的截距为－3，此时k ＝12，满足条件的直线l 的斜率范围是(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.答案 (－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞8．一条直线经过点A (－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为________．解析 设所求直线的方程为x a ＋yb ＝1， ∵A (－2,2)在直线上，∴－2a ＋2b ＝1.①又因直线与坐标轴围成的三角形面积为1， ∴12|a |·|b |＝1.②由①②可得(1)⎩⎨⎧ a －b ＝1，ab ＝2或(2)⎩⎨⎧a －b ＝－1，ab ＝－2.由(1)解得⎩⎨⎧ a ＝2，b ＝1或⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝－2，方程组(2)无解．故所求的直线方程为x 2＋y 1＝1或x －1＋y－2＝1，即x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0为所求直线的方程． 答案 x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0 二、解答题9．(2014·临沂月考)设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R)． (1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程； (2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．解 (1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距为0，当然相等．∴a ＝2，方程即为3x ＋y ＝0.当直线不过原点时，由截距存在且均不为0， 得a －2a ＋1＝a －2，即a ＋1＝1， ∴a ＝0，方程即为x ＋y ＋2＝0.综上，l 的方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0. (2)将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2， ∴⎩⎨⎧ －(a ＋1)＞0，a －2≤0或⎩⎨⎧－(a ＋1)＝0，a －2≤0.∴a ≤－1. 综上可知a 的取值范围是(－∞，－1]．10．已知直线l 过点M (2,1)，且分别与x 轴、y 轴的正半轴交于A ，B 两点，O 为原点，是否存在使△ABO 面积最小的直线l ？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由． 解 存在．理由如下：设直线l 的方程为y －1＝k (x －2)(k ＜0)，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1k ，0，B (0,1－2k )，△AOB的面积S ＝12(1－2k )⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1k ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋(－4k )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ≥12(4＋4)＝4.当且仅当－4k＝－1k ，即k ＝－12时，等号成立，故直线l 的方程为y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0.能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、填空题1．(2014·北京海淀一模)已知点A (－1,0)，B (cos α，sin α)，且|AB |＝3，则直线AB 的方程为________．解析 |AB |＝(cos α＋1)2＋sin 2α＝2＋2cos α＝3，所以cos α＝12，sin α＝±32，所以k AB ＝±33，即直线AB 的方程为y ＝±33(x ＋1)，所以直线AB 的方程为y ＝33x ＋33或y ＝－33x －33. 答案 y ＝33x ＋33或y ＝－33x －332．若直线l ：y ＝k x －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是________．解析 如图，直线l ：y ＝k x －3，过定点P (0，－3)，又A (3,0)，∴k P A ＝33，则直线P A 的倾斜角为π6，满足条件的直线l 的倾斜角的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π23．已知直线x ＋2y ＝2分别与x 轴、y 轴相交于A ，B 两点，若动点P (a ，b )在线段AB 上，则ab 的最大值为________．解析 直线方程可化为x2＋y ＝1，故直线与x 轴的交点为A (2,0)，与y 轴的交点为B (0,1)，由动点P (a ，b )在线段AB 上，可知0≤b ≤1，且a ＋2b ＝2，从而a ＝2－2b ，故ab ＝(2－2b )b ＝－2b 2＋2b ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫b －122＋12，由于0≤b ≤1， 故当b ＝12时，ab 取得最大值12. 答案 12 二、解答题4．如图，射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1,0)作直线AB 分别交OA ，OB 于A ，B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，求直线AB 的方程．解 由题意可得k OA ＝tan 45°＝1，k OB ＝tan(180°－30°)＝－33，所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33x ， 设A (m ，m )，B (－3n ，n )， 所以AB 的中点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2，由点C 在y ＝12x 上，且A ，P ，B 三点共线得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n 2＝12·m －3n 2，m －0m －1＝n －0－3n －1，解得m ＝3，所以A (3，3)．又P (1,0)，所以k AB ＝k AP ＝33－1＝3＋32， 所以l AB ：y ＝3＋32(x －1)，即直线AB 的方程为(3＋3)x －2y －3－3＝0.。
2015创新设计(北师大版)高三一轮复习数学第9篇 第2讲
诊断基础知识
突破高频考点
培养解题能力
解析
第一、 第二小组的频率分别是 0.1,0.2， 所以低于 60 分的
15 频率是 0.3，设班级人数为 m，则 m ＝0.3，m＝50.
答案 B
诊断基础知识
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培养解题能力
考点二 茎叶图的应用 【例2】(2013· 新课标全国Ⅰ卷)为了比较两种治疗失眠症的
规律方法 解决频率分布直方图的问题， 关键在于找出图中数据 频率 之间的联系．这些数据中，比较明显的有组距、 ，间接的 组距 有频率、小长方形的面积，合理使用这些数据，再结合两个等 频率 量关系：小长方形面积＝组距× ＝频率，小长方形面积之 组距 和等于 1，即频率之和等于 1，就可以解决直方图的有关问题．
命中环数如下：7,8,7,9,5,4,9,10,7,4，则平均命中环数为7，命
中环数的标准差为4. ( ×)
诊断基础知识
突破高频考点
培养解题能力
(9)(2014· 新余模拟改编 )10 名工人某天生产同一零件，生产
的件数分别是15,17,14,10,15,19,17,16,14,12，则这一天10名工 人生产的零件的中位数是15. (√)
药 ( 分别称为 A 药， B 药 ) 的疗效，随机地选取 20 位患者服
用A药，20位患者服用B药，这40位患者在服用一段时间 后，记录他们日平均增加的睡眠时间 ( 单位：h) ，试验的 观测结果如下： 服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：
0．6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5
诊断基础知识
突破高频考点
培养解题能力
(5)茎叶图一般左侧的叶按从大到小的顺序写，右侧的叶按从 小到大的顺序写，相同的数据可以只记一次． 是众数． 和是相等的． ( ×) (√ ) ( ×)
【创新设计】2015届高考数学(人教A版文科)一轮复习题组训练第二篇函数、导数及其应用(八)Word版含解析
第8讲 函数与方程基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1．(2014·兰州调研)函数f (x )＝e x ＋3x 的零点个数是 ( )．A ．0B ．1C ．2D ．3解析 由已知得f ′(x )＝e x ＋3＞0，所以f (x )在R 上单调递增，又f (－1)＝e －1－3＜0，f (1)＝e ＋3＞0，所以f (x )的零点个数是1，选B. 答案 B2．在下列区间中，函数f (x )＝e x ＋4x －3的零点所在的区间为 ( )．A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34解析 ∵f (x )＝e x ＋4x －3，∴f ′(x )＝e x ＋4＞0. ∴f (x )在其定义域上是单调递增函数．∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝e －14－4＜0，f (0)＝e 0＋4×0－3＝－2＜0， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝e 14－2＜0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝e 12－1＞0， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜0，故选C. 答案 C3．若函数f (x )＝ax 2－x －1有且仅有一个零点，则实数a 的取值为 ( )．A ．0B ．－14 C ．0或－14D ．2解析 当a ＝0时，函数f (x )＝－x －1为一次函数，则－1是函数的零点，即函数仅有一个零点；当a ≠0时，函数f (x )＝ax 2－x －1为二次函数，并且仅有一个零点，则一元二次方程ax 2－x －1＝0有两个相等实根． ∴Δ＝1＋4a ＝0，解得a ＝－14.综上，当a ＝0或a ＝－14时，函数仅有一个零点． 答案 C4．(2013·朝阳区期末)函数f (x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是 ( )．A ．(1,3)B ．(1,2)C ．(0,3)D ．(0,2)解析 因为函数f (x )＝2x －2x －a 在区间(1,2)上单调递增，又函数f (x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1,2)内，则有⎩⎨⎧f (1)＜0，f (2)＞0，，所以0＜a ＜3.答案 C5．已知函数f (x )＝x ＋2x ，g (x )＝x ＋ln x ，h (x )＝x －x －1的零点分别为x 1，x 2，x 3，则x 1，x 2，x 3的大小关系是( )．A ．x 2＜x 1＜x 3B ．x 1＜x 2＜x 3C ．x 1＜x 3＜x 2D ．x 3＜x 2＜x 1解析 依据零点的意义，转化为函数y ＝x 分别和y ＝－2x ，y ＝－ln x ，y ＝x ＋1的交点的横坐标大小问题，作出草图，易得x 1＜0＜x 2＜1＜x 3. 答案 B 二、填空题6．若函数f (x )＝ax ＋b (a ≠0)有一个零点是2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是________．解析 由已知条件2a ＋b ＝0，即b ＝－2a ， g (x )＝－2ax 2－ax ＝－2ax ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，则g (x )的零点是x ＝0，x ＝－12. 答案 0，－127．函数f (x )＝3x －7＋ln x 的零点位于区间(n ，n ＋1)(n ∈N )内，则n ＝________. 解析 求函数f (x )＝3x －7＋ln x 的零点，可以大致估算两个相邻自然数的函数值，如f (2)＝－1＋ln 2，由于ln 2＜ln e ＝1，所以f (2)＜0，f (3)＝2＋ln 3，由于ln 3＞1，所以f (3)＞0，所以函数f (x )的零点位于区间(2,3)内，故n ＝2. 答案 28．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x－1，x ＞0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________．解析 画出f (x )＝⎩⎨⎧2x－1，x ＞0，－x 2－2x ，x ≤0的图象，如图． 由函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，结合图象得：0＜m ＜1，即m ∈(0,1)． 答案 (0,1) 三、解答题9．函数f (x )＝x 3－3x ＋2. (1)求f (x )的零点；(2)求分别满足f (x )＜0，f (x )＝0，f (x )＞0的x 的取值范围． 解 f (x )＝x 3－3x ＋2＝x (x －1)(x ＋1)－2(x －1)＝ (x －1)(x 2＋x －2)＝(x －1)2(x ＋2)．(1)令f (x )＝0，函数f (x )的零点为x ＝1或x ＝－2. (2)令f (x )＜0，得x ＜－2；所以满足f (x )＜0的x 的取值范围是(－∞，－2)； 满足f (x )＝0的x 的取值集合是{1，－2}；令f (x )＞0，得－2＜x ＜1或x ＞1，满足f (x )＞0的x 的取值范围是(－2,1)∪(1，＋∞)．10．若关于x 的方程3x 2－5x ＋a ＝0的一个根在(－2,0)内，另一个根在(1,3)内，求a 的取值范围．解 设f (x )＝3x 2－5x ＋a ，则f (x )为开口向上的抛物线(如图所示)． ∵f (x )＝0的两根分别在区间(－2，0)，(1,3)内，∴⎩⎨⎧f (－2)＞0，f (0)＜0，f (1)＜0，f (3)＞0，即⎩⎨⎧3×(－2)2－5×(－2)＋a ＞0，a ＜0，3－5＋a ＜0，3×9－5×3＋a ＞0，解得－12＜a ＜0. ∴所求a 的取值范围是(－12,0)．能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、选择题1．(2014·烟台模拟)如图是函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的图象，则函数g (x )＝ln x ＋f ′(x )的零点所在区间是 ( )． A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12B ．(1,2)C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1D ．(2,3)解析 由f (x )的图象知0＜b ＜1，f (1)＝0，从而－2＜a ＜－1，g (x )＝ln x ＋2x ＋a ，g (x )在定义域内单调递增，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝ln 12＋1＋a ＜0，g (1)＝2＋a ＞0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12·g (1)＜0，故选C. 答案 C2．(2013·天津卷)设函数f (x )＝e x ＋x －2，g (x )＝ln x ＋x 2－3.若实数a ，b 满足f (a )＝0，g (b )＝0，则( )．A ．g (a )＜0＜f (b )B ．f (b )＜0＜g (a )C ．0＜g (a )＜f (b )D ．f (b )＜g (a )＜0解析 由f ′(x )＝e x ＋1＞0知f (x )在R 上单调递增， 且f (0)＝1－2＜0，f (1)＝e －1＞0， 所以f (a )＝0时，a ∈(0,1)．又g (x )＝ln x ＋x 2－3在(0，＋∞)上单调递增， 且g (1)＝－2＜0，所以g (a )＜0，由g (2)＝ln 2＋1＞0，g (b )＝0，得b ∈(1,2)． 又f (1)＝e －1＞0，∴f (b )＞0.故g (a )＜0＜f (b )． 答案 A 二、填空题3．(2013·哈尔滨四校检测)已知函数y ＝f (x )(x ∈R )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且当x ∈ [－1,1]时，f (x )＝|x |，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin (πx )，x ＞0，－1x ，x ＜0，则函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－5,5]上的零点的个数为________．解析 函数y ＝f (x )(x ∈R )满足f (x ＋1)＝－f (x )，故f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝ －[－f (x )]＝f (x )，即函数f (x )的周期为2，作出x ∈[－1,1]时，f (x )＝|x |的图象，并利用周期性作出函数f (x )在[－5,5]上的图象，在同一坐标系内再作出g (x )在[－5,5]上的图象，由图象可知，函数f (x )与g (x )的图象有9个交点，所以函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－5,5]上的零点的个数为9.答案 9三、解答题4．(2014·深圳调研)已知二次函数f (x )的最小值为－4，且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤3，x ∈R }． (1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数g (x )＝f (x )x －4ln x 的零点个数．解 (1)∵f (x )是二次函数，且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤3，x∈R}，∴f(x)＝a(x＋1)(x－3)＝ax2－2ax－3a，且a>0. ∴f(x)min＝f(1)＝－4a＝－4，a＝1.故函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－2x－3.(2)∵g(x)＝x2－2x－3x－4ln x＝x－3x－4ln x－2(x>0)，∴g′(x)＝1＋3x2－4x＝(x－1)(x－3)x2.当x变化时，g′(x)，g(x)的取值变化情况如下：又因为g(x)在(3，＋∞)单调递增，因而g(x)在(3，＋∞)上只有1个零点．故g(x)在(0，＋∞)只有1个零点．。
2015届高考数学(人教A版·文科)总复习配套课件：9-2 随机抽样
• 答案：C
分层抽样
• 1．定义
• 在抽样时，将总互体不交分叉成
的层一定，的然比例后
按照
，从各层独立地抽取一定
数量的个体，将各层取出的个体合在一起 作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样． • 2．分层抽差样异明的显的应几个用部范分 围
• 当总体是由 往选用分层抽样．
组成时，往
• ____________________[通关方略 ]____________________
• D．样本容量为20
• 解析：由从总体中抽取样本的意义知D是 正确的．
• 2．在某班的50名学生中，依次抽取学号 为5、10、15、20、25、30、35、40、45 、50的10名学生进行作业检查，这种抽样 方法是( )
• A．随机抽样
B．分层抽样
• C．系统抽样
D．以上都不是
• 解析：在抽取过程中是按“每隔5个抽取 一个”的方法进行的，故应为系统抽样．
第二节 随机抽样
[最新考纲展示] 1．理解随机抽样的必要性和重要性． 2.
会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本 ，了解分层抽样和系统抽样方法．
简单随机抽样
• 1．定义：设一个总体含有N个逐个个不体放回，地 从中 抽取n个个体作为样本(n≤N)
，如果相等每次抽取时总体内的各个个体被抽 到的机会都 ，就把这种抽抽签法样方法随机叫数法做简
• 第三步：将60个号签放入一个不透明的盒
• 反思总结
• 简单随机抽样须满足的条件与特点 • (1)抽取的个体数有限； • (2)逐个抽取； • (3)是不放回抽取； • (4)是等可能抽取； • (5)抽签法适于总体中个体数较少的情况，
随机数法适用于总体中个体数较多的情况 ．
高考数学一轮复习第九章 统 计答案 (2)
第九章 统 计第47讲 抽样的方法、用样本估计总体1. A2. A3. A4. C 【解析】 对于选项A ：根据图表知识知纯直播占比51.8%，总人数为558 982，所以看纯直播的人数约为289 553，没有超过30万，故选项A 错误；对于选项B ：线上学习利用直播平台进行学习的学生占比约为17.0%＋5.4%＋14.9%＋51.8%＝89.1%，没有超过90%，故选项B 错误；对于选项C ：线上学习观看过录播视频的学生占比约为17.0%＋1.6%＋14.9%＋7.4%＝40.9%，超过40%，故选项C 正确；对于选项D ：使用过资源包的人数占比约为17.0%＋1.6%＋5.4%＋1.2%＝25.2%，超过25%，故选项D 错误．5.D【解析】由条形图知，甲射击成绩为4,4,4,4,4,6,6,6,6,6，所以甲的平均数是5，中位数是5，众数是4,6，方差是1；乙射击成绩为4,4,4,5,5,5,5,6,6,6，乙的平均数是5，中位数是5，众数是5，方差是0.6；丙射击成绩为3,3,3,4,5,5,6,7,7,7，丙的平均数是5，中位数是5，众数是3,7，方差是2.6；丁射击成绩为2,4,4,4,5,5,6,6,6,8，丁的平均数是5，中位数是5，众数是4,6，方差是2.4.所以它们的平均数相同，中位数相同，众数不完全相同，乙的方差最小． 6.D【解析】对于A ，由饼状图知，测试成绩前200名学生中A 校占46%，C 校占20%，所以前200名学生中A 校人数超过C 校人数的2倍，选项A 正确；对于B ，由条形图知，测试成绩前100名学生中，A 校人数约为25＋29＝54，所以A 校人数超过一半以上，选项B 正确；对于C ，由条形图知，测试成绩前151～200名学生中，A 校人数约为17人，所以C 校人数最多为33人，选项C 正确；对于D ，由条形图知，测试成绩前51～100名学生中，A 校人数约为25人，所以B 校人数最多是25人，A 校人数不一定比B 校多，选项D 错误．7.ABD【解析】 该组数据按从小到大的顺序排列为6,7,7,8,8,8,9,9,10，所以这组数据的众数为8，所以A 正确；平均数为x－＝19×(6＋7＋7＋8＋8＋8＋9＋9＋10)＝8，所以B 正确；这组数据的中位数是8，所以C 错误；这组数据的方差是s 2＝19×[(6－8)2＋2×(7－8)2＋3×(8－8)2＋2×(9－8)2＋(10－8)2]＝43，所以D 正确．8. AD 【解析】由频率分布直方图得通行时间在[38,47)对应的频率为1－(0.01＋0.02)×3＝0.91.因为通行时间在[38,47)的车辆有182台，所以n ＝1820.91＝200，故A 正确，B 错误； 通行时间在[35,38)的频率为0.02×3＝0.06，所以抽取的车辆中通行时间在[35,38)的车辆有0.06×200＝12台，故C 错误，D 正确．9.ABC【解析】选项A ，由图(1)可得10月份人均月收入增长率为2%，即A 正确；选项B,11月份人均月收入为1 428×(1＋1%)≈1 442元，即B 正确；选项C ，由图(1)、图(2)均可得12月份收入有下降，即C 正确； 选项D ，由图(2)可知该地人均月收入8月和9月一样，即D 错误． 10. 6 11.14 13.9【解析】根据图表知50位学生的考试成绩的中位数应该是第25位同学的成绩和第26位同学成绩的平均值，由图表可知为14，平均数为12×5＋13×10＋14×20＋15×1550＝13.9.12.6.8203【解析】 设抽查人员利用“学习强国”的平均时长为x－，中位数为y ，则x－＝0.05×1＋0.1×3＋0.25×5＋0.3×7＋0.15×9＋0.1×11＋0.05×13＝6.8，设抽查人员利用“学习强国”时长的中位数为y ，则0.05＋0.1＋0.25＋0.15×(y －6)＝0.5，解得y ＝203，即抽查人员利用“学习强国”的平均时长为6.8，中位数为203.13. 【解答】 (1) 样本的频率分布表如下：(2)(第13题)(3)由频率分布表的累计频率知，小于30.5的数据所占的比例为92%，所以90%分位数一定在区间[27.5,30.5)内，由27.5＋3×0.90－0.82 0.92－0.82＝29.9，可以估计样本的90%分位数为29.9.14. 【解答】(1)因为在分层抽样中，每个个体被抽到的可能性均为样本容量总体中个体总数，所以甲同学被抽到的可能性为P＝1001 000＝110.(2) 由题意知，x＝1 000－(60＋90＋300＋160)＝390，所以估计该中学达到优秀线的人数为m＝160＋390×120－115120－90＝225.(3) 填表如下：(第14题)该学校本次考试数学平均分为x－＝11 000(60×15＋90×45＋300×75＋390×105＋160×135)＝90，所以估计该学校本次考试的数学平均分为90分． 15. 【解答】 (1) 甲方案，y ＝100＋n ； 乙方案，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧150，n ≤55，10n －400，n>55，其中n ∈N *.(2) ①甲方案中，根据已知表格可计算出日平均派送单数为110(2×50＋3×54＋2×56＋2×58＋60)＝55，方差为0.2×(50－55)2＋0.3×(54－55)2＋0.2×(56－55)2＋0.2×(58－55)2＋0.1×(60－55)2＝9.8，所以由(1)中变量之间的关系，可以得出甲方案的日薪X 的平均数为155，方差为9.8. 乙方案中，日薪X 的平均数为110×(5×150＋160×2＋180×2＋200)＝163，方差为0.5×(150－163)2＋0.2×(160－163)2＋0.2×(180－163)2＋0.1×(200－163)2＝281.②答案一：选择乙方案，从平均数的角度来看，乙方案的平均薪酬更高，同时更有激励作用．答案二：由①知X甲＜X 乙，但二者相差不大，且s 2甲＜s 2乙，即甲方案日薪收入波动较小，故选择甲方案．第48讲 数据分析——一元线性回归模型及其应用1. D2. C 【解析】 由已知得x ＝22.5，y ＝160，则a∧＝160－4×22.5＝70，则y ∧＝4x ＋70.当x ＝24时，y∧＝4×24＋70＝166，故选C.3. A4. D5. C【解析】 由表中数据可知x －＝5，y －＝54，代入回归直线方程得a∧＝1.5，所以y∧＝10.5x ＋1.5，当x ＝20时，y ∧＝10.5×20＋1.5＝211.5.6.BCD【解析】线性回归直线是最能体现这组数据的变化趋势的直线，不一定经过样本数据中的点，故A 不正确，C 正确；线性回归直线一定经过样本中心点，故B 正确；线性相关系数r 满足|r |≤1，且|r |越接近于1，相关程度越大；|r |越接近于0，相关程度越小，故D 正确．7.ABD【解析】当所有样本点都在直线y ＝－2x ＋1上时，样本点数据完全负相关，其相关系数r ＝－1，所以A ，B 都错误；相关系数|r |值越大，则变量x 与y 的线性相关性越强，C 正确；相关系数|r |值越小，则变量x 与y 的线性相关性越弱，D 错误．8. ABC 【解析】 结合图象，呈正相关，A ，B 正确；去掉“离群点” E 后，有b ∧2<b ∧1，可知C 正确；去掉“离群点”E 后，相关性越强，故R 2>R 21，D 错误． 9. 模型4 【解析】 模型4的相关指数最大，其拟合效果最好． 10. －111. 16 【解析】 由题意，x －＝1，设样本的中心点为(1，y －)， 又线性回归方程为y ∧＝－2x ＋4，则y －＝－2×1＋4＝2，所以∑i ＝18y i ＝8×2＝16.12. 【解答】 (1) 由表格数据知x －＝2＋3＋5＋64＝4，y －＝2.5＋3＋5＋5.54＝4，∑i ＝14x i y i ＝5＋9＋25＋33＝72，∑i ＝14x2i ＝4＋9＋25＋36＝74， 所以b ∧＝72－4×4×474－4×42＝0.8，a ∧＝y－－b ∧x－＝4－0.8×4＝0.8，所以所求的回归直线方程为y∧＝0.8x ＋0.8.(2) 由(1)知，y∧＝0.8x ＋0.8.当x ＝10时，y∧＝0.8×10＋0.8＝8.8.即预计加工10个零件需要8.8 h.13. 【解答】 (1) 由已知数据得，x －＝17(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4，y －＝17(1.4＋1.7＋2.0＋2.4＋2.8＋3.1＋3.5)＝16.97，∑i ＝17x i y i －7x －y －＝77.5－7×4×16.97＝9.9，i ＝17(x i －x －)2＝2×(32＋22＋12)＝27≈5.30，所以r ＝∑i ＝17 (x i －x －)(y i －y －)i ＝17(x i －x －)2·i ＝17(y i －y －)2≈9.95.3×1.88≈0.99.因为y 与x 的相关系数r 近似为0.99，说明它们的线性相关性相当强，从而可以用线性回归模型拟合y 与x 的关系．(2) 由(1)得，b ∧＝∑i ＝17(x i －x －)(y i －y －)∑i ＝17(x i －x －)2＝9.928≈0.35， a ∧＝y －－b ∧x －＝16.97－9.928×4＝1，所以y 关于x 的回归方程为y∧＝0.35x ＋1，2月10日，即x ＝10，代入回归方程得y ∧＝0.35×10＋1＝4.5.所以预测2月10日全国累计报告确诊病例数约有4.5万人．14. 【解答】 (1) 由散点图知，选择回归类型y ＝c ·x d 更适合．(2) 对y ＝c ·x d 两边取对数，得ln y ＝ln c ＋d ln x ，即v ＝ln c ＋dμ.由表中数据得μ －＝v －＝1.5，所以d ＝∑10i ＝1 (μi －u －)(v i －v －)∑10i ＝1 (μi －μ －)2＝∑10i ＝1μivi －10μ －v －∑10i ＝1μ2i －10μ －2＝13， ln c ＝v －－d μ －＝1.5－13×1.5＝1，所以c ＝e ，所以年研发费用x 与年销售量y 的回归方程为y ＝e·x 13.(3) 由(2)知，z (x )＝27x 13－x ，所以z ′(x )＝9x －23－1，令z ′(x )＝9x －23－1＝0，得x ＝27，且当x ∈(0,27)时，z ′(x )>0，z (x )单调递增； 当x ∈(27，＋∞)时，z ′(x )<0，z (x )单调递减．所以当x ＝27千万元时，年利润z 取得最大值，且最大值为z (27)＝54(千万元)．答：要使该企业下一年的年利润取最大值，预计下一年度投入27千万元研发费用．第49讲 数据分析——分类变量与列联表1. D 【解析】 在四幅图中，D 图中两个深色条高相差最明显，说明两个分类变量之间关系最强．2.C【解析】当K 2>2.706时，有90%以上的把握说明A 与B 有关系，但当K 2≤2.706时，只能说明A 与B 是否有关系的理由不够充分，故选C.3.D【解析】根据临界值表，9.643＞7.879，在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关．4. D【解析】因为K 2的观测值k ≈6.723>6.635，所以断言“市民收入与旅游欲望有关系”犯错误的概率不超过0.01.5.C【解析】根据独立性检验原理，处理所得数据之后发现，有99%的把握但没有99.9%的把握认为偏爱蔬菜还是肉类与性别有关，所以K 2的观测值满足6.635<K 2<10.828，所以K 2可能为7.869.6. C 【解析】 根据题目所给数据得到2×2列联表如下：所以K 2＝255×45×75×25≈3.03>2.706，所以有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’行动与性别有关”． 7.AD【解析】根据独立性检验原理知，当K 2的观测值k >3.841时，我们有以下结论：在犯错误的概率不超过0.05的前提下可认为A 与B 有关，即有95%的把握说A 与B 有关，所以选项A ，D 正确．8. CD 【解析】 由题意知，c ＋d ＝20，d ＝20－c ， 计算K 2＝50×[10(20－c )－20c ]230×20×(10＋c )(40－c )＝25(20－3c )23(10＋c )(40－c ).验证c ＝3时，K 2＝25×(20－9)23×13×37≈2.096<3.841，可信程度小于95%，A 不合题意；c ＝2时，K 2＝25×(20－6)23×12×38≈3.582<3.841，可信程度小于95%，B 不合题意；c ＝1时，K 2＝25×(20－3)23×11×39≈5.614>3.841，可信程度大于95%，C 满足题意；c ＝0时，K 2＝25×2023×10×40＝253≈8.333>3.841，可信程度大于95%，D 满足题意．9. AC 【解析】对于选项A ：因为参与调查的男女生人数相同，而男生中喜欢攀岩的占80%，女生中喜欢攀岩的占30%，所以参与调查的学生中喜欢攀岩的男生人数比喜欢攀岩的女生人数多，所以选项A 正确；对于选项B ：参与调查的女生中喜欢攀岩的人数占30%，不喜欢攀岩的人数占70%，所以参与调查的女生中喜欢攀岩的人数比不喜欢攀岩的人数少，所以选项B 错误；对于选项C ：若参与调查的男、女生人数均为100人，根据图表，列出2×2列联表如下：所以K2＝2110×90×100×100＝99≈50.505>6.635，所以有99%的把握认为喜欢攀岩和性别有关，所以选项C正确；对于选项D：如果不确定参与调查的男女生人数，无法计算是否有99%的把握认为喜欢攀岩和性别有关，所以选项D错误．10. 0.10 【解析】K2＝89×(24×26－31×8)2 55×34×32×57≈3.689>2.706，因此，在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为性别与休闲方式有关系．11. 4.882 5% 【解析】由公式计算得K2≈4.882，因为k>3.841，所以我们有95%的把握认为服用此药的效果与患者的性别有关，从而出错的可能性为5%.12. 【解答】 (1) 由统计数据填2×2列联表如下：计算观测值为K2＝250×50×80×20＝254＝6.25>3.841，所以能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为以44岁为分界点的不同人群对“房产限购年龄政策”的支持度有差异．(2)由题意可知不支持“房产限购”的人中44岁以下有15人，44岁及以上有5人，按分层抽样的方法抽取8人，其中44岁以下抽取6人，用a，b，c，d，e，f表示，44岁及以上抽取2人，分别用M，N表示．设“抽到的2人中恰有1人是44岁以下”为事件A，从这8人中抽取2人所有可能出现的结果有：ab，ac，ad，ae，af，aM，aN，bc，bd，be，bf，bM，bN，cd，ce，cf，cM，cN ，de，df，dM，dN，ef，eM，eN，fM，fN，MN，共28种，其中抽取的2人中恰有1人44岁以下的结果有：aM，aN，bM，bN，cM，cN，dM，dN，eM，eN，fM，fN，共12种，所以P(A)＝37，即抽到的2人中恰有1人是44岁以下的概率为37.13. 【解答】 (1) 由题可知随机对1 000人做问卷调查，消费数据的组距为2000，可求得频率分布直方图纵轴上每组频率组距的数据，即3001 000×2 000＝0.00 015，4001 000×2 000＝0.0 002， 1801 000×2 000＝0.00 009，601 000×2 000＝0.00 003， 从而得出频率分布直方图如图所示：(第13题)由表格数据可得x －＝1 000×0.3＋3 000×0.4＋5 000×0.18＋7 000×0.06＋9 000×0.06＝3 360(元)，故本市居民此期间网络购物的消费平均值为3 360元． (2)由数据可知网购金额不超过4000元的有700×2001 000＝140(人)，超过4000元的有300×2001 000＝60(人)，可得列联表如下.11 / 11 由K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )＝200×(75×35－65×25)2140×60×100×100＝5021≈2.381<3.841， 故在此期间没有95%的把握认为网购金额与网购人年龄有关．14. 【解答】 (1) 记A 1表示事件：甲班抽取的学生评价结果为“好评”； A 2表示事件：甲班抽取的学生评价结果为“一般”；B 1表示事件：乙班抽取的学生评价结果为“差评”或“一般”；B 2表示事件：乙班抽取的学生评价结果为“差评”；C 表示事件：甲班学生的评价结果比乙班学生的评价结果“更好”． 因为两个班级的评价相互独立，所以P (C )＝P (A 1B 1＋A 2B 2)＝P (A 1)P (B 1)＋P (A 2)P (B 2)，所以P (C )＝520×1020＋1020×220＝740. (2) 根据题意，填写列联表如下：计算得K 2＝40(5×220×20×33×7＝77≈1.558， 由于1.558<6.635，所以没有99%的把握认为评价是否“差评”与线上平台有关．。
2015届高三数学11月联考试题 文(含解析)新人教A版
2015届江淮十校11月联考文科数学试题【试卷综述】本套试题主要对集合、函数、平面向量、三角、导数等概念以及应用进行了考察，注重基础知识、基本技能的考查，符合高考命题的趋势和学生的实际.同时也注重能力考查，较多试题是以综合题的形式出现，在考查学生基础知识的同时，也考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷.能考查学生的能力.考试时间120分钟，满分150分第Ⅰ卷选择题（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．【题文】1．已知扇形的半径是2，面积为8，则此扇形的圆心角的弧度数是（）A.4B.2C.8D.1【知识点】扇形面积G1【答案】【解析】A解析：根据扇形面积公式21122S lR Rα==，可求得4α=，故选择A.【思路点拨】由扇形面积公式即可求得.【题文】2．设集合}032{2<--=xxxM，{}1)1(log2≤-=xxN，则NM 等于（）A．{}31<<-xxB.{}31≤<xxC.{}31<<xxD.{}31≤≤xx【知识点】集合的运算A1【答案】【解析】C解析:集合{}{}13,N13M x x x x=-<<=<≤，所以{}13M N x x⋂=<<，故选择C.【思路点拨】先求得集合,M N，然后利用交集定义求得结果.【题文】3．命题“存在2cossin,≤+∈xxRx使”的否定是（）A.任意2cossin,≤+∈xxRx都有B.任意2cossin,>+∈xxRx都有C.存在2cossin,>+∈xxRx使D.任意2cossin,≥+∈xxRx都有【知识点】命题的否定A3【答案】【解析】B解析：根据“存在量词”的否定为“全称量词”，可得原命题的否定为：任意2cossin,>+∈xxRx都有，故选择B.【思路点拨】根据特称命题的否定为全称命题，进行判断，注意不能只否定结论，而忘记了对量词的否定，也不能只否定量词，而忘记了对结论的否定. 【题文】4.在ABC △中，已知51cos sin =+A A ，则角A 为（ ）A.锐角B.直角C.钝角D.锐角或钝角 【知识点】同角三角函数的基本关系式C2【答案】【解析】C 解析：因为()21sin cos 12sin cos 25A A A A +=+=，所以242sin cos 025A A =-<，即cos 0A <，所以A 为钝角，故选择C.【思路点拨】根据三角形角的范围，以及同角的基本关系式即可求得.【题文】5. 在ABC ∆中，有如下三个命题：①AB BC CA ++=0；②若D 为BC 边中点，则)(21AC AB AD +=；③若0)()(=-⋅+AC AB AC AB ，则ABC ∆为等腰三角形．其中正确的命题序号是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③ 【知识点】平面向量的线性运算F1【答案】【解析】D 解析：①因为0AB BC CA AC CA ++=+=，所以正确；②因为D 为BC边中点，所以可得)(21AC AB AD +=，正确；③因为0)()(=-⋅+AC AB AC AB ，可得220AB AC -=，即AB AC =，所以ABC ∆为等腰三角形正确，故正确的有①②③，故选择D.【思路点拨】根据向量的基本加减法运算即可. 【题文】6.将函数x y 2sin 2=的图像（ ），可得函数)32sin(2π+=x y 的图像.A ．向左平移3π个单位B ．向左平移6π个单位 C ．向右平移3π个单位 D ．向右平移6π个单位【知识点】三角函数的通项变换C3【答案】【解析】B 解析：因为2sin 22sin 236y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以可得只需将x y 2sin 2=，向左平移6个单位，故选择B.【思路点拨】根据函数()sin y A x ωϕ=+图像的变换，以及“左加右减”的平移法则即可得到.【题文】7. 已知),21(),1,2(λ=-=b a ，则“向量b a ,的夹角为锐角”是“1<λ”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【知识点】平面向量的数量积F3【答案】【解析】A 解析：若向量b a ,的夹角为锐角，则需满足1.2102122a b λλ⎧=⨯-⨯>⎪⎪⎨⎪≠-⎪⎩解得114λλ<≠-且，所以由“向量b a ,的夹角为锐角”能推出“1<λ”，反之不成立，所以“向量b a ,的夹角为锐角”是“1<λ”的充分不必要条件，故选择A.【思路点拨】 解题时注意在两个向量在不共线的条件下，夹角为锐角的充要条件是它们的数量积大于零，由此列出不等式组，再解出这个不等式组，所得解集即为λ实数的取值范围． 【题文】8．若函数)(x f 满足：存在非零常数)2()(,x a f x f a --=使，则称)(x f 为“准奇函数”，下列函数中是“准奇函数”的是（ ）A.2)(x x f =B. 3)1()(-=x x fC. 1)(-=x e x fD. 3)(x x f =【知识点】函数的奇偶性B4【答案】【解析】B 解析：根据题意函数)(x f 满足：存在非零常数)2()(,x a f x f a --=使，则称)(x f 为“准奇函数”，即若函数关于(),00a a ≠对称，即可称)(x f 为“准奇函数”，而只有B 中函数关于()1,0点对称，故选择B.【思路点拨】判断对于函数)(x f 为准奇函数的主要标准是：若存在常数0a ≠，使()()2f x f a x =--，则称)(x f 为准奇函数定义可得，函数关于(),0a 对称，即可称)(x f 为“准奇函数”.【题文】9．已知函数θsin 43)(23x x x f -=，其中x R ∈，θ为参数，且πθ≤≤0．若函数()f x 的极小值小于128-，则参数θ的取值范围是（ ）[A. ]ππ,6( B. ⎥⎦⎤2,6(ππ C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡65,6ππ D. )65,6(ππ【知识点】导数的应用 三角函数的图像与性质B12 C3【答案】【解析】D 解析：由题意可得()sin '32f x x x θ⎛⎫=-⎪⎝⎭，因为πθ≤≤0，所以sin 012θ<<，可得函数θsin 43)(23x x x f -=在(),0-∞和sin ,2θ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为增函数，在sin 0,2θ⎛⎫ ⎪⎝⎭为减函数，所以在sin 2x θ=处取得极小值，即33sin sin 3sin 1.2844128f θθθ⎛⎫=-<- ⎪⎝⎭，解得1sin 2θ>，又因为πθ≤≤0，所以566ππθ<<，故选择D.【思路点拨】由题意可得函数在sin 2x θ=处取得极小值，代入可得不等式1sin 2θ>，即可得到结果.【题文】10.设实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧=--+-=--+-3)3sin(2)3(39)3sin(2)3(333y y y x x x ，则=+y x （ ）A.0B.3C.6D.9 【知识点】函数的奇偶性B4 【答案】【解析】C解析：因为()()()()()33332sin 33323sin 3963x x x x x x -+--=-+---=-=，()()()()()33332sin 33323sin 3363y y y y y y -+--=-+---=-=-，设函数()332sin f x t t t=+-，则函数()332sin f x t t t=+-为奇函数，而()()33,33f x f y -=-=-，所以()33,x y -=--，即6x y +=，故选择C.【思路点拨】根据已知函数的特点构造函数()332sin f x t t t=+-，且为奇函数，利用()()33,33f x f y -=-=-，结合奇函数的性质求得6x y +=.第Ⅱ卷 非选择题（共100分）【题文】二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 【题文】11. 设向量b a ,满足：,32==且b a ,的夹角是3π，则=-a 2_________【知识点】平面向量的数量积F3 【答案】222244.16423cos9133a b a a b b π-=-+=-⨯⨯+=，所以213a b -=【思路点拨】求向量的模一般采用先平方再开方，然后根据向量的数量积进行计算求得.【题文】12.[]=-+-21266)21(2log 12log__________【知识点】对数的运算B7【答案】【解析】解析：原式=()6666log26log 21log 21log 21⎤⨯-+=+-=⎦.【思路点拨】利用对数的运算法则进行化简即可.【题文】13. 设)2,0(πα∈，若53)6sin(=-πα，则=αcos ___________【知识点】两角和与差的余弦展开式C5【答案】【解析】310解析：因为)2,0(πα∈，所以4cos 65πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，而431cos cos cos cos sin sin 666666552ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=---=⨯=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故答案为.【思路点拨】根据已知角的范围，求得4cos 65πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，利用凑角公式可得cos cos 66ππαα⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，再利用两角和的余弦展开式求得.【题文】14. 在ABC ∆中，A B C 、、的对边分别为a b c 、、，若3,32π==A a ，则此三角形周长的最大值为________【知识点】余弦定理 基本不等式C8 E1【答案】【解析】由余弦定理可得22222cos 122b c a A bc b c bc +-=⇒=+-，整理可得()2123b c bc +-=，由不等式可得()2212332b c b c bc +⎛⎫+-=≤ ⎪⎝⎭解得b c +≤，故三角形周长的最大值为a b c ++=【思路点拨】根据已知由余弦定理可得2212bc b c =+-，再由不等式可得()2212332b c b c bc +⎛⎫+-=≤ ⎪⎝⎭，即可得到b c +≤，进而求得三角形周长的最大值.【题文】15. 已知定义在R 上的函数)(x f 对任意R y x ∈,均有：)()(2)()(y f x f y x f y x f =-++且)(x f 不恒为零。
人教版高考数学(文)一轮复习构想课件第九章 算法初步、统计、统计案例 9.4ppt版本
i＝1
i＝1
7
yi－
y
2＝0.55
，
7≈2.646.
i＝1
参考公式：相关系数 r＝
n
ti－ t yi－ y
i＝1
，回归方程^y＝a^＋b^t
n
n
ti－ t 2 yi－ y 2
i＝1
i＝1
n
ti－ t yi－ y
i＝1
中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b^＝
解析：因为 y＝－0.1x＋1，x 的系数为负，故 x 与 y 负相关； 而 y 与 z 正相关，故 x 与 z 负相关．
答案：C
2．(2017·漳州二模)下列说法错误的是( ) A．在回归模型中，预报变量 y 的值不能由解释变量 x 唯一 确定 B．在线性回归分析中，相关系数 r 的值越大，变量间的相 关性越强 C．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其 模型拟合的精度越高 D．在回归分析中，R2 为 0.98 的模型比 R2 为 0.80 的模型拟 合的效果好
r 的绝对值越接近于 0，表明两个变量之间几乎不存在线性
相关关系．通常|r|大于⑥____0_._7_5___时，认为两个变量有很强的
线性相关性．
4．独立性检验
(1)分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，
像这类变量称为分类变量．
(2)列联表：列出两个分类变量的频数表，称为列联表．假
设有两个分类变量 X 和 Y，它们的可能取值分别为{x1，x2}和{y1，
二、必明 4●个易误点 1．回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的 方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的回归直线方程才有实
际意义，否则，求出的回归直线方程毫无意义．
新人教A版高考数学一轮总复习单元检测卷九统计与统计案例
单元质检卷九统计与统计案例(时间:45分钟满分:100分)一、选择题(本大题共6小题,每小题7分,共42分)1.(2019湖北鄂州模拟,5)采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查,为此将他们随机编号1,2,…,960,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为29,则抽到的32人中,编号落入区间[200,480]的人数为()A.7B.9C.10D.122.(2019江西赣州模拟,4)某学校高一年级1 802人,高二年级1 600人,高三年级1 499人,先采用分层抽样的方法从中抽取98名学生参加全国中学生禁毒知识竞赛,则在高一、高二、高三三个年级中抽取的人数分别为()A.35,33,30B.36,32,30C.36,33,29D.35,32,313.若样本1+x1,1+x2,1+x3,…,1+x n的平均数是10,方差为2,则对于样本2+2x1,2+2x2,2+2x3,…,2+2x n,下列结论正确的是()A.平均数为20,方差为4B.平均数为11,方差为4C.平均数为21,方差为8D.平均数为20,方差为84.为考察某种药物对预防禽流感的效果,在四个不同的实验室取相同的个体进行动物试验,根据四个实验室得到的列联表画出如下四个等高条形图,最能体现该药物对预防禽流感有效果的图形是()5.(2019广东汕头二模,6)在某次高中学科竞赛中,4 000名考生的参赛成绩统计如图所示,60分以下视为不及格,若同一组中数据用该组区间中点作代表,则下列说法中有误的是()A.成绩在[70,80]分的考生人数最多B.不及格的考生人数为1 000人C.考生竞赛成绩的平均分约70.5分D.考生竞赛成绩的中位数为75分6.(2019四川二诊,7)节能降耗是企业的生存之本,树立一种“点点滴滴降成本,分分秒秒增效益”的节能意识,以最好的管理,来实现节能效益的最大化.为此某国企进行节能降耗技术改造,下面是该国企节能降耗技术改造后连续五年的生产利润:年号1 2 3 4 5年生产利 润y (单位: 千万元)0.7 0.8 1 1.1 1.4预测第8年该国企的生产利润约为( )千万元参考公式及数据:b^=∑i =1n(b b -b )(b b -b )∑b =1b(b b -b )2=∑b =1bb b b b -bbb∑b =1bb b 2-bb2;b^=b −b ^b ,∑b =15(x i -b )(y i -b )=1.7,∑b =15b b 2-n b 2=10A.1.88B.2.21C.1.85D.2.34二、填空题(本大题共3小题,每小题7分,共21分)7.某公司对一批产品的质量进行检测,现采用系统抽样的方法从100件产品中抽取5件进行检测,对这100件产品随机编号后分成5组,第一组1~20号,第二组21~40号,…,第五组81~100号,若在第二组中抽取的编号为24,则在第四组中抽取的编号为 .8.(2019安徽六安毛坦厂中学联考,14)我国古代数学算经十书之一的《九章算术》有一衰分问题:今有北乡八千一百人,西乡九千人,南乡五千四百人,凡三乡,发役五百,意思是用分层抽样的方法从这三个乡中抽出500人服役,则北乡比南乡多抽 人.9.某单位为了了解用电量y (度)与气温x (℃)之间的关系,随机统计了某4天的用电量与当天气温,并制作了如下面的对照表.由表中数据,得回归直线方程b^=b ^x+b ^,若b ^=-2,则b ^= . 气温18 13 10 -1三、解答题(本大题共3小题,共37分)10.(12分)(2019湖北仙桃中学模拟,19)“共享单车”的出现,为我们提供了一种新型的交通方式.某机构为了调查人们对此种交通方式的满意度,从交通拥堵不严重的A城市和交通拥堵严重的B城市分别随机调查了20个用户,得到了一个用户满意度评分的样本,并绘制出茎叶图如图:(1)根据茎叶图,比较两城市满意度评分的平均值的大小及方差的大小(不要求计算具体值,给出结论即可);(2)若得分不低于80分,则认为该用户对此种交通方式“认可”,否则认为该用户对此种交通方式“不认可”,请根据此样本完成此列联表,并据此样本分析是否有95%的把握认为城市拥堵与认可共享单车有关;(3)若此样本中的A城市和B城市各抽取1人,则在此2人中恰有一人认可的条件下,此人来自B城市的概率是多少?附:K2=b (bb -bb )2(b +b )(b +b )(b +b )(b +b )11.(12分)(2019福建三明模拟,19)近年来,随着我国汽车消费水平的提高,二手车行业得到迅猛发展,某汽车交易市场对2019年成交的二手车交易前的使用时间(以下简称“使用时间”)进行统计,得到频率分布直方图如图1.图1图2(1)记“在2019年成交的二手车中随机选取一辆,该车的使用年限在(8,16]”为事件A,试估计A的概率;(2)根据该汽车交易市场的历史资料,得到散点图如图2,其中x(单位:年)表示二手车的使用时间,y(单位:万元)表示相应的二手车的平均交易价格.由散点图看出,可采用y=e a+bx作为二手车平均交易价格y关于其使用年限x的回归方程,相关数据如下表表中Y i=ln y i,b=110∑b=110Y i;101010①根据回归方程类型及表中数据,建立y关于x的回归方程;②该汽车交易市场对使用8年以内(含8年)的二手车收取成交价格4%的佣金,对使用时间8年以上(不含8年)的二手车收取成交价格10%的佣金.在图1对使用时间的分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值.若以2019年的数据作为决策依据,计算该汽车交易市场对成交的每辆车收取的平均佣金.附注:①对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),…,(u n,v n),其回归直线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为b^=∑i=1nb b b b-bbb∑b=1bb b2-bb2,b^=b−b^b.②参考数据:e2.95≈19.1,e1.75≈5.75,e0.35≈1.73,e-0.65≈0.52,e-1.85≈0.16.12.(13分)某高中有高一新生500名,分成水平相同的A,B两类教学实验,为对比教学效果,现用分层抽样的方法从A,B两类学生中分别抽取了40人,60人进行测试.(1)求该学校高一新生A,B两类学生各多少人?(2)经过测试,得到以下三个数据图表:75分以上A,B两类参加测试学生成绩的茎叶图图1100名测试学生成绩的频率分布直方图图2100名学生成绩频率分布表:①先填写频率分布表中的六个空格,然后将频率分布直方图(图2)补充完整;②该学校拟定从参加考试的79分以上(含79分)的B类学生中随机抽取2人代表学校参加市比赛,求抽到的2人分数都在80分以上的概率.参考答案单元质检卷九统计与统计案例1.C 每组人数为960÷32=30人,即抽到号码数的间隔为30,因为第一组抽到的号码为29,根据系统抽样的定义,抽到的号码数可组成一个等差数列,且a n =29+30(n-1)=30n-1,n ∈N *,令200≤30n-1≤480,得20130≤n ≤48130,可得n 的取值可以从7取到16,共10个,故选C.2.B 先将每个年级的人数取整,得高一1800人,高二1600人,高三1500人,∴三个年级的总人数所占比例分别为1849,1649,1549,因此,各年级抽取人数分别为98×1849=36,98×1649=32,98×1549=30,故选B .3.D 样本1+x 1,1+x 2,1+x 3,…,1+x n 的平均数是10,方差为2,则数据x 1,x 2,x 3,…,x n 的平均数是9,方差是2;所以样本2+2x 1,2+2x 2,2+2x 3,…,2+2x n 的平均数是2+2×9=20,方差为22×2=8.4.D 根据四个列联表的等高条形图知,图形D 中不服药与服药时患禽流感的差异最大,它最能体现该药物对预防禽流感有效果.故选D .5.D A 选项,由频率分布直方图可得,成绩在[70,80]的频率最高,因此考生人数最多,故A 正确;B 选项,由频率分布直方图可得,成绩在[40,60)的频率为0.25,因此,不及格的人数为4000×0.25=1000,即B 正确;C 选项,由频率分布直方图可得:平均分等于45×0.1+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.15+95×0.1=70.5,即C 正确; D 选项,因为成绩在[40,70)的频率为0.45,由[70,80]的频率为0.3,所以中位数为70+10×0.050.3≈71.67,故D 错误.故选D.6.C 由题可得:b =1+2+3+4+55=3,b =0.7+0.8+1+1.1+1.45=1,所以b^=1.710=0.17,又a ^=y −b ^b =1-0.17×3=0.49,所以利润与年号的回归方程为b^=0.17x+0.49,当x=8时,b ^=0.17×8+0.49=1.85,故选C .7.64 设在第一组中抽取的号码为a 1,则在各组中抽取的号码构成首项为a 1,公差为20的等差数列,即a n =a 1+(n-1)×20,又在第二组中抽取的号码为24,即a 1+20=24,所以a 1=4,所以在第四组中抽取的号码为4+(4-1)×20=64.8.60 由题意可得,三乡共有8100+9000+5400=22500人,从中抽取500人,因此抽样比为50022500=145,所以北乡共抽取8100×145=180人;南乡共抽取5400×145=120人,所以北乡比南乡多抽180-120=60人.故答案为60.9.60 由表中数据,计算b =14×(18+13+10-1)=10,b =14×(24+34+38+64)=40,代入回归直线方程b^=b ^x+b ^中,得40=-2×10+b ^,解得b ^=60. 10.解(1)A 城市评分的平均值小于B 城市评分的平均值;A 城市评分的方差大于B 城市评分的方差.(2)K 2=40×(5×10-10×15)220×20×15×25≈2.667<3.841,所以没有95%的把握认为城市拥堵与认可共享单车有关.(3)设事件M :恰有一人认可; 事件N :来自B 城市的人认可;事件M 包含的基本事件数为5×10+10×15=200,事件M ∩N 包含的基本事件数为10×15=150,则所求的条件概率P (N|M )=b (b ⋂b )b (b )=150200=34.11.解(1)由频率分布直方图得,该汽车交易市场2019年成交的二手车使用时间在(8,12]的频率为0.07×4=0.28,在(12,16]的频率为0.02×4=0.12,所以P (A )=0.28+0.12=0.40. (2)①由y=ea+bx得ln y=a+bx ,即Y 关于x 的线性回归方程为b^=a+bx , 因为b ^=∑b =110b b b b -10b ·b∑b =110b b2-10b 2=79.75-10×5.5×1.9385-10×5.52=-0.3,b^=b −b ^b =1.9-(-0.3)×5.5=3.55,所以Y 关于x 的线性回归方程为b ^=3.55-0.3x ,即y 关于x 的回归方程为b^=e 3.55-0.3x.②根据①中的回归方程b^=e 3.55-0.3x 和题图1,对成交的二手车可预测; 使用时间在(0,4]的平均成交价格为e3.55-0.3×2=e 2.95≈19.1,对应的频率为0.2; 使用时间在(4,8]的平均成交价格为e3.55-0.3×6=e 1.75≈5.75,对应的频率为0.36; 使用时间在(8,12]的平均成交价格为e3.55-0.3×10=e 0.55≈1.73,对应的频率为0.28; 使用时间在(12,16]的平均成交价格为e 3.55-0.3×14=e -0.65≈0.52,对应的频率为0.12; 使用时间在(16,20]的平均成交价格为e 3.55-0.3×18=e -1.85≈0.16,对应的频率为0.04;所以该汽车交易市场对于成交的每辆车可获得的平均佣金为(0.2×19.1+0.36×5.75)×4%+(0.28×1.73+0.12×0.52+0.04×0.16)×10%=0.290 92≈0.29万元.=200(人),12.解(1)由题意知A类学生有500×4040+60则B类学生有500-200=300(人).(2)①②79分以上的B类学生共4人,记80分以上的三人分别是{1,2,3},79分的学生为{a}.从中抽取2人,有(12)、(13)、(1a)、(23)、(2a)、(3a)共6种抽法,抽出2人均在80分以上有(12)、(13)、(23)共3种抽法,则抽到2人均在80分以上的概率为P=36=12.。
【创新设计】2015届高考数学(人教A版文科)一轮复习题组训练第二篇函数、导数及其应用(五)Word版含解析
第5讲 指数与指数函数基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1．(2014·郑州模拟)下列函数f (x )中，满足“对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＜f (x 2)”的是( )．A ．f (x )＝1x B ．f (x )＝x 2－4x ＋4 C ．f (x )＝2xD ．f (x )＝log 12x解析 由条件可知在(0，＋∞)上，函数f (x )递增，所以选C. 答案 C2．函数y ＝a x －1a (a ＞0，a ≠1)的图象可能是( )．解析 当a ＞1时单调递增，且在y 轴上的截距为0＜1－1a ＜1时，故A ，B 不正确；当0＜a ＜1时单调递减，且在y 轴上的截距为1－1a ＜0，故C 不正确；D 正确． 答案 D3．(2014·济南一模)若a ＝30.6，b ＝log 30.2，c ＝0.63，则 ( )． A ．a ＞c ＞b B ．a ＞b ＞c C ．c ＞b ＞aD ．b ＞c ＞a解析 30.6＞1，log 30.2＜0,0＜0.63＜1，所以a ＞c ＞b ，选A. 答案 A4．设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m 等于 ( )．A ．10B ．10C ．20D ．100解析 ∵2a ＝5b ＝m ，∴a ＝log 2m ，b ＝log 5m ， ∴1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2.∴m ＝10. 答案 A5．函数y ＝a x －b (a ＞0且a ≠1)的图象经过第二、三、四象限，则a b 的取值范围为( )．A ．(1，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(0,1)D ．无法确定解析 函数经过第二、三、四象限，所以函数单调递减且图象与y 轴的交点在负半轴上．而当x ＝0时，y ＝a 0－b ＝1－b ，由题意得⎩⎨⎧0＜a ＜1，1－b ＜0，解得⎩⎨⎧0＜a ＜1，b ＞1，所以a b ∈(0,1)． 答案 C 二、填空题 6．a 3a ·5a 4(a ＞0)的值是________．解析 答案a 17107．(2013·盐城模拟)已知函数f (x )＝a －x (a ＞0，且a ≠1)，且f (－2)＞f (－3)，则a 的取值范围是________．解析 因为f (x )＝a －x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x ，且f (－2)＞f (－3)，所以函数f (x )在定义域上单调递增，所以1a ＞1，解得0＜a ＜1. 答案 (0,1)8．函数f (x )＝a x (a ＞0，a ≠1)在[1,2]中的最大值比最小值大a2，则a 的值为________．解析 当0＜a ＜1时，a －a 2＝a 2，∴a ＝12或a ＝0(舍去)．当a ＞1时，a 2－a ＝a 2，∴a ＝32或a ＝0(舍去)． 综上所述，a ＝12或32. 答案 12或32 三、解答题9．设f (x )＝e －x a ＋ae －x 是定义在R 上的函数．(1)f (x )可能是奇函数吗？ (2)若f (x )是偶函数，求a 的值．解 (1)假设f (x )是奇函数，由于定义域为R ， ∴f (－x )＝－f (x )，即e x a ＋ae x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫e －xa ＋a e －x ，整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a (e x ＋e －x )＝0，即a ＋1a ＝0，即a 2＋1＝0，显然无解． ∴f (x )不可能是奇函数．(2)因为f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )，即e x a ＋a e x ＝e －xa ＋a e－x ，整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a (e x －e －x )＝0， 又∵对任意x ∈R 都成立，∴有a －1a ＝0，得a ＝±1.10．设a ＞0且a ≠1，函数y ＝a 2x ＋2a x －1在[－1,1]上的最大值是14，求a 的值． 解 令t ＝a x (a ＞0且a ≠1)， 则原函数化为y ＝(t ＋1)2－2(t ＞0)．①当0＜a ＜1时，x ∈[－1,1]，t ＝a x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，1a ，此时f (t )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，1a 上为增函数． 所以f (t )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12－2＝14.所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12＝16，所以a ＝－15或a ＝13.又因为a ＞0，所以a ＝13.②当a ＞1时，x ∈[－1,1]，t ＝a x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a ，此时f (t )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a 上是增函数．所以f (t )max ＝f (a )＝(a ＋1)2－2＝14， 解得a ＝3(a ＝－5舍去)．综上得a ＝13或3.能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、选择题1．(2014·惠州质检)设f (x )＝|3x －1|，c ＜b ＜a 且f (c )＞f (a )＞f (b )，则下列关系式中一定成立的是( )．A ．3c ＞3bB ．3b ＞3aC ．3c ＋3a ＞2D ．3c ＋3a ＜2解析 作f (x )＝|3x －1|的图象如图所示，由图可知，要使c ＜b ＜a 且f (c )＞f (a )＞f (b )成立，则有c ＜0且a ＞0，∴3c ＜1＜3a ，∴f (c )＝1－3c ，f (a )＝3a －1， 又f (c )＞f (a )，∴1－3c ＞3a －1， 即3a ＋3c ＜2，故选D. 答案 D2．(2014·杭州质检)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧(1－3a )x ＋10a ，x ≤7，a x －7，x >7是定义域上的递减函数，则实数a 的取值范围是 ( )． A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤13， 611C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，23D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤12，611解析 ∵函数f (x )＝⎩⎨⎧(1－3a )x ＋10a ，x ≤7，a x －7，x >7是定义域上的递减函数，∴⎩⎨⎧1－3a <0，0<a <1，(1－3a )×7＋10a ≥a 0，即⎩⎨⎧1－3a <0，0<a <1，7－11a ≥1，解得13<a ≤611. 答案 B 二、填空题3．函数f (x )＝a x －3＋m (a ＞1)恒过点(3,10)，则m ＝________. 解析 由图象平移知识及函数f (x )＝a x 过定点(0,1)知，m ＝9. 答案 9 三、解答题4．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 2－4x ＋3.(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值．解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x 2－4x ＋3，令t ＝－x 2－4x ＋3＝－(x ＋2)2＋7，由于t 在(－∞，－2)上单调递增，在[－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 在R上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在[－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的单调递增区间是[－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)． (2)令h (x )＝ax 2－4x ＋3，则f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13h (x )．由于f (x )有最大值3，所以h (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，－4a ＋3＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a的值等于1.。
【创新设计】高考数学(文)人教A版(全国)一轮复习练习第十章统计、统计案例与概论第1讲..doc
基础巩固题组（建议用时：30分钟）一、选择题1.某中学进行了该学年度期末统一考试，该校为了了解高一年级1 000名学生的考试成绩，从屮随机抽取了100名学生的成绩，就这个问题来说，下而说法正确的是（）A.1 000名学生是总体B.每个学生是个体C.1 000名学生的成绩是一个个体D.样本的容量是100解析1 000名学生的成绩是总体，其容量是1 000 ,100名学生的成绩组成样本, 其容量是100.答案D2.（2016•柳州、北海、钦州三市联考）某企业在甲、乙、丙、丁四个城市分别有150 个，120个，190个，140个销售点.为了调查产品的质量，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样木，记这项调杳为①；在丙城市有20个特大型销售点，要从中抽取8个调查，记这项调查为②，则完成①，②这两项调查宜采用的抽样方法依次为（）A.分层抽样法、系统抽样法B.分层抽样法、简单随机抽样法C.系统抽样法、分层抽样法D.简单随机抽样法、分层抽样法解析①四个城市销售点数量不同，个体存在差异比较明显，选用分层抽样；② 丙城市特大销售点数量不多，使用简单随机抽样即可.答案B3•在一个容量为N的总体中抽取容量为的样木，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为Pl，P2, P3,则（）A.pi =P2<P3B.p2=P3<PlC.p\ =“3 V/?2D./刀=02=03解析 由随机抽样的知识知，三种抽样中，每个个体被抽到的概率都相等,故选D.答案D4. 某屮学冇高屮生3 500人，初屮生1500人.为了解学生的学习情况，用分层抽 样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样木，已知从高中生中抽取70人， 则〃为（）A.100B.150C.200D.250解析 样本抽取比例为捋^ =箱该校总人数为1 500 + 3 500 = 5 000 ,则眾^ = 寺，故n = 100 ,选A.答案A5. 从编号为1〜50的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚來进行发射 实验，若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取5枚导弹 的编号可能是（）A. 5, 10, 15, 20, 25B. 3, 13, 23, 33, 43C. 1, 2, 3, 4, 5D. 2, 4, 6, 16, 32解析间隔距离为10 ,故可能编号是3 , 13 , 23 , 33 , 43.若将运动员按成绩出好到差编为1〜35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则 其6.（2015•湖南卷）在一次马拉松比赛屮, 如图所示.13 0 0 3 4 5 614 1112 2 215 0 1 2 2 3 335名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图 6 8 8 8 9 33445556678 3 答案B屮成绩在区间［139, 151］上的运动员人数是（）A.3B.4C.5D.6解析从35人中用系统抽样方法抽取7人,则可将这35人分成7组，每组5 人,从每一组中抽取1人,而成绩在［139 , 151］上的有4组,所以抽取4人，故选B.答案B二、填空题7.(2015•武昌调研)已知某地区中小学生人数和近视情况如下表所示：为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，贝山(1)样木容量为_______ ;(2)抽取的高中生中，近视人数为________ .2 解析(1)由题意知,样本容量为(3 500+4 500+ 2 000)X而= 200.2 50(2)抽取的高中生中，近视人数为2000X島X誌二20.答案(1)200 ⑵208.已知某商场新进3 000袋奶粉，为检查其三聚氧胺是否达标，现采用系统抽样的方法从屮抽取150袋检查，若第一组抽出的号码是11,则61组抽出的号码为_______ •解析每组袋数：d二嚮=20 ,由题意知抽出的这些号码是以11为首项.20为公差的等差数列,6/61 = 11 +60X20= 1 211.答案12119•某学校高一、高二、高三年级的学生人数Z比为3：3：4,现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样木，则应从高二年级抽取_________ 名学生.解析抽取比例与学生比例一致•设应从高二年级抽取兀名学生则兀：50 = 3 ： 10.解得兀二15.答案1510.某校共有学生2 000名，齐年级男、女学生人数如卜•表•已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19.现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为 _________ ・解析依题意我们知道二年级的女生有2 000X0.19 = 380人，那么三年级的学生人数应该是2 000・373・377・380・370 = 500 ,即总体中各个年级的人数比为23 ： 3 ： 2 ,故在分层抽样中应在三年级抽取的学生人数为64X|= 16.答案16能力提升题组(建议用时：20分钟)11.(1)某学校为了了解2015年高考数学学科的考试成绩，在高考后对1 200名学生进行抽样调杳，其中文科400名考生，理科600名考生，艺术和体育类考生共200名，从中抽取120名考生作为样本・(2)从10名家长中抽取3名参加座谈会・1 •简单随机抽样法；II.系统抽样法；III•分层抽样法•问题与方法配对正确的是()A.( 1)111, (2) IB.(l) I , (2)IIC.⑴ II,⑵IIID.( 1)111, (2) II解析通过分析可知,对于(1),应采用分层抽样法,对于(2),应采用简单随机抽样法.答案A12•某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级齐81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1,2,…，270,使用系统抽样时，将学生统一随机编号为1,2, •••, 270,并将整个编号依次分为10段，如果抽得号码有下列四种情况：①7, 34, 61, 88, 115, 142, 169, 196, 223, 250；②5, 9, 100, 107, 111, 121, 180, 195, 200, 265；③11, 38, 65, 92, 119, 146, 173, 200, 227, 254；④30, 57, 84, 111, 138, 165, 192, 219, 246, 270.关于上述样木的下列结论中，正确的是（）A.②、③都不能为系统抽样B.②、④都不能为分层抽样C.①、④都可能为系统抽样D.①、③都可能为分层抽样解析①在1 ~ 108之间有4个,109-189之间有3个，190 ~ 270之间有3个，符合分层抽样的规律，可能是分层抽样•同时，从第二个数据起每个数据与前一个的差都为27 ,符合系统抽样的规律，则可能是系统抽样得到的；同理③符合分层抽样的规律,可能是分层抽样，同时，从第二个数据起每个数据与前一个的差都为27 ,符合系统抽样的规律,则可能是系统抽样得到的,故选D.答案D13.将参加夏令营的600名学生编号为001, 002,…，600.采用系统抽样方法抽取 -•个容量为50的样木，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001至I」300在笫I营区，从301至U 495在第II营区，从496到600在第III营区，三个营区被抽屮的人数依次为（）A.26, 16, 8B.25, 17, 8C.25, 16, 9D.24, 17, 9解析由题意及系统抽样的定义可知，将这600名学生按编号依次分成50组, 每一组各有12名学生，第处WN*）组抽中的号码是3 + 12伙-1）.103令3 + 12伙・l）W300得泾寸,因此第I营区被抽中的人数是25 ；令300<3 +10312伙・1）W495得〒社W42 ,因此第II营区被抽中的人数是42・25 = 17. 结合各选项知,选B.答案B14.200名职工年龄分布如图所示，从屮随机抽40名职工作样木，采用系统抽样方法，按1~200编号为40组，分别为1〜5, 6〜10, 196〜200,第5组抽取号码为22,第8组抽取号码为_____ •若采用分层抽样，40岁以下年龄段应抽取 _______ 人.解析将1 ~ 200编号分为40组，则每组的间隔为5，其中第5组抽取号码为22 ,则第8组抽取的号码应为22 + 3X5 = 37 ；由已知条件200名职工中40岁以下的40 %职工人数为200X50% =100 ,设在40岁以下年龄段中抽取兀人，则盏二扁，解得x = 20.答案37 2015.—个总体屮冇90个个体，随机编号0, 1, 2,…，89,依从小到大的编号顺序平均分成9个小组，组号依次为1, 2, 3,・・・，9.现用系统抽样方法抽取一个容量为9的样本，规定：如果在第1组随机抽取的号码为加，那么在第鸟组中抽取的号码个位数字与m+k的个位数字相同，若777=8,则在第8组屮抽取的号码是.解析由题意知m = 8 ,)t = 8 ,则加+ k二16 ,也就是第8组抽取的号码个位数字为6 ,十位数字为8-1=7,故抽取的号码为76.答案7616•某公路设计院有工程师6人，技术员12人，技工18人，要从这些人中抽取〃个人参加市里召开的科学技术大会.如果采用系统抽样和分层抽样的方法抽取，不用剔除个体，如果参会人数增加1个，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体，求仏解总体容量为64-124-18 = 36・当样本容量是斤吋，由题意知，系统抽样的间隔为普，分层抽样的比例是箱，抽取的工程师人数为話X6=彳，技术员人数为12=|,技工人数为話X 18=号, 所以川应是6的倍数，36的约数，即斤=6, 12, 1 &35 35当样木容量为S+1)吋，总体容量是35人，系统抽样的间隔为苗，因为，^必须是整数，所以”只能取6.即样本容量〃=6.。
2015年高考数学大一轮总复习配套课件：第九章 统计、统计案例及算法初步 9-2
[学以致用] 2. [2012·陕西高考]从甲、乙两个城市分别随机抽取 16 台自 动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示(如图 所示)，设甲、乙两组数据的平均数分别为 x 甲， x 乙，中位数分别 为 m 甲，m 乙，则( )
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已知甲组数据的中位数为 15，乙组数据的平均数为 16.8，则
x，y 的值分别为( )
A. 2,5
B. 5,5
C. 5,8
D. 8,8
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[解析] 由甲组数据中位数为 15，可得 x＝5；而乙组数据的 平均数 16.8＝9＋15＋10＋5 y＋18＋24，可解得 y＝8.故选 C.
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ห้องสมุดไป่ตู้
02突破3个热点考向
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考向一 频率分布直方图的应用 例 1 [2013·福建高考]某校从高一年级学生中随机抽取部分 学生，将他们的模块测试成绩分成 6 组：[40,50)，[50,60)，[60,70)， [70,80)，[80,90)，[90,100]加以统计，得到如图所示的频率分布 直方图．已知高一年级共有学生 600 名，据此估计，该模块测试 成绩不少于 60 分的学生人数为( )
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(5)从频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成 直方图后，原有的具体数据信息就被抹掉了．(√)
(6)茎叶图一般左侧的叶按从大到小的顺序写，右侧的叶按从 小到大的顺序写，相同的数据可以只记一次．(×)
【创新设计】高考数学(文)人教A版(全国)一轮复习练习第十章统计、统计案例与概论第2讲..doc
—x ）2+（x 2— ----------------------------------------- （尤1（）一32,中间两个数为20, 20,故中位数为20,选B.答案B2. 如图是一容量为100的样木的质量的频率分布直方图， 样本质量均在［5, 20］其分组为［5, 10）, ［10, 15）, ［15,20］,则样本质量落在［15, 20］内的频数为（）A 」0B.20C.30D.40解析由题意得组距为5,故样本质量在［5, 10）, ［10, 15）内的频率分别为0.3 和0.5,所以样本质量在［15, 20］内的频率为1 —0.3 —0.5 = 0.2,频数为100X0.2 =20,故选B.答案B3. 某公司10位员工的月工资（单位：元）为兀2,…，Qo,其均值和方差分别为 兀和孑，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的 均值和方差分别为（）A. %, ?+1002B. 1 + 100, ?+1002 D. x + 100, 52基础巩固题组（建议用时：30分钟）一、选择题 1.（2015-重庆卷）重庆市2013年各月的平均气温（° C ）数据的茎叶图如下: 0 1 2 38 2 0 1 95 8 0 3 3 82 则这组数据的中位数是（） A.19B.20C.21.5D.23 解析从茎叶图知所有数据为 8, 9, 12, 15, 18, 20,20, 23, 23, 28, 31, C. x s解析X1+兀2 -------------------- 兀 10 10月工资增加100元后：-3 + 100) + (兀 2+IOO) +•••+(Qo+100) 兀'= 10兀1+兀2 ------------------ 兀10= ------ F ---------- +100=%+100,5z2=-^[(X) +100- x r )2+(x 2 +100- x r )2 + • • • +(X )0 +100- X r )2]=52.故选 D.答案D 4. (2016-郑州质量检测)已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的屮位数相同, 平均数也相同，则号=() 甲乙 72 n 9 m3 24 8A.l 1 2 3 B ・g C.gD.g 解析 由题中茎叶图可知甲的数据为27, 30 + m, 39,乙的数据为20+弘32, 34, 38•由此可知乙的中位数是33,所以甲的中位数也是33,所以加=3.由此可以得出甲的平均数为33,所以乙的平均数也为33,所以有>2? 333,所以n=8,所以*=%所以选D.答案D 5. 为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测 试，得分(十分制)如图所示，假设得分值的中位数为％,众数为"”平均值为 x,贝9()20+/1+32 + 34 + 38 4频数解析30个数中第15个数是5,第16个数是6,所以中位数仏=丁=5.5, 众数m o =5,答案D 二、填空题6. （2016•南昌模拟）若1, 2, 3, 4,加这五个数的平均数为3,则这五个数的方差 解析・・•这5个数的平均数为3,j+2 + [+4+川=3,・・.加=5.故方差为2.答案2 7. （2016•郑州质量预测）我市某校组织学牛参加英语测试，成绩的频率分布直方图 如图，数据的分组依次为[20, 40), [40, 60), [60, 80), [80, 100],若低于60分的人数是15人，则该班的人数是频率,0.02 0.015 0.01 0.005~~O 解析 第一组的频率为0.005X20 =0.1,第二组的频率为0.01X20=0.2, A 总人 数为壽=50.答案508. __________ 在样本频率分布直方图中，共有5个小长方形，已知中间一个小长方平均值；=?><2+4X3 + 5XK)+6X6+7X3 + 8X2+9X2+K)X2 179 3030* 20 40 60 80 100 成绩 / 分形的面积 是其余4个小长方形面积之和的g H 中间一组的频数为10,则这个样木的容 量是 _____ .解析 设中间小长方形的面积为S,则s=*l —S ）,解得S=£即中间一组的频率为£ 又中间一组的频数为10,所以样本容量=频数40T W 1-4答案40三、解答题9. 某校高一某班的某次数学测试成绩(满分为100分)的茎叶图和频率分布直方图都受了不同程度的破坏，但可见部分如图，据此解答下列问题：56789 (1) 求分数在［50, 60］的频率及全班人数；(2) 求分数在［80, 90］之间的频数，并计算频率分布直方图中［80, 90］间的矩形的咼.解 ⑴分数在[50, 60]的频率为0.008X 10 = 0.08.2 由茎叶图知，分数在［50, 60］之间的频数为2,所以全班人数为怎 =25. (2)分数在［80, 90］之间的频数为25-2-7-10-2=4,频率分布直方图中［80,490］间的矩形的高为石一 10=0.016.10. (2015-广东卷)某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)，以［160, 180),[180, 200), [200, 220), [220, 240), [240, 260), [260, 280), [280, 300]分 组的频率分布直方图如图.(1) 求直方图中兀的值；(2) 求月平均用电量的众数和中位数；(3) 在月平均用电量为［220, 240), ［240, 260), ［260, 280), ［280, 300］的四组用6823356891223456789 缺失 一 58户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在［220, 240)的用户中应抽取多少户？解 (1)依题意,20X(0.002+0.009 5+0.011+0.012 5+x+0.005+0.002 5)=1,解得 x=0.007 5.（2）由图可知，最高矩形的数据组为［220, 240）,・.・[160, 220)的频率之和为(0.002+0.009 5+0.011)X20=0.45,・•・依题意，设中位数为y,・・・0.45 + ®—220)X0.012 5 = 05解得y=224,・••中位数为224.（3）月平均用电量在［220 , 240）的用户在四组用户中所占比例为 0.012 5 =丄 0.012 5+0.007 5+0.005+0.002 5=1?・••月平均用电量在［220, 240）的用户屮应抽取1IX 看~=5（户）.能力提升题组（建议用时：20分钟）11•某高校进行自主招生，先从报名者中筛选出400人参加笔试，再按笔试成绩择 优选出100人参加而试.现随机调查了 24名笔试者的成绩，如下表所示：分数段 [60, 65)[65, 70) [70, 75) [75, 80) [80,85) [85,90] 人数2 3 4 9 5 1 据此估计允许参加面试的分数线大约是（）解析 因为参加笔试的400人中择优选出100人，故每个人被择优选出的概率P =册=£因为随机调查24名笔试者，则估计能够参加面试的人数为24x|=6, 观察表格可知，分数在［80, 85）有5人，分数在［85, 90）的有1人，故面试的分 数线大约为80分，故选B.答案B12. 为了了解某校九年级1 600名学生的体能情况，随机 抽查了部分学牛，测试1分钟仰卧起坐的成绩（次数）， 将・・・众数为220+240 =230. A.75B.80C.85D.90数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图，根据统计图的数据，下列结论错误的是（）A.该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数的中位数为26.25次B.该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数的众数为27.5次C.该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数超过30次的人数约有320人D.该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数少于20次的人数约有32人解析由题图可知中位数是26.25次，众数是27.5次，1分钟仰卧起坐的次数超过30次的频率为0.2,所以估计该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数超过30 次的人数约有320人；1分钟仰卧起坐的次数少于20次的频率为0.1,所以该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数少于20次的人数约有160人•故D是错误的，选D.答案D13.在样本的频率分布直方图中，共有4个小长方形，这4个小长方形的面积由小到大构成等比数列｛©｝,已知血=2尙,且样本容量为300,则小长方形面积最大的一组的频数为______________ ・解析•・•小长方形的面积由小到大构成等比数列｛给｝,且a2 = 2a[9 :.样本的频率构成一个等比数列，且公比为2, ••・°1+2°1+4°1 + 8创=1501 = 1, .•.di=吉，・・・小长方形面积最大的一组的频数为300X8^ = 160.答案16014.(2014-新课标全国I卷)从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表:作出这些数据的频率分布直方图:(2) 估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点 值作代表)；(3) 根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值 不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定？解(1) 詁丨卄.75 85 95 105 115 125质址指标值(2) 质量指标值的样本平均数为元=80X0.06+90X0.26+100X0.38+110X0.22+120X0.08=100.质量指标值的样本方差为52 = (-20)2X 0.06+(-10)2X0.26+0X 0.38+102X0.22+202X 0.08= 104.所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为100,方差的估计值为104.(3) 质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0.38+0.22+0.08 = 0.6&由于该估计值小于0.8,故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不 低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定. XJ 08642086420864208642“43333322222J 俎 ^ooooooooouoooooaaaa • • • •。
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第5讲古典概型基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．一枚硬币连掷2次，恰有一次正面朝上的概率为()．A.23 B.14C.13 D.12解析一枚硬币连掷2次，基本事件有(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)，而只有一次出现正面的基本事件有(正，反)，(反，正)，故其概率为2 4＝1 2.答案 D2．(2012·安徽卷)袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球、2个白球和3个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于()．A.15 B.25C.35 D.45解析1个红球，2个白球和3个黑球分别记为a1，b1，b2，c1，c2，c3.从袋中任取两球有(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，c1)，(a1，c2)，(a1，c3)，(b1，b2)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b1，c3)，(b2，c1)，(b2，c2)，(b2，c3)，(c1，c2)，(c1，c3)，(c2，c3)，共15种；满足两球颜色为一白一黑的有6种，概率等于615＝25.答案 B3．(2014·金华模拟)从1,2,3,4,5,6六个数中任取2个数，则取出的两个数不是连续自然数的概率是()．A.35 B.25C.13 D.23解析取出的两个数是连续自然数有5种情况，则取出的两个数不是连续自然数的概率P＝1－515＝23.答案 D4．(2014·郑州一模)从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b，则b＞a的概率是()．A.45 B.35C.25 D.15解析基本事件的个数有15种，其中满足b＞a的有3种，所以b＞a的概率为315＝15.答案 D5．(2013·安徽卷)若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为()．A.23 B.25C.35 D.910解析记事件A：甲或乙被录用．从五人中录用三人，基本事件有(甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)，共10种可能，而A的对立事件A仅有(丙，丁，戊)一种可能，∴A的对立事件A的概率为P(A)＝110，∴P(A)＝1－P(A)＝910.答案 D二、填空题6．(2013·新课标全国Ⅱ卷)从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是________．解析任取两个不同的数的情况有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10种，其中和为5的有2种，所以所求概率为210＝15.答案1 57．一根绳子长为6米，绳子上有5个节点将绳子6等分，现从5个节点中随机选一个将绳子剪断，则所得的两段绳长均不小于2米的概率为________．解析随机选一个节点将绳子剪断共有5种情况，分别为(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)．满足两段绳长均不小于2米的为(2,4)，(3,3)，(4,2)，共3种情况．所以所求概率为3 5.答案3 58．从长度分别为2,3,4,5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是________．解析从四条线段中任取三条有4种取法：(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，其中能构成三角形的取法有3种：(2,3,4)，(2,4,5)，(3,4,5)，故所求的概率为3 4.答案3 4三、解答题9．(2013·天津卷)某产品的三个质量指标分别为x，y，z，用综合指标S＝x＋y＋z评价该产品的等级．若S≤4，则该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：(2)在该样本的一等品中，随机抽取2件产品．①用产品编号列出所有可能的结果；②设事件B为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4”，求事件B发生的概率．解(1)计算10件产品的综合指标S，如下表：124579为610＝0.6，从而可估计该批产品的一等品率为0.6.(2)①在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A1，A9}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A2，A9}，{A4，A5}，{A4，A7}，{A4，A9}，{A5，A7}，{A5，A9}，{A7，A9}，共15种．②在该样本的一等品中，综合指标S等于4的产品编号分别为A1，A2，A5，A7，则事件B发生的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A5，A7}，共6种．所以P(B)＝615＝25.10．现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A1，A2，A3通晓日语，B1，B2，B3通晓俄语，C1，C2通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．(1)求A1被选中的概率；(2)求B1和C1不全被选中的概率．解(1)从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件共18个：(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A2，B3，C1)，(A2，B3，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)，(A3，B3，C1)，(A3，B3，C2)．由18个基本事件组成．由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的．用M表示“A1恰被选中”这一事件，则包含的结果为：(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)事件M由6个基本事件组成，因而P(M)＝618＝13.(2)用N表示“B1、C1不全被选中”这一事件，则其对立事件N表示“B1、C1全被选中”这一事件，由于N包含(A1，B1，C1)，(A2，B1，C1)，(A3，B1，C1)3个结果，事件N有3个基本事件组成，所以P(N)＝318＝16，由对立事件的概率公式得P(N)＝1－P(N)＝1－16＝56.能力提升题组(建议用时：25分钟)一、选择题1．在长方体ABCD－A1B1C1D1的八个顶点任两点连线中，随机取一直线，则该直线与平面AB1D1平行的概率为()．A.314 B.514C.328 D.528解析画出该长方体的直观图，可知与平面AB1D1平行的直线有BD，BC1，DC1，故该直线与平面AB1D1平行的概率为P＝38×72＝328.答案 C2．(2014·丽水一模)设集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，分别从集合A和B中随机取一个数a和b，确定平面上的一个点P(a，b)，记“点P(a，b)落在直线x＋y＝n上”为事件C n(2≤n≤5，n∈N)，若事件C n的概率最大，则n的所有可能值为()．A．3B．4C．2和5D．3和4解析分别从集合A和B中随机取出一个数，确定平面上的一个点P(a，b)，则有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，共6种情况，a＋b＝2的有1种情况，a＋b＝3的有2种情况，a＋b＝4的有2种情况，a＋b＝5的有1种情况，所以可知若事件C n的概率最大，则n的所有可能值为3和4.答案 D二、填空题3．(2014·南京模拟)在集合A＝{2,3}中随机取一个元素m，在集合B＝{1,2,3}中随机取一个元素n，得到点P(m，n)，则点P在圆x2＋y2＝9内部的概率为________．解析由题意得到的P(m，n)有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共6个，在圆x2＋y2＝9的内部的点有(2,1)，(2,2)，所以概率为26＝13.答案1 3三、解答题4．一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)：A类轿车10辆．(1)求z的值；(2)用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；(3)用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：9．4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2，把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．解(1)设该厂这个月共生产轿车n辆，由题意得50n＝10100＋300，所以n＝2 000，则z＝2 000－100－300－150－450－600＝400.(2)设所抽样本中有a辆舒适型轿车，由题意得4001 000＝a5，则a＝2.因此抽取的容量为5的样本中，有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车．用A1，A2表示2辆舒适型轿车，用B1，B2，B3表示3辆标准型轿车，用E 表示事件“在该样本中任取2辆，其中至少有1辆舒适型轿车”，则基本事件空间包含的基本事件有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共10个．事件E包含的基本事件有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，共7个．故P(E)＝710，即所求概率为710.(3)样本平均数x＝18(9.4＋8.6＋9.2＋9.6＋8.7＋9.3＋9.0＋8.2)＝9.设D表示事件“从样本中任取一个数，该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5”，则基本事件空间中有8个基本事件，事件D包含的基本事件有9.4,8.6,9.2,8.7,9.3,9.0，共6个，所以P(D)＝68＝34，即所求概率为34.。