历年高考数学真题-2004年普通高等学校招生全国统一考试湖南卷文科数学试题及解答

2004年普通高等学校招生湖南卷文史类数学试题
一、选择题：本大题 共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项符合要求的
1．函数)11lg(x
y -= 的定义域为 （ ）
A ．{}0|<x x
B ．{}1|>x x
C ．{}10|<<x x
D ．{}10|><或x x
2．设直线 ax+by+c=0的倾斜角为α，且sin α+cos α=0，则a,b 满足 （ ）
A ．1=+b a
B ．1=-b a
C ．0=+b a
D ．0=-b a
3．设)(1
x f -是函数f(x)=x 的反函数，则下列不等式中恒成立的是
（ ）
A ．12)(1-≤-x x f
B ．12)(1+≤-x x f
C ．12)(1
-≥-x x f
D ．12)(1
+≥-x x f
4．如果双曲线112
13
2
2=-y x 上一点P 到右焦点的距离为13, 那么点P 到右准线的距离是（ ）
A ．
5
13
B ．13
C ．5
D ．
13
5
5．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当A 、B C 、D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，
直线BD 与平面ABC 所成的角的大小为 （ ）
A ．90°
B ．60°
C ．45°
D ．30°
6．某公司甲、乙、丙、丁四个地区分别有150 个、120个、180个、150个销售点.公司为
了调查产品的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其收入和售后服务等情况，记这项调查为②.则完成这两项调查宜采用的抽样方法依次为 （ ）
A ．分层抽样法，系统抽样法
B ．分层抽样法，简单随机抽样法
C ．系统抽样法，分层抽样法
D ．简单随机抽样法，分层抽样法
7．若f(x)=-x 2+2ax 与1
)(+=x a
x g 在区间[1,2]上都是减函数，则a 的值范围是 （ ）
A ．)1,0()0,1(⋃-
B ．]1,0()0,1(⋃-
C ．（0，1）
D ．]1,0(
8．已知向量)sin ,(cos θθ=a ,向量)1,3(-=b 则|2|b a -的最大值，最小值分别是（ ）
A ．0,24
B ．24,4
C ．16，0
D ．4，0
=x2+b x+c
/
）
10．从正方体的八个顶点中任取三个点作为三角形，直角三角形的个数为（）A．56 B．52 C．48 D．40
11．农民收入由工资性收入和其它收入两部分构成.2003年某地区农民人均收入为3150元(其中工资性收入为1800元，其它收入为1350元), 预计该地区自2004年起的5 年内，农民的工资性收入将以每年6%的年增长率增长，其它收入每年增加160元
2008年该地区农民人均收入介于（）A．4200元~4400元B．4400元~4600元
C．4600元~4800元D．4800元~5000元
12．设集合U={(x,y)|x∈R,y∈R}, A={(x,y)|2x-y+m>0}, B={(x,y)|x+y-n≤0},那么点P（2，3）)
(B
C
A
U
⋂
∈的充要条件是（）A．5
,1<
-
>n
m B．5
,1<
-
<n
m
C．5
,1>
-
>n
m D．5
,1>
-
<n
m
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.
13．过点P（－1，2）且与曲线y=3x2-4x+2在点M（1，1）处的切线平行的直线方程是__________. 14．9
2)
1
(
x
x+的展开式中的常数项为___________(用数字作答)
15．F1，F2是椭圆C：1
4
8
2
2
=
+
x
x
的焦点，在C上满足PF1⊥PF2的点P的个数为__________. 16．若直线y=2a与函数y=|a x-1|(a>0,且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是_______.
A
x
D
C
x
B
三、解答题：本大题 共6小题，共74分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或运算
步骤. 17．（本小题满分12分）
.cos cos sin 21
,2)4tan(2的值求已知α
αααπ+=+
18．（本小题满分12分） 如图，在底面 是菱形的四棱锥P —ABC Ｄ中，∠ABC=600，PA=AC=a ,PB=PD=a 2,点E 是PD 的中点.
（I ）证明PA ⊥平面ABCD ，PB ∥平面EAC ；
（II ）求以AC 为棱，EAC 与DAC 为面的二面角θ的正切值.
B
D
19．（本小题满分12分）
甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙
机床加工的零件不是一等品的概率为
4
1
,乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为121,甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为9
2
.
（Ⅰ）分别求甲、乙、丙三台机床各自加工零件是一等品的概率；
（Ⅱ）从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率.
20．（本小题满分12分）
已知数列{a n }是首项为a 且公比q 不等于1的等比数列，S n 是其前n 项的和，a 1,2a 7,3a 4 成等差数列.
（I ）证明 12S 3,S 6,S 12-S 6成等比数列； （II ）求和T n =a 1+2a 4+3a 7+…+n a 3n-2. 21．（本小题满分12分）
如图，已知曲线C 1：y=x 3(x ≥0)与曲线C 2:y=－2x 3+3x (x ≥0)交于O ，A,直线x =t(0<t<1)与曲线C 1,C 2分别交于B ，D.
（Ⅰ）写出四边形ABOD 的面积S 与t 的函数关系式S=f(t); （Ⅱ）讨论f(t)的单调性，并求f(t) 的最大值.
22．（本小题满分14分）
如图，过抛物线x 2=4y 的对称轴上任一点P （0,m ）(m>0)作直线与抛物线交于A,B 两点，点Q 是点P 关于原点的对称点
（I ）设点P 分有向线段AB 所成的比为λ，证明:)(QB QA QP λ-⊥
（II ）设直线AB 的方程是x -2y+12=0，过A,B
两点的圆C 与抛物线在点A 处有共同的切线，求圆C 的方程.
B
D
B
D
2004年普通高等学校招生湖南卷文史类类数学试题
参考答案
1.D
2.D
3.C
4.A
5.C
6.B
7.D
8.D
9.A 10.C 11.B 12.A 13．2x －y+4=0 14．84 15．2 16．)2
1
,0( 17．（本小题满分12分）
解：由.3
1
tan ,
2tan 1tan 1)4
tan(
==-+=
+αα
α
απ
得
于是.
3213
21
)31
(1
tan 21tan cos cos sin 2cos sin cos cos sin 2122
22
2
2=+⨯+=++=++=+ααααααααααα 18．（Ⅰ）证法一 因为底面ABCD 是菱形，∠ABC=60°，
所以AB=AD=AC=a ， 在△PAB 中， 由PA 2+AB 2=2a 2=PB 2 知PA ⊥AB. 同理，PA ⊥AD ，所以PA ⊥平面ABCD.
因为 ++=++=2 .)()(+=+++=
所以 、、共面.
又PB ⊄平面EAC ，所以PB//平面EAC. 证法二 同证法一得PA ⊥平面ABCD.
连结BD ，设BD ⋂AC=O ，则O 为BD 的中点. 连结OE ，因为E 是PD 的中点，所以PB//OE.
又PB ⊄平面EAC ，OE ⊂平面EAC ，故PB//平面EAC. （Ⅱ）解 作EG//PA 交AD 于G ，由PA ⊥平面ABCD. 知EG ⊥平面ABCD.
作GH ⊥AC 于H ，连结EH ，则EH ⊥AC ，∠EHG 即为二面角平面角.
又E 是PD 的中点，从而G 是AD 的中点，
.4
360sin ,21,21a AG GH a AG a EG =︒===
所以 .3
3
2tan ==GH EG θ 19．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）设A 、B 、C 分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件.
由题设条件有⎪⎪
⎪⎩⎪⎪
⎪⎨⎧
=⋅=-⋅=-⋅⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=⋅=⋅=⋅.92)()(,121))(1()(,41))(1()(.92)(,121)(,41)(C P A P C P B P B P A P C A P C B P A P 即 由①、③得)(8
9
1)(C P B P -
= 代入②得 27[P(C)]2－51P(C)+22=0. ① ② ③
解得 9
11
32)(或=C P （舍去）. 将 32)(=
C P 分别代入 ③、② 可得 .4
1)(,31)(==B P A P 即甲、乙、丙三台机床各加工的零件是一等品的概率分别是.3
2
,41,31
（Ⅱ）记D 为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的事件，
则 .6
53143321))(1))((1))((1(1)(1)(=⋅⋅-=----=-=C P B P A P D P D P 故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的概率为.6
5
20．（Ⅰ）证明 由4713,2,a a a 成等差数列， 得41734a a a +=，
即 .3436aq a aq += 变形得 ,0)1)(14(33=-+q q 所以14
1
33
=-
=q q 或（舍去）. 由 .16
11211)1(121)
1(123
316136=+=----=q q
q a q q a S S .1611111)
1(1)
1(16
6611216126612==-+=-----=-=-q q q
q a q q a S S S S S 得
.126
6
1236S S S S S -= 所以12S 3，S 6，S 12－S 6成等比数列. （Ⅱ）解：.3232)1(36323741--++++=++++=n n n naq aq aq a na a a a T 即 .)
4
1()4
1(3)4
1
(21
2
a n a a a T n n --⋅++-⋅+-⋅+= ①
①×)4
1
(-得： a n a n a a a T n n n )4
1()4
1()4
1(3)4
1(24
14
1132---⋅++-⋅+-⋅+=--
.)41()54(54)41()
4
1(1]
)41
(1[a n a a n a n n n -⋅+-=-⋅-----=
所以 .)4
1()5
425
16(25
16a n a T n n -⋅+-=
21．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由⎪⎩⎪⎨⎧+-==,
323
3
x x y x
y 得交点O 、A 的坐标分别是（0，0），（1，1）. ),33(2
1
||21|01|||21)(3t t BD BD S S t f OBD ABO +-==-⋅=+=∆∆ 即 ).10().
(2
3
)(3<<--=t t t t f
（Ⅱ）.2329)(2+-
='t t f 令0)(='t f 解得 .33=t 当,0)(,330>'<<t f t 时从而)(t f 在区间)33
,0(上是增函数；
当,0)(,133<'<<t f t 时从而)(t f 在区间)1,3
3(上是减函数.
所以当 3
3
=t 时，)(t f 有最大值为 .33)33(=f
22．解：（Ⅰ）依题意，可设直线AB 的方程为 ,m kx y +=代入抛物线方程y x 42=得
.0442=--m kx x ①
设A 、B 两点的坐标分别是 ),(11y x 、122),,(x y x 则、x 2是方程①的两根. 所以 .421m x x -=
由点P （0，m ）分有向线段AB 所成的比为λ， 得
.,012
121x x
x x -==++λλλ即
又点Q 是点P 关于原点的对称点，
故点Q 的坐标是（0，－m ），从而)2,0(m QP =.
).)1(,(),(),(21212211m y y x x m y x m y x QB QA λλλλλ-+--=+-+=- ])1([2)(21m y y m QB QA QP λλλ-+-=-⋅
2
2
121212
2212144)(2])1(44[2x m
x x x x m m x x x x x x m +⋅+=++⋅+= .0444)(22
21=+-⋅+=x m
m x x m
所以 ).(QB QA QP λ-⊥
（Ⅱ）由 ⎩
⎨⎧==+-,4,
01222y x y x 得点A 、B 的坐标分别是（6，9）、（－4，4）.
由 y x =2 得 ,21
,412x y x y ='=
所以抛物线 y x 42
=在点A 处切线的斜率为36='=x y
设圆C 的方程是,)()(2
2
2
r b y a x =-+-
则⎪⎩
⎪
⎨⎧-++=-+--=--.)4()4()9()6(,3
192222b a b a b a b 解之得 .2
125
)4()4(,223,23222=-++==
-=b a r b a 所以圆C 的方程是 ,2
125
)223()23(22=-
++y x 即 .0722332
2=+-++y x y x。