2020-2021学年内蒙古赤峰二中高一上学期期末考试数学(文)试题(解析版)

2020-2021学年内蒙古赤峰二中高一上学期期末考试数学
（文）试题
一、单选题
1．设集合{}2
{(,)|1},(,)|1A x y y x B x y y x ==+==-，则A B =（ ）
A ．∅
B ．{1,2}-
C ．{(1,0),(2,0)}-
D ．{(1,0),(2,3)}-
【答案】D
【分析】根据已知条件，联立方程求出交点坐标即可得到正确选项. 【详解】由题意得211x x +=-，即220x x --=， 解得11x =-，22x = ，故{(1,0),(2,3)}A B ⋂=-．
故选：D.
2．下列各角中，与126°角终边相同的角是（ ） A ．126- B ．486 C ．244- D ．574
【答案】B
【分析】写出与126°的角终边相同的角的集合，取k=1得答案．
【详解】解：与126°的角终边相同的角的集合为{α|α=126°+k•360°，k ∈Z}． 取k=1，可得α=486°．
∴与126°的角终边相同的角是486°． 故选B ．
【点睛】本题考查终边相同角的计算，是基础题． 3
．函数1
()lg(2)
f x x -的定义域为（ ）
A ．(1,3)
B ．(0,1)
C ．[1,2)
D ．(1,2)
【答案】D
【分析】根据根式函数、分式函数和对数函数的定义域求解. 【详解】由10
2021x x x -⎧⎪
->⎨⎪-≠⎩
，解得12x <<．
所以函数1
()lg(2)
f x x =-的定义域为(1,2)，
故选：D
4．函数()cos f x x x x =+在[],ππ-上的图像大致为
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A
【分析】利用函数的奇偶性和函数图像上的特殊点，对选项进行排除，由此得出正确选项.
【详解】由于()()()cos f x x x x f x -=-+=-，所以函数为奇函数，图像关于原点对称，排除C 选项.由于()π0f =，所以排除D 选项.由于ππππ
03632
f ⎛⎫=+=> ⎪⎝⎭，所以排除B
选项. 故选A.
【点睛】本小题主要考查函数图像的识别，考查函数的奇偶性、特殊点，属于基础题. 5．若幂函数()f x 的图像过点3)，则函数()2y f x x =+-的零点为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
【答案】D
【分析】结合题意,代入点坐标,计算()f x 的解析式,计算零点,即可得出答案. 【详解】()f x x =()220y f x x x x =+-=-=2x ，4x =.
【点睛】本道题考查了函数解析式的计算方法和函数零点计算问题,代入点坐标,计算解析式,计算零点,属于较容易题.
6．若角α的终边过点(3,)y ，且4
sin 5
α=-，则sin(2)πα+=（ ） A ．
35 B ．35
C ．
2425
D ．2425
-
【答案】C
【分析】根据三角函数的定义求解出cos α的值，再结合诱导公式以及二倍角的正弦公式完成计算. 【详解】因为24sin 59y α=
=-+，所以4y =-，所以3cos 5
916α==+，
又因为3424
sin(2)sin 22sin cos 25525
παααα⎛⎫+=-=-=-⨯⨯-= ⎪⎝⎭．
故选：C.
7．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ=+>>≤⎛
⎫ ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则函数
()y f x =的表达式是
A ．()2sin 12f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
B ．()2sin 23f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
C ．()22sin 23f x x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭
D ．()2sin 23f x x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭
【答案】D
【分析】根据函数的最值求得A ，根据函数的周期求得ω，根据函数图像上一点的坐标求得ϕ，由此求得函数的解析式. 【详解】由题图可知2A =，且
11522122T πππ
=-=即T π=，所以222T ππωπ
===， 将点5,212π⎛⎫
⎪⎝⎭的坐标代入函数()()2sin 2x x f ϕ=+，
得()5262k k ππϕπ+=+∈Z ，即()23
k k π
ϕπ=-∈Z ， 因为2
πϕ≤
，所以3π
ϕ=-，
所以函数()f x 的表达式为()2sin 23f x x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭．故选D.
【点睛】本小题主要考查根据三角函数图像求三角函数的解析式，属于基础题. 8．已知0b >，5log b a =，lg b c =，510d =，则下列等式一定成立的是 A ．d ac = B ．a cd = C ．c ad = D ．d a c =+
【答案】B
【详解】试题分析：5log ,lg b a b c ==相除得
55log ,log 10lg b a a
b c c
==，又5510,log 10d d =∴=，所以a
d cd a c
=
⇒=.选B. 【考点定位】指数运算与对数运算.
9．已知偶函数()f x 在[)0,+∞上单调递减，则满足()()435f x f -<的x 的取值范围是（ ）
A ．2,3⎛
⎫-∞ ⎪⎝⎭
B ．(),1-∞-
C ．()
1,2,2⎛
⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝
⎭
D ．()1
,1,2⎛⎫
-∞-+∞ ⎪⎝⎭
【答案】C
【详解】因为偶函数()f x 在[)0,+∞上单调递减，则满足()()435f x f -<， 所以()()435f x f -<，可得435x ->, 即435x ->或435,2x x -<->或1
2
x <-，
x 的取值范围是()1,2,2⎛⎫
-∞-⋃+∞ ⎪⎝
⎭
.
故选：C.
10．设函数()e ax
f x =与()ln
g x b x =的图象关于直线0x y -=对称，其中a ，b ∈R 且
0a >.则a ，b 满足（ ）
A ．2a b +=
B ．1a b ==
C ．1ab =
D ．
1b a
= 【答案】C
【分析】由题意可知函数()e ax
f x =图象上任意一点(),e ax A x 关于0x y -=对称点
()1e ,ax A x 在函数()ln g x b x =的图象上，代入利用对数的运算性质即可求解.
【详解】解：设(),e
ax
A x 是函数()e ax f x =图象上任意一点，
则它关于直线0x y -=对称的点()1e ,ax
A x 在函数()ln g x b x =的图象上，
所以ln e ax x b abx ==，即1ab =， 故选：C.
【点睛】本题考查了互为反函数的性质，考查了基本知识的掌握情况以及基本运算能力，属于基础题.
11．若sin （25πα-）=α是第三象限角，则sin （15πα-）＝（ ）
A B C D 【答案】C
【分析】由α是第三象限角，且sin （25πα-
）0=>，可得25πα-为第二象限角，
即可得2cos()5πα-
=，然后结合2sin()sin[()]1553πππαα-=-+，利用两角和的正弦公式展开运算即可.
【详解】解：因为α是第三象限角，则23112,2,5510k k k Z πππαππ⎛⎫-
∈++∈ ⎪⎝⎭，
又sin （25πα-）0=>，所以232,2,55k k k Z ππαπππ⎛⎫-
∈++∈ ⎪⎝⎭， 即25
πα-为第二象限角，
则2cos()5πα-==，
则
21221sin()sin[()]sin())(15
532552π
ππππαααα-
=-
+=--=⨯+=， 故选：C.
【点睛】本题考查了角的拼凑，重点考查了两角和的正弦公式，属基础题.
12．已知函数2|log ,0
()21,0x x f x x x ⎧⎪=⎨+-≤⎪⎩
，若函数()y f x m =-有四个零点a b c d ,,,，则abcd
的取值范围是 A ．[0,2) B ．[0,3) C ．[1,2) D ．[2,3)
【答案】B
【详解】不妨设a b c d <<<，()f x 的图像如图所示， 则4a b +=-，22log log c d =， 其中1
10,1,122
b c d -<≤≤<<≤，
故22log log c d -=，也就是1cd =， 则2(4)(2)4abcd ab b b b ==--=-++， 因10b -<≤，故[)0,3abcd ∈. 故选：B.
【点睛】函数()y f x m =-有四个不同零点可以转化为()y f x =的图像与动直线y m =有四个不同的交点，注意函数的图像有局部对称性，而且,c d 还是倒数关系.
二、填空题
13．已知
2sin cos 1
sin 2ααα+=，则tan α=_________． 【答案】2
3
-
【分析】已知等式左边分子分母除以cosα，利用同角三角函数间的基本关系化简，整理即可求出tanα的值． 【详解】
2sin +cos 2tan +11
sin tan 2
ααααα==，解得2tan 3α=-
故答案为2
3
-
14．若3log 21x =，则42x x --=___． 【答案】
263
【分析】结合3log 21x =得到23x =，利用该式子，计算出4,2x x -，即可． 【详解】2log 3x =，23x =，12
3x
-=
，49x =，26423
x x
--=
. 【点睛】本道题考查了指对互化，指数幂的运算，较容易． 15．若扇形AOB 的圆心角为35
π
，周长为10+3π，则该扇形的面积为_____． 【答案】
152
π
【分析】设扇形AOB 的的弧长为l ，半径为r ，由已知可得l ＝3π，r ＝5，再结合扇形的面积公式求解即可.
【详解】解：设扇形AOB 的的弧长为l ，半径为r ，
∴35
l r π=，l +2r ＝10+3π， ∴l ＝3π，r ＝5， ∴该扇形的面积S 11522
lr π==， 故答案为：
152
π
. 【点睛】本题考查了扇形的弧长公式及扇形的面积公式，重点考查了方程的思想，属基础题.
16．已知函数()2cos cos f x x x x =-，若函数()f x ϕ+是偶函数，则
tan 2ϕ=________．
【答案】【分析】先利用二倍角公式和辅助角公式化简函数，计算()f x ϕ+，再根据()f x ϕ+是偶函数解得223
k π
ϕπ=+()k Z ∈，计算tan 2ϕ即可.
【详解】()1cos212sin 2262x f x x x π+⎛⎫=
-=-- ⎪⎝
⎭， 故()1sin 2262f x x πϕϕ⎛
⎫+=+-- ⎪⎝
⎭是偶函数，即262k ππϕπ-=+，
故()223k k Z π
ϕπ=+∈，∴22tan 2tan tan 33k ππϕπ⎛⎫=+== ⎪
⎝
⎭
故答案为：
三、解答题
17．已知函数22
(),(1)1,(2)5ax f x f f bx -===．
（1）求函数()f x 的解析式；
（2）求函数()f x 在11,2⎡
⎤--⎢⎥⎣
⎦上的值域．
【答案】（1）232
()x f x x
-=；（2）51,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．
【分析】(1)根据已知条件，解方程组求出a ，b ，即可得到函数()f x 的解析式； (2) 判断函数()f x 在11,2⎡
⎤--⎢⎥⎣
⎦上的单调性，即可求出值域.
【详解】(1)由(1)1f =，(2)5f = ， 得
2
1a b -=，
4252a b
-=， 所以3a =，1b =，故
232
()x f x x
-=．
(2)因为2322()3x f x x x x -==-在11,2⎡
⎤--⎢⎥⎣
⎦上是增函数，
(1)1f -=-，15
22
f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，
所以()f x 的值域为51,2⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
．
18．对于函数2
()()21
x
f x a a R =-∈+. （1）探索函数()f x 的单调性，
（2）是否存在实数a 使函数()f x 为奇函数？
【答案】（1）()f x 在R 上为增函数；（2）存在实数1a =
【分析】（1）根据题意，分析函数的定义域，由作差法分析可得结论； （2）根据题意，假设存在实数a 使函数()f x 为奇函数，则有()()0f x f x ，即
22
02121
x
x a a --
+-=++，分析可得a 的值． 【详解】（1）函数的定义域为R ，而2x y =为增函数，2
21
x y ∴=+为减函数，故2
()21
x f x a =-
+是增函数. 证明如下：任取12,x x R ∈，且12x x <，则21220x x >>，
()()()()()11211
2122122222220212121212121x x x x x x x x f x f x a a -⎛
⎫⎛⎫-=---=-=> ⎪ ⎪++++++⎝
⎭⎝⎭. ()()21f x f x ∴>.故()f x 在R 上为增函数.
（2）假设存在实数a ，使()f x 为奇函数，则()()f x f x -=-，22
2121
x
x a a -∴-=-+++， 即22
22
222121
2121
x x x x a --=+⋅+=++++， 1a
，故存在实数1a =，使函数()f x 为奇函数.
【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是求出a 的值，属于基础题．
19．已知1tan ,0432ππαα⎛
⎫-=<< ⎪⎝
⎭．
（1）求tan α的值； （2）求sin ,cos αα的值；
（3）求sin 4
πα⎛
⎫+
⎪⎝
⎭的值．
【答案】（1）tan 2α=；（2
）sin cos αα⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；（3
【分析】(1)由已知条件，结合正切的两角差公式即可求解；
(2)根据同角的三角函数关系即可求解； (3)由正弦的两角和公式即可求解.
【详解】(1)由tan 11tan 41tan 3πααα-⎛
⎫-=
= ⎪+⎝
⎭，解得：tan 2α= . (2)由tan 2α=，有22
sin 2cos sin cos 102ααααπ
α⎧
⎪=⎪+=⎨⎪⎪<<⎩
，得sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.
(3)由(2)
知：sin α=
cos α=，
故
)sin sin cos 4πααα⎛
⎫+=+= ⎪⎝⎭⎝⎭
20．某景区提供自行车出租，该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x （元）只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y （元）表示出租自行车的日净收入（即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分）． （1）求函数()y f x =的解析式；
（2）试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？
【答案】（1）()2
50115,36,368115,620,x x x Z f x x x x x Z -≤≤∈⎧=⎨-+-<≤∈⎩
； （2）当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多．
【分析】（1）写出当x 取值范围内，自行车的总收入，并减去管理费可得出()y f x =的解析式，注意实际问题中自变量取值范围；
（2）利用一次函数、二次函数的单调性求出分段函数()y f x =在每段定义域上的最大值，两者进行比较得出函数()y f x =的最大值.
【详解】（1）当6x ≤时，50115y x =-，令501150x ->，解得 2.3x >，
x 是整数，36x ∴≤≤，x ∈Z ；
当6x >时，()2
5036115368115y x x x x =--⋅-=-+-⎡⎤⎣⎦，
令23681150x x -+->，有23681150x x -+<，结合x 为整数得620x <≤，x ∈Z .
()2
50115,36,368115,620,x x x Z
f x x x x x Z -≤≤∈⎧∴=⎨-+-<≤∈⎩
； （2）对于()5011536,y x x x Z =-≤≤∈，显然当6x =时，max 185y =；
对于()2
2
348113681153620,33y x x x x x Z ⎛
⎫=-+-=--+<≤∈ ⎪⎝⎭
，
当11x =时，max 270y =.
270185>，∴当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多．
【方法突破】
（1）实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车票价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解； （2）构造分段函数时，要力求准确、简捷，做到分段合理、不重不漏； （3）分段函数的最值是各段的最大（最小）值的最大（最小）者.
【点睛】本题考查分段函数模型的应用，解题的关键就是建立函数模型，得出函数关系式，并熟悉分段函数求最值的基本步骤，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
21．已知函数()()log 0,1a f x x a a =>≠在区间1,44⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上的最大值为2.
（1）求实数a 的值；
（2）若()()1f f x >，求实数x 的取值范围. 【答案】（1）1
2
a =
或2 （2）见解析 【分析】(1)根据对数函数的单调性以及在区间1,44⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最大值，列出等式，求解即可；
(2)讨论1
2a =或2 ，求解不等式()log log a a f x a >，即可得到实数x 的取值范围.
【详解】解：（1）当01a <<时，()f x 在1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上是减函数，()f x 是最大值124f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭，
1log 24a =，∴12a =，
当1a >时，()f x 在1,44⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上是增函数，()f x 最大值为()42f =，
log 42a =，∴2a =，∴1
2
a =或2
（2）当12a =时，由()()1f f x >得()1122log lo 1g 2f x >，解得：()1
02f x <<
∴1210log 2x <<，
1x <<，∴x
的取值范围是⎫⎪⎪⎝⎭
当2a =时，由()()1f f x >得()222log log f x >，解得：()2f x >，
∴2log 2x >，∴4x >，∴x 的取值范围是()4,+∞.
【点睛】本题主要考查了对数函数的单调性、最值以及对数不等式的解法，属于中档题.
22．已知函数()22sin sin 2()f x x x a a R =-+++∈ .
（1）当()0f x =有是实数解时，求实数a 的取值范围；
（2）若()2528f x -≤≤
，对一切x 恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）17[,1]8
-；（2）[]1,1- 【详解】试题分析：
（1）由题意可知实数a 的取值范围为函数222y sin x sinx =--的值域，结合三角函数的范围和二次函数的性质可知14sinx =时函数取得最小值178
-，当1sinx =-时函数取得最大值1，实数a 的取值范围是17,18⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
. （2）由题意可得14sinx =时函数()f x 取得最大值178
a +，当1sinx =-时函数()f x 取得最小值1a -，原问题等价于12172588a a -≥-⎧⎪⎨+≤⎪⎩
，求解不等式组可得实数a 的取值范围是[]1,1-. 试题解析：
（1）因为()0f x =，可化得222a sin x sinx =--，
若方程()0f x =有解只需实数a 的取值范围为函数222y sin x sinx =--的值域， 而2
211722248y sin x sinx sinx ⎛⎫=--=-- ⎪⎝
⎭，又因为11sinx -≤≤， 当14sinx =时函数222y sin x sinx =--取得最小值178-， 当1sinx =-时函数222y sin x sinx =--取得最大值1，
故实数a 的取值范围是17,18⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
. （2）由()2
211722248f x sin x sinx a sinx a ⎛⎫=-+++=--++ ⎪⎝⎭， 当14sinx =时函数()222f x sin x sinx a =-+++取得最大值178
a +， 当1sinx =-时函数()222f x sin x sinx a =-+++取得最小值1a -，
故()2528f x -≤≤对一切x 恒成立只需12172588a a -≥-⎧⎪⎨+≤⎪⎩
，解得11a -≤≤， 所以实数a 的取值范围是[]1,1-.
点睛：二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．。