湖南省张家界市2019-2020学年高考第四次大联考数学试卷含解析

湖南省张家界市2019-2020学年高考第四次大联考数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．某学校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30]，样本数据分组为17.5，20），20，22.5），22.5,25），25，27.5），27.5，30）.根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（ ）
A ．56
B ．60
C ．140
D ．120
【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：由题意得，自习时间不少于22.5小时的频率为(0.160.080.04) 2.50.7++⨯=，故自习时间不少于22.5小时的频率为0.7200140⨯=，故选C. 考点：频率分布直方图及其应用．
2．如图所示的程序框图，若输入4a =，3b =，则输出的结果是（ ）
A ．6
B ．7
C ．5
D ．8
【答案】B 【解析】 【分析】
列举出循环的每一步，可得出输出结果.
【详解】
4i =，3S =，22S a b >不成立，239S ==，415i =+=；
22S a b >不成立，2981S ==，516i =+=； 22S a b >不成立，2816561S ==，617i =+=； 22S a b >成立，输出i 的值为7.
故选：B. 【点睛】
本题考查利用程序框图计算输出结果，一般要将算法的每一步列举出来，考查计算能力，属于基础题. 3．已知平面α，β，直线l 满足l α⊂，则“l β⊥”是“αβ⊥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．即不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】 【分析】
α，β是相交平面，直线l ⊂平面α，则“l β⊥” ⇒ “αβ⊥”，反之αβ⊥，直线l 满足l α⊂，则l β
⊥或l //β或l ⊂平面β，即可判断出结论． 【详解】
解：已知直线l ⊂平面α，则“l β⊥” ⇒ “αβ⊥”，
反之αβ⊥，直线l 满足l α⊂，则l β⊥或l //β或l ⊂平面β，
∴ “l β⊥”是“αβ⊥”的充分不必要条件．
故选：A. 【点睛】
本题考查了线面和面面垂直的判定与性质定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力． 4．已知复数z 满足(3)1i z i +=+，则z 的虚部为（ ） A ．i - B ．i
C ．–1
D ．1
【答案】C 【解析】 【分析】
利用复数的四则运算可得2z i =--，即可得答案. 【详解】
∵(3)1i z i +=+，∴131i
z i i
++=
=-， ∴2z i =--，∴复数z 的虚部为1-. 故选：C. 【点睛】
本题考查复数的四则运算、虚部概念，考查运算求解能力，属于基础题. 5．设P ＝{y |y ＝－x 2＋1，x ∈R}，Q ＝{y |y ＝2x ，x ∈R}，则 A ．P ⊆Q B ．Q ⊆P C ．R C P ⊆Q D ．Q ⊆R C P
【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】
解：因为P ={y|y=-x 2+1，x ∈R}={y|y ≤1}，Q ={y| y=2x ，x ∈R }={y|y>0},因此选C 6．已知无穷等比数列{}n a 的公比为2，且13211112lim()3
n n a a a →∞-++⋅⋅⋅+=，则242111
lim()n n a a a →∞++⋅⋅⋅+=（ ） A ．
1
3
B ．
23 C ．1
D ．
43
【答案】A 【解析】 【分析】
依据无穷等比数列求和公式，先求出首项1a ，再求出2a ，利用无穷等比数列求和公式即可求出结果。

【详解】
因为无穷等比数列{}n a 的公比为2，则无穷等比数列1
{
}n a 的公比为12。

由13211112
lim(
)3
n n a a a →∞
-++⋅⋅⋅+=有，11
2
13
14
a =
-，解得12a =，所以24a =， 2421
11114lim()1314
n n a a a →∞++⋅⋅⋅+==-
，故选A 。

【点睛】
本题主要考查无穷等比数列求和公式的应用。

7．在5678(1)(1)(1)(1)x x x x -+-+-+-的展开式中，含3x 的项的系数是（ ） A ．74 B ．121 C ．74- D ．121-
【答案】D 【解析】 【分析】
根据5
6
7
8
(1)(1)(1)(1)x x x x -+-+-+-，利用通项公式得到含3x 的项为：
()+++-3
33335678()C C C C x ，进而得到其系数，
【详解】
因为在5678
(1)(1)(1)(1)x x x x -+-+-+-，
所以含3x 的项为：()+
++-3
33335678()C C C C x ，
所以含3x 的项的系数是的系数是33335678()C C C C -+++，
()10203556121=-+++=-，
故选：D 【点睛】
本题主要考查二项展开式及通项公式和项的系数，还考查了运算求解的能力，属于基础题，
8．设x ，y 满足约束条件21210
x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩
，若32z x y =-+的最大值为n ，
则2n
x ⎛ ⎝的展开式中2
x 项
的系数为( ) A ．60 B ．80
C ．90
D ．120
【答案】B 【解析】 【分析】
画出可行域和目标函数，根据平移得到5n =，再利用二项式定理计算得到答案. 【详解】
如图所示：画出可行域和目标函数，
32z x y =-+，即322
z
y x =
+，故z 表示直线与y 截距的2倍， 根据图像知：当1,1x y =-=时，32z x y =-+的最大值为5，故5n =
.
5
2x ⎛ ⎝展开式的通项为：(
)()3
5552
155221r
r r r r r r r T C x C x
---+⎛=⋅=⋅⋅-⋅ ⎝
，
取2r =得到2x 项的系数为：()2
2
5252180C -⋅⋅-=.
故选：B .
【点睛】
本题考查了线性规划求最值，二项式定理，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
9．已知数列{}n a 满足()12347324n a a a n a n ++++-=L ，则23342122a a a a a a +++=L （ ） A ．
5
8
B ．
34
C ．
54
D ．
52
【答案】C 【解析】 【分析】
利用()32n n a -的前n 项和求出数列
(){}32n
n a -的通项公式，可计算出n
a
，然后利用裂项法可求出
23342122a a a a a a +++L 的值.
【详解】
()12347324n a a a n a n ++++-=Q L .
当1n =时，14a =；
当2n ≥时，由()12347324n a a a n a n ++++-=L ， 可得()()1231473541n a a a n a n -++++-⋅=-L ， 两式相减，可得()324n n a -=，故4
32
n a n =-，
因为14a =也适合上式，所以4
32
n a n =-.
依题意，()()12161611313433134n n a a n n n n ++⎛⎫
=
=- ⎪++++⎝⎭
，
故23342122161111111116115
3477101013616434644
a a a a a a ⎛⎫⎛⎫+++=-+-+-++-=-=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L L . 故选：C. 【点睛】
本题考查利用n S 求n a ，同时也考查了裂项求和法，考查计算能力，属于中等题. 10．函数cos ()cos x x
f x x x
+=
-在[2,2]ππ-的图象大致为
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】
因为(0)1f =，所以排除C 、D ．当x 从负方向趋近于0时，0cos cos x x x x <+<-，可得0()1<<f x .故选A ．
11．在ABC ∆中，,2,BD DC AP PD BP AB AC λμ===+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v
，则λμ+= （ ） A ．1
3
- B ．
13
C ．12
-
D ．
12
【答案】A 【解析】 【分析】
先根据,2BD DC AP PD ==u u u r u u u r u u u r u u u r
得到P 为ABC ∆的重心，从而1133
AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，故可得
1133AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，利用BP AP AB =-uu r uu u r uu u r 可得23
BP AB AC =-+u u u r u u u
r u u u r ，故可计算λμ+的值．
【详解】
因为,2,BD DC AP PD ==u u u r u u u r u u u r u u u r
所以P 为ABC ∆的重心，
所以11311,22222AD AB AC AP AB AC =+∴=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,
所以1133AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r ,
所以2133
BP AP AB AB AC =-=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，因为BP AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r ，
所以211
=,,333
λμλμ-=∴+=-，故选A ．
【点睛】
对于ABC ∆，一般地，如果G 为ABC ∆的重心，那么()
13
AG AB AC =+u u u r u u u r u u u r
，反之，如果G 为平面上一点，且满足()
13
AG AB AC =+u u u r u u u r u u u r
，那么G 为ABC ∆的重心． 12．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的各个面中最大面的面积为（ ）
A ．
5 B ．23 C ．8 D ．83
【答案】B 【解析】 【分析】
根据三视图可以得到原几何体为三棱锥，且是有三条棱互相垂直的三棱锥，根据几何体的各面面积可得最大面的面积． 【详解】
解：分析题意可知，如下图所示，
该几何体为一个正方体中的三棱锥A BCD -，
最大面的表面边长为ABC ，
故其面积为24
=， 故选B ． 【点睛】
本题考查了几何体的三视图问题，解题的关键是要能由三视图解析出原几何体，从而解决问题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足1
1233n n a a a n -++⋯+=，则4S =______
【答案】4027
【解析】 【分析】
对题目所给等式进行赋值，由此求得n a 的表达式，判断出数列{}n a 是等比数列，由此求得4S 的值. 【详解】
解：1
1233n n a a a n -+++=L ，可得1n =时，11a =，
2n ≥时，2
12133
1n n a a a n --++⋯+=-，又11233n n a a a n -++⋯+=，
两式相减可得131n n a -=，即1
13n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，上式对1n =也成立，可得数列{}n a 是首项为1，公比为
13
的等比数列，可得441140127133
S -
==-． 【点睛】
本小题主要考查已知n S 求n a ，考查等比数列前n 项和公式，属于中档题.
14．已知2
2
2,1()5,13log ,3x x f x x x x x +≤-⎧⎪=--<<⎨⎪≥⎩，则[](4)f f 的值为______.
【答案】1- 【解析】 【分析】
先求()4f ，再根据()4f 的范围求出()4f f ⎡⎤⎣⎦即可. 【详解】
由题可知()24log 42f ==，
故()()2
42251f f f ⎡⎤==-=-⎣⎦.
故答案为：1-. 【点睛】
本题考查分段函数函数值的求解，涉及对数的运算，属基础题.
15．用数字0、1、2、3、4、5组成无重复数字的6位自然数，其中相邻两个数字奇偶性不同的有_____个.
【答案】60 【解析】 【分析】
对首位数的奇偶进行分类讨论，利用分步乘法计数原理和分类加法计数原理可得出结果. 【详解】
①若首位为奇数，则第一、三、五个数位上的数都是奇数，其余三个数位上的数为偶数，
此时，符号条件的6位自然数个数为33
3336A A =个；
②若首位数为偶数，则首位数不能为0，0可排在第三或第五个数位上，第二、四、六个数位上的数为奇数，
此时，符合条件的6位自然数个数为123
22324C A A =个.
综上所述，符合条件的6位自然数个数为362460+=个. 故答案为：60. 【点睛】
本题考查数的排列问题，要注意首位数字的分类讨论，考查分步乘法计数和分类加法计数原理的应用，考查计算能力，属于中等题.
16．某地区连续5天的最低气温（单位：℃）依次为8，4-，1-，0，2，则该组数据的标准差为_______. 【答案】4 【解析】 【分析】
先求出这组数据的平均数，再求出这组数据的方差，由此能求出该组数据的标准差． 【详解】
解：某地区连续5天的最低气温（单位：C)︒依次为8，4-，1-，0，2， 平均数为：
()1
8410215
--++=， ∴该组数据的方差为：
222222
1(81)(41)(11)(01)(21)165S ⎡⎤=-+--+--+-+-=⎣
⎦，
∴该组数据的标准差为1．
故答案为：1． 【点睛】
本题考查一组数据据的标准差的求法，考查平均数、方差、标准差的定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 的各项均为整数，它们的前n 项和分别为,n n S T ，且1122b a ==，232254,11b S a T =+=.
（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）求112233n n n M a b a b a b a b =++++L ； （3）是否存在正整数m ，使得1
m m m m
S T S T +++恰好是数列{}n a 或{}n b 中的项？若存在，求出所有满足条件的m 的值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）121,23n n n a n b -=-=⋅；（2）2(1)32n n M n =-⋅+；（3）存在，1. 【解析】 【分析】
（1）利用基本量法直接计算即可； （2）利用错位相减法计算；
（3）21*
121313
m m
m m m m S T m N S T m +++-+=∈+-+，令21*213,13m m m L L N m +-+=∈-+可得()2(1)1(3)3m L m L --=-，13L <…，讨论即可. 【详解】
（1）设数列{}n a 的公差为d ，数列{}n b 的公比为q ， 因为11232222,54,11b a b S a T ===+=，
所以2(33)5412211q d d q +=⎧⎨+++=⎩，即(1)928q d d q +=⎧⎨+=⎩，解得32q d =⎧⎨=⎩，或325
q d ⎧
=⎪
⎨⎪=⎩（舍去）.
所以121,23n n n a n b -=-=⋅.
（2）()21
112233123235232123n n n n M a b a b a b a b n -=++++=⨯+⨯⨯+⨯⨯+⋅⋅⋅+-⨯⨯L ，
213123323(23)23(21)23n n n M n n -=⨯⨯+⨯⨯++-⨯⨯+-⨯⨯L ，
所以(
)21
224333
(21)23n n
n M n --=++++--⨯⨯L ，
13(13)
24(42)34(44)313
n n n n n --=+⨯--⨯=---⋅-
所以2(1)32n n M n =-⋅+.
（3）由（1）可得2
n S n =，31=-n n T ，
所以21
121313
m m m m m m S T m S T m +++-+=+-+.
因为1m m m m S T S T +++是数列{}n a 或{}n b 中的一项，所以21
*2
13,13
m m m L L N m +-+=∈-+， 所以()
2(1)1(3)3m
L m L --=-，因为210,30m m ->…，
所以13L <„，又*L N ∈，则2L =或3L =. 当2L =时，有(
)
2
13
m
m -=，即
()
2
113m
m
-=，令21
()3
m m f m -=.
则22211
(1)11223
(1)()333m m m m m m m f m f m +++----+-=
-=-. 当1m =时，(1)(2)f f <；当2m ≥时，()()10f m f m +-<， 即(1)(2)(3)(4)f f f f <>>>⋅⋅⋅.
由1(1)0,(2)3f f ==，知()2113m
m -=无整数解. 当3L =时,有2
10m -=，即存在1m =使得21
2
13313m m
m m +-+=-+是数列{}n a 中的第2项， 故存在正整数1m =，使得1
m m m m
S T S T +++是数列{}n a 中的项.
【点睛】
本题考查数列的综合应用，涉及到等差、等比数列的通项，错位相减法求数列的前n 项和，数列中的存在性问题，是一道较为综合的题. 18．选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为2cos {
sin x y αα
==（α为参数）．以直角坐标系原点O 为
极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l
的极坐标方程为cos()4
π
ρθ-=点P 为曲线C 上
的动点，求点P 到直线l 距离的最大值．
【答案】（1）2214x y +=，4x y +=（2
）max 2
d = 【解析】 【分析】
【详解】
试题分析：利用cos ,sin x y ρθρθ==将极坐标方程化为直角坐标方程：cos()4
π
ρθ-
=ρcosθ＋ρsinθ＝1，即为x ＋y ＝1．再利用点到直线距离公式得：设点P 的坐标为（2cosα，sinα），得P 到
直线l 的距离2
d =
≤
试题解析：解：cos()4
π
ρθ-
=ρcosθ＋ρsinθ＝1，
则直线l 的直角坐标方程为x ＋y ＝1．
设点P 的坐标为（2cosα，sinα），得P 到直线l 的距离d =
≤，
d max ＝+
． 考点：极坐标方程化为直角坐标方程，点到直线距离公式
19．椭圆E ：()222210x y a b a b +=>> 为椭圆上的一点.
（1）求椭圆E 的标准方程；
（2）若斜率为k 的直线l 过点()01
A ,，且与椭圆E 交于,C D 两点，
B 为椭圆E 的下顶点，求证：对于任意的实数k ，直线,B
C B
D 的斜率之积为定值.
【答案】（1）22
164
x y +=；
（2）证明见解析 【解析】 【分析】
（1）运用离心率公式和点满足椭圆方程，解得a ，b ，进而得到椭圆方程；（2）设直线:1l y kx =+，代入椭圆方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，以及点在直线上满足直线方程，化简整理，即可得到定值． 【详解】
（1）因为e =c =， 2
22
3⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭
a b ①
又椭圆过点
， 所以
2
232
1+=a b
② 由①②，解得2
2
6,4==a b
所以椭圆E 的标准方程为22
164
x y += .
（2）证明 设直线l ：1y kx =+，
联立22
164
1x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
得()
22
32690++-=k x kx ， 设()()1122,,,C x y D x y ， 则121222
69
,3232
+=-
=-++k x x x x k k 易知()0,2B - 故121222++⋅=⋅BC BD
y y k k x x 121233=++⋅kx kx x x ()2121212
39=+++k x x k x x x x
21212123()9=++
+k x x k x x x x ()
222=3323
k k k k +⋅-+=2- 所以对于任意的k ，直线,BC BD 的斜率之积为定值. 【点睛】
本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式和点满足椭圆方程，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简整理，考查运算能力，属于中档题．
20．已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左、右顶点分别为1A 、2A ，上、下顶点分别为1B ，2B ，F 为
其右焦点，1111B A B F ⋅=u u u u r u u u u r
，且该椭圆的离心率为1
2
； （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）过点1A 作斜率为k 的直线l 交椭圆C 于x 轴上方的点P ，交直线4x =于点D ，直线2A D 与椭圆C
的另一个交点为G ，直线OG 与直线1A D 交于点H ．若11A P A H λ=u u u r u u u u r
，求λ取值范围．
【答案】（Ⅰ）22
143x y +=；
（Ⅱ）5(3λ∈，3)． 【解析】 【分析】
（Ⅰ）由题意可得11B A u u u u r ，1B F u u u u r 的坐标，结合椭圆离心率，1111B A B F =u u u u r u u u u r
g 及隐含条件列式求得a ，b 的值，
则椭圆方程可求；（Ⅱ）设直线1:(2)A D y k x =+，求得D 的坐标，再设直线2:3(2)A D y k x =-，求出点
G 的坐标，写出OG 的方程，联立OG 与1A D ，可求出H 的坐标，由11A P A H λ=u u u r u u u u r
，可得λ关于k 的函
数式，由单调性可得λ取值范围． 【详解】
（Ⅰ）1(,0)A a -，1(0,)B b ，(c,0)F ， 11(,)B A a b =--u u u u r ，1(,)B F c b =-u u u u r
，
由1111B A B F =u u u u r u u u u r g ，得21b ac -=，又1
2
c a =，222a b c =+，
解得：2a =
，b =1c =．
∴椭圆C 的标准方程为22
143
x y +=；
（Ⅱ）设直线1:(2)(0)A D y k x k =+>，则与直线4x =的交点(4,6)D k ， 又2(2,0)A ，∴设直线2:3(2)A D y k x =-，
联立223(2)
14
3y k x x y =-⎧⎪
⎨+=⎪⎩，消y 可得2222(112)484840k x k x k +-+-=．
解得22
242
(112k G k
-+，212)112k k -+， 联立22(2)
14
3y k x x y =+⎧⎪⎨+
=⎪⎩，得2
2
68(34k P k -+，212)34k k +， 直线2
6:121
k
OG y x k -=
-， 联立2
6121(2)
k y x k y k x -⎧
=⎪-⎨⎪=+⎩，解得22
242(125k H k -++，212)125k k +， Q 11A P A H λ=u u u r u u u u r ，
(2P x ∴+，)(2P H y x λ=+，)H y ， P H y y λ∴=，
∴22222125129443344343
P H y k k y k k k λ++-====-+++， 函数24
()343
f k k =-
+在(0,)+∞上单调递增，
5
()(3
f k λ∴=∈，3)．
【点睛】
本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查运算求解能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力．
21．如图所示的几何体中，ADEF ABCD ⊥面底面，四边形ADEF 为正方形，四边形ABCD 为梯形，
//AB CD ，2
BAD π
∠=
，24AB AD CD ===，G 为BF 中点.
（1）证明：//CG ADEF 面； （2）求二面角A BF C --的余弦值. 【答案】（1）见解析；（2）1
3
【解析】 【分析】
(1)取AF 的中点H ，结合三角形中位线和长度关系，CDHG 为平行四边形，进而得到//CG HD ，根据线面平行判定定理可证得结论；
(2)以AB ，AD ，AF 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系,分别求得两面的法向量，求得法向量夹角的余弦值；根据二面角为锐角确定最终二面角的余弦值； 【详解】
（1）取AF 的中点H ，连结GH ，HD 因为G 为BF 中点，//AB CD ，2AB CD =，
所以//GH CD ，GH CD =，∴CDHG 为平行四边形， 所以//CG HD ，
又因为HD ADEF ⊂面，CG ADEF ⊄面 所以//CG ADEF 面；
（2）由题及（1）易知AB ，AD ，AF 两两垂直，
所以以AB ，AD ，AF 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系,
则()0,0,0A ，()4,0,0B ，()0,4,0D ，()0,0,4F ，()2,4,0C ，()4,0,4BF =-u u u r ，()2,4,4FC =-u u u r
易知面ABF 的法向量为()10,1,0n u r
= 设面ABF 的法向量为()2,,n x y z =u u r
则224402440n BF x z n FC x y z ⎧⋅=-+=⎪
⎨⋅=+-=⎪⎩u u u v v u u u v v 可得211,,12n ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
r
所以12112
cos ,3
1124
n n =
=⨯+
r r
, 如图可知二面角A BF C --为锐角，所以余弦值为
13
【点睛】
本题考查立体几何中直线与平面平行关系的证明、空间向量法求解二面角,正确求解法向量是解题的关键，属于中档题.
22．已知函数2()x x f x xe ae =-（a ∈R ）在定义域内有两个不同的极值点. （1）求实数a 的取值范围；
（2）若()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，且12x x <，若不等式120x x λ+>恒成立.求正实数λ的取值范围.
【答案】（1）10,2⎛⎫
⎪⎝⎭
；（2）1λ≥.
【解析】 【分析】
（1）求导得到120x x ae +-=有两个不相等实根，令1
2()x
x a h x e +==，计算函数单调区间得到值域，得到答案.
（2）1x ，2x 是方程
12x
x a e +=的两根，故()11x h x h λ⎛⎫
<- ⎪⎝⎭
，化简得到
()111ln 1ln 1(1)0x x x λλλλ⎛⎫
+--
-+< ⎪⎝⎭
，设函数，讨论范围，计算最值得到答案. 【详解】
（1）由题可知2()(1)20x x
f x x e ae '=+-=有两个不相等的实根，
即：120x x ae +-=有两个不相等实根，令1
2()x x a h x e
+=
=， ()
2
(1)()x x
x x e x e x
h x e e -+-'=
=
，x ∈R ，
(,0)x ∈-∞，()0h x '>；(0,,)x ∈+∞，()0h x '<，
故()h x 在(,0)-∞上单增，在(0,)+∞上单减，∴max ()(0)1h x h ==. 又(1)0h -=，(,1)x ∈-∞-时，()0h x <；(1,)x ∈-+∞时，()0h x >， ∴2(0,1)a ∈，即10,
2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
. （2）由（1）知，1x ，2x 是方程
1
2x x a e
+=的两根， ∴1210x x -<<<，则112200x
x x x λλ
+>⇔>->
因为()h x 在(0,)+∞单减，∴()12x h x h λ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，又()()21h x h x =，∴()11x h x h λ⎛⎫
<- ⎪⎝⎭
即1
1
1
11
1x x x x e e
λ
λ
-
-
++<
，两边取对数，并整理得：
()111ln 1ln 1(1)0x x x λλλλ⎛⎫
+--
-+< ⎪⎝⎭
对1(1,0)x ∈-恒成立， 设()ln(1)ln 1(1)x F x x x λλλλ⎛⎫
=+--
-+ ⎪⎝
⎭
，(1,0)x ∈-， 1
(1)(1)()(1)1(1)()1x x F x x
x x x λ
λλλλλ
++-'=
+
-+=
++--，
当1λ≥时，()0F x '>对(1,0)x ∈-恒成立，
∴()F x 在(1,0)-上单增，故()(0)0F x F <=恒成立，符合题意； 当(0,1)λ∈时，1(1,0)λ-∈-，(1,0)x λ∈-时()0F x '<， ∴()F x 在(1,0)λ-上单减，()(0)0F x F >=，不符合题意. 综上，1λ≥.
【点睛】
本题考查了根据极值点求参数，恒成立问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
23．已知0a b >>，如图，曲线Γ由曲线1C ：22221(0)x y y a b +=≤和曲线2C ：22
221(0)x y y a b
-=>组成，
其中点12,F F 为曲线1C 所在圆锥曲线的焦点，点34,F F 为曲线2C 所在圆锥曲线的焦点.
（Ⅰ）若23(2,0),(6,0)F F -，求曲线Γ的方程；
（Ⅱ）如图，作直线l 平行于曲线2C 的渐近线，交曲线1C 于点,A B ，求证：弦AB 的中点M 必在曲线2C 的另一条渐近线上；
（Ⅲ）对于（Ⅰ）中的曲线Γ，若直线1l 过点4F 交曲线1C 于点,C D ，求1CDF ∆面积的最大值.
【答案】（Ⅰ）221(0)2016x y y +=„和221(0)2016x y y -=>.；
（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）5
3
. 【解析】 【分析】
(Ⅰ)由23(2,0),(6,0)F F -，可得2222
36
4a b a b ⎧+=⎨-=⎩
，解出即可； (Ⅱ)设点()()()112200,,,,,A x y B x y M x y ，设直线:()b
l y x m a
=
-，与椭圆方程联立可得：()222220x mx m a -+-=，利用>0∆，根与系数的关系、中点坐标公式，证明即可；
(Ⅲ)由(Ⅰ)知，曲线22
1(0)2016
x y y +=„，且4(6,0)F ，设直线1l 的方程为：6(0)x ny n =+>，与椭圆方程
联立可得：(
)2
2
5448640n
y
ny +++= ，利用根与系数的关系、弦长公式、三角形的面釈计算公式、
基本不等式的性质，即可求解. 【详解】
(Ⅰ)由题意：23(2,0),(6,0)F F -Q ，
2222364a b a b ⎧+=∴⎨-=⎩，解得222016
a b ⎧=⎨=⎩， 则曲线Γ的方程为：221(0)2016x y y +=„和221(0)2016
x y y -=>.
(Ⅱ)证明：由题意曲线2C 的渐近线为：b
y x a
=±， 设直线:()b
l y x m a
=
-， 则联立22
22
()1b y x m a x y a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得()222
220x mx m a -+-=， ()
222480m m a ∴∆=-->
，解得：m <<，
又由数形结合知a m <
„.
设点()()()112200,,,,,A x y B x y M x y ，
则12x x m +=，22
122m a x x -=，
02m x ∴=
，02bm y a
=-， 00b
y x a
∴=-，即点M 在直线b y x a =-上.
(Ⅲ)由(Ⅰ)知，曲线22
1:1(0)2016
x y C y +=„，点4(6,0)F ，
设直线1l 的方程为：6(0)x ny n =+>，
∴联立22612016x ny x y =+⎧⎪⎨+
=⎪⎩，得：()22
5448640n y ny +++=，
()
22(48)464540n n ∴∆=-⨯⨯+>21n ⇒>，
设()()3344,,,C D x y y x ，
3424854n y y n ∴+=-
+，342
64
54y y n
=+，
342
54y y n
∴-=
=+， 1CDF ∴∆
面积123411822S F F y y =-=⨯=
令0t =>，221n t ∴=+，
4S t t
∴=
=+
当且仅当32t =
，即n =1CDF ∆
. 【点睛】
本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其性质、直线与椭圆的相交问题、弦长公式、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质,考查了推理论证能力与运算求解能力，属于难题.。