极坐标误差分析

关于2秒级全站仪极坐标法用于变形观测的精度分析
一、极坐标法测量原理
如图所示，A 、B 为已知点，A 点坐标为（x A ，y A ）、B 点坐标为(x B ，y B )，p 为待定
极坐标测量法示意图
点。

通过测定AB 边与Ap 边的夹角β，Ap 边垂直角ν以及Ap 边的斜距S ，可通过计算出AB 边坐标方位角α
AB 和
Ap 边平距D ，求得p 点的坐标y x 、。

计算式如下：
A
B A
B x x y y arctg
--=AB α………………………………………………①
βαα+=AB …………………………………….…….…………. ②
νcon S D ⋅= ………………………….………………….……… ③
α
αsin D D Ap A Ap A y y con x x +=+=}………………………………………………...④
二、极坐标法测量精度分析
由于S 、、νβ是独立观测值，D 、α也是相互独立的。

对以上②、③微分得
βαd =d ……………………………………………………………⑤
ρ
ν
ννd S dS con dD ⋅
⋅-⋅=sin ……………………………………...⑥
再对④微分得
ρ
α
ααρ
α
ααd o d dy d d con dx ⋅
⋅+⋅=⋅
⋅-⋅=n c D D sin sin D D }……………………………………⑦ 上式可写为
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣
⎡
-
=⎥⎦⎤⎢⎣⎡ααρα
αρ
α
d dD con D
D
con dy dx sin sin ………………………………….⑧
因此，p 点的协方差阵为
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡-⋅⎥⎦⎤⎢
⎣⎡⋅⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
-
=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡αραρ
αασσσσαρααρ
α
σσσσ
αααcon D D con
con D
D
con D
D D y yx
xy x
sin sin sin sin 22
22
其显式形式为
2
2
2
2
2
22
22
2
22
2
2
22
2
22
2sin )s co (sin sin 2s sin sin 2co α
αα
αα
ασααρσααρ
σαασσαρ
σααρ
σασσαρσααρ
σασ⋅⋅⋅-
⋅-+
⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅+
⋅=⋅⋅+
⋅⋅-⋅=con D in n D
con con D con D
in D con D
n D D
xy D D
y
D D
x
由以上显式，可推出P 点的方差
22
2
2222α
σρσσσσ⋅+
=+=D D
y x p 写成中误差形式即为
2
2
2
2αρ
m D m m D
p ⋅+
±=……………………………………………………..⑨
三、极坐标法测量误差估算
按照仪器的标称精度，测角精度为±2″、测距精度为2+2ppm ，当已知点至待定点之间间距为100m 时，取
510222⨯≈±=''±==ρφα，，mm m m m S 将⑥式按照误差传播定律写成
2
2
2
222
2
sin ρ
νννm S m con m S
D
⋅
⋅+⋅=
取
2100m S 3''±==︒=ννm ，，
估算Ap 边平距测量误差：
mm con m D 00.22052.02)
102(23sin 10
232222
52
2
2
522±=±≈+±≈⨯⨯︒⨯+⨯︒±=⨯ 当点间高差较小时，垂直角测量误差对平距的影响可忽略不计；取ν为15°时，平距
测量误差为±2.06mm 。

可见垂直角大小对平距测量精度影响不大，只取决于测距本身精度，距离越长，精度越低。

由⑨式计算p 点坐标中误差为
)(24.2544
1
42)21(2222mm m p =±=⨯+±=⨯+±≈
四、提高极坐标法测量精度的方法与途径
从以上误差估算可以看出，在测站与待定点间距较小的情况下，提高测角精度对于提高待定点精度的意义不大，而距离测量精度直接制约着待定点的测量精度。

要提高近距离极坐标法的测量精度，除视线（测距光路）离开周边物体距离应大于0.3m 以上（降低大气旁折光影响）不穿越水沟、河面（防止水面对测距电磁波的影响）以外，重点应在以下两个方面：
1、增加距离测量测回数，提高测距精度。

如测4各测回，可使mm p 5.1m ≤。

2、在仪站和镜站同时使用强制对中装置，将对中误差控制在总误差的30%以内，即点位（含仪站、镜站）对中误差应小于±0.5mm 。

当测段视线较长时，测角误差对点位精度的影响增大，需要增加角度测回数，以提高极坐标法的测量精度。

总之，可根据上述中误差计算公式⑨和应满足的测量精度，可反过来设计测量时距离和角度
测回数。