2012高考复习配套月考试卷4A1

试卷类型：A
2012届高三全品原创月考试题四
数 学
适用地区：新课标地区
考查范围：集合、逻辑、函数、导数、三角、向量、数列、不等式 、立体几何、解析几何概率统计
建议使用时间：2011年10月底
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考生作答时，将答案答在答题卡上．在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项：
1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上．
2．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．
3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效． 4．保持卡面清洁，不折叠，不破损．
5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的）
1.若集合{1,0,1},{cos ,},A B y y x x A =-==∈|则A B =（ ） A.{0}
B.{1}
C.{0,1}
D.{}1,0,1-
3. [2011·浙江
卷]若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )
4．（理）在二项式2
5
1()x x
-的展开式中，含4
x 的项的系数是（ ） A ．10- B ．10 C ．5- D ．5
（文）[2011·安徽合肥质检]{1,2,3}A =,2
{|0,,}B x x ax b a A b A =∈-+=∈∈R ,则A B B = 的概
率是（ ）
A.
29
B. 13
C. 8
9 D.
5．[2011·浙江卷] 若0<α<π2，－π2<β<0，cos （π4＋α）＝13，cos （π4－β2）＝33，则cos （α＋β
2
）＝( )
A.33 B ．－33 C.539 D ．－69 6．[2011·四川卷] 有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：
[11.5,15.5) 2 [15.5,19.5) 4 [19.5,23.5) 9 [23.5,27.5) 18 [27.5,31.5) 11 [31.5,35.5) 12 [35.5,39.5) 7 [39.5,43.5) 3
根据样本的频率分布估计，数据落在[31.5,43.5)的概率约是( ) A.16 B.13 C.12 D.23
7．（理）设[](]2,0,1,
()1,1,e x x f x x x
⎧∈⎪
=⎨∈⎪⎩（其中e 为自然对数的底数），则e 0
()d f x x ⎰的值为( )
A ．43
B ．54
C ．65
D ．
67
（文）某农贸市场出售西红柿，当价格上涨时，供给量相应增加，而需求量相应减少，具体结果如下表：
表1 市场供给表
表2 市场需求表 根据以上提供
的信息，市场供需
平衡点（即供给量和需求量相等时的单价）大约为（ ）
A ．2.3元
B ．2.5元
C ．2.7元
D ．2.9元 8．[2011·课标全国卷] 设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两
点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为( )
A. 2
B. 3 C ．2 D ．3
9．已知等比数列{}n a 中有31174a a a =，数列{}n b 是等差数列，且77a b =，则59b b +=（ ）
A ．2
B ．4
C ．8
D ．16 10．[2011·浙江卷] 设实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋2y －5>0，2x ＋y －7>0，
x ≥0，y ≥0，
若x ，y 为整数，则3x ＋4y 的最小值是( )
A ．14
B ．16
C ．17
D ．19
11．[2011·课标全国卷] 有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小
组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( ) A.13 B.12 C.23 D.34
单价（元/kg ） 4.2 8.2 2.3 6.3 供给量(1000/kg) 50 60 70 75 80 90 单价（元/kg ） 4.3 9.2 6.2 3.2 需求量（1000/kg ） 50 60 65 70 75 80
A 1
B 1
C 1
D 1
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．将答案填在答题卷相应位置上） 13．（理）[2011·天津卷] 一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，若用分层抽样的方法从该队的全
体运动员中抽取一个容量为21的样本，则抽取男运动员的人数为________． （文）[2011·江苏苏州调研]已知集合{}2,5A =,在中可重复的依次取出三个数,,a b c ，则“以,,a b c 为边恰好构成三角形”的概率是 .
14．[2011·安徽“江南十校”联考 ]设F 1、F 2分别是椭圆
22
12516
x y +=的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为（6，4），则|PM |＋|PF 1|的最大值为 . 15．[2011·课标全国卷] 在△ABC 中，B ＝60°，AC ＝3，则AB ＋2BC 的最大值为________．
16．[2011·山东卷] 设函数f (x )＝x
x ＋2
(x >0)，观察：
f 1(x )＝f (x )＝x
x ＋2
，
f 2(x )＝f (f 1(x ))＝x
3x ＋4，
f 3(x )＝f (f 2(x ))＝x
7x ＋8，
f 4(x )＝f (f 3(x ))＝x
15x ＋16
，
……
根据以上事实，由归纳推理可得：
当n ∈N *且n ≥2时，f n (x )＝f (f n －1(x ))＝________.
三、解答题（本大题共6小题，满分74分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）
17. （本小题满分12分）[2011·安徽卷] 在数1和100之间插入n 个实数，使得这n ＋2个数构成递增的
等比数列，将这n ＋2个数的乘积记作T n ，再令a n ＝lg T n ，n ≥1. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝tan a n ·tan a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和S n . 18.（本小题满分12分）
（理）如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为AB 的中点,
(１)若为1AA 的中点，求证: EF ∥面11DD C C ； （2）若为1AA 的中点,求二面角1A EC D --的余弦值；
(3)若在1AA 上运动时（与、1A 不重合），求当半平面1D EF 与半平面ADE 成π
4
的角时，线段1A F FA 与的比.
(文)如图，在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD -中，,AB AC PA ABCD ⊥⊥面,点是PD 的中点． （1）求证：AC PB ⊥; （2）求证：PB
AEC 面.
19. （本小题满分12分）
（理）[2011·课标全国卷] 某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方(分别称为A 配方和B 配方)做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：
(2)已知用B 配方生产的一件产品的利润y (单位：元)与其质量指标值t 的关系式为
y ＝⎩⎪⎨⎪
⎧
－2，t ＜94，2，94≤t ＜102，4，t ≥102.
从用B 配方生产的产品中任取一件，其利润记为X (单位：元)，求X 的分布列
及数学期望．(以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率)
（文）[2011·福建福州质检] “石头、剪刀、布”是一种广泛流传于我国民间的古老游戏，其规则是：用三种不同的手势分别表示石头、剪刀、布；两个玩家同时出示各自手势1次记为1次游戏， “石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”；双方出示的手势相同时，不分胜负．现假设玩家甲、乙双方在游戏时出示三种手势是等可能的．
（1）写出玩家甲、乙双方在1次游戏中出示手势的所有可能结果；
（2）求出在1次游戏中玩家甲不输于玩家乙的概率．
20.（本小题满分12分） [2011·浙江衢州质检]已知等差数列{}n a 的前项和为n S ，且21017,100a S ==. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若数列{}n b 满足*
cos()2()n n n b a n n π=+∈N ，求数列{}n b 的前项和.
21．（本小题满分12分）[2011·北京卷] 已知椭圆G ：x 24
＋y 2
＝1，过点(m,0)作圆x 2＋y 2＝1的切线l 交椭圆
G 于A ，B 两点．
(1)求椭圆G 的焦点坐标和离心率；
(2)将|AB |表示为m 的函数，并求|AB |的最大值． 22.（本小题满分14分）
已知函数3211()(,)32
a f x x x bx a a
b +=-++∈R ，其导函数()f x '的图象过原点. (1)当1a =时，求函数()f x 的图象在3x =处的切线方程； (2)若存在0x <，使得()9f x '=-，求的最大值； (3)当0a >时，确定函数()f x 的零点个数.
试卷类型：A
2012届高三原创月考试题四
数 学
1.【答案】B
【解析】当x =-1,0,1时集合B 的元素y 对应取值为：cos （-1），1，cos1，故A ∩B ={1}. 2.【答案】C
【解析】因为S △ABE ＝1
2
|AB |·|BC |，S 矩形＝|AB |·|BC |，
则点Q 取自△ABE 内部的概率p ＝S △ABE S 矩形＝1
2
，故选C.
3.【答案】D
【解析】由正视图可排除A 、B 选项，由俯视图可排除C 选项． 4.（理）【答案】B 【解析】由于25210315
51C ()
(1)C ()
,1034,2,r
r
r
r r r
r T x x r r x --+⎛⎫==--=∴= ⎪⎝⎭
对于 则4
x 的项的系数是225C (1)10-=.
（文）【答案】C
【解析】有序实数对(),a b 的取值情形共有9种，满足A B B =的情形有：
（1）()()()()()()1,1,1,2,1,3,2,2,2,3,3,3，此时B =∅；
（2）()2,1，此时{}1B =; （3)()3,2，此时{}1,2B =. 所以A
B B = 的概率为8
.9
P =
5. 【答案】 C
【解析】∵cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝13，0<α<π2，∴sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝233.又∵cos ⎝⎛⎭⎫π4－β2＝33，－π2
<β<0，
∴sin ⎝⎛⎭⎫π4－β2＝6
3，∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋β2＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π4＋α－⎝⎛⎭⎫π4－β2＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4－β2＋sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫π4－β2＝13×33＋223×63＝539
. 6. 【答案】B
【解析】根据样本中的频率分布可得：数据落在[31.5,43.5)的概率约是12＋7＋366＝2266＝1
3
.
7.（理）【答案】A 【解析】
e
1e
231
e
10
1
11
4()d d d ln .3
3f x x x x x x x x =+=+=⎰
⎰⎰
(文)【答案】C
【解析】比较两个表格易得选项C 正确. 8. 【答案】B
【解析】设双曲线方程为x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)，
直线过右焦点F ，且垂直于x 轴交双曲线于A ，B 两点，则||AB ＝2b 2
a
＝4a ，所以b 2＝2a 2，所以双曲线
的离心率e ＝1＋b 2
a
2＝ 3.
9. 【答案】C
【解析】31174a a a =，可知a 7=4，5977228.b b b a +=== 10. 【答案】B
【解析】可行域如图所示：
联立⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －5＝0，2x ＋y －7＝0，解之得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝3，y ＝1.
又∵边界线为虚线，且目标函数线的斜率为－34，∴当z ＝3x ＋
4y 过点(4,1)时，有最小值16.
11.【答案】A
【解析】甲、乙两名同学参加小组的情况共有9种，参加同一小组的情况有3种，所以参加同一小组
的概率为39＝1
3
.
12.【答案】B
【解析】以AC 、AB 为、轴建立直角坐标系，设等腰直角△ABC 的腰长为2，则O 点坐标为（1，1），(
0,2)B ，
(2,0)C ，∵,AB mAM AC nAN == ，
∴,AB AC AM AN m n ==
，∴2(0,)M m ，2
(,0)N n
， ∴直线MN 的方程为122
nx my
+=，∵直线MN 过点O （1，1）,
∴1222
m n
m n +=⇒+=.
∵m n +≥2
()14
m n mn +≤
=，当且仅当1m n ==时取等号，∴mn 的最大值为1.
13. （理）【答案】12
【解析】设抽取男运动员人数为n ，则n 48＝21
48＋36，解之得n ＝12.
（文）【答案】
5
8
【解析】“在中可重复的依次取出三个数,,a b c ”的基本事件总数为3
28=，事件“以,,a b c 为边不能构成三角形”分别为()()()2,2,5,2,5,2,5,2,2,所以35
1.88
P =-
= 14. 【答案】15
【解析】|PF 1|＋| PF 2|＝10，|PF 1|＝10－| PF 2|，|PM |＋|PF 1|＝10＋|PM |－| PF 2|.
易知M 点在椭圆外，连结MF 2并延长交椭圆于P 点，此时|PM |－| PF 2|取最大值|MF 2|，
故|PM |＋|PF 1|的最大值为10＋|MF 2|＝1015+=.
15. 【答案】【解析】 因为B ＝60°，A ＋B ＋C ＝180°，所以A ＋C ＝120°， 由正弦定理，有 AB sin C ＝BC sin A ＝AC sin B ＝3
sin60°＝2， 所以AB ＝2sin C ，BC ＝2sin A .
所以AB ＋2BC ＝2sin C ＋4sin A ＝2sin(120°－A )＋4sin A ＝2(sin120°cos A －cos120°sin A )＋4sin A ＝3cos A ＋5sin A
＝27sin(A ＋φ)，(其中sin φ＝327，cos φ＝5
27
)
所以AB ＋2BC 的最大值为27.
16. 【答案】(21)2
n n
x x -+
【解析】观察1,3,7,15，…，与对应项的关系，显然满足2n －1，观察2,4,8,16，…与对应项的关系，
显然满足2n ，故f n (x )＝x
(2n －1)x ＋2n
.
17.解：(1)设t 1，t 2，…，t n ＋2构成等比数列，其中t 1＝1，t n ＋2＝100，则
T n ＝t 1·t 2·…·t n ＋1·t n ＋2，① T n ＝t n ＋2·t n ＋1·…·t 2·t 1，②
①×②并利用t i t n ＋3－i ＝t 1t n ＋2＝102(1≤i ≤n ＋2)，得
T 2n ＝(t 1t n ＋2)·
(t 2t n ＋1)·…·(t n ＋1t 2)·(t n ＋2t 1)＝102(n ＋2)．
∴a n ＝lg T n ＝n ＋2，n ≥1.
(2)由题意和(1)中计算结果，知 b n ＝tan(n ＋2)·tan(n ＋3)，n ≥1， 另一方面，利用
tan1＝tan[(k ＋1)－k ]＝tan (k ＋1)－tan k
1＋tan (k ＋1)·tan k ，
得tan(k ＋1)·tan k ＝tan (k ＋1)－tan k
tan1
－1.
所以S n ＝∑k ＝1
n
b k ＝∑k ＝3
n ＋2
tan(k ＋1)·tan k
＝∑k ＝3
n ＋2
⎣⎡
⎦
⎤
tan (k ＋1)－tan k tan1－1
＝
tan (n ＋3)－tan3
tan1
－n .
18. (理)解：（1）证明：连结1A B ,∵E 为AB 的中点，F 为1AA 的中点， 1.EF
A B ∴
又11111,,A B
D C EF D C EF DD C C ∴∴面.
(2)设二面角1A EC D --的大小为θ，正方体的棱长为2，由（1）知1,,,F D C E 四点共面，且四边形1EFD C 为等腰梯形.
又119222EFD C S =⨯=梯形，1
2332
ADCE S =⨯⨯=梯形， ∴ 132cos 932
ADCE EFD C S S θ=
==梯形梯形， ∴ 二面角1A EC D --的余弦值为2
3
．
（3）建立如图所示的坐标系，设正方体的棱长为2，()20<<=x x AF ，则 ()()()()()10,0,0,2,0,0,2,1,0,0,0,2,2,0,D A E D F x .
∴
11π
cos 4DD DD ⋅==
=⋅n n ，
解得45x =
，即1446,2555
FA A F ==-=，∴ 线段1A F FA 与的比为3
2． （文）证明：（1）ABCD AC ABCD PA 面面⊂⊥, ，∴AC PA ⊥.
又,,AB AC PA AB A ⊥=
PAB AB PAB PA A AC PA AC AB 面面⊂⊂=⋂⊥,,, ， ∴PAB AC 面⊥，∴PB AC ⊥ .
（2）连结BD 交AC 于点O ，并连结EO ， 四边形ABCD 为平行四边形, ∴O 为BD 的中点 . 又E 为PD 的中点 ,
∴在△PDB 中,EO 为中位线，PB EO // .
AEC EO AEC PB 面面⊂⊄, ,∴AEC PB 面//.
19. (理）解：
(1)由试验结果知，用A 配方生产的产品中优质品的频率为22＋8
100
＝0.3，所以用A 配方生产的产品的优
质品率的估计值为0.3.
由试验结果知，用B 配方生产的产品中优质品的频率为32＋10
100
＝0.42，所以用B 配方生产的产品的优
质品率的估计值为0.42.
(2)用B 配方生产的100件产品中，其质量指标值落入区间[90,94)，[94,102)，[102,110]的频率分别为0.04，0.54，0.42，因此
P (X ＝－2)＝0.04，P (X ＝2)＝0.54，P (X ＝4)＝0.42， 即X 的分布列为
X 的数学期望EX ＝－2×0.04＋2（文）解：（1）玩家甲、乙双方在1次游戏中出示手势的所有可能结果是：（石头，石头）；（石头，剪刀）；（石头，布）；（剪刀，石头）；（剪刀，剪刀）；（剪刀，布）；（布，石头）；（布，剪刀）；（布，布）．
（2）由（1）知，基本事件共有9个，玩家甲不输于玩家乙的基本事件分别是：（石头，石头）；（石头，剪刀）；（剪刀，剪刀）；（剪刀，布）；（布，石头）；（布，布），共有6个．所以，在1次游戏中玩家甲不输于玩家乙的概率62
93
P =
=. 20．解：(1)设{}n a 首项为1a ，公差为d ，则()11
17,
1029100,2
a d a d +=⎧⎪
⎨+=⎪
⎩解得119,2,a d =⎧⎨=-⎩
19(1)(2)212.n a n n ∴=+-⨯-=-
（2）
cos(π)2(1)2,n n n n n n b a n a =+=-+
当n 为偶数时，()()()
2312123(2)222n n n n T b b b a a a a =++⋅⋅⋅+=-++++-++⋅⋅⋅++
()1212(2)22;212
n
n n n +-=-⨯+=--- 当n 为奇数时，()()()2312123(2)222n
n n n T b b b a a a a =++⋅⋅⋅+=-++++-++⋅⋅⋅+-+
()()()1
11231212119222222.12
2
n n n n n n a a a a a n ++---=-+-+⋅⋅⋅+-+
=-+⨯
+-=+--()()11
22,222.
n n n n n T n n ++⎧--⎪
∴=⎨+-⎪⎩当为偶数当为奇数 21．解：(1)由已知得a ＝2，b ＝1.
所以c ＝a 2－b 2＝ 3.
所以椭圆G 的焦点坐标为(－3，0)，(3，0)．
离心率为e ＝c a ＝3
2
.
(2)由题意知，|m |≥1.
当m ＝1时，切线l 的方程为x ＝1，点A ，B 的坐标分别为⎝
⎛⎭⎫1，
32，⎝⎛⎭
⎫1，－32， 此时|AB |＝ 3.
当m ＝－1时，同理可知|AB |＝ 3.
当|m |＞1时，设切线l 的方程为y ＝k (x －m )，
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝k (x －m )，x 24＋y 2
＝1
得(1＋4k 2)x 2－8k 2mx ＋4k 2m 2－4＝0. 设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，
则x 1＋x 2＝8k 2m
1＋4k 2，x 1x 2＝4k 2m 2－41＋4k 2
，
又由l 与圆x 2＋y 2＝1相切，得|km |
k 2＋1
＝1，
即m 2k 2＝k 2
＋1，
所以|AB |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2 ＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]
＝ (1＋k 2)⎣⎢⎡⎦
⎥⎤64k 4m 2
(1＋4k 2)2－4(4k 2m 2－4)1＋4k 2 ＝43|m |m 2＋3
. 由于当m ＝±1时，|AB |＝ 3.
所以|AB |＝43|m |
m 2＋3，m ∈(－∞，－1 ]∪[1，＋∞)．
因为|AB |＝43|m |m 2＋3
＝43
|m |＋
3|m |
≤2，且当m ＝±3时，|AB |＝2.
所以|AB |的最大值为2.
22．解：(１)因为2
()(1)f x x a x b '=-++，由已知，(0)0f '=，则0b =.
所以()(1)f x x x a '=--.
当1a =时，32
1()13
f x x x =
-+，()(2)f x x x
'=-，则(3)1f =，(3)3f '=. 故函数()f x 的图象在3x =处的切线方程为13(3)y x -=-，即380x y --=. (２) 由()9f x '=-，得(1)9x x a --=-.
当0x <时，991()()6a x x x x --=--=-+-≥=，所以7a ≤-. 当且仅当3x =-时，7.a =-故的最大值为7-. （３) 当0a >时，,(),()x f x f x '的变化情况如下表：
因为()f x 的极大值(0)0f a =>，
()f x 的极小值3321111
(1)(1)[3()]06
624
f a a a a a +=-+=-+-+<， 因为213()[(1)]32f x x x a a =-++，则3((1))02f a a +=>.又14(2)03
f a -=--<. 所以函数()f x 在区间3(2,0),(0,1),(1,(1))2
a a a -+++内各有一个零点. 故函数()f x 共有三个零点.。