2020届高考数学理一轮温习课时训练第12章概率随机变量及其散布60

【课时训练】第60节 几何概型
一、选择题
1．(2018佛山模拟)如图，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96，以此实验数据为依据能够估量出椭圆的面积约为( )
A ．16.32
B ．15.32
C ．8.68
D ．7.68
【答案】A
【解析】设椭圆的面积为S ，则S
4×6
＝300－96300，故S ＝16.32.
2．(2018辽宁五校联考)假设实数k ∈[－3,3]，则k 的值使得过点A (1,1)能够作两条直线与圆x 2＋y 2＋kx －2y －5
4
k ＝0相切的概率等于( )
A.12 B ．13
C ．14
D ．16
【答案】D
【解析】由点A 在圆外可得k ＜0，由题中方程表示圆可得k ＞－1或k ＜－4，因此－1＜k ＜0，故所求概率为1
6
.应选D.
3．(2018宁夏银川模拟)在正三棱锥S －ABC 内任取一点P ，使得V P －ABC ＜1
2
V S －
ABC 的概率是(
)
A.78
B ．
34
C
．1
2D．
1
4
【答案】A
【解析】如图，别离取D，E，F为SA，SB，SC的中点，那么知足条件的点P 应在棱台DEF－ABC内，而S△DEF＝
1
4S△ABC，∴V S－DEF＝
1
8V S－ABC.
∴P＝
V DEF－ABC
V S－ABC
＝
7
8.应选A.
4．(2018石家庄一模)在区间[0,1]上随意选择两个实数x，y，那么使x2＋y2≤1成立的概率为()
A.
π
2B．
π
4
C．
π
3D．
π
5
【答案】B
【解析】如下图，实验的全数结果组成正方形区域，使得x2＋y2≤1成立的平面区域为以坐标原点O为圆心，1为半径的圆的
1
4与x轴正半轴，y轴正半轴围成的区域，由几何概型的概率计算公式得，所求概率P＝
π
4
1＝
π
4.应选B.
5．(2018湖南十校联考)如下图，正方形的四个极点别离为O (0,0)，A (1，0)，B (1,1)，C (0,1)，曲线y ＝x 2通过点B ，现将一个质点随机投入正方形中，那么质点落在图中阴影区域的概率是(
)
A.12 B ．14
C ．13
D ．25
【答案】C
【解析】由题意可知，阴影部份的面积S 阴影＝⎠⎛10x 2
dx ＝13
x
3
1
＝1
3
，又正方形的面积S ＝1，故质点落在图中阴影区域的概率P ＝131＝1
3
.应选C.
6.(2018武汉武昌区调研)在区间[0,1]上随机取一个数x ，那么事件“log 0.5(4x －3)≥0”发生的概率为( ),
A.34 B ．23
C ．13
D ．14
,
【答案】D ,【解析】因为log 0.5(4x －3)≥0，因此0＜4x －3≤1，即3
4＜x ≤1，因
此所求概率P ＝1－
341－0＝1
4
.应选D.,
7．(2018济南模拟)如下图，在边长为1的正方形OABC 内任取一点P (x ，y )，
那么以x ，y,1为边长能组成锐角三角形的概率为( )
,
A.1－π4
B ．1－
π
6
C.1－π3
D ．π12
【答案】A ,【解析】连接AC ，第一由x ＋y ＞1得组成三角形的点P 在△ABC 内，假设组成锐角三角形，那么最大边1所对的角α必是锐角，cos α＝x 2＋y 2－12
2xy ＞
0，x 2＋y 2＞1，即点P 在以原点为圆心，1为半径的圆外．∴点P 在边AB ，BC 及圆弧AC 围成的区域内．∴所求概率为12－π4×12
12＝1－π
4
.应选A.
二、填空题
8.(2018重庆检测)在不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ＋1≥0，x ＋y －2≤0，
y ≥0，所表示的平面区域内随机地取一
点P ，那么点P 恰好落在第二象限的概率为________．
【答案】2
9
【解析】画出不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ＋1≥0，x ＋y －2≤0，
y ≥0，
表示的平面区域(如图中阴影部份所
示)，因为S △ABC ＝12×3×32＝94，S △AOD ＝12×1×1＝1
2
，因此点P 恰好落在第二象限的
概率为S△AOD
S△ABC
＝
1
2
9
4
＝
2
9.
9．(2018邢台摸底考试)有一个底面半径为1，高为3的圆柱，点O 1，O 2别离为那个圆柱上底面和下底面的圆心，在那个圆柱内随机取一点P ，那么点P 到点O 1，O 2的距离都大于1的概率为________．
【答案】5
9
【解析】由题意知，所求的概率为1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫4π3×13
÷(π×12×3)＝59.
10．(2018沈阳模拟)某人家门前挂了两盏灯笼，这两盏灯笼发光的时刻彼此独立，且都在通电后的5秒内任意时刻等可能发生，那么它们通电后发光的时刻相差不超过3秒的概率是________．
【答案】
21
25
【解析】设两盏灯笼通电后发光的时刻别离为x ，y ，那么由题意可知0≤x ≤5,0≤y ≤5，它们通电后发光的时刻相差不超过3秒，即|x －y |≤3，做出图形如下图，依照几何概型的概率计算公式可知，它们通电后发光的时刻相差不超过3秒的概率P ＝1－2×1
2×2×2
5×5
＝21
25.
11．(2018河南检测)假设m ∈(0,3)，那么直线(m ＋2)x ＋(3－m )y －3＝0与x 轴，y 轴围成的三角形的面积小于9
8
的概率为________．
【答案】2
3
【解析】关于直线方程(m ＋2)x ＋(3－m )y －3＝0，令x ＝0，得y ＝
3
3－m
；令y ＝0，得x ＝3m ＋2.由题意可得12·
⎪⎪⎪⎪⎪⎪3m ＋2·⎪⎪⎪⎪⎪⎪33－m ＜9
8，因为m ∈(0,3)，因此解得0＜m ＜2，
由几何概型的概率计算公式可得，所求事件的概率是
2
3.
12．(2018云南昆明统测)在底和高等长度的锐角三角形中有一个内接矩形ABCD，矩形的一边BC在三角形的底边上，如图，在三角形内任取一点，那么该点取自矩形内的最可能率为________．
【答案】
1
2
【解析】设AD＝x，AB＝y，那么由三角形相似可得
x
a＝
a－y
a，解得y＝a－x，
因此矩形的面积S＝xy＝x(a－x)≤
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
x＋a－x
2
2＝
a2
4，当且仅当x＝a－x，即x＝
a
2时，S 取得最大值
a2
4，因此该点取自矩形内的最可能率为
a2
4
1
2×a×a
＝
1
2.
三、解答题
13．(2018山东德州一模)设关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.假设a是从区间[0,3]任取的一个数，b是从区间[0,2]任取的一个数，求方程有实根的概率．【解】设事件A为“方程x2＋2ax＋b2＝0有实根”．当a≥0，b≥0时，方程x2＋2ax＋b2＝0有实根的充要条件为a≥b.实验的全数结果所组成的区域为{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2}，组成事件A的区域为{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2，a≥b}，依照条
件画出组成的区域(略)，可得所求的概率为P(A)＝
3×2－
1
2×2
2
3×2
＝
2
3.。