上海民办兰生复旦中学选修一第二单元《直线和圆的方程》测试卷(包含答案解析)

一、选择题
1．如果直线:5l y kx =-与圆22240x y x my +-+-=交于M 、N 两点，且M 、N 关于
直线20x y +=对称，则直线l 被圆截得的弦长为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．2．已知两点()1,2A -、()2,1B ，直线l 过点()0,1P -且与线段AB 有交点，则直线l 的倾斜角的取值范围为（ ） A ．3,44ππ⎡⎤⎢
⎥⎣
⎦ B ．30,,424πππ⎡⎤
⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣
⎦ C ．30,
,44πππ⎡⎤⎡⎫
⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭ D ．3,,4224ππππ⎡⎫⎛⎤
⎪ ⎢
⎥⎣⎭⎝⎦
3．已知圆22:3C x y +=，从点()2,0A -观察点()2,B a ，要使视线不被圆C 挡住，则a 的取值范围是 （ ）
A ．⎛
⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭
B ．()(),22,-∞-+∞
C ．(()
,2
3,-∞-+∞
D ．(()
,-∞-⋃+∞
4．一束光线从点()2,3A 射出，经x 轴上一点C 反射后到达圆22(3)(2)2x y ++-=上一点B ，则AC BC +的最小值为（ ）
A
．B ．C ．D ．5．若过直线3420x y +-=上一点M 向圆C ：()()2
2
234x y +++=作一条切线切于点
T ，则MT 的最小值为（ ）
A B ．4
C ．
D ．6．已知直线1:210l ax y +-=2:820l x ay a ++-=，若12l l //，则a 的值为（ ） A ．4± B ．－4
C ．4
D ．2± 7．夹在两平行直线1:340l x y -=与2:34200l x y --=之间的圆的最大面积等于（ ）
A ．2π
B ．4π
C ．8π
D ．12π
8．直线0x y +=被圆226240x y x y +-++=截得的弦长等于（ ）
A ．4
B ．2
C ．D
9．已知圆C ：()()2
2
232++-=x y ，从点()1,3P 发出的光线，经直线1y x =+反射后，光线恰好平分圆C 的周长，则入射光线所在直线的斜率为（ ） A ．2-
B ．1
2
-
C ．4-
D ．14
-
10．过坐标原点O 作圆()()22
341x y -+-=的两条切线，切点为,A B ，直线AB 被圆截得弦AB 的长度为( ) A
B
C
D
11．111222(,),(,)P a b P a b 是直线1y kx =+(k 为常数)上两个不同的点，则关于x 和
y 的方程组11221
1
a x
b y a x b y +=⎧⎨+=⎩的解的情况是（ ）
A ．无论12,,k P P 如何，总是无解
B ．无论12,,k P P 如何，总有唯一解
C ．存在12,,k P P ，使1
2x y =⎧⎨
=⎩
是方程组的一组解 D ．存在12,,k P P ，使之有无穷多解
12．设点()0,1M x ，若在圆22:1O x y +=上存在点N ，使得45OMN ︒∠=，则0x 的取值范围是（ ） A ．[0,1]
B ．[1,1]-
C
．22⎡-⎢⎣⎦ D
．2⎡⎢⎣⎦
二、填空题
13．已知圆C ：224x y +=，直线l ：(0)x y m m +=>，圆C 上恰有两个点到直线l 的距离为1.则m 的取值范围是_____________.
14．若M 是直线cos sin 10x y θθ++=上到原点的距离最近的点，则当θ在实数范围内变化时，动点M 的轨迹方程是______．
15．已知方程：22(42)20,()x y m x my m m R +-+--=∈ ①该方程表示圆，且圆心在直线210x y --=上； ②始终可以找到一条定直线与该方程表示的曲线相切；
③当1m =-时，该方程表示的曲线关于直线:10l x y -+=的对称曲线为C ，则曲线C 上的点到直线l
的最大距离为
2
2
； ④若m 1≥，过点(1,0)-作该方程表示的面积最小的曲线的两条切线，切点分别为
,A B ，则AB 所在的直线方程为420x y +-=．
以上四个命题中，是正确的有_______________（填序号）
16．过点P (0,1)作直线l ，使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，则直线l 的方程为_________．
17．点P(2,5)关于直线x ＋y ＝1的对称点的坐标是____________． 18．已知定点A 到动直线l ：(
)2
21420+---=mx m y m （m R ∈）的距离为一常数，
则定点A 的坐标为________．
19．已知点A (0，2)，O (0，0)，若圆()()2
2
:21C x a y a -+-+=上存在点M ，使
3MA MO ⋅=，则圆心C 的横坐标a 的取值范围为________________.
20．在直角坐标系xoy 中，已知圆C ：()2
2
2
824580x y m x my m m +---+-=，直线
l 经过点()2,1，若对任意的实数m ，直线l 被圆C 截得弦长为定值，则直线l 方程为
______.
三、解答题
21．如图，已知点()4,0A ，()0,2B ，直线l 过原点，且A 、B 两点位于直线l 的两侧，过A 、B 作直线l 的垂线，分别交l 于C 、D 两点．
（1）当C 、D 重合时，求直线l 的方程； （2）当23AC BD =时，求线段CD 的长度．
22．已知以点C 为圆心的圆经过点A (-1，0)和B (3，4)，且圆心C 在直线3150x y +-=上 （1）求圆C 的方程；
（2）设点Q (-1，m )(m >0)在圆C 上，求△QAB 的面积. 23．已知直线:3470l x y +-=．
（1）若直线m 与直线l 平行，且直线m 过点(2,5)P -，求直线m 的方程；
（2）若点C 坐标为10,3⎛⎫- ⎪⎝⎭
，过点C 的直线与直线l 垂直，垂足为M ，求点M 的坐标. 24．已知直线l 过点(2,1)M ，且分别与x 轴正半轴、y 轴正半轴交于点A 、B ，（O 为坐标原点）
（1）当ABO 的面积为4时，求直线l 的一般式方程； （2）当MA MB ⋅取最小时，求直线l 的一般式方程.
25．已知圆C 过A （1，5）、B （4，2）两点，且圆心在直线2y x =上，直线l 过点
()3,2P --且与AB 平行．
（1）求直线l 及圆C 的方程；
（2）设点M 、N 分别是直线l 和圆C 上的动点，求|MN |的取值范围．
26．已知圆心为C 的圆经过A （1，1）和B （2，－2），且圆心C 在直线l ：10x y -+=上.
（1）求圆心为C 的圆的一般式．．．
方程； （2）是否存在过原点的直线l ′与⊙C 交于E 、F 两点且使EF 为直径的圆过点M
（0），若存在，求出直线l ′方程，若不存在说明理由.
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一、选择题 1．C 解析：C 【分析】
由题意推出圆心在直线上，求出m ，求出圆的半径与弦心距，利用圆心距、半径、半弦长满足勾股定理，求出弦长. 【详解】
因M 、N 关于直线20x y +=对称，故圆心(1,)2
m
-
在直线20x y +=上，4m ∴=. 又因为直线20x y +=与:5l y kx =-垂直，21K ∴-⨯=-，12
K ∴=， 设圆心(1,2)-，到直线
1
502
x y --=的距离为d ，
d ∴==
圆的半径为3r =
=.
4MN ∴==.
故选：C . 【点睛】
关键点点睛：本题的关键是利用对称性可知圆心在直线20x y +=上.
2．C
解析：C 【分析】
作出图形，求出直线PA 、PB 的斜率，数形结合可得出直线l 的斜率的取值范围，进而可求得直线l 的倾斜角的取值范围. 【详解】 如下图所示：
直线PA 的斜率为21110
PA k -+=
=--，直线PB 的斜率为11
120PB k +=
=-， 由图形可知，当直线l 与线段AB 有交点时，直线l 的斜率[]1,1k ∈-. 因此，直线l 的倾斜角的取值范围是30,,44πππ⎡⎤⎡⎫
⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭
. 故选：C. 【点睛】
关键点点睛：求直线倾斜角的取值范围的关键就是求出直线的斜率的取值范围，结合图象，利用直线PA 、PB 的斜率可得所要求的斜率的取值范围.
3．D
解析：D 【分析】
设过点与圆相切的直线为()2y k x =+，则圆心到直线的距离解得3k =，可得切线方程为)32y x =±+，由A 点向圆C 引2条切线，只要点B 在切线之外，那么就不会被遮挡，
即a 大于B 点在x 轴上方的纵坐标或者小于B 点在x 轴上方的纵坐标即可. 【详解】
设过点()2,0A -与圆2
2
:3C x y +=相切的直线为()2y k x =+，则圆心()0,0到直线的
2
231k k
=+3k =∴切线方程为)32y x =±+，由A 点向圆C 引
2条切线，只要点B 在切线之外，那么就不会被遮挡，
B 在2x =的直线上，在)32y x =±+中，取2x =，得43y =±，
从A 点观察B 点，要使视线不被圆C 挡住，需43a >43a <-，
∴a 的取值范围是()()
,4343,-∞-⋃+∞， 故选：D.
【点睛】
本题主要考查直线与圆的位置关系，关键点是求过A 点且与圆相切时的直线方程，考查分析问题解决问题的能力.
4．C
解析：C 【分析】
做出圆22
(3)(2)2x y ++-=关于x 轴的对称圆，进而根据图形得AC BC AP r
+≥-即可求解. 【详解】
解：如图，圆2
2
(3)(2)1x y ++-=的圆心()3,2-，
其关于x 轴的对称圆的圆心为()3,2P --， 由图得AC BC AP r +≥-52242=-=.
故选：C. 【点睛】
解题的关键在于求圆关于x 轴的对称圆圆心P ，进而将问题转化AC BC AP r +≥-求解.
5．D
解析：D 【分析】
根据题意，求出圆的圆心与半径，由切线长公式可得||MT =||MC 取得最小值时，||MT 的值最小，由点到直线的距离分析||MC 的最小值，进而计算
可得答案． 【详解】
根据题意，圆22:(2)(3)4C x y +++=，其圆心为(2,3)--，半径2r m =，
过点M 向圆C 作一条切线切于点T ，则||MT == 当||MC 取得最小值时，||MT 的值最小，
而||MC 的最小值为点C 到直线3420x y +-=的距离，则||4
min MC ==，
则||MT = 故选：D 【点睛】
方法点睛：解析几何中的最值问题，常用的方法有：（1）函数单调性法；（2）导数法；（3）数形结合法；（4）基本不等式法.要结合已知条件灵活选择合适的方法求解.本题利用的是数形结合的方法求最值的.
6．B
解析：B 【分析】
由12l l //可得280,a a ⨯-⨯=解得4a =±，然后再检验,得出答案. 【详解】
因为12l l //，所以280,4a a a ⨯-⨯=∴=±. 当4a =时，两直线重合，所以4a =舍去. 当4a =-时，符合题意. 所以4a =-. 故选：B 【点睛】
易错点睛：已知直线1110a x b y c ++=和直线2220a x b y c ++=平行求参数的值时，除了要计算12210a b a b -=，还一定要把求出的参数值代入原直线方程进行检验，看直线是否重合.本题就是典型例子，否则容易出现错解，属于中档题
7．B
解析：B
【分析】
夹在两平行直线之间的面积最大的圆与这两条直线都相切，求出直径即可得到面积 【详解】
两平行直线1:340l x y -=与2:34200l x y --=之间的距离：
4d =
=，
夹在两平行直线1:340l x y -=与2:34200l x y --=之间的圆半径最大值为2， 所以该圆的面积为4π. 故选：B 【点睛】
此题考查求两条平行直线之间的距离，关键在于熟记距离公式正确求解.
8．A
解析：A 【分析】
先将圆化成标准方程，求出圆心与半径，再求圆心到直线的距离，然后解弦长即可． 【详解】
因为2
2
6240x y x y +-++= 所以2
2
(3)(1)6x y -++=，
圆心到直线的距离为
d =
=
直线0x y +=被圆22
6240x y x y +-++=截得的弦长4l =；
故选：A ． 【点睛】
计算圆的弦长通常使用几何法简捷．也可使用代数法计算.
9．C
解析：C 【分析】
根据光路可逆，易知圆心()2,3C -关于直线1y x =+的对称点M ，在入射光线上，由此可求得结果. 【详解】
圆C ：()()2
2
232++-=x y ，圆心为()2,3C -，
由已知，反射光线经过()2,3C -，
故C 点关于直线1y x =+的对称点M 在入射光线上．
设(),M a b ，则3
12
3212
2b a b a -⎧=-⎪⎪+⎨+-⎪=+⎪⎩，解得21a b =⎧⎨
=-⎩，即()2,1M -，
且光源()1,3P ，所以入射光线的斜率13
421
k --==--， 故选：C. 【点睛】 关键点点睛：
（1）由光线恰好平分圆C 的周长，得出所在直线经过圆心； （2）入（反）射光线关于反射面的对称直线即为反（入）射光线.
10．A
解析：A 【分析】
求得圆的圆心坐标和半径，借助11
222
AOM AB S OA MA OM ∆=⨯⨯=⨯⨯
，即可求解. 【详解】
如图所示，设圆()()2
2
341x y -+-=的圆心坐标为(3,4)M ，半径为1r =， 则22345OM =+=,2512426OA =-==，
则11
222
AOM AB S OA MA OM ∆=⨯⨯=⨯⨯
，可得2465OA MA AB OM ⨯⨯==， 故选A.
【点睛】
本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中涉及到圆的切线方程应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
11．B
解析：B 【分析】
由点在直线上，点的坐标代入直线方程，确定1221a b a b -是否为0，不为0，方程组有唯一解，为0时，再讨论是否有无数解． 【详解】
由题意112211
b ka b ka =+⎧⎨=+⎩，则1221122112(1)(1)a b a b a ka a ka a a -=+-+=-，
∵直线1y kx =+的斜率存在，∴12a a ≠，1
20a a -≠，∴方程组112
21
1a x b y a x b y +=⎧⎨+=⎩总有唯一解．A ，D 错误，B 正确；
若1
2x y =⎧⎨=⎩
是方程组的一组解，则11222121a b a b +=⎧⎨+=⎩，则点1122(,),(,)a b a b 在直线21x y +=，
即11
22
y x =-
+上，但已知这两个在直线1y kx =+上，这两条直线不是同一条直线，∴1
2x y =⎧⎨=⎩
不可能是方程组的一组解，C 错误．
故选：B ． 【点睛】
本题考查直线方程，考查方程组解的个数的判断．掌握直线方程是解题关键．
12．B
解析：B 【分析】
首先根据题中条件，可以判断出直线MN 与圆O 有公共点即可，从而可以断定圆心O 到直线MN 的距离小于等于半径，列出对应的不等关系式，求得结果. 【详解】
依题意，直线MN 与圆O 有公共点即可， 即圆心O 到直线MN 的距离小于等于1即可，
过O 作OA ⊥MN ，垂足为A ， 在Rt OMA ∆中，因为OMA ∠045=， 故02
sin 452
OA OM ==1≤， 所以2OM ≤
2012x +≤，
解得011x -≤≤．
故选：B. 【点睛】
该题考查的是有关直线与圆的问题，涉及到的知识点有直线与圆的位置关系，解直角三角形，属于简单题目.
二、填空题
13．【分析】根据圆的几何性质结合点到直线距离公式进行求解即可【详解】圆C ：的半径为2圆心坐标为：设圆心到直线l ：的距离为要想圆C 上恰有两个点到直线l 的距离为1只需即而所以故答案为：【点睛】关键点睛：利用
解析：
【分析】
根据圆的几何性质，结合点到直线距离公式进行求解即可. 【详解】
圆C ：2
2
4x y +=的半径为2，圆心坐标为：(0,0) 设圆心(0,0)到直线l ：x y m +=的距离为d ，
要想圆C 上恰有两个点到直线l 的距离为1，只需112d <<+，
即13m <
<⇒<< 0m >
m <<.
故答案为： 【点睛】
关键点睛：利用圆的性质转化为点到直线的距离是解题的关键.
14．【分析】直线上到原点的距离最近的点就是过原点作直线的垂线垂足即为又原点到直线的距离为定值所以可知动点的轨迹【详解】∵原点到直线的距离为∴当在实数范围内变化时动点的轨迹为以原点为圆心半径为1的圆即其轨 解析：221x y +=
【分析】
直线cos sin 10x y θθ++=上到原点的距离最近的点，就是过原点作直线的垂线，垂足即为M ，又原点到直线的距离为定值，所以可知动点M 的轨迹. 【详解】
∵原点()0,0到直线cos sin 10x y θθ++=
1=，
∴当θ在实数范围内变化时，动点M 的轨迹为以原点()0,0为圆心，半径为1的圆， 即其轨迹方程为2
2
1x y +=． 故答案为：2
21x y +=
【点睛】
本题主要考查轨迹方程，解决与直线有关的轨迹问题时，要充分考虑到图形的几何性质，属于中档题.
15．③④【分析】先将方程：化为：确定出圆心半径判断选项①②；将代入得圆方程可转化为该圆上的点到直线的最大距离问题求解；先求出以圆外点与圆心连线为直径的圆方程再将两圆方程相减即可得两切点连线的直线方程【详
解析：③④ 【分析】
先将方程：2
2
(42)20x y m x my m +-+--=化为：
()()2
2
2
21551x m y m m m -++-=++⎡⎤⎣⎦，确定出圆心，半径判断选项①②；将
1m =-代入得圆方程，可转化为该圆上的点到直线l 的最大距离问题求解；先求出以圆外
点(1,0)-与圆心连线为直径的圆方程，再将两圆方程相减即可得两切点连线的直线方程. 【详解】
方程：2
2
(42)20x y m x my m +-+--=
可化为：()()2
2
221551x m y m m m -++-=++⎡⎤⎣⎦
，
当25510m m ++>即510m >或5
10
m <时，方程表示圆，故①错；
由①知，当m >
或m <时，该方程表示圆，且圆心()21,M m m +在直线210x y --=上移动，且半径不定，故②显然不正确；
当1m =-时，方程表示圆M ：()()2
2
111x y +++=,由条件知曲线C 上的点到直线l 的
最大距离即为圆M 上的点到直线l 2
12
+=
，所以③正确；
当m 1≥时，2
2211551524r m m m ⎛⎫=++=+- ⎪⎝
⎭，所以当1m =时，圆面积最小，此时圆心为()3,1M ，圆M 方程为：()()2
2
3111x y -+-=，
设()1,0P -，则PM 的中点为11,
2⎛⎫ ⎪⎝⎭
，217PM =， 所以PM 为直径的圆方程为()2
2
117124x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝
⎭，
两圆方程相减即得AB 所在的直线方程为420x y +-=，故④正确. 故答案为：③④ 【点睛】
方法点睛：已知圆外一点引圆的两条切线，求解切点连线的直线方程，通常先求出以圆外一点与圆心连线为直径的圆方程，然后将两圆方程相减，即可得切点连线的直线方程.
16．x ＋4y －4＝0【分析】设l1与l 的交点为A(a8－2a)求得关于的对称点坐标利用对称点在直线上求得即得点坐标从而得直线方程【详解】设l1与l 的交点为A(a8－2a)则由题意知点A 关于点P 的对称点B
解析：x ＋4y －4＝0
【分析】
设l 1与l 的交点为A (a,8－2a )，求得A 关于P 的对称点坐标，利用对称点在直线2l 上求得
a ，即得A 点坐标，从而得直线l 方程．
【详解】
设l 1与l 的交点为A (a,8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a,2a －6)在l 2上， 代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0，解得a ＝4， 即点A (4,0)在直线l 上，所以直线l 的方程为x ＋4y －4＝0. 故答案为：x ＋4y －4＝0. 【点睛】
本题考查求直线方程，解题方法是根据点关于点的对称点求解，直线l 与已知两直线各有一个交点，P 是这两个交点连线段中点，因此可设其中一点坐标，由对称性表示出另一点坐标，代入第二条直线方程可求得交点坐标，从而得直线方程．
17．(－4－1)【分析】设对称点的坐标为根据点P 关于直线对称列出方程组即可求解【详解】设对称点的坐标为则解得所以所求对称点的坐标为【点睛】本题主要考查了点关于直线的对称点的求解问题其中解答中根据点关于直
解析：(－4，－1) 【分析】
设对称点的坐标为00(,)x y ，根据点P 关于直线1x y +=对称，列出方程组，即可求解. 【详解】
设对称点的坐标为00(,)x y ，则00005
(1)12
251
2
2y x x y -⎧⋅-=-⎪-⎪⎨++⎪+=⎪⎩，解得0041x y =-⎧⎨=-⎩，
所以所求对称点的坐标为(4,1)--．
【点睛】
本题主要考查了点关于直线的对称点的求解问题，其中解答中根据点关于直线对称，列出相应的不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
18．【解析】【分析】设出定点A 根据点到直线的距离公式求出点到直线l 的距离由距离为常数利用一般到特殊的思想令分析可得定点A 的坐标检验一般性可知动直线l 是以为圆心半径为的圆的切线系即可求出定点A 的坐标为【详 解析：()2,1
【解析】 【分析】
设出定点A ，根据点到直线的距离公式求出点A 到直线l 的距离，由距离为常数，利用一般到特殊的思想，令
0,1,1
m =-分析可
得，定点A 的坐标，检验一般性可知，动直线l 是以()2,1 为圆心,半径为1的圆的切线系,即可求出定点A 的坐标为()2,1. 【详解】
设定点A 为(),a b ，所以点A 到直线l 的距离
d =
无论m R ∈，d 为定值，所以令0m = 可得，2d b =-，令1m = 可得，3d a =-， 令1m =-可得，1d a =- ，由31a a -=- 可得，2a =，即有1b =或3b = ． 当定点A 为()2,1 时，
22
111m d m +=
==+ ，符合题意； 当定点A 为()2,3 时，
22
131m d m -=
=
+ ，显然d 的值随m 的变
化而变化，不符题意，舍去．
综上可知，动直线l 是以()2,1 为圆心,半径为1的圆的切线系，所以定点A 为
2
,1
．
故答案为：()2,1． 【点睛】
本题主要考查直线系方程的识别和应用，点到直线的距离公式的应用，考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．
19．【解析】【分析】设利用可得的轨迹方程以为圆心2为半径的圆利用圆上存在点可得两圆相交或相切建立不等式即可求出实数的取值范围【详解】解：设因为A(02)O(00)所以因为所以化简得：所以点的轨迹是以为圆 解析：[0,3]
【解析】 【分析】
设(),M x y ，利用 3MA MO ⋅= ，可得M 的轨迹方程以()0,1 为圆心，2为半径的圆，利用圆C 上存在点M ，可得两圆相交或相切，建立不等式，即可求出实数a 的取值范围. 【详解】
解：设(),M x y ，因为 A (0，2)，O (0，0)，
所以(,2)MA x y =-- ，(,)MO x y =-- . 因为3MA MO ⋅= ，
所以()()()()23x x y y --+--= ，化简得：2
2
(1)4x y +-= ，
所以M 点的轨迹是以()0,1 为圆心，2为半径的圆. 因为M 在()()2
2
:21C x a y a -+-+= 上， 所以两圆必须相交或相切.
所以13≤
≤ ，解得03a ≤≤.
所以圆心C 的横坐标a 的取值范围为： [0,3]. 故答案为：[0,3]. 【点睛】
本题主要考查求轨迹方程，考查圆与圆的位置关系，确定M 的轨迹方程是解题的关键，属于中档题.
20．【分析】先将圆的方程化为标准形式求出圆心和半径通过分析可以看出圆心在一条直线上若对于任意的实数直线被圆截得弦长为定值可得直线与圆心所在的直线平行即可得出结论【详解】圆：化为标准形式可得：所以圆心半径 解析：25x y +=
【分析】
先将圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径，通过分析可以看出，圆心在一条直线上，若对于任意的实数m ，直线l 被圆C 截得弦长为定值，可得直线l 与圆心所在的直线平行，即可得出结论. 【详解】
圆C ：()2
2
2
824580x y m x my m m +---+-=化为标准形式可得：
()()22
4216x m y m --+-=⎡⎤⎣⎦ ，
所以圆心()4,2C m m - ，半径4r =， 令
4,2x m y m =-= ，可得28x y += ，所以圆心在28x y +=上，
又因为直线l 经过点()2,1，若对任意的实数m ，直线l 被圆C 截得弦长为定值， 所以直线l 与圆心所在的直线平行，， 所以设直线l 的方程为：2x y c +=， 将()2,1代入得：5c =， 所以则直线l 方程为：25x y +=. 故答案为：25x y += 【点睛】
本题主要考查了圆的标准方程，直线和圆的位置关系，考查分析解决问题的能力，属于基
础题.
三、解答题
21．（1）2y x =；（2）2. 【分析】
（1）求出直线AB 的斜率，由AB l ⊥可求得直线l 的斜率，进而可求得直线l 的方程； （2）设直线l 的方程为0kx
y ，可知0k >，利用点到直线的距离公式结合
AC =可求得k 的值，进而可求得AC 、BD ，利用勾股定理可求得OC 、
OD ，由此可求得CD .
【详解】
（1）当C 、D 重合时，AB l ⊥， 直线AB 的斜率为021402AB k -=
=--，所以，直线l 的斜率为12AB
k k =-=， 因此，直线l 的方程为2y x =； （2）设直线l 的倾斜角为的方程为0kx y ，可知0k >，
则
AC =
，BD =
，
AC BD =
=
k =
AC ∴=1BD =，由勾股定理可得2OC =
=，
OD =
=
因此，2CD OC OD =-=. 【点睛】
在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件，用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线，故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况． 22．（1）22(3)(6)40x y ++-=；（2）24. 【分析】
（1）求出AB 的垂直平分线和直线3150x y +-=的交点可得圆心坐标，再利用两点间距离求半径，即可得答案；
（2）求出点()1,12Q -，再利用点到直线距离公式求高，代入面积公式即可得答案； 【详解】
（1）依题意知所求圆的圆心C 为AB 的垂直平分线和直线3150x y +-=的交点．
AB 的中点为()1,2，直线AB 的斜率为1，
AB ∴的垂直平分线的方程为()21y x -=--，即3y x =-+．
由33150y x x y =-+⎧⎨+-=⎩，得36x y =-⎧⎨=⎩，即圆心()3,6C -． ∴
半径r ==．
故所求圆C 的标准方程为()()2
2
3640x y ++-=． （2）
点()()1,0Q m m ->在圆C 上，
12m =∴或0m =(舍去)，()1,12Q ∴-，
12AQ ==，直线AQ 的方程为：1x =-，
点B 到直线AQ 的距离为4，
QAB ∴的面积11
41242422
S AQ =⨯⨯=⨯⨯=．
【点睛】
利用圆的几何意义求圆的方程时，注意只要圆过两点A,B ，其圆心必在线段的中垂线上. 23．（1）34140x y +-=；（2）(1,1)M . 【分析】
（1）通过平行设出直线方程，代入(2,5)P -即可；
（2）过点C 10,3⎛⎫- ⎪⎝⎭
的直线与直线l 垂直，可得004310x y --=，加上M 在直线上，联立求交点即可. 【详解】
（1）因为直线m 与直线l 平行，设直线m ：340(7)x y a a ++=≠-， 将点(2,5)P -代入得：14a =-，所以直线m ：34140x y +-=. （2）设()
0,0M x y ，则
001433
CM
y k x ⎛⎫-- ⎪
⎝⎭=
=，即004310x y --=①， 又M 在直线l 上，所以003470x y +-=②，
①②联立得：001
1
x y =⎧⎨=⎩，所以(1,1)M .
【点睛】
本题主要考查直线的一般式的平行关系与垂直关系，正确写出解析式是处理此题的关键. 24．（1）240x y +-=；（2）30x y +-=. 【分析】
（1）设直线的截距式方程，结合三角形面积公式即可得解；
（2）设直线l 的方程为()12y k x -=-，表示出点A 、B ，进而可得,MA MB ，表示
出MA MB ⋅后结合基本不等式即可得解. 【详解】
（1）由题意，设直线l 的方程为()1,0,0x y
a b a b
+=>>， 则1
42
ABO S ab =
=△，所以8ab =， 又直线l 过点(2,1)M ，所以21
1a b +=，所以42a b =⎧⎨=⎩
，
所以直线l 的方程为
142
x y
+=即240x y +-=； （2）设直线l 的方程为()12y k x -=-，则12,0A k ⎛⎫
-+ ⎪⎝⎭
，()0,21B k -+，
所以MA =
MB ，
所以4MA MB ⋅=
， 当且仅当21k =时，等号成立，
所以当MA MB ⋅取最小时，1k =-（正值舍去）， 此时直线方程为12y x -=-+即30x y +-=. 【点睛】
关键点点睛：解决本题的关键是设出合理的直线方程，结合两点间距离公式及基本不等式运算即可得解.
25．（1）x +y +5=0，(x -1)2+(y -2)2=9；（2）)
3,⎡+∞⎣. 【分析】
（1）求出AB 的斜率，利用点斜式可得直线l 的方程，求出AB 的中垂线的方程，结合圆心在直线2y x =上可得圆心坐标，求出半径后可得所求的圆的方程. （2）求出圆心到直线l 的距离后可得|MN |的取值范围． 【详解】
（1）∵1AB k =-， 直线l:y +2=-(x +3)，即l:x +y +5=0，
AB 的中点为57,22⎛⎫
⎪⎝⎭
，故AB 的中垂线方程为57122y x x =-+=+，
由21y x y x =⎧⎨=+⎩解得1
2x y =⎧⎨=⎩
，
∴圆心C (1，2)，半径3r CA ===， ∴圆C 的方程为：(x -1)2+(y -2)2=9.
(2) ∵圆心C 到直线l 的距离为3d =
=>，
∴直线l 与圆C 相离,∴|MN |的最小值为
3-，无最大值，
∴|MN |的取值范围为)
3,⎡+∞⎣. 【点睛】 方法点睛：
（1）求圆的方程，关键是确定圆心坐标和圆的半径，前者的确定需要利用一些几何性质，如果圆心在弦的中垂线上，也在过切点且垂直于切线的直线上.
（2）直线与圆的位置关系中的最值问题，往往转化为圆心到几何对象的距离问题. 26．(1) 2264120x y x y +++-= (2)存在，0x =或3
2
y x =- 【分析】
（1）设圆心(),1C a a +，由AC BC =可求出a ，从而得出答案.
（2）当直线l '的斜率不存在，即0x =时,满足条件，当直线l '的斜率存在时，设直线l '的
方程为y kx =，由方程联立，得出韦达定理，由以EF 为直径的圆过点M （0），则
0ME MF ⋅=，将韦达定理代入，求出k 的值，得到答案. 【详解】
（1）由圆心C 在直线l ：10x y -+=上，设圆心(),1C a a + 圆C 经过A （1，1）和B （2，－2），则AC BC =
=
，解得3a =-
所以5AC =
=
所以圆心()3,2C --，半径为5，所以圆的方程为()()2
2
3225x y +++= 所以圆心为C 的圆的一般式方程：2
2
64120x y x y +++-=
（2）当直线l '的斜率不存在，即0x =时，则()()0,2,0,6E F -,满足0ME MF ⋅=
即满足EF 为直径的圆过点M （0）.
当直线l '的斜率存在时，设直线l '的方程为y kx =，()()1122,,,E x y F x y
22
64120y kx x y x y =⎧⎨+++-=⎩ ，得()()22
164120k x k x +++-= ()()2
2644810k k ∆=+++>
2121222
6412
,11k x x x x k k
++=-⋅=-++
由以EF 为直径的圆过点M （0），则0ME MF ⋅=
()()(
11221212ME MF x y x y x x y y ⋅=--=--+
(())
212121212112x x y y k x x x x =--+=+-++ ()
2
21211201k k -=+++=+ 解得3
2
k =-
，且满足0∆> 所以存在满足条件的直线l '方程为：0x =或32
y x =- 【点睛】
关键点睛：本题考查求圆的方程和根据条件求直线方程，解答本题的关键是由以EF 为直径
的圆过点M （0），则0ME MF ⋅=，得到
ME MF ⋅=())2
12121120k x x x x +-++=，再由方程联立韦达定理代入解出参数
k 得到答案,属于中档题.。