2019金版新学案-高三一轮：选修4-5第2课时几个重要不等式的证明及

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选修4-5 不等式选讲
【变式训练】 2.设x是正实数，
求证：(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)≥8x3.
证明： x 是正实数，由基本不等式知， x＋1≥2 x，1＋x2≥2x，x3＋1≥2 x3， 故(x＋1)(x2＋1)(x3＋1) ≥2 x·2x·2 x3 ＝8x3(当且仅当 x＝1 时等号成立)．
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利用柯西不等式求最值，实质上就是利用柯西不等式进行放缩，放 缩不当则等号可能不成立，因此，要切记检验等号成立的条件．
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若3x＋4y＝2，试求x2＋y2的最小值．
解析： 由柯西不等式(32＋42)(x2＋y2)≥(3x＋4y)2，
2．综合法证明不等式是“由因导果”、分析法证明不等式是“执 果索因”．它们是两种思路截然相反的证明方法．分析法便于寻找解题 思路，而综合法便于叙述，因此要注意两种方法在解题中的综合运用．
3．放缩法证明不等式是利用不等式的传递性，所以在放缩的过程 中，一定要保持不等号的方向一致，符合不等式的传递性．
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(2)二维形式的柯西不等式及推论： 如果a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2 当且仅当ad＝bc时，等号成立；
a2＋b2· c2＋d2≥|ac＋bd| 当且仅当 ad＝bc 时，等号成立；
a2＋b2· c2＋d2≥|ac|＋|bd| 当且仅当 ad＝bc且abcd≥0 时，等号成立．
x12＋y12＋ x22＋y22≥ x1－x22＋y1－y22.
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【思考探究】 二维形式的柯西不等式还有哪些等价变式？
提示： (1) a2＋b2· c2＋d2 ≥|ac＋bd|； (2) a2＋b2· c2＋d2≥|ac|＋|bd|.
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3．一般形式的柯西不等式
得 25(x2＋y2)≥4，所以 x2＋y2≥245.①
不等式①中当且仅当3x＝4y时等号成立，x2＋y2 取得最小值，
解方程组33x＝x＋4y4，y＝2，
得yx＝＝226855， .
因此当 x＝265，y＝285时，x2＋y2 取得最小值，最小值为245.
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若 a，b，c 均为正数，求证：b＋a c＋a＋b c＋a＋c b≥32. 证明： 要证b＋a c＋a＋b c＋a＋c b≥32， 只需证b＋a c＋1＋a＋b c＋1＋a＋c b＋1≥92， 只需证a＋b＋b＋c c＋a＋a＋b＋c c＋a＋a＋b＋b c≥92， 只需证(a＋b＋c)b＋1 c＋a＋1 c＋a＋1 b ≥92.
【变式训练】 1.若x＋2y＋4z＝1，则x2＋y2＋z2的最小值是 ________．
解析： ∵1＝x＋2y＋4z≤ x2＋y2＋z2· 1＋4＋16， ∴x2＋y2＋z2≥211， 即 x2＋y2＋z2 的最小值为211. 答案： 21
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1．分析法要注意叙述的形式：“要证A，只要证B”，这里B应是A 成立的充分条件．
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3．若x∈R，不等式(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)≥8x3是否仍然成立？如果成 立，请给出证明，如果不成立，请举出一个使它不成立的x的值．
解析： 若 x∈R，不等式(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)≥8x3 仍然成立． 由(1)知，当 x>0 时，不等式成立；当 x≤0 时，8x3≤0. 而(x＋1)(x2＋1)(x3＋1) ＝(x＋1)2(x2＋1)(x2－x＋1) ＝(x＋1)2(x2＋1)x－122＋34≥0. 此时不等式仍然成立．
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第2课时 几个重要不等式的证明及其应用
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1．均值不等式(基本不等式的推广)：对于 n 个正数 a1，a2，…，an， 它们的算术平均不小于它们的几何平均，即
a1＋a2＋n …＋an≥n a1·a2·…·an， 当且仅当 a1＝a2＝…an 时等号成立． 2．二维形式的三角不等式：设 x1，x2，x3，x4∈R，那么
(1)如果a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn都是实数，则 (a12＋a22＋a32＋…＋an2)(b12＋b22＋b32＋…＋bn2)≥(a1b1＋a2b2＋a3b3 ＋…＋anbn)2 当且仅当bi＝0(i＝1,2,3，…，n)，或存在实数k， 使ai＝kbi(i＝1,2,3，…，n)时，等号成立 ．
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∵a，b，c 均为正数，
∴(a＋b＋c)b＋1 c＋a＋1 c＋a＋1 b ＝12[(b＋c)＋(a＋c)＋(a＋b)]·b＋1 c＋a＋1 c＋a＋1 b
≥12·33 b＋ca＋ca＋b·3 3
1 b＋ca＋ca＋b
＝92， 故原不等式成立．