红对勾文科数学5-4

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第五章·第四节
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两
式
相
减
得
3 4
Rn
＝
(
1 4
)1
＋
(
1 4
)2
＋
(
1 4
)3
＋
…
＋
(
1 4
)n

－
1
－
(n
－
1)×(14)n＝141－－1414n－(n－1)×(14)n＝13－1＋33n(14)n，整理得 Rn
＝19(4－34nn＋－11)．
所以数列{cn}的前 n 项和 Rn＝19(4－34nn＋－11)．
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考情剖析 1.错位相减法、裂项相消法、分组求和法以各种题型的形式出 现，一般每年高考都要涉及. 2.考查数列与函数、不等式、解析几何的综合问题一般难度较 大，且以解答题为主.
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自主回顾·打基础
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错位相减法求和
【例 2】 (2013·山东卷)设等差数列{an}的前 n 项和 为 Sn，且 S4＝4S2，a2n＝2an＋1.
(1)求数列{an}的通项公式； (2)设数列{bn}的前 n 项和为 Tn，且 Tn＋an2＋n 1＝λ(λ 为常数)．令 cn＝b2n(n∈N*)．求数列{cn}的前 n 项和 Rn.
所以an＝3n－1，bn＝2n，n∈N*.
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(2)证明：由(1)得Tn＝2an＋22an－1＋23an－2＋…＋2na1， ①
2Tn＝22an＋23an－1＋…＋2na2＋2n＋1a1.② 由②－①，得Tn＝－2(3n－1)＋3×22＋3×23＋…＋ 3×2n＋2n＋2＝1211－－22n－1＋2n＋2－6n＋2＝10×2n－6n－10. 而－2an＋10bn－12＝－2(3n－1)＋10×2n－12＝10×2n －6n－10，故Tn＋12＝－2an＋10bn(n∈N*)．
答案：A
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2．设函数f(x)＝xm＋ax的导函数f′(x)＝2x＋1，则数列
{f1n}(n∈N*)的前n项和是(
)
n A.n＋1
n＋2 B.n＋1
n C.n－1
n＋1 D. n
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合作学习·速通关
提升素养·破难点
课时作业
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自主回顾·打基础
强根基·固本源
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1．数列求和的常用方法
(1)公式法
直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和
①等差数列的前n项和公式：
Sn＝na12＋an＝ na1＋nn－2 1d
解：(1)设 q 为等比数列{an}的公比，则由 a1＝2，a3＝ a2＋4 得 2q2＝2q＋4，即 q2－q－2＝0，解得 q＝2 或 q＝－ 1(舍去)，因此 q＝2.
所以{an}的通项公式为 an＝2·2n－1＝2n(n∈N*)． (2)Sn＝211－－22n＋n×1＋nn－2 1×2＝2n＋1＋n2－2.
(1)p，q的值； (2)数列{xn}前n项和Sn的公式．
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第(1)问由已知条件列出关于p、q的方程组 求解；第(2)问分组后用等差、等比数列的求和公式求 解．
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【解析】 (1)由x1＝3，得2p＋q＝3，又因为x4＝24p＋ 4q，x5＝25p＋5q，且x1＋x5＝2x4，得3＋25p＋5q＝25p＋ 8q，解得p＝1，q＝1.
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用错位相减法求和注意：
1在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式 “错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式. 2在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数， 应分公比等于1和不等于1两种情况求解.
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答案：(1＋p)12－1
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合作学习·速通关
抓重点·破疑难
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分组求和法求和
【例1】 已知数列{xn}的首项x1＝3，通项xn＝2np ＋nq(n∈N*，p，q为常数)，且x1，x4，x5成等差数 列．求：
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(4)裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项 可以相互抵消，从而求得其和． (5)分组求和法 一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列 或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求 和而后相加减．
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必考部分
必考部分·第五章
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第五章 数列
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第四节 数列求和与数列的综合应用
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考纲解读 1.熟练掌握等差数列、等比数列的前n项和公式，掌握常见的非等 差、等比数列的求和方法. 2.能在具体情境中识别等差关系或等比关系，并能用相关知识解 决相应的问题.
答案：D
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4．数列1,412，714，1018，…前10项的和为________．
解析：1＋412＋714＋1018＋…＋285112＝(1＋4＋7＋…＋ 28)＋(12＋14＋18＋…＋5112)＝145551112.
答案：145551112
(2)由(1)，知xn＝2n＋n，所以Sn＝(2＋22＋…＋2n)＋(1 ＋2＋…＋n)＝2n＋1－2＋nn＋2 1.
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对于不能由等差数列、等比数列的前n项和公式直接求和的 问题，一般需要将数列通项的结构进行合理的拆分，转化 成若干个等差数列、等比数列的求和
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【解析】 (1)设等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d. 由 S4＝4S2，a2n＝2an＋1 得 4a1＋6d＝8a1＋4d， a1＋2n－1d＝2a1＋2n－1d＋1. 解得 a1＝1，d＝2. 因此 an＝2n－1，n∈N*.
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2．等差、等比数列与其他知识的综合 (1)数列是自变量为正整数的一类函数，数列的通项公 式相当于函数的解析式，我们可以用函数的观点来研究数 列．例如要研究数列的单调性、周期性，可以通过研究其 通项公式所对应函数的单调性、周期性来实现，但要注意 数列与函数的不同，数列只能看作是自变量为正整数的一 类函数，在解决问题时要注意这一特殊性．
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设{an}是公比为正数的等比数列，a1＝2，a3＝a2＋4. (1)求{an}的通项公式； (2)设{bn}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{an ＋bn}的前n项和Sn.
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5．如果某种产品的产量月增长率为p，则年增长率为 ________．
解析：设年初的产量为a，则一月底为a(1＋p)，二月底 为a(1＋p)2，…，12月底为a(1＋p)12.设年增长率为x，则一 年底为a(1＋x)，所以a(1＋x)＝a(1＋p)12，解得：x＝(1＋p)12 －1.
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解：(1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公 比为q.由a1＝b1＝2，得a4＝2＋3d，b4＝2q3，S4＝8＋6d.由 条件，得方程组28＋＋36dd＋－22qq33＝＝2170，， 解得dq＝ ＝32， .
；
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②等比数列的前n项和公式：
na1，
a11－qn
q＝1
Sn＝a11－－aqnq＝
1－q
， q≠1 .
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(2)倒序相加法 如果一个数列{an}的前n项中首末两端等“距离”的
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1．若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n(3n－2)，则a1＋
a2＋…＋a10＝( )
A．15
B．12
C．－12
D．－15
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解析：∵an＝(－1)n(3n－2)，∴a1＋a2＋…＋a10＝(－1 ＋4)＋(－7＋10)＋…＋(－25＋28)＝3×5＝15.
两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项 和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和即是用此法推 导的．
(3)错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数
列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此 法来求，如等比数列的前n项和就是用此法推导的．
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(6)并项求和法 一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并 项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求 解．例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋ 99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.
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等比数列，且a＋3b＋c＝10，则a＝( )
A．4
B．2
C．－2
D．－4
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解析：由c，a，b成等比数列可将公比记为q，三个实 数a，b，c待定为cq，cq2，c.由实数a，b，c成等差数列， 得2b＝a＋c，即2cq2＝cq＋c，又在等比数列中c≠0，所以 2q2－q－1＝0，解之得q＝1(舍去，否则三个实数相等)或q ＝－12，又a＋3b＋c＝a＋3aq＋aq＝－52a＝10，所以a＝－4.
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(1)根据两个已知条件列出关于数列{an}的首项 和公差的方程组即可解得；(2)根据 Tn 满足的关系式，利用 数列的前 n 项和与项的关系即可得出 n≥2 时数列{bn}的通 项公式，进而得出 cn 的通项公式，再利用“错位相减法”即 可求出 Rn.
解析：∵f′(x)＝mxm－1＋a＝2x＋1，∴a＝1，m＝2， ∴f(x)＝x(x＋1)，f1n＝nn1＋1＝1n－n＋1 1，用裂项相消法求 和得Sn＝n＋n 1.故选A.
答案：A
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3．若互不相等的实数a，b，c成等差数列，c，a，b成
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(2)数列与不等式的综合问题主要有三种：一是判断数 列问题中的一些不等关系；二是以数列为载体，考查不等 式的恒成立问题；三是考查与数列问题有关的不等式的证 明问题．在解决这些问题时，要充分利用数列自身的特 点，例如在需要用到数列的单调性的时候，可以通过比较 相邻两项的大小进行判断．
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已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn，{bn}是等比数 列，且a1＝b1＝2，a4＋b4＝27，S4－b4＝10.
(1)求数列{an}与{bn}的通项公式； (2)记Tn＝anb1＋an－1b2＋…＋a1bn，n∈N*，证明Tn＋12 ＝－2an＋10bn(n∈N*)．
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(2)由题意知 Tn＝λ－2nn－1，所以 n≥2 时，bn＝Tn－Tn－1 ＝－2nn－1＋n2－n－12 ＝n2－n－21 .故 cn＝b2n＝22n2－n－12＝(n－1)(14)n－1，n ∈N*，所以 Rn＝0×(14)0＋1×(14)1＋2×(14)2＋3×(14)3＋…＋(n －1)×(14)n－1，则14Rn＝0×(14)1＋1×(14)2＋2×(14)3＋…＋(n－ 2)×(14)n－1＋(n－1)×(14)n，