分式方程及应用

1
中考复习五
一：分式方程的定义 分式方程的概念：分母．．里含有未知数．．．
的方程叫分式方程。

重点诠释：
1．分式方程的三个重要特征：①是方程；②含有分母；③分母里含有未知量。

2．分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数(不是一般的字母系数)，分母中含有未知数的方程是分式方程，不含有未知数的方程是整式方程，如：关于的方程1
2x x
-=和 37221x x =-+都是分式方程，而关于的方程12x x a -=和1
x d b c +=都是整式方程。

1. 指出下列方程中，分式方程有（ ） ①
21123x x -=5 ②223
x x
-=5
2-5x=0
x +3=0 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
趁热打铁
1. 辨一辨：下列方程中，哪些是关于x 的分式方程，哪些不是？你判断的依据是什么？
（1）6231
=--x x （2）x x 1
+
（3）05=+x m （4）71243=++a x x （5）
042
31=-+x
2. 下列各式中，是分式方程的是（ ）A ． B ． C ．
D ．
3. 下列各式中，是分式方程的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4. 方程中，x 为未知量，a,b 为已知数，且，则这个方程是（ ）
A ．分式方程
B ．一元一次方程
C ．二元一次方程
D ．三元一次方程
二：分式方程的解：能够使分式方程成立的未知数的值叫分式方程的解。

1. 请选择一组的值，写出一个关于的形如的分式方程，使它的解是x ＝0这样的分式方程可以是______________.
趁热打铁
1.在中，哪个是分式方程的解，为什么？
三：解分式方程的一般方法和步骤
1. 解方程
解分式方程的一般方法和步骤
(1)去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程。

(2)解这个整式方程。

(3)验根：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最．
简公分母等于零的
．．．．．．．．根是原方程的增根。

．．．．．．．．．
注：验根是解分式方程中必不可少的步骤，通过验根可以把方程中产生的不适合原方程的根（即增根）去掉.
1. 解方程：
（1）
112
62213
x x
=-
--
；（2）
35
11
x x
=
-+
（3）
1
6
1
7
2
2
2-
=
-
+
+x
x
x
x
x
；
趁热打铁 1. （1） x x x 38741836---=-. （2）23132--=--x x x .（3）()()
3
1112x x x x -=--+ 2.设A=1x x -，2
3
B=11
x +-，当x 为何值时，A 与B 的值相等？ 3. 12
3621212----=-x x x x
四：增根的应用：增根是最简公分母等于0 的解，满足其去分母后的整式方程。

1. .已知关于x 的方程x
m
x x -=+-3533有增根，求m 的值.
趁热打铁 1. 已知分式方程2
21+=+-x m
x x 无解，试确定m 的值.
2. 当m 为何值时，方程会产生增根( )
A. 2
B. －1
C. 3
D.－3
3. 若关于x 的方程
111
m x
x x ----=0有增根，则m 的值是（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．-1
4. 若关于x 的方程1
1
ax x +--1=0无实根，则a 的值为_______． 5. 解关于x 的方程：a
x a a x a 21
21+=+.
6. 已知关于x 的方程3
23-=--x m x x 有一个正数解，求m 的取值范围.
五：分式的化简求值
1．化简：x
x x x x x x x x 416)44122(2222+-÷+----+, 其中22+=x
2．先化简，再求代数式22
21111
x x x x -+---的值，其中x=tan600-tan450
趁热打铁
1．先化简，再求值：13x -·32269122x x x x
x x x
-+--
--，其中x ＝－6．
2．先化简：再求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a －1÷a 2
－4a ＋4a 2－a ，其中a ＝2＋ 2 .
3．先化简，再求值：a －1a ＋2·a 2＋2a a 2－2a ＋1÷1
a 2－1
，其中a 为整数且－3＜a ＜2.
4．先化简，再求值：22221
1y xy x x y x y x ++÷⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛++-，其中1=x ，2-=y ．
5．先化简，再求值：22
22(2)42x x x x x x -÷++-+，其中12
x =.
【周六课后作业】
6、（2010•山东德州）方程21
3x x =-的解为x = ． 7、（2010•山西省）方程
21012
x x -=+-的解为 ． 8、（2009•湖北仙桃等4市）分式方程
2111x x x =-+-的解为 ． 9、（2009•湖南常德）解方程：12
1
x x =-.
10、（2010•贵州遵义）解方程：33
122x x x -+=--.
11、（2010•福建漳州）解方程：21
31
x x =--.
六：分式方程的应用
1：营销问题
1．商品利润＝商品售价一商品成本价；
2．；
3．商品销售额＝商品销售价×商品销售量；
4．商品的销售利润＝(销售价一成本价)×销售量．
1．某学校后勤人员到一家文具店给九年级的同学购买考试用文具包，文具店规定一次购买400个以上，可享受8折优惠．若给九年级学生每人购买一个，不能享受8折优惠，需付款1936元；若多买88个，就可享受8折优惠，同样只需付款1936元．请问该学校九年级学生有多少人？
2．某商店第一次用600元购进2B铅笔若干支，第二次又用600元购进该款铅笔，但这次每
支的进价是第一次进价的5
4
倍，购进数量比第一次少了30支．
（1）求第一次每支铅笔的进价是多少元？
（2）若要求这两次购进的铅笔按同一价格全部销售完毕后获利不低于420元，问每支售价至少是多少元？
趁热打铁
1．冬冬全家周末一起去济南山区参加采摘节，他们采摘了油桃和樱桃两种水果，其中油桃比樱桃多摘了5斤，若采摘油桃和樱桃分别用了80元，且樱桃每斤价格是油桃每斤价格的2倍，问油桃和樱桃每斤各是多少元？
2．某校为了创建书香校园，去年又购进了一批图书．经了解，科普书的单价比文学书的单价多4元，用1200元购进的科普书与用800元购进的文学书本数相等． （1）求去年购进的文学羽和科普书的单价各是多少元？
（2）若今年文学书和科普书的单价和去年相比保持不变，该校打算用1000元再购进一批文学书和科普书，问购进文学书55本后至多还能购进多少本科普书？
2：行程问题
1．路程＝速度×时间，=
=路程路程
速度，时间时间速度
； 2．在航行问题中，其中数量关系是：
顺水速度＝静水速度＋水流速度，逆水速度＝静水速度－水流速度； 3．航空问题类似于航行问题．
1．（2012•通辽）某校学生乘车到距学校60千米的景区游玩，一部分学生乘慢车，另一部分学生乘快车，他们同时出发，结果乘慢车的同学晚到20分钟．已知快车速度是慢车速度的1.5倍，求慢车的速度．
2. 经过建设者三年多艰苦努力地施工，贯通我市的又一条高速公路“遂内高速公路”于2012年5月9日全线通车．已知原来从遂宁到内江公路长150km ，高速公路路程缩短了30km ，如果一辆小车从遂宁到内江走高速公路的平均速度可以提高到原来的 1.5倍，需要的时间可以比原来少用1小时10分钟．求小汽车原来和现在走高速公路的平均速度分别是多少？
趁热打铁
3. 李明到离家2.1千米的学校参加初三联欢会，到学校时发现演出道具还放在家中，此时距联欢会开始还有42分钟，于是他立即匀速步行回家，在家拿道具用了1分钟，然后立即匀速骑自行车返回学校．已知李明骑自行车到学校比他从学校步行到家用时少20分钟，且骑自行车的速度是步行速度的3倍．
（1）李明步行的速度（单位：米/分）是多少？（2）李明能否在联欢会开始前赶到学校？
3：工程问题
1．工作量＝工作效率×工作时间，，；
2．完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝1．
1. 某服装厂设计了一款新式夏装，想尽快制作8800件投入市场，服装厂有AB两个制衣间，A车间每天加工的数量是B车间的1.2倍，A、B两车间共完成一半后，A车间出现故障停产，剩下全部由B车间单独完成，结果前后共用了20天完成，求A、B两车间每天分别能加工多少件．
2. 一项工程，甲，乙两公司合做，12天可以完成，共需付施工费102000元；如果甲，乙两公司单独完成此项工程，乙公司所用时间是甲公司的 1.5倍，乙公司每天的施工费比甲公司每天的施工费少1500元．
（1）甲，乙两公司单独完成此项工程，各需多少天？
（2）若让一个公司单独完成这项工程，哪个公司的施工费较少？
3.某县为了落实中央的“强基惠民工程”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1.5倍．如果由甲、乙队先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需5天．（1）这项工程的规定时间是多少天？
（2）已知甲队每天的施工费用为6500元，乙队每天的施工费用为3500元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合做来完成．则该工程施工费用是多少？
趁热打铁
1．某工厂的甲车间承担了加工2100个机器零件的任务，甲车间单独加工了900个零件后，由于任务紧急，要求乙车间与甲车间同时加工，结果比原计划提前12天完成任务．已知乙车间的工作效率是甲车间的1.5倍，求甲、乙两车间每天加工零件各多少个？
2．甲、乙两人准备整理一批新到的实验器材．若甲单独整理需要40分钟完工：若甲、乙共同整理20分钟后，乙需再单独整理20分钟才能完工．
（1）问乙单独整理多少分钟完工？
（2）若乙因工作需要，他的整理时间不超过30分钟，则甲至少整理多少分钟才能完工？
3. 为了美化都匀市环境，打造中国优秀旅游城市，现欲将剑江河进行清淤疏通改造，现有两家清淤公司可供选择，这两家公司提供信息如表所示：
0.4米，那么请哪个清淤公司进行清淤费用较省，请说明理由（体积可按面积×高进行计算）
（2）若甲公司单独做了2天，乙公司单独做了3天，恰好完成全部清淤任务的一半；若甲公司先做2天，剩下的清淤工作由乙公司单独完成，则乙公司所用时间恰好比甲公司单独完成清淤任务所用时间多1天，则甲、乙两公司单独完成清淤任务各需多少时间？
【周日课后作业】
1．A、B两地相距50千米，甲骑自行车从A地出发到B地，出发1.5小时后，乙骑摩托车也从A地出发到B地，结果比甲先到1小时，已知乙的速度是甲速度的2.5倍，求甲、乙两人的速度。

2．某市为治理污水，需要铺设一段全长3000米的污水输送管道，为了尽量减少施工对城市交通造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加25%，结果提前30天完成了任务，实际每天铺设多长管道？
3．抗洪抢险，需要在一定时间内筑起拦洪大坝。

甲队单独做正好按期完成，乙队单独做则超期3小时才能完成。

现甲、乙合作2小时后，甲队又有新任务，余下的由乙队单独做，刚好按期完成。

求甲、乙单独完成全工程各需要多少小时？
4. 某商场分两批购进同一种电子产品，第二批单价比第一批单价多10元，两批购进的数量和所用资金见下表：
（2）如果这两批电子产品每件售价相同，除产品购买成本外，每天还需其他销售成本60元，第一批产品平均每天销售10件．售完后，因市场变化，第二批电子产品比第一批平均每天少销售2件，商场为了使这两批电子产品全部售完后总利润不低于20%，那么该商场每件电子产品的售价至少应为多少元？。