八年级数学下学期期末试卷含解析新人教版五四制

山东省淄博市沂源县2021-2016学年八年级（下）期末数学试卷一、选择题（共12小题，每题4分，总分值48分）
1．已知反比例函数y=的图象通过点（2，﹣2），那么k的值为（）
A．4 B．﹣ C．﹣4 D．﹣2
2．在△ABC中，∠C=90°，sinA=，那么tanB等于（）
A．B．C．D．
3．已知二次函数y=2（x﹣3）2+1，可知正确的选项是（）
A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为直线x=﹣3
C．当x＜3时，y随x的增大而增大D．其最小值为1
4．如图，点F是▱ABCD的边CD上一点，直线BF交AD的延长线与点E，那么以下结论错误的选项是（）
A．B．C．D．
5．小明沿着坡角为30°的坡面向下走了2米，那么他下降（）
A．1米B．米C．2米D．米
6．如图，Rt△OAB的极点A（﹣2，4）在抛物线y=ax2上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，取得△OCD，边CD与该抛物线交于点P，那么点P的坐标为（）
A．（，）B．（2，2） C．（，2）D．（2，）
7．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，且将那个四边形分成①、②、③、④四个三角形．假设OA：OC=0B：OD，那么以下结论中必然正确的选项是（）
A．①与②相似B．①与③相似C．①与④相似D．②与④相似
8．已知二次函数y=x2+bx﹣2的图象与x轴的一个交点为（1，0），那么它与x轴的另一个交点坐标是（）
A．（1，0） B．（2，0） C．（﹣2，0）D．（﹣1，0）
9．在反比例函数y=图象上有两点A（x1，y1），B （x2，y2），x1＜0＜x2，y1＜y2，那么m的取值范围是（）
A．m＞B．m＜C．m≥D．m≤
10．如图，某人站在楼顶观测对面的笔直的旗杆AB．已知观测点C到旗杆的距离CE=8m，测得旗杆的顶部A的仰角∠ECA=30°，旗杆底部B的俯角∠ECB=45°，那么，旗杆AB的高度是（）
A．（ +8）m B．（8+8）m C．（8+）m D．（8+）m
11．如图，D是等边△ABC边AB上的一点，且AD：DB=1：2，现将△ABC折叠，使点C与D 重合，折痕为EF，点E，F别离在AC和BC上，那么CE：CF=（）
A．B．C．D．
12．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如下图，给出以下四个结论：①abc=0，②a+b+c＞0，③a＞b，④4ac﹣b2＜0；其中正确的结论有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（共5小题，每题4分，总分值20分）
13．如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A、B、C都在横格线上．假设线段AB=4cm，那么线段BC= cm．
14．两个相似三角形的面积比为1：4，那么它们的对应中心线的比为．15．如图，▱OABC的极点A的坐标为（3，0），∠COA=60°，D为边AB的中点，反比例函数y=（k＞0）的图象通过C、D两点，直线CD交y轴于点E，那么OE的长为．
16．假设将抛物线y=x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，那么所得抛物线的表达式为．
17．假设二次函数y=ax2+bx+c（a＜0）的图象通过点（2，0），且其对称轴为x=﹣1，那么使函数值y＞0成立的x的取值范围是．
三、解答题（共7小题，总分值52分）
18．某一时刻，身高的小明在阳光下的影长是，同一时刻同一地址测得旗杆的影长是5m，那么该旗杆的高度是多少？
19．如图，矩形ABCD的边AB与y轴平行，极点A的坐标为（1，2），点B、D在反比例函数y=（x＞0）的图象上，求点C的坐标．
20．某商场预备改善原有楼梯的平安性能，把倾斜角由原先的40°减至35°．已知原楼梯AB长为5m，调整后的楼梯所占地面CD有多长？（结果精准到．参考数据：sin40°≈，cos40°≈，sin35°≈，tan35°≈）
21．如图，某广场设计的一建筑物造型的纵截面是抛物线的一部份，抛物线的极点O落在水平面上，对称轴是水平线OC．点A、B在抛物线造型上，且点A到水平面的距离AC=4米，点B到水平面距离为2米，OC=8米．
（1）请成立适当的直角坐标系，求抛物线的函数解析式；
（2）为了平安美观，现需在水平线OC上找一点P，用质地、规格已确信的圆形钢管制作两根支柱PA、PB对抛物线造型进行支撑加固，那么如何才能找到两根支柱用料最省（支柱与地面、造型对接方式的用料多少问题暂不考虑）时的点P？（无需证明）
（3）为了施工方便，现需计算出点O、P之间的距离，那么两根支柱用料最省时点O、P之间的距离是多少？（不写求解进程）
22．一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°，∠
E=45°，∠A=60°，AC=10，试求CD的长．
23．如图①，在锐角△ABC中，D，E别离为AB，BC中点，F为AC上一点，且∠AFE=∠A，DM∥EF交AC于点M．
（1）求证：DM=DA；
（2）点G在BE上，且∠BDG=∠C，如图②，求证：△DEG∽△ECF；
（3）在图②中，取CE上一点H，使∠CFH=∠B，假设BG=1，求EH的长．
24．已知抛物线与x轴交于A、B两点．
（1）求证：抛物线的对称轴在y轴的左侧；
（2）假设（O为坐标原点），求抛物线的解析式；
（3）设抛物线与y轴交于点C，假设△ABC是直角三角形．求△ABC的面积．
2021-2016学年山东省淄博市沂源县八年级（下）期末数学试卷（五四学制）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每题4分，总分值48分）
1．已知反比例函数y=的图象通过点（2，﹣2），那么k的值为（）
A．4 B．﹣ C．﹣4 D．﹣2
【考点】反比例函数图象上点的坐标特点．
【分析】把点（2，﹣2）代入已知函数解析式，通过方程即可求得k的值．
【解答】解：∵反比例函数y=的图象通过点（2，﹣2），
∴k=xy=2×（﹣2）=﹣4．
应选C．
【点评】此题要紧考查反比例函数图象上点的坐标特点，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．
2．在△ABC中，∠C=90°，sinA=，那么tanB等于（）
A．B．C．D．
【考点】互余两角三角函数的关系．
【分析】设BC=4x，AB=5x，由勾股定理求出AC=3x，代入tanB=求出即可．
【解答】解：∵sinA==，
∴设BC=4x，AB=5x，
由勾股定理得：AC==3x，
∴tanB===，
应选：A．
【点评】此题考查了解直角三角形，勾股定理的应用，关键是把握正弦和正切的概念．
3．已知二次函数y=2（x﹣3）2+1，可知正确的选项是（）
A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为直线x=﹣3
C．当x＜3时，y随x的增大而增大D．其最小值为1
【考点】二次函数的性质．
【分析】依照二次函数的性质对各选项进行一一判定即可．
【解答】解：A、∵二次函数y=2（x﹣3）2+1中，a=2＞0，∴其图象的开口向上，故本选项错误；
B、∵二次函数的解析式是y=2（x﹣3）2+1，∴其图象的对称轴是直线x=3，故本选项错误；
C、∵二次函数的图象开口向上，对称轴是直线x=3，∴当x＜3时，y随x的增大而减小，故本选项错误；
D、∵由函数解析式可知其极点坐标为（3，1），∴其最小值为1，故本选项正确．
应选D．
【点评】此题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的极点式是解答此题的关键．
4．如图，点F是▱ABCD的边CD上一点，直线BF交AD的延长线与点E，那么以下结论错误的选项是（）
A．B．C．D．
【考点】平行线分线段成比例；平行四边形的性质．
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得CD∥AB，AD∥BC，CD=AB，AD=BC，然后平行线分线段成比例定理，对各项进行分析即可求得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，AD∥BC，CD=AB，AD=BC，
∴，故A正确；
∴，
∴，故B正确；
∴，故C错误；
∴，
∴，故D正确．
应选C．
【点评】此题考查平行线分线段成比例定理，找准对应关系，幸免错选其他答案．
5．小明沿着坡角为30°的坡面向下走了2米，那么他下降（）
A．1米B．米C．2米D．米
【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
【分析】第一画出符合题意的直角△ABC，再依照坡角的概念可知∠A=30°，然后利用正弦函数的概念即可求解．
【解答】解：如图，∵直角△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=2米，
∴他下降的高度BC=AB•sin30°=1米．
应选A．
【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，正弦函数的概念，明白得坡角的概念，进而画出符合题意的直角△ABC是解决此题的关键．
6．如图，Rt△OAB的极点A（﹣2，4）在抛物线y=ax2上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，取得△OCD，边CD与该抛物线交于点P，那么点P的坐标为（）
A．（，）B．（2，2） C．（，2）D．（2，）
【考点】二次函数综合题．
【分析】第一依照点A在抛物线y=ax2上求得抛物线的解析式和线段OB的长，从而求得点D 的坐标，依照点P的纵坐标和点D的纵坐标相等取得点P的坐标即可；
【解答】解：∵Rt△OAB的极点A（﹣2，4）在抛物线y=ax2上，
∴4=a×（﹣2）2，
解得：a=1
∴解析式为y=x2，
∵Rt△OAB的极点A（﹣2，4），
∴OB=OD=2，
∵Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，取得△OCD，
∴CD∥x轴，
∴点D和点P的纵坐标均为2，
∴令y=2，得2=x2，
解得：x=±，
∵点P在第一象限，
∴点P的坐标为：（，2）
应选：C．
【点评】此题考查了二次函数的综合知识，解题进程中第一求得直线的解析式，然后再求得点D的纵坐标，利用点P的纵坐标与点D的纵坐标相等代入函数的解析式求解即可．
7．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，且将那个四边形分成①、②、③、④四个三角形．假设OA：OC=0B：OD，那么以下结论中必然正确的选项是（）
A．①与②相似B．①与③相似C．①与④相似D．②与④相似
【考点】相似三角形的判定．
【分析】先依照对顶角相等得出∠AOB=∠COD，再由OA：OC﹣=0B：OD即可得出结论．【解答】解：∵∠AOB与∠COD是对顶角，
∴∠AOB=∠COD．
∵OA：OC=0B：OD，
∴△AOB∽△COD．
应选B．
【点评】此题考查的是相似三角形的判定，熟知两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似是解答此题的关键．
8．已知二次函数y=x2+bx﹣2的图象与x轴的一个交点为（1，0），那么它与x轴的另一个交点坐标是（）
A．（1，0） B．（2，0） C．（﹣2，0）D．（﹣1，0）
【考点】抛物线与x轴的交点．
【分析】把交点坐标（1，0），代入二次函数y=x2+bx﹣2求出b的值，进而明白抛物线的对称轴，再利用公式x=，可求出它与x轴的另一个交点坐标．
【解答】解：把x=1，y=0代入y=x2+bx﹣2得：
0=1+b﹣2，
∴b=1，
∴对称轴为x=﹣=﹣，
∴x==﹣，
∴x2=﹣2，
它与x轴的另一个交点坐标是（﹣2，0）．
应选C．
【点评】此题考查了二次函数和x轴交点的问题，要求交点坐标即可解一元二次方程也可用公式x=．
9．在反比例函数y=图象上有两点A（x1，y1），B （x2，y2），x1＜0＜x2，y1＜y2，那么m的取值范围是（）
A．m＞B．m＜C．m≥D．m≤
【考点】反比例函数图象上点的坐标特点．
【分析】第一依照当x1＜0＜x2时，有y1＜y2那么判定函数图象所在象限，再依照所在象限判定1﹣3m的取值范围．
【解答】解：∵x1＜0＜x2时，y1＜y2，
∴反比例函数图象在第一，三象限，
∴1﹣3m＞0，
解得：m＜．
应选B．
【点评】此题要紧考查反比例函数的性质，关键是依照题意判定出图象所在象限．
10．如图，某人站在楼顶观测对面的笔直的旗杆AB．已知观测点C到旗杆的距离CE=8m，测得旗杆的顶部A的仰角∠ECA=30°，旗杆底部B的俯角∠ECB=45°，那么，旗杆AB的高度是（）
A．（ +8）m B．（8+8）m C．（8+）m D．（8+）m
【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
【分析】利用∠ECA的正切值可求得AE；利用∠ECB的正切值可求得BE，有AB=AE+BE．
【解答】解：在△EBC中，有BE=EC×tan45°=8，
在△AEC中，有AE=EC×tan30°=，
∴AB=8+（米）．
应选D．
【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣﹣﹣俯角、仰角问题，要求学生能借助其关系构造直角三角形并解直角三角形．
11．如图，D是等边△ABC边AB上的一点，且AD：DB=1：2，现将△ABC折叠，使点C与D 重合，折痕为EF，点E，F别离在AC和BC上，那么CE：CF=（）
A．B．C．D．
【考点】相似三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）．
【分析】借助翻折变换的性质取得DE=CE；设AB=3k，CE=x，那么AE=3k﹣x；依照相似三角形的判定与性质即可解决问题．
【解答】解：设AD=k，那么DB=2k，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC=3k，∠A=∠B=∠C=∠EDF=60°，
∴∠EDA+∠FDB=120°，
又∵∠EDA+∠AED=120°，
∴∠FDB=∠AED，
∴△AED∽△BDF，
∴，
设CE=x，那么ED=x，AE=3k﹣x，
设CF=y，那么DF=y，FB=3k﹣y，
∴，
∴，
∴=，
∴CE：CF=4：5．
应选：B．
解法二：解：设AD=k，那么DB=2k，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC=3k，∠A=∠B=∠C=∠EDF=60°，
∴∠EDA+∠FDB=120°，
又∵∠EDA+∠AED=120°，
∴∠FDB=∠AED，
∴△AED∽△BDF，由折叠，得
CE=DE，CF=DF
∴△AED的周长为4k，△BDF的周长为5k，
∴△AED与△BDF的相似比为4：5
∴CE：CF=DE：DF=4：5．
应选：B．
【点评】要紧考查了翻折变换的性质及其应用问题；解题的关键是借助相似三角形的判定与性质（用含有k的代数式表示）；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．
12．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如下图，给出以下四个结论：①abc=0，②a+b+c＞0，③a＞b，④4ac﹣b2＜0；其中正确的结论有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【分析】第一依照二次函数y=ax2+bx+c的图象通过原点，可得c=0，因此abc=0；然后依照x=1时，y＜0，可得a+b+c＜0；再依照图象开口向下，可得a＜0，图象的对称轴为x=﹣，可得﹣，b＜0，因此b=3a，a＞b；最后依照二次函数y=ax2+bx+c图象与x轴有两个交点，可得△＞0，因此b2﹣4ac＞0，4ac﹣b2＜0，据此解答即可．
【解答】解：∵二次函数y=ax2+bx+c图象通过原点，
∴c=0，
∴abc=0
∴①正确；
∵x=1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，
∴②不正确；
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴是x=﹣，
∴﹣，b＜0，
∴b=3a，
又∵a＜0，b＜0，
∴a＞b，
∴③正确；
∵二次函数y=ax2+bx+c图象与x轴有两个交点，
∴△＞0，
∴b2﹣4ac＞0，4ac﹣b2＜0，
∴④正确；
综上，可得
正确结论有3个：①③④．
应选：C．
【点评】此题要紧考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练把握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a一起决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）．
二、填空题（共5小题，每题4分，总分值20分）
13．如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A、B、C都在横格线上．假设线段AB=4cm，那么线段BC= 12 cm．
【考点】平行线分线段成比例．
【分析】过点A作AE⊥CE于点E，交BD于点D，依照平行线分线段成比例可得，代入计算即可解答．
【解答】解：如图，过点A作AE⊥CE于点E，交BD于点D，
∵练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，
∴，
即，
∴BC=12cm．
故答案为：12．
【点评】此题要紧考查平行线分线段成比例，把握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．
14．两个相似三角形的面积比为1：4，那么它们的对应中心线的比为1：2 ．
【考点】相似三角形的性质．
【分析】直接依照相似三角形的性质即可得出结论．
【解答】解：∵两个相似三角形的面积比为1：4，
∴它们的对应中心线的比为1：2．
故答案为：1：2．
【点评】此题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比，面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．
15．如图，▱OABC的极点A的坐标为（3，0），∠COA=60°，D为边AB的中点，反比例函数y=（k＞0）的图象通过C、D两点，直线CD交y轴于点E，那么OE的长为3．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数的性质；平行四边形的性质；平行线分线段成比例．
【分析】作CE⊥x轴于点E，过B作BF⊥x轴于F，过D作DM⊥x轴于M，设C的坐标为（x， x），表示出D的坐标，将C、D两点坐标代入反比例函数的解析式，解关于x的方程求出x即可取得点C、D的坐标，进而求得直线CD的解析式，最后计算该直线与y轴交点坐标即可得出结果．
【解答】解：作CE⊥x轴于点E，那么∠CEO=90°，
过B作BF⊥x轴于F，过D作DM⊥x轴于M，那么BF=CE，DM∥BF，BF=CE，
∵D为AB的中点，
∴AM=FM，
∴DM=BF，
∵∠COA=60°，
∴∠OCE=30°，
∴OC=2OE，CE=OE，
∴设C的坐标为（x， x），
∴AF=OE=x，CE=BF=x，OE=AF=x，DM=x，
∵四边形OABC是平行四边形，A（3，0），
∴OF=3+x，OM=3+x，
即D点的坐标为（3+x， x），
把C、D的坐标代入y=得：k=x•x=（3+x）•x，
解得：x1=2，x2=0（舍去），
∴C（2，2），D（4，），
设直线CD解析式为：y=ax+b，那么
，
解得，
∴直线CD解析式为y=﹣x+3，
∴当x=0时，y=3，
∴E（0，3），即OE=3．
故答案为：3
【点评】此题要紧考查了平行四边形的性质、运用待定系数法求函数的解析式和解直角三角形的应用．依照反比例函数图象通过C、D两点，得出关于x的方程是解决问题的关键．
16．假设将抛物线y=x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，那么所得抛物线的表达式为y=（x﹣2）2+3 ．
【考点】二次函数图象与几何变换．
【分析】先确信抛物线y=x2的极点坐标为（0，0），把点（0，0）向右平移2个单位，再向上平移3个单位后取得的点的坐标为（2，3），然后依照极点式写出平移后抛物线的解析式．
【解答】解：抛物线y=x2的极点坐标为（0，0），把点（0，0）向上平移2个单位，再向右平移3个单位取得的点的坐标为（2，3），
因此平移后抛物线的解析式为y=（x﹣2）2+3．
故答案为：y=（x﹣2）2+3．
【点评】此题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，因此求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方式：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的极点坐标，即可求出解析式．
17．假设二次函数y=ax2+bx+c（a＜0）的图象通过点（2，0），且其对称轴为x=﹣1，那么使函数值y＞0成立的x的取值范围是﹣4＜x＜2 ．
【考点】二次函数的性质．
【分析】直接利用二次函数对称性得出图象与x轴的另一个交点，再画出图象，得出y＞0成立的x的取值范围．
【解答】解：如下图：∵图象通过点（2，0），且其对称轴为x=﹣1，
∴图象与x轴的另一个交点为：（﹣4，0），
那么使函数值y＞0成立的x的取值范围是：﹣4＜x＜2．
故答案为：﹣4＜x＜2．
【点评】此题要紧考查了二次函数的性质，正确利用数形结合得出x的取值范围是解题关键．
三、解答题（共7小题，总分值52分）
18．某一时刻，身高的小明在阳光下的影长是，同一时刻同一地址测得旗杆的影长是5m，那么该旗杆的高度是多少？
【考点】相似三角形的应用；平行投影．
【分析】设该旗杆的高度为xm，依照三角形相似的性质取得同一时刻同一地址物体的高度与其影长的比相等，即可成立关于x的方程，然后解方程即可
【解答】解：设该旗杆的高度为xm，依照题意得，：=x：5，
解得x=20（m）．
答：该旗杆的高度是20m．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．解决此问题的关键在于正确明白得题意的基础上成立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
19．如图，矩形ABCD的边AB与y轴平行，极点A的坐标为（1，2），点B、D在反比例函数y=（x＞0）的图象上，求点C的坐标．
【考点】反比例函数综合题．
【分析】设B、D两点的坐标别离为（1，y）、（x，2），再依照点B与点D在反比例函数y=（x＞0）的图象上求出xy的值，进而可得出C的坐标．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，极点A的坐标为（1，2），
∴设B、D两点的坐标别离为（1，y）、（x，2），
∵点B与点D在反比例函数y=（x＞0）的图象上，
∴y=6，x=3，
∴点C的坐标为（3，6）．
【点评】此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数中k=xy为定值是解答此题的关键．
20．某商场预备改善原有楼梯的平安性能，把倾斜角由原先的40°减至35°．已知原楼梯AB长为5m，调整后的楼梯所占地面CD有多长？（结果精准到．参考数据：sin40°≈，cos40°≈，sin35°≈，t an35°≈）
【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
【分析】依照原楼梯的倾斜角为40°，可先求出AD的长，继而在Rt△ACD中求出CD的长．
【解答】解：在Rt△ABD中，sin40°==，
∴AD=5sin40°=5×=，
在Rt△ACD中，tan35°=，
CD==，
答：调整后的楼梯所占地面CD约为米．
【点评】此题考查了解直角三角形的实际应用中的坡度坡角问题，难度不大，注意细心运算即可．
21．如图，某广场设计的一建筑物造型的纵截面是抛物线的一部份，抛物线的极点O落在水平面上，对称轴是水平线OC．点A、B在抛物线造型上，且点A到水平面的距离AC=4米，点B到水平面距离为2米，OC=8米．
（1）请成立适当的直角坐标系，求抛物线的函数解析式；
（2）为了平安美观，现需在水平线OC上找一点P，用质地、规格已确信的圆形钢管制作两根支柱PA、PB对抛物线造型进行支撑加固，那么如何才能找到两根支柱用料最省（支柱与地面、造型对接方式的用料多少问题暂不考虑）时的点P？（无需证明）
（3）为了施工方便，现需计算出点O、P之间的距离，那么两根支柱用料最省时点O、P之间的距离是多少？（不写求解进程）
【考点】二次函数的应用．
【分析】（1）依照题意能够成立适合的平面直角坐标系，从而能够求得抛物线的解析式；（2）依照两点之间线段最多，作出相应的图形，写出作法即可；
（3）依照前面的坐标系和抛物线解析式能够求得点B的坐标，再依照三角形相似能够求得两根支柱用料最省时点O、P之间的距离，注意此处只写出答案即可．
【解答】解：（1）如右图所示，
由题意可得，点C的坐标为（0，0），点A的坐标为（0，4），点O的坐标为（8，0），设此抛物线的解析式为：x=ay2+8，
那么0=a×42+8，
解得，a=﹣，
即抛物线的解析式为：x=﹣y2+8；
（2）作点A关于点C的对称点点D，连接DB与x轴交于点P，那么点P即为所求；
（3）两根支柱用料最省时点O、P之间的距离是4米．
【点评】此题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．
22．一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°，∠
E=45°，∠A=60°，AC=10，试求CD的长．
【考点】解直角三角形；平行线的性质．
【分析】过点B作BM⊥FD于点M，依照题意可求出BC的长度，然后在△EFD中可求出∠EDF=45°，进而可得出答案．
【解答】解：过点B作BM⊥FD于点M，
在△ACB中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=10，
∴∠ABC=30°，BC=AC×tan60°=10，
∵AB∥CF，
∴BM=BC×sin30°=10×=5，
CM=BC×cos30°=15，
在△EFD中，∠F=90°，∠E=45°，
∴∠EDF=45°，
∴MD=BM=5，
∴CD=CM﹣MD=15﹣5．
【点评】此题考查了解直角三角形的性质及平行线的性质，难度较大，解答此类题目的关键依照题意成立三角形利用所学的三角函数的关系进行解答．
23．如图①，在锐角△ABC中，D，E别离为AB，BC中点，F为AC上一点，且∠AFE=∠A，DM∥EF交AC于点M．
（1）求证：DM=DA；
（2）点G在BE上，且∠BDG=∠C，如图②，求证：△DEG∽△ECF；
（3）在图②中，取CE上一点H，使∠CFH=∠B，假设BG=1，求EH的长．
【考点】相似形综合题．
【分析】（1）证明∠A=∠DMA，用等角对等边即可证明结论；
（2）由D、E别离是AB、BC的中点，可知DE∥AC，于是∠BDE=∠A，∠DEG=∠C，又∠A=∠AFE，∠AFE=∠C+∠FEC，依照等式性质得∠FEC=∠GDE，依照有两对对应角相等的两三角形相似可证；
（3）通过证明△BDG∽△BED和△EFH∽△ECF，可得BG•BE=EH•EC，又BE=EC，因此
EH=BG=1．
【解答】（1）证明：如图1所示，
∵DM∥EF，
∴∠AMD=∠AFE，
∵∠AFE=∠A，
∴∠AMD=∠A，
∴DM=DA；
（2）证明：如图2所示，
∵D、E别离是AB、BC的中点，
∴DE∥AC，
∴∠BDE=∠A，∠DEG=∠C，
∵∠AFE=∠A，
∴∠BDE=∠AFE，
∴∠BDG+∠GDE=∠C+∠FEC，
∵∠BDG=∠C，
∴∠GDE=∠FEC，
∴△DEG∽△ECF；
（3）解：如图3所示，
∵∠BDG=∠C=∠DEB，∠B=∠B，
∴△BDG∽△BED，
∴，
∴BD2=BG•BE，
∵∠AFE=∠A，∠CFH=∠B，
∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣∠AFE﹣∠CFH=∠EFH，又∵∠FEH=∠CEF，
∴△EFH∽△ECF，
∴，
∴EF2=EH•EC，
∵DE∥AC，DM∥EF，
∴四边形DEFM是平行四边形，
∴EF=DM=DA=BD，
∴BG•BE=EH•EC，
∵BE=EC，
∴EH=BG=1．
【点评】此题要紧考查了等腰三角形的性质与判定，三角形中位线的性质，平行线的性质，平行四边形的判定与性质和三角形相似的判定与性质，第三小题是难点，运用两对三角形相似取得比例中项问题，发觉等线段是解决问题的关键．
24．已知抛物线与x轴交于A、B两点．
（1）求证：抛物线的对称轴在y轴的左侧；
（2）假设（O为坐标原点），求抛物线的解析式；
（3）设抛物线与y轴交于点C，假设△ABC是直角三角形．求△ABC的面积．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）证明抛物线的对称轴＜0即可证明抛物线的对称轴在y轴的左侧；
（2）依照题中已知条件求出m的值，进而求得抛物线的解析式；
（3）先设出C点坐标，依照的x1与x2关系求出m值，进而可求得△ABC的面积．【解答】（1）证明：∵m＞0，
∴x=﹣=﹣＜0，
∴抛物线的对称轴在y轴的左侧；
（2）解：设抛物线与x轴交点为A（x1，0），B（x2，0），
那么x1+x2=﹣m＜0，x1•x2=﹣m2＜0，
∴x1与x2异号，
又∵=＞0，
∴OA＞OB，
由（1）知：抛物线的对称轴在y轴的左侧，
∴x1＜0，x2＞0，
∴OA=|x1|=﹣x1，
OB=x2，
代入得： =，
=，
从而，
解得m=2，
经查验m=2是原方程的根，
∴抛物线的解析式为y=x2+2x﹣3；
（3）解：当x=0时，y=﹣m2
∴点C（0，﹣ m2），
∵△ABC是直角三角形，
∴AB2=AC2+BC2，
∴（x1﹣x2）2=x12+（﹣m2）2+x22+（﹣m2）2
∴﹣2x1•x2=m4
∴﹣2（﹣m2）=m4，
解得m=，
∴S△ABC=×AB•OC=|x1﹣x2|•=×2m×m2=．
【点评】此题是二次函数的综合题，其中涉及到的知识点有抛物线的公式的求法和三角形面积的求法等知识点，是各地中考的热点和难点，解题时注意数形结合数学思想的运用，同窗们要增强训练，属于中档题．。