金融计量中的自回归条件持续时间模型（下）

金融计量中的自回归条件持续时间模型——扩展、估计与检验(（下）鲁万波1 庞皓1 宋颂2(1．西南财经大学统计学院，四川成都610074；2．德国柏林洪堡大学商业与经济学院应用统计与经济研究中心，柏林10099)摘要：近年来，随着高频金融数据的广泛使用，自回归条件持续时间(ACD)模型在金融经济中的作用日益明显，研究成果日益丰富。

本文从ACD模型的理论基础、ACD模型的发展、ACD模型的参数估计和模型检验这几个方面进行了综述，系统的梳理了ACD 模型扩展的路径，应用模拟技术对模型参数的估计方法进行了评价，在总结广泛使用的三大检验基础上给出了一种简单易行的模型检验方法，进而给出了可能的研究方向。

关键词：自回归条件持续时间模型，参数估计，模型检验，模拟 5. 基本ACD模型的扩展自从ACD模型诞生以来，各种各样扩展的ACD模型相继涌现。

本节主要从五个重要方面介绍基本ACD模型的扩展：增广ACD模型(Augmented ACD Models)、长记忆ACD模型(Fractionally Integrated ACD Model)、机制转换ACD 模型(Regime-Switching ACD Models)、潜在变量ACD模型(Latent Factor-based ACD Models)和多元持续时间模型(Multivariate Duration Models)。

5.1. 增广ACD模型(Augmented ACD Models)在本部分，我们从两个方面考察ACD模型的扩展：一方面，作为新息代表的随机扰动项的滞后项以可加或者可乘的形式进入到条件均值函数中；另一方面，条件均值函数可以不是线性形式，信息冲击曲线不仅仅是线性的。

很多实证研究发现线性的信息冲击函数捕捉持续时间条件均值的自回归结构的能力是非常有限的。

5.1.1. 可加ACD模型(AACD Model)如果将新息以加法形式引入到条件均值函数中，我们就可以得到AACD模型，
(19)该模型的设定表明，当时，信息冲击曲线的斜率是。

在基本的ACD模型中，信息冲击曲线的斜率是。

因此，在基本的ACD模型中，滞后新息是以乘法的形式出现在均值函数中；而AACD模型中，滞后新息是以加法的形式出现在均值函数中，与无关。

5.1.2. 可加与可乘ACD模型(AMACD Model)将(7)与(19)综合，把新息以加法和乘法的形式同时引入到条件均值函数中，我们就可以得到AMACD模型，
(20)该模型的设定表明，当时，信息冲击曲线的斜率是，滞后信息是以加法和乘法的形式出现在均值函数中。

事实上，在AMACD模型中，当时，我们得到线性的ACD模型，当时，我们得到AACD模型。

5.1.3. 对数ACD模型(LACD Model)在ACD模型中，模型(7)成立的充分条件是系数均为非负，这样可以保证持续时间的非负特征，这个限制使得模型的应用变得非常有限。

在实际问题中，有可能会在模型(7)中加入其它的市场微观结构特征变量作为解释变量，从而估计的系数为负。

Bauwens和Giot(2000)提出了一种对数形式的ACD模型。

Bauwens，Galli和Giot(2003)进一步的给出了对数ACD模型的矩特征。

与基本的ACD模型相比，LACD模型避免了ACD模型隐含的参数约束，更加方便合理。

在LACD模型中，条件均值函数有两种形式：LACD1和LACD2。

LACD1：
(21)由于对数变换，当时，LACD1模型的信息冲击曲线是拟凹的，较少新息的信息冲击(负冲击，)要大于较多新息的信息冲击(正冲击，)；LACD2：
(22)LACD2模型的信息冲击曲线是拟凸的。

在实际应用中，LACD2模型对数据的拟合要好一些。

5.1.4. Box-Cox ACD模型(BCACD Model)Dufour和Engle (2000)在对过去新息的Box-Cox变换的基础上，给出了一种更可行的ACD模型，
(23)其中，。

该模型反映了信息冲击的非对称响应，对于，当时，持续时间的条件
均值与信息冲击之间是线性函数，斜率为；当时，信息冲击曲线是拟凹(拟凸)的，表明较少新息的信息冲击(负冲击，)要大于较多新息的信息冲击(正冲击，)；当时，该模型与Bauwens和Giot(2000)提出的LACD模型一样。

Hautsch(2002)基于持续时间条件均值的Box-Cox变换，给出了一种嵌套Dufour和Engle的Box-Cox ACD模型、对数ACD模型和基本ACD模型的Box-Cox ACD模型，(24)
当时，Hautsch的Box-Cox ACD模型包含了拟凹、拟凸和线性的信息冲击曲线，当时，Box-Cox ACD模型成为AACD模型；当时，Box-Cox ACD模型成为LACD1模型；当时，Box-Cox ACD模型成为Dufour和Engle的Box-Cox ACD模型。

5.1.5. Exponential ACD模型(EXACD Model)对数ACD模型相对于ACD模型，当实际持续时间较小时，预期持续时间会低估, 当实际的持续时间比较大时会高估预期持续时间，即存在短持续时间和长持续时间对期望持续时间影响的不对称性。

Dufour和Engle (2000)在逐步线性信息冲击函数的基础上提出了EXponetial ACD模型，EXACD模型类似EGARCH模型，反映了交易的长持续时间和短持续时间的不对称冲击效应(杠杆效应) 其形式为：(25)这样长短持续时间对条件持续时间的影响就不同，依赖于持续时间是比条件均值更长还是更短，即对于，线性的信息冲击曲线在处发生拗折(Kinked)，当时，斜率为，而当时，斜率为。

EXACD模型解决了长(短) 持续时间的对持续时间过程的不对称冲击现象。

5.1.6. 扩展的Box-Cox ACD模型(ABACD Model)EXACD模型的线性信息冲击曲线在处发生
拗折，一个有价值的推广是对发生拗折的位置参数化。

在Hentschel(1995)的非对称GARCH模型的启发下，Hautsch(2004)给出了扩展的Box-Cox ACD模型，
(26)在该模型中，参数决定拗折发生的位置，参数决定在拗折位置周围分段函数的形状，当时，信息冲击曲线是拟凸的；当时，信息冲击曲线是拟凹的。

当时，该模型成为BACD模型，由于该模型是构造在相加的随机成分上的，ABACD模型并不包含基本的线性ACD模型。

虽然ABACD模型的设定更加一般，但是该模型存在一个明显的缺陷：为了避免当时出现复数，参数必须满足。

当收敛到边界点，或者当固定到1、收敛到边界点时，我们可以得到具有向上拗折的拟凹信息冲击曲线。

令，当时我们可以得到分段线性的信息冲击曲线，在点发生拗折，该模型为：
(27)其中，。

当时，模型(27)嵌套了EXACD模型；令，模型(26)为其中。

当时，信息冲击曲线为零；当时，信息冲击曲线是拟凸的；当时，信息冲击曲线是拟凹的。

令，模型(26)为后面两个限制性的ABACD模型并不嵌套EXACD模型，但是嵌套了BACD模型。

5.1.7. Hentschel ACD模型(HACD Model)Fernades和Gramming(2006)提出了一种非线性的ACD模型，他们借鉴Hentschel(1995)对于GARCH模型的扩展，将ACD模型称为增广ACD模型，为了与本文其它ACD模型的扩展模型区别，我们把它称为HACD模型，(28)该模型的设定与ABACD模型非常相似。

主要的区别在于，在HACD模型中，与之间是相乘关系，因而是构造在相乘的随机成分上的，而ABACD模型是构造在相加的随机成分上的。

HACD模型对于参数的限制与ABACD模型相同。

由于HACD模型构造在相乘的随机成分基础之上，它不包含AMACD、BACD和ABACD模型，但是包含了如下六种模型：当，时，HACD模型成为基本的线性ACD模型；当时，HACD模型成为ABACD 模型的一种特殊情况；当时，HACD模型成为LACD1模型；当时，HACD模型成为LACD2模型；当时，HACD模型成为Dufour和Engle的Box-Cox ACD模型；当时，
HACD模型成为EXACD模型。

5.1.8. 广义ACD模型(AGACD
Model)Hautsch(2004)给出了一个嵌套上述各个模型的广义ACD模型，
(29)该模型综合了HACD模型和ABACD模型的设定，包含了加法形式和乘法形式的随机系数，体现了新息对条件均值函数的加法与乘法冲击。

该模型包含了HACD 模型所包含的各种模型，比如，当时，AGACD模型成为AMACD模型；当时，AGACD 模型成为BACD模型；当时，AGACD模型成为ABACD模型。

5.1.9. 非参数信息冲击ACD模型(NPACD Model)进一步的扩展就是用非参数的方法对信息响应进行建模。

Hautsch(2004)在Engel和Ng(1993)的思路下给出了建立在非参数信息冲击基础之上的ACD模型，非参数信息冲击曲线可以通过把断点当作节点，然后利用线性样条函数获得。

用表示在范围内区间的个数，表示在范围内区间的个数，为总的区间，断点用表示，则NPACD模型为： (30)其中，和表示与分段线性样条相关的系数。

该模型同样可以对的对数变换进行设定，在这种情况下，模型不需要任何关于参数的非负限制，估计起来就会比较方便。

值得说明的是，区间并不一定是等大小的，在周围并不需要相同的区间。

正如Engel和Ng(1993)指出的，作为样本的函数，当缓慢增加时，可获得信息冲击曲线的渐进一致估计。

NPACD模型的设定能够捕捉极端的非线性信息冲击，但是并不一定嵌套其它的ACD模型。

5.1.10. 增广ACD模型的理论性质正如Fernades和Gramming(2006)指出的，一种有价值的分类是把增广的ACD模型表示成为Carrasco和Chen(2002)给出的广义多项式随机系数自回归模型的形式。

因此，增广的ACD模型可以用如下形式进行概括，
(31)其中，为一连续函数，为i.i.d.的随机变量。

根据(630)，上面讨论的各种ACD 模型可以应用相应、和的参数形式进行分类，分类结果如表6所示。

Fernades和Gramming(2006)给出了这类模型的理论特征，在Carrasco和Chen(2002)、Mokkadem(1990)一般性的结果构造了保证-混合、严平稳以及高阶矩存在的充分条件，并进一步给出了的混合特征。

表6 ACD簇模型的分类()模型
线性ACD和对数ACD模型
ACD ACD LACD1LACD2
非线性ACD模型
BACD EXACD ABACD HACD
广义ACD模型AMACD AGACD
非参数ACD模型 NPACD或定理5 (增广ACD模型的理论性质)假设持续时间满足，其中由表6 中任一过程。

假设为一i.i.d.的随机变量，与独立，且的边际分布是绝对连续在上是勒贝格可测的。

令表示的绝对值中最大的特征值，进一步假定：(1) 和是关于产生的-域可测的多项式函数；
(2) ；(3) 对于某些整数，满足，；则有过程是马尔科夫几何遍历的，并且；如果过程和由它们的遍历分布初始化，则它们是严平稳和-混合的，其衰减规律是指数衰减的。

5.2. 长记忆ACD模型(Fractionally Integrated ACD Model)金融持续时间具有较强的自相关性和持续性，具有缓慢几何衰减的特点。

很多研究发现的，ACD 模型的估计参数之和往往接近于1，意味着金融持续时间序列表现出明显的长记忆模式。

Jasiak(1998)给出了分整积分ACD(FIACD)模型，该模型类似刻画波动率的FIGARCH模型。

一般的FIACD(P, d, Q)模型定义为：(32)其中，，，表示滞后算子的多项式，分整积分算子，是gamma函数，。

当时，模型(32)成为单
整ACD(IACD)模型，类似IGARCH模型。

FIACD模型的严平稳和遍历性可以参见Jasiak(1998)的推导。

5.3. 机制转换ACD模型(Regime-Switching ACD Models)
在本部分，我们主要考虑具有机制转换特性的ACD模型，所有模型的共同特征是条件均值方程存在机制转换和机制相依特性。

机制的转换可以通过观测到的变量决定，如门限ACD模型，也可以通过无法观测到的因素进行转换，如马尔科夫转移ACD模型。

5.3.1. 门限ACD模型(TACD Model)Zhang, Russell和Tsay(2001)在ACD模型的基础上，进一步提出了一种非线性的门限ACD(TACD模型)模型，该模型的期望持续时间非线性的依赖于过去的信息变量。

一个-机制的TACD(P,Q)模型为：(33)其中，，为门限个数，并且门限值满足，，，为机制转换参数。

随机误差项服从依赖于机制转换分布参数的具有、正支撑的分布。

与基本的ACD模型类似，TACD 模型可以改写为：(34)因此，TACD(P,Q)模型与门限ARMA(K;
max(P,Q), Q)过程一致。

TACD模型与NPACD模型很像，主要的差异在于在NPACD 模型中，滞后新息的冲击是机制转换的，而在TACD模型中，所有的自回归参数和分布参数是机制转换的。

另外，在NPACD模型中，断点作为门限是外生的，而在TACD模型中，门限参数是内生的，将与其他参数一起估计。

Zhang, Russell和
Tsay(2001)给出了TACD(1, 1)模型几何遍历性、矩存在的条件，模型参数的估计是利用门限值之间的网格搜索算法和极大似然法获得。

但是，如果较大，参数的估计方法将会非常麻烦。

5.3.2. 平滑转换ACD模型(STACD Model)TACD模型假定在某一特定的时点, 交易持续时间的动态过程从一种机制跳跃到了另一种机制，同时这种转换是离散的。

TACD模型允许机制变化是内生的，其中，机制转换是可观测的，但是引起机制转换的门限却是不可直接观测的，导致门限值也是离散的。

但在实际生活中，有些机制的转换却并不是离散跳跃的，而是一个连续的、逐渐变化的过程。

如股市或汇市的价格反转不是一蹴而就的而是连续变化的，经济形势也不会从萧条期直接变化到经济繁荣期，也要经历经济从萧条复苏不断变化到繁荣期。

针对TACD模型中的不足，Meitz和Tim(2006)提出了平滑转换ACD(STACD)模型。

平滑转换ACD(P, Q)模型为：(35)或(36)其中，或为一个适当选择的有界且非负的转换函数,可以选择logistic函数作为转换函数, 另外转换函数也可以考虑用一个随机变量的累积分布函数，比如，是转换参数，是平滑参数，决定转换函数的大致形状。

对于STACD(1, 1)模型，当，时，该模型成为满足限制条件，时的两体制转换的TACD(1, 1)模型; 当，时，该模型成为满足限制条件EMBED Equation.DSMT4 时的两体制转换的TACD(1, 1)模型。

5.3.3. 马尔科夫转移ACD模型(MSACD Model)Hujer，Vuletic和Kokot(2002)给出了马尔科夫转移ACD(MSACD)模型，条件均值函数依赖于一个无法观测的马尔科夫过程。

用表示离散值的随机过程，取值为，分?鸨硎疚薹ü鄄獾降穆矶 品蛄吹母鞲鲎刺 蚵矶 品蜃 艫CD模型可以表示成为：(37)其中为机制转换的条件均值函数，(38)为的与机制有关的条件密度函数。

马尔科夫链可以通过转移矩阵来刻画，其元素为，则的边际密度函数为
(39)Hujer，Vuletic和Kokot(2002)应用EM算法估计MSACD模型，发现MSACD模型好于基本的ACD模型，对于持续时间过程的描述更加合理，无法直接观测的机制转换变量可以用相应的市场微观结构理论去解释。

5.4. 潜在变量ACD模型(Latent Factor-based ACD Models)近年来，很多学者热衷于运用随机波
动模型研究资产收益率的波动特征，将波动率作为一个无法观测到的潜在变量进行研究，能够捕捉金融资产收益率序列波动性的动态特征，其结果要好于GARCH模型。

类似的，在ACD模型的研究中，潜在变量的思路也被引入，在经济学意义上，潜在的变量被认为是用来捕捉市场中的不可观测但却驱动着持续时间过程的信息流。

5.4.1. 随机条件持续时间模型(SCD Model)在MSACD模型中，无法观测的潜在变量服从马尔科夫过程，也就是说，持续时间过程的状态仅仅依赖于以前观测的状态。

Bauwens和Veredas(2004)给出了随机条件持续时间(SCD)模型，他们假定持续时间的条件均值为一潜在变量，其对数服从一个平稳的AR(1)过程。

SCD模型为，
(40)其中，与独立，为某一具有正支撑的密度。

因此，该模型有两个不确定性的来源，一个是与观测持续时间有关的，一个是与条件持续时间有关的。

Bauwens和Veredas(2004)分析了SCD模型的理论特征，并给出了基于准极大似然估计和卡尔曼滤波的估计方法，获得了一致渐进正态的估计。

与ACD模型相比，SCD模型是一种混合模型，能够产生多种形状的风险函数。

5.4.2. 随机波动持续时间模型(SVD Model)ACD模型并没有考虑到条件均值和条件方差的独立
变化，Ghysels, Gourieroux和Jasiak(2004)认为这是一个很大的限制，特别是如果要分析市场流动性。

由于日间持续时间测量了市场流动的速度，持续时间的方差描述了与流动性风险密切相关的时间风险，日间持续时间可以当作一个市场流动性指标。

Ghysels, Gourieroux和Jasiak(2004)提出了随机波动持续时间(SVD)模型，该模型是一个两因子模型，条件均值和条件方差可以分别动态估计。

假定持续时间遵循一具有Gamma异质性的模型，，为一标准指数分布的变量，风险率假定依赖于某些异质成分。

因此，其中，与独立。

Ghysels, Gourieroux和Jasiak(2004)将方程作为两因子的公式重新改写为正态因子形式，其中，和为i.i.d.的标准正态随机变量，为标准正态的分布函数，为分布的分位数函数。

Ghysels, Gourieroux和Jasiak(2004)将过程表示成为VAR的形式，的边际分布为，为单位矩阵，这样保证了持续时间的边际分布属于指数分布族，且具有Gamma异质性。

SVD模型为：
(41)其中，为自回归VAR参数矩阵，为高斯白噪声，其方差—协方差矩阵为满足。

SVD模型属于非线性动态因子模型，是很难用似然方法去估计的，Ghysels, Gourieroux和Jasiak(2004)给出了一个两步估计的过程，首先基于持续时间的边际分布服从Pareto分布的事实，运用拟极大似然(QML)法估计估计参数和；然后运用模拟矩的方法估计自回归VAR参数矩阵。

值得指出的是，对于Pareto分布的假设对于某些持续时间过程是不合适的，SVD模型相对于ACD模型、对数ACD模型，预测能力较差。

5.5. 多元持续时间模型(Multivariate Duration Models)以上讨论的各种ACD模型只限于研究交易持续时间的自身单一动态变化规律或者应用ACD模型解
释交易量、流动性和市场信息对交易者交易行为的影响，而没有考虑到不同市场之间交易者行为的协同变化，交易持续时间与交易量、波动性、买卖价差之间的协同变化。

在金融市场中，不同的市场、资产之间，往往存在着相互影响和波动的相关关系。

人们为了分散、化解金融风险，也常常要对多个资产进行组合，以实现风险的对冲和规避，这些都是建立在对多个变量的波动与风险特性研究的基础上的。

这样，人们自然的就把单变量模型扩展到多变量情况。

我们看到，无论是GARCH模型，还是SV模型，多元模型的设定及其应用已经获得了丰硕的成果，但是有关多元ACD 模型的研究，还是寥寥无几。

最主要的困难在于多变量向量过程并不是在相等时间
间隔上发生，具有不等间隔性，而传统的多元时间序列分析是建立在等间隔的时间序列数据的基础上的。

基于这种考虑，有学者开始向研究多元随机标值点过程刻画的方向努力，探索建立多元的ACD模型。

Heinen和Rengifo(2003)给出了一种基于Possion过程的多元计数(Count Data)时间序列模型，讨论离散性(Discreteness)，过度分散性(Overdispersion)，自相关与截面相关性(Auto- and Cross-correlation)，该模型称为多元自回归条件泊松(MACP)模型。

Mosconi和Olivetti (2005)，Patton (2006）从不同的方面考虑了多元随机标值点过程模型的参数估计问题。

Ingmar(2008)研究了交易过程的联合动态性，通过价格变化，交易量，买卖价差和日内持续时间四个方面研究了市场的微观结构特征。

这些尝试是非常令人欣喜的，但是与多元GARCH 模型不同，多元ACD模型的研究目前还处于初级阶段，面临参数很难估计的问题，同时多元ACD模型也面临多个变量之间持续时间不一致性的难题。

6. ACD模型的检验当运用ACD模型时，怎样评价估计模型的充分性和合理性，这是一个非常重要的问题。

正如第3、5部分所讨论的，有关各种形式的ACD模型以及ACD 模型的各种扩展已经受到广泛关注，但是对于ACD模型及其扩展模型的评价和检验关注相对较少，大部分的研究仅仅限于简单的标准化残差检验。

最近，已有学者开始讨论有关模型的均值函数(5)和标准化持续时间(6)的分布的模型设定检验。

在本节，我们将分别总结介绍三种检验的思路和基本条件，最后给出一个可行且全面的基本检验思路。

6.1．残差的检验最常用的评价ACD模型的工具是残差检验。

该检验的基本思想是检验ACD模型中标准化残差的估计的动态性和分布特征，如果持续时间序列模型的估计是充分的，那么应该满足i.i.d.的性质，且估计残差的均值应该为1。

因此，基于残差的检验实际上是一种全局性、比较粗略的检验方法，而没有具体的考虑模型的均值函数和标准化持续时间的分布问题。

Engle和
Russell(1998)最早使用Ljung-Box的Q统计量检验估计标准化残差和估计标准化残差平方的序列相关性，很多实证论文都应用该方法。

但是，必须指出的是，该方法存在一定的问题。

如果在模型设定正确的原假设下，Ljung-Box假设渐进服从分布，对于ACD模型，还没有学者给出正式严格的推导。

Li和Mark(1994)证实对于GARCH模型的标准化残差，在原假设下，Ljung-Box检验并不是服从分布。

Li和Yu(2003)给出了一个修正的Q统计量拟合优度检验，考虑了服从指数分布的情况。

与时间序列的分析思路一样，对于残差的检验可以通过残差的自相关函数图形做可视化的检验(Jasiak，1998；Bauwens and Giot，2000；Ghysels，Gouriéroux，and Veredas，2004)。

进一步的，残差序列的均值应该为1，且分布应该和误差项的分布一致。

Engle
和Russell(1998)在指数分布的情况下，考虑了残差序列的过度分散性检验，统计量为，其中为的样本方差，为的标准差。

在指数分布的原假设下，的值为1，的值为，检验统计量服从标准正态分布。

6.2．条件均值函数的检验正如我们前面提到的，条件均值函数的正确设定是获得ACD模型的正确拟极大似然(QML)估计的前提条件。

近来几个学者在寻找检验ACD效应统计量的渐进分布方面做了一些工作，包括Hong和Li(2003)的广义谱密度检验、Duchesne和Pacurar(2008)的基于核估计的谱密度检验、Meitz和Terasvirta(2006)的拉格朗日乘数(LM)检验。

在计量中，LM检验是一种检验模型是否正确设定的有用工具。

由于LM检验的思想直接、适用范围广泛，能够检验关于多种形式的ACD模型、高阶ACD模型、模型的线性形式以及估计参数的稳定性且不必知道均值函数错误设定的具体形式，因而我们介绍LM检验的基本思
想。

ACD模型的条件均值函数设定是否正确的原假设可以用ACD模型的标准化残差序列来构建，或者可以用秧差项来构建，对应的备则假设分别为和为了使用LM检验，下面我们仅仅考虑ACD模型的QML估计时的情况，，则LM检验统计量为
(42)其中，，均在原假设成立的条件下获得，在统计量的构造上其作用类似于前面(11)和(12)中的得分与海赛矩阵的元素。

如果用表示在原假设下参数的QML估计，则LM检验统计量也可写为EMBED
Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 (43)
为元素均为1的向量，为在估计的信息矩阵。

可以看到，统计量(42)与对回归的非中心有关，可以通过做对得分的回归，得到，然后计算得到。

假设在原假设下，ACD模型的条件均值函数是一般可加模型的特殊情况，其中，为原假设下依赖于参数的条件均值函数，和分别表示多余的参数和变量。

因此我们可以通过检验参数限制来完成关于条件均值函数的检验。

则LM检验统计量可以通过如下的辅助回归获得，(44)
其中，为零均值i.i.d.的误差项，和为回归系数，和。

LM检验统计量为，来自于(42)式的回归，并且渐进服从分布，为约束条件的个数。

Meitz和Terasvirta(2006)指出，如果ACD模型的误差项不服从指数分布，该检验并不稳健，他们给出了一个一致性的检验方法，该检验过程可获得一致性的LM检验统计量，并不会受到误差项分布错误设定的影响。

该过程如下：(1) 做关于的回归，获得残差；(2) 做关于的回归，获得残差平方和SSR；(3) 计算渐进服从分布的统计量n×SSR。

6.3．标准化持续时间分布的检验另外一个导致模型错误设定的原因有可能出现在标准化持续时间的分布上面。

我们已经知道，当标准化持续时间的分布是指数分布或者其它标准gamma分布族的分布时，我们可以获得一致性的拟极大似然估计(QML)，但是该估计在有限样本下并不是特别令人满意。

到目前为止，有两个重要的工作讨论了有关标准化持续时间分布错误设定检验问题，一个是Diebold，Gunther和
Tay(1998)提出的密度预测评价方法，一个是Fernandes和Grammig (2005)提出的非参数设定检验方法。

两种方法使用的前提是条件均值函数的正确设定，否则，标准化持续时间的设定分布的拒绝有可能是由于分布的错误假定或者条件均值的错误假定所导致，换句话说，如果条件均值函数设定错误，我们应用如下两种方法将无法准确的判断标准化持续时间的分布是否正确设定。

密度预测评价方法的基本思想是：在标准化持续时间分布正确设定的原假设下，由于持续时间条件密度的一步预测是持续时间数据生成过程的正确预测，因此持续时间序列一步预测的概率积分变换服从均匀分布。

该概率积分变换为在原假设下，序列为i.i.d.且服从均匀分布。

因此检验序列是否服从均匀分布可以评价密度预测的能力，我们可以应用拟合优度检验其中，表示分类的数目，表示第类中的样本观测值个数，表示在第类中观测到的估计概率。

Fernandes和Grammig (2005)给出了一种更为精细的非参数设定检验方法，该方法依赖于标准化持续时间密度函数(D检验)或者风险率函数(H检验)的参数、非参数估计之间的距离构造检验，因此可以检验密度函数是否正确，但是无法检验ACD模型的条件均值设定是否正确。

Fernandes和Grammig (2005)的非参数检验方法设计了一种检验策略，通过匹配标准化持续时间的密度函数来检验分布的参数设定是否正确。

更确切地说，在假设条件均值过程正确设定的情况下，检。